高中數(shù)學(xué)選修-知識(shí)點(diǎn)(最全版)

中學(xué)數(shù)學(xué)選修4-5學(xué)問(wèn)點(diǎn)1．不等式的基本性質(zhì)1．實(shí)數(shù)大小的比較(1)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．(2)設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B.當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，a<b；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí)，a>b．(3)兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小與這兩個(gè)實(shí)數(shù)差的符號(hào)的關(guān)系(不等式的意義)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>b?a－b>0,a＝b?a－b＝0,a<b?a－b<0))(4)兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的步驟①作差；②變形；③推斷差的符號(hào)；④結(jié)論．2．不等關(guān)系與不等式(1)不等號(hào)有≠，>，<，≥，≤共5個(gè)．(2)相等關(guān)系和不等關(guān)系隨意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們之間要么相等，要么不相等．現(xiàn)實(shí)生活中的兩個(gè)量從嚴(yán)格意義上說(shuō)相等是特別的、相對(duì)的，不等是普遍的、確定的，因此絕大多數(shù)的量都是以不等關(guān)系存在的．(3)不等式的定義：用不等號(hào)連接起來(lái)的式子叫做不等式．(4)不等關(guān)系的表示：用不等式或不等式組表示不等關(guān)系．3.不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a>b?b<a；(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c；(3)可加性：a>b，c∈R?a＋c>b＋c；(4)加法法則：a>b，c>d?a＋c>b＋d；(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；(6)乘法法則：a>b>0，c>d>0?ac>bd；(7)乘方法則：a>b>0，n∈N且n≥2?an>bn；(8)開(kāi)方法則：a>b>0，n∈N且n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b).（9）倒數(shù)法則，即a>b>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．基本不等式1．重要不等式定理1：假如a，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．2．基本不等式(1)定理2：假如a，b>0，則(eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．(2)定理2的應(yīng)用：對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，①假如它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，它們的積P取得最大值，最大值為eq\f(S2,4).②假如它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，它們的和S取得最小值，最小值為2eq\r(P).3．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的幾何說(shuō)明如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB上隨意一點(diǎn)，DE是過(guò)C點(diǎn)垂直AB的弦．若AC＝a，BC＝b，則AB＝a＋b，⊙O的半徑R＝eq\f(a＋b,2)，Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，CD2＝AC·BC＝ab，CD＝eq\r(ab)，CD≤R?eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)C點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，CD＝R＝eq\f(AB,2)，即eq\r(ab)＝eq\f(a＋b,2).4．幾個(gè)常用的重要不等式(1)假如a∈R，則a2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時(shí)取等號(hào)；(2)假如a，b>0，則ab≤eq\f(（a＋b）2,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．(3)假如a>0，則a＋eq\f(1,a)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)等號(hào)成立．(4)假如ab>0，則eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．3．三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式1．假如a、b、c∈R＋，則a3＋b3＋c3≥3abc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．2．(定理3)假如a、b、c∈R＋，則(eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均．3．假如a1，a2，…，an∈R＋，則eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立．即對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均．二確定值不等式1．確定值三角不等式1．確定值與其幾何意義(1)確定值定義：|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0）,,－a（a<0）))(2)確定值幾何意義：實(shí)數(shù)a的確定值|a|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離|OA|.(3)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)數(shù)軸上隨意兩點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)x1，x2，則|AB|＝|x1－x2|．2．確定值三角不等式(1)定理1：假如a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．推論1：假如a，b是實(shí)數(shù)，則|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.推論2：假如a，b是實(shí)數(shù)，則|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：假如a，b，c是實(shí)數(shù)，則|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時(shí)，等號(hào)成立．2．確定值不等式的解法1．|x|<a與|x|>a型不等式的解法設(shè)a>0，則(1)|x|<a?－a<x<a；(2)|x|≤a?－a≤x≤a；(3)|x|>a?x<－a或x>a；(4)|x|≥a?x≤－a或x≥a．2．|ax＋b|≤c(c>0)與|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c?ax＋b≤－c或ax＋b≥c．3．|x－a|＋|x－b|≤c與|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法(1)利用確定值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解確定值的幾何意義，給確定值不等式以精確的幾何說(shuō)明．(2)以確定值的零點(diǎn)為分界點(diǎn)，將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間，利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類探討的思想．確定各個(gè)確定值號(hào)內(nèi)多項(xiàng)式的正、負(fù)號(hào)，進(jìn)而去掉確定值號(hào)．(3)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象(有時(shí)須要考察函數(shù)的增減性)是關(guān)鍵．注：確定值的幾何意義(1)|x|的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x與原點(diǎn)O的距離；(2)|x－a|＋|x－b|的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a和點(diǎn)b的距離之和；(3)|x－a|－|x－b|的幾何意義是數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)a和點(diǎn)b的距離之差．2．確定值不等式的幾何意義(1)|x|≤a(a>0)的幾何意義是以點(diǎn)a和－a為端點(diǎn)的線段，|x|≤a的解集是[－a，a]．(2)|x|>a(a>0)的幾何意義是數(shù)軸除去以點(diǎn)a和－a為端點(diǎn)的線段后剩下的兩條射線，|x|>a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)．3．解含確定值不等式的關(guān)鍵是去掉確定值變形為不含確定值的不等式(組)求解．例題：例如：分類探討法：即通過(guò)合理分類去確定值后再求解。例1：解不等式。分析:由，，得和。和把實(shí)數(shù)集合分成三個(gè)區(qū)間，即，，，按這三個(gè)區(qū)間可去確定值，故可按這三個(gè)區(qū)間探討。解:當(dāng)x＜-2時(shí)，得， 解得： 當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，得， 解得：當(dāng)時(shí)，得 ，解得：綜上，原不等式的解集為。例2：解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.解：①當(dāng)x>2時(shí)，原不等式可化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>2，,（2x－4）－（3x＋9）<1，))解得x>2.②當(dāng)－3≤x≤2時(shí)，原不等式可化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3≤x≤2，,－（2x－4）－（3x＋9）<1，))解得－eq\f(6,5)<x≤2.③當(dāng)x<－3時(shí)，原不等式可化為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<－3，,－（2x－4）＋（3x＋9）<1，))解得x<－12.綜上所述，原不等式的解集為{x|x<－12或x>－eq\f(6,5)}．其次講證明不等式的基本方法一比較法比較法主要有1.作差比較法2.作商比較法1．作差比較法(簡(jiǎn)稱比差法)(1)作差比較法的證明依據(jù)是：a>b?a－b>0；a＝b?a－b＝0；a<b?a－b<0.(2)基本步驟是：①作差；②變形；③判號(hào)；④結(jié)論．2．作商比較法(簡(jiǎn)稱比商法)(1)作商比較法的證明依據(jù)是：當(dāng)b>0時(shí)，eq\f(a,b)>1?a>b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a<b.(2)基本步驟是：①作商；②變形；③比較與1的大小；④結(jié)論．留意：對(duì)作差比較法的理解(1)在證明不等式的各種方法中，作差比較法是最基本、最重要的方法．作差比較法是通過(guò)確定不等式兩邊的差的符號(hào)來(lái)證明不等式的，因而其應(yīng)用特別廣泛．(2)不等式差的符號(hào)是正是負(fù)，一般必需利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)變形才能推斷，其中變形的目的在于推斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少．變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等．(3)作差比較法，主要適用于不等式兩邊是整式或分式型的有理不等式的證明．(4)在判定不等式兩邊的式子同號(hào)的條件下，假如干脆作差不易變形，可以借助不等式性質(zhì)作平方差或立方差，進(jìn)行證明．2．對(duì)作商比較法的理解(1)運(yùn)用作商法證明不等式a>b時(shí)，確定要留意b>0這個(gè)前提條件．若b<0，eq\f(a,b)<1?a>b，eq\f(a,b)＝1?a＝b，eq\f(a,b)>1?a<b.(2)當(dāng)欲證明的不等式的兩邊是乘積形式、指數(shù)冪形式，不同底的對(duì)數(shù)式形式時(shí)，常用作商法證明．二綜合法與分析法1．綜合法一般地，從已知條件動(dòng)身，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ?．分析法證明命題時(shí)，從要證的結(jié)論動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，直到所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法．這是一種執(zhí)果索因的思索和證明方法．留意:1．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ)?B1?B2?…?Bn?B由已知逐步推演不等式成立的必要條件，從而得結(jié)論．2．用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ)?B1?B2?…?Bn?B由結(jié)論步步尋求不等式成立的充分條件，從而到已知．3．綜合法和分析法的比較(1)相同點(diǎn)：都是干脆證明．(2)不同點(diǎn)：綜合法：由因?qū)Ч?，形式?jiǎn)潔，易于表達(dá)；分析法：執(zhí)果索因，利于思索，易于探究．4．證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點(diǎn)，用綜合法寫證題過(guò)程．三反證法與放縮法1．反證法證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證的命題不成立，以此為動(dòng)身點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)沖突的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立．我們把它稱之為反證法．2．放縮法證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法．3．換元法將所證的不等式的字母作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，以達(dá)到簡(jiǎn)化證題過(guò)程的目的，這種方法稱為換元法．留意：1．關(guān)于反證法(1)反證法的原理是否定之否定等于確定．即eq\x(第一次否定)—eq\x(在假設(shè)中，否定了結(jié)論)↓eq\x(其次次否定)—eq\x(通過(guò)推理論證，又否定了假設(shè))(2)反證法的運(yùn)用范圍一般以下幾種狀況相宜運(yùn)用反證法：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②有關(guān)結(jié)論是以“至多…”或“至少…”的形式出現(xiàn)的一類命題；③關(guān)于唯一性、存在性的命題；④結(jié)論的反面是比原結(jié)論更詳細(xì)、更簡(jiǎn)潔探討的命題．(3)運(yùn)用反證法的主要步驟(4)精確地作出反設(shè)是反證法證題的前提，下面是常用詞語(yǔ)的反設(shè)原結(jié)論反設(shè)原結(jié)論反設(shè)是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有都是至少有一個(gè)不是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于小于等于至少有n個(gè)至多有(n－1)個(gè)小于大于等于至多有n個(gè)至少有(n＋1)個(gè)對(duì)全部x成立至少有一個(gè)x不成立p或q非p且非q對(duì)任何x不成立至少有一個(gè)x成立p且q非p或非q(5)運(yùn)用反證法的五點(diǎn)說(shuō)明①反設(shè)時(shí)確定不能把“假設(shè)”寫成“設(shè)”．②當(dāng)結(jié)論的反面有多種可能時(shí)，必需全部列出，否則證明是不完整的．③必需從結(jié)論的否定動(dòng)身進(jìn)行推理，就是確定把結(jié)論的否定作為推理的條件，只要推理中沒(méi)有用到“假設(shè)”就不是反證法．④最終導(dǎo)出的沖突是多樣的，可能與已知沖突、與假設(shè)沖突、與定義、定理、公式?jīng)_突、與已知的事實(shí)沖突等，但沖突必需是明顯的．⑤反證法是一種間接證明的方法．2．關(guān)于放縮法(1)放縮法證明不等式的理論依據(jù)有：①不等式的傳遞性；②等量加不等量為不等量．其中減去一個(gè)正數(shù)值變小(縮)，加上一個(gè)正數(shù)值變大(放)；③同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較；④基本不等式與確定值三角不等式；⑤三角函數(shù)的有界性等．(2)運(yùn)用放縮法證題的關(guān)鍵是：放大或縮小要適當(dāng)，千萬(wàn)不能放(縮)過(guò)頭，否則問(wèn)題無(wú)法獲證．(3)運(yùn)用放縮法的常用變形放縮法是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮必需有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往從要證明的結(jié)論考慮．常用的放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、利用已知不等式、利用函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行放縮．比如：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)；eq\f(1,n2)<eq\f(1,n（n－1）)(n∈N且n≥2)；eq\f(1,n2)>eq\f(1,n（n＋1）)(n∈N*)；eq\f(1,\r(n))<eq\f(2,\r(n)＋\r(n－1))(n∈N且n≥2)，eq\f(1,\r(n))>eq\f(2,\r(n)＋\r(n＋1))；當(dāng)a>b>0，m>0時(shí)，eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)等．第三講柯西不等式與排序不等式1．二維形式的柯西不等式若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立．2．柯西不等式的向量形式設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立．3．二維形式的三角不等式設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，則eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))＋eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))≥eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2.)留意：1．二維柯西不等式的三種形式與其關(guān)系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．依據(jù)向量的意義與其坐標(biāo)表示不難發(fā)覺(jué)二維形式的柯西不等式與二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標(biāo)表示．2．理解并記憶三種形式取“＝”的條件(1)代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)取等號(hào)．(2)向量形式中當(dāng)存在實(shí)數(shù)k，α＝kβ或β＝0時(shí)取等號(hào)．(3)三角形式中當(dāng)P1，P2，O三點(diǎn)共線且P1，P2在原點(diǎn)O兩旁時(shí)取等號(hào)．3．駕馭二維柯西不等式的常用變式(1)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac＋bd|.(2)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac|＋|bd|.(3)eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥ac＋bd.(4)(a＋b)(c＋d)≥(eq\r(ac)＋eq\r(bd))2.4．基本不等式與二維柯西不等式的對(duì)比(1)基本不等式是兩個(gè)正數(shù)之間形成的不等關(guān)系．二維柯西不等式是四個(gè)實(shí)數(shù)之間形成的不等關(guān)系，從這個(gè)意義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級(jí)的不等式．(2)基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式，當(dāng)和(或積)為定值時(shí)，可求積(或和)的最值，同樣二維形式的柯西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特別函數(shù)的最值特別有效．二一般形式的柯西不等式1．三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3))≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，3)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)時(shí)，等號(hào)成立．2．一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．留意：1．對(duì)柯西不等式一般形式的說(shuō)明：一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來(lái)總結(jié)，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方．運(yùn)用時(shí)的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式．2．關(guān)于柯西不等式的證明：對(duì)于函數(shù)f(x)＝(a1x－b1)2＋(a2x－b2)2＋…＋(anx－bn)2，明顯f(x)≥0時(shí)x∈R恒成立，即f(x)＝(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))x2－2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥0對(duì)x∈R恒成立，∴Δ＝4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≤0，除以4得(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))·(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.3．一般形式柯西不等式成立的條件：由柯西不等式的證明過(guò)程可知Δ＝0?f(x)min＝0?a1x－b1＝a2x－b2＝…＝anx－bn＝0?b1＝b2＝…＝bn＝0，或eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn).4．柯西不等式的幾種常見(jiàn)變形：(1)設(shè)aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n)＝1，則－1≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤1；(2)設(shè)ai∈R(i＝1，2，3，…，n)，則eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≤eq\r(\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n),n))；(3)設(shè)ai∈R，bi>0(i＝1，2，3，…，n)，則eq\f(aeq\o\al(2,1),b1)＋eq\f(aeq\o\al(2,2),b2)＋…＋eq\f(aeq\o\al(2,n),bn)≥eq\f(（a1＋a2＋…＋an）2,b1＋b2＋…＋bn)；(4)設(shè)aibi>0(i＝1，2，3，…，n)，則eq\f(a1,b1)＋eq\f(a2,b2)＋…＋eq\f(an,bn)≥eq\f(（a1＋a2＋…＋an）2,a1b1＋a2b2＋…＋anbn).三排序不等式1．亂序和、反序和、依次和設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn為b1，b2，…，bn的任一排列，稱a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn為亂序和，a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1為反序和，a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn為依次和．2．排序不等式(又稱排序原理)設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn時(shí)，反序和等于依次和．3．排序原理的簡(jiǎn)記反序和≤亂序和≤依次和．第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的定義一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的全部正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立．在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的全部正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的適用范圍適用于證明一個(gè)與無(wú)限多個(gè)正整數(shù)有關(guān)的命題．3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗(yàn)證當(dāng)n＝n0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)命題成立，推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)命題也成立．(3)結(jié)論：由(1)(2)可知，命題對(duì)一切n≥n0的自然數(shù)都成立．留意：用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟要做到“遞推基礎(chǔ)不行少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”，因此必需留意以下三點(diǎn)：(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)n0就是我們要證明的命題對(duì)象的最小自然數(shù)，這個(gè)自然數(shù)并不確定就是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法要留意的第一個(gè)問(wèn)題．(2)遞推是關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過(guò)程，必需把歸納假設(shè)“n＝k”時(shí)命題成立作為條件來(lái)導(dǎo)出“n＝k＋1”時(shí)命題成立，在推導(dǎo)過(guò)程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次，沒(méi)有用上歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法．(3)正確尋求遞推關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的其次步遞推是至關(guān)重要的，則如何找尋遞推關(guān)系呢？①在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨多計(jì)算幾項(xiàng)，并正確寫出來(lái)，這樣對(duì)發(fā)覺(jué)遞推關(guān)系是有幫助的；②探求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要擅長(zhǎng)視察式子或命題的改變規(guī)律，視察n處在哪個(gè)位置；③在書寫f(k＋1)時(shí)，確定要把包含f(k)的式子寫出來(lái)，尤其是f(k)中的最終一項(xiàng)．除此之外，多了哪些項(xiàng)，少了哪些項(xiàng)都要分析清晰．二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟．①證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)結(jié)論成立，證明