GCAL單調(diào)性凹向最值

微積分

Calculus單調(diào)性極值最值凹向拐點5/19/20231問題：如何快速判別函數(shù)的單調(diào)性？單調(diào)性定義：當時，稱f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加；當時，稱f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少；一.一階導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系5/19/20232定理2.3：5/19/20233證明：設(shè)是(a,b)中任意兩點，且設(shè)則f(x)在上滿足拉氏定理條件，∴存在，使得5/19/20234例1.判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性。解：當x>0時，在區(qū)間上單調(diào)遞增。問：如何求一個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。5/19/20235單調(diào)區(qū)間的求法：5/19/20236單調(diào)區(qū)間求法例2.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解:函數(shù)定義域為R，得令(臨界點)5/19/20237單調(diào)區(qū)間求法例3.求的單調(diào)區(qū)間。解:函數(shù)定義域為R，(臨界點)導數(shù)不存在！故的單調(diào)增加區(qū)間為的單調(diào)減少區(qū)間為5/19/20238求函數(shù)單調(diào)區(qū)間步驟通常函數(shù)在定義區(qū)間上不一定單調(diào)，但會在部分區(qū)間內(nèi)單調(diào)。

導數(shù)為零的點（駐點）和不可導點，可能是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點。(1)確定函數(shù)定義區(qū)間；(3)用臨界點劃分函數(shù)定義區(qū)間為部分區(qū)間；(2)求導數(shù)確定臨界點（可疑點）；(4)在各部分區(qū)間內(nèi)判斷導數(shù)的正負性，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。5/19/202391.定義:P84(1)

則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)

則稱為的極小值點,稱為函數(shù)的極小值

.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值

,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.二.函數(shù)的極大值與極小值5/19/202310極大值極小值統(tǒng)稱為極值。極值是一個局部的概念！極大值relativemaximum極小值relativeminimum極值relativeextrema5/19/202311是極值點2.極值的條件是駐點或不可導點

增減增減函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點一定是極值點。函數(shù)的極值點恰好是函數(shù)f(x)在其左右附近由單調(diào)增加（減少）變?yōu)閱握{(diào)減少（增加）的轉(zhuǎn)折點。5/19/202312是極值點2.極值的條件是駐點或不可導點

5/19/202313是極值點2.極值的條件是駐點或不可導點

5/19/202314函數(shù)極值(relativeextrema)求法(1)確定函數(shù)定義區(qū)間；(3)用臨界點劃分函數(shù)定義區(qū)間為部分區(qū)間；(2)求導數(shù)確定臨界點（可疑點）；(4)在各部分區(qū)間內(nèi)判斷導數(shù)的正負性，得出函數(shù)的單調(diào)性；(5)檢查在臨界點左右的符號（即判斷函數(shù)在臨界點左右單調(diào)性的變化）：左正右負極大值左負右正極小值左右同號不是極值5/19/202315例1.求函漏數(shù)味的極值。解：①令得(駐點)②當訪時，串不存遭在。很則(不可急導點)（1）定箭義域創(chuàng)為R，23+_+（3）劃祖分區(qū)摧間討猜論：（2）求昨?qū)?shù)茫，解粥臨界鉗點：是極贏大值敬點，役極大懂值為是極揚小值福點，耕極小散值為不存梳在023/以25/述18腸/2介02廚316練習資（1）函沙數(shù)的極值.解：函數(shù)條定義受域為R，令得002-2是極雀大值灣點，奴極大誓值為是極杯小值牙點，路極小傻值為5/唉18炮/2松02算317（2）函跨數(shù)的極值.令得解:函數(shù)趨定義演域為R，0021是極濫大值飄點，迷極大旅值為是極描小值圍點，津極小歸值為5/槽18羨/2斬02板318練習.求函騾數(shù)的極禮值.解:1)求導牙數(shù)2)求駐澆點令得3)列表化判別是極烏大值津點，其極支大值懶為是極組小值停點，其極星小值輕為19證：同理卡可證(2弄)定理2.魯7(函數(shù)馳極值揮判別榴法Ⅱ)5/松18反/2廢02淹320例、解:注意:5/堵18幻玉/2賣02糾321例、解:注意:5/榜18繪/2安02幻玉322練習耕：江求以籮下函臣數(shù)的紅極值Ke角y：5/舟18縣/2拋02添3235/乓18筍/2寺02改3245/蒙18落/2債02嚼325三.二階康導數(shù)餃與凹學向的故關(guān)系定義2.菜4若曲躁線弧歪位于擇其每明一點森處的攀切線梅的上徐方，姻稱此音曲線初是上凹的；若曲隨線弧斬位于瓜其每廢一點冶處的津切線松的下懸方，謝稱此癥曲線杰是下凹的；上凹(c筆on練ca想ve英u深pw鴿ar絮d)下凹(c毀on穴ca捷ve聰d送ow魄nw紡ar糧d)5/險18紐奉/2紡02項326定義2.寄4若曲舅線弧究位于才其每杯一點魂處的法切線孝的上碌方，軋稱此竹曲線肺是上凹的；若曲霸線弧拍位于背其每刮一點圾處的尊切線輸?shù)南吕宸?，溝稱此讓曲線耀是下凹的；上凹(c陪on奪ca挎ve挑u緩pw年ar槽d)下凹(c汽on替ca括ve耍d刺ow淚nw鹽ar聞d)5/觀18去/2扯02什327abcOxyABC函數(shù)女曲線壁的凹陳向（co丙nc嚼av缸it舟y）5/獸18跡/2洽02這328函數(shù)泰曲線閉的拐憶點（in伍fl捷ec桂ti陜on編p膀oi濁nt）OxyABC5/醋18恐/2對02戲329yOxABCabc

凹向俯的判杏斷＋＋－－5/箱18簽/2槍02誼330二階螺導數(shù)謙為0的點責不一托定為少其拐驅(qū)點！如何衣求拐險點5/檔18掘/2另02飼331例：求函數(shù) 的凹性和拐點。解:破(1)(2帽)劃分江區(qū)間(3王)判斷覽符號—+下凹上凹拐點欣：注意我“點毯”0∩∪5/冠18孟/2首02臂332練習澇１求曲爹線繼的凹淘向區(qū)態(tài)間與命拐點.解函數(shù)的定義域為令，解得．把定義域分成三個區(qū)間，列表如下：

因此,該曲線的拐點為和5/皂18櫻/2敢02庭333例２求曲線的拐點．解函數(shù)的定義域為，顯然時,不存在所以該曲線的拐點為5/率18奴/2共02妙334拐點拐點5/猶18及/2攻02舍335例：架一般顛耐用勞品的亂累積活銷售濾量y與時莖間t有如春下關(guān)怪系：函數(shù)馬曲線猶單調(diào)盼遞增深，表艘明：無耐用漿品的凝累積銷售溜量y是隨你時間t增加困的。5/安18越/2犯02胞3365/記18菌/2卷02鄉(xiāng)豐337函數(shù)繪的最忙大值明（最竄小值惹）是研在所土考察怎的范濫圍內(nèi)房誠所有玩函數(shù)杰值中最未大（墾最小立）的桶一個觀，相憑應(yīng)的蕉自變爹量是誰最值民點。最值懂是整暴體概萌念最值ab房誠so乒lu引teex陣tr葬em提a最大進值ab型so趙lu等te慈m印ax蟲im斥um最小枝值ab膨so秒lu脅te矮m棗in擇im稠um四.函數(shù)約的最庸大值炭與最寫小值5/聞18霧/2區(qū)02忍3381.函數(shù)貴在[a,b]上的股最值在極值通點或端點處達挪到.求函轎數(shù)最泄值的刺方法:(1)求在內(nèi)的駐點(2彩)最大創(chuàng)值最小變值內(nèi)可紛導,則其掏最值芝只能在開滾區(qū)間(a,b)5/佩18歪/2素02掉339求在[a,b]上連頌續(xù)函公數(shù)的錫最值許步驟:1）求虹出函輪數(shù)在糾區(qū)間略內(nèi)的楚極值野可疑市點;2）計鏡算區(qū)先間端杯點及缸可疑草點處牙函數(shù)靜值；3）比條較上笛述函鞭數(shù)值例的大慢小,最大洽的一敘個就隊是最杏大值,最小托的一倉個就崇是最耕小值硬。5/奇18疏/2統(tǒng)02甲340例.求函壘數(shù)在上的容最大術(shù)值和確最小蟻值.解:故函齊數(shù)在取最注小值;在及取最大值5.5/養(yǎng)18綿/2舍02治341練習佩：解：計算比較敞得5/亂18安/2拳02強342例.求函培數(shù)在上的姐最大補值和廣最小憤值.解:顯然且故函秒數(shù)在取最償小值;在及取最大值5.5/后18聲/2惕02面343一般齒地,在開稼區(qū)間竊內(nèi)的峰連續(xù)組函數(shù)語不一適定能嫁取得單最值.若在皂此點刑取極場大巴值,則也肝是最訓大煮值.(小)(小)但是,當加在某妻個區(qū)榆間內(nèi)只有雷一個栽極值安點時,2.函數(shù)弓在（a,b）上聚的最慣值對應(yīng)柜用問勁題,有時革可根煎據(jù)實錄際意族義判湖別求介出的可疑務(wù)點是扁否為若最大肝值納點或丹最小省值點.5/歉18缺/2恒02那344例將邊珠長為a的一隆正方疾形鐵象片于晃各角戲截去判相等牢的小倚正電方形,然后音折起碗各邊佳做成奸一個澡無蓋楊的盒康子,問截打去的壞小各正方剃形邊皇長為產(chǎn)多大糟時,可使慕所得撫無蓋左盒子凳容積自為最恨大?解碧：設(shè)所分截去稱的小宏正方記形邊父長為x,則是V的極填大值敵點,也是V的最嚇大值冊點.5/創(chuàng)18聰/2團02疑345例：P9父2、例10設(shè)在址公路倉的一沫側(cè)有毅兩個灰車庫A和B,它們達到公鋒路的攤距離分別遮為AC=8和BD=4公里,CD=9公里.現(xiàn)在劃打算瞧在公即路旁建仍造一攔個加航油站E,并從恰兩個遷車庫誘分別批開辟這一條不道路尿直通加幟油站E.若要患求兩勾個車叢庫到臨加油媽站的汪距離嶄總和碰最小,加油誕站E應(yīng)該肉建在光何處?車庫BDCE8km4km車庫A解：設(shè)加油站建在離C點公里處,則兩個車庫到加油站的距離總和為即加汽油站靈建在屯離C點6公里魯處,可使齡兩個是車庫雪到加撲油站漏的距抖離總匯和最餐小.(舍)5/厚18痛/2狂02犧346練習己：如下荒圖，碑鐵路甲線上AB段長10尺0公里炎，工吊廠C到鐵圍路的槍距離CA為20公里感，現(xiàn)鹽在要舍在AB上某質(zhì)一點D處，欠向C修一領(lǐng)條公柿路，槽已知聯(lián)鐵路框每噸勉公里斗的運誼費與登公路懲每噸努公里握的運集費之零比為3:黑5，為涉了使館原料喚從供蘆應(yīng)站B運到壁工廠C的運孫費最妨省，D點應(yīng)脆選在搶何處贊。BADC10酸0205/相18柳/2匙02損347函數(shù)詳定義主域內(nèi)付只有驢一個怠極小床值點杯，則能其為冬最小厘值點竿。所邊以x=1坑5處取芳得最蘿小值魄。5/跡18總/2庭02雕34830按00工廠練習揚：90彎0設(shè)在躲工廠距一側(cè)紡距離星工廠x米的同對岸聰處鋪覽設(shè)電淘纜成本涉：陸堆地4元/米，裹水底5元/米.即在釋距離渾電廠18紙00米處砍鋪設(shè)宏電纜,總費梯用最具小.電廠5/嚷18候/2勝02秩349(1愿)求p范圍,使銷見售額R(p)增加(減少)(2輝)求p,使R(p)最大,5/伐18握/2悶02侍3505/把18鉗/2臉02胞351例：腫已知握需求吹函數(shù)江為Q和p分別倦為商旅品的勿需求立量和鑰價格獵。（1）確拖定收倘入函和數(shù)單答調(diào)增腹加和追減少成的價懷格區(qū)廉間；（2）當扒價格汗為多不少時犁收入牽最高跑？最庭高收消入為涉多少嬌？解：5/舒18沸/2獵02和3525/宣18腫/2額02炊3535/鑼18身/2儲02擁354P1扶9614181920P1滅9832作業(yè)趙樹梅嫄5/慣18惱/2叛02仙3555/魂18桐/2候02李35653周.插Ma柿xi取mi披zi帳ngTo潔ta翠l詳Re督ve沸nu謊e.Gi文ve燙n詠th坑e薄de嶼ma醉nd聰f購un姻ct產(chǎn)io犬nwh胖er壘eQis享m羞ea佳su涼re平d站in憲u籌ni借ts禾o恩f掠te尋n醫(yī)th瓦ou折sa間nd確a代ndpis姓m惕ea適su秒re露din壇t驢en潔t期ho勺us斷an埋d彎d渡ol若la急rsDe消te煎rm器in響e慚th始e駕ra腥ng輝e撇of盤p漸ri予cepsu趙ch途t探ha尖t墊th扎e談to摔ta神l餓re件ve稈nu遇e尚is感i射nc敬re抗as你in事g咳an郵d初de礎(chǔ)cr待ea泛si登ng咐,糠re眾sp擇ec洪ti鴉ve廊ly鼻.(b)Wh麻atpr戚ic璃e辱pe換r盜un妖it拌m顛us齒t運be笑c社ha貢rg內(nèi)ed勵i敲n蛇or裁de步r平toma辮xi凳mi旅ze農(nóng)t和he禾t宮ot堤al敗r恰ev堆en田ue漿?這Wh在at溪i宗s令th封e愚ma字xi揚mu煎m羞to途ta君l商re粘ve孕nu緒e?(a婆)(b簽)5/決18碌/2聾02凳3575/哲18箭/2皇02泡3585/踢18櫻/2均02劃359單調(diào)擊性的電判別然法5/杠18輩/2兔02件360在x=0處可搜導在x=0處導娃數(shù)不功存在補充蹈：導數(shù)蔽不存搞在點在x=0處導饞數(shù)不琴存在5/憶18拘/2駝02絕361哪些深點導菠數(shù)不哭存在待（不肝可導號）？abcdefg5/臘18腐/2物02納362一階禍導數(shù)蔥為零錘的點象（駐袍點）和導袍數(shù)不益存在訴的點原，都可無能是蹈函數(shù)贏單調(diào)區(qū)間葡的分揮界點經(jīng)。單調(diào)裙區(qū)間宮的分堪界點臨界己點（Cr混it漢ic股al鍋P決oi粒nt）(1誦)一階術(shù)導數(shù)最為0的點(駐點)；(2推)一階盤導數(shù)罷不存爸在的扔點。5/警18岔/2劃02建363例4.求函抽數(shù)裳的單敏調(diào)區(qū)元間。解：①令得(駐點)②當幻玉時，悉不存袋在。計則(不可群導點)（1）定肯義域姻為R，23+_+下結(jié)酷論：旗所以..秀.（3）劃貧分區(qū)磚間討劫論：（2）求慣導數(shù)上，解哲臨界繞點：5/跡18觀/2跟02昂364例2、解:注意:單調(diào)而性是思函數(shù)盲在一披個區(qū)啟間上愉的性去質(zhì)，己要用奶導數(shù)出在這際一倉區(qū)掌間上配的符窄號來筍判定笨，而咱不能良用一層點處譜的導牲數(shù)瘦符號嶺來牧判別遮。5/暫18廚/2透02聾365練習建：求以攪下函渴數(shù)的死單調(diào)屬區(qū)間（1）（2）（3）5/縮慧18羊/2郊02捉366（1）函郊數(shù)的單緒調(diào)區(qū)權(quán)間.解：公（1）求領(lǐng)定義排域：函數(shù)艱定義降域為R，令得故的單調(diào)增加區(qū)間為的單調(diào)減少區(qū)間為（2）求預導數(shù)汗，解貓臨界略點：（3）劃鏈分區(qū)摟間討碰論：5/睜18衣/2潤02啦367（2）函丹數(shù)的單巾調(diào)區(qū)荒間.令得故的單調(diào)籌增加區(qū)間面為的單調(diào)孫減少區(qū)間離為解:函數(shù)晨定義原域為R，5/能18鴿/2爭02壇368（3）函掌數(shù)的單飄調(diào)區(qū)什間.解:函數(shù)絹定義洗域為x>毀0，x=1為駐點；x=0為不可似導點（但梢不在屈定義才域內(nèi)枕，舍使去）；下結(jié)豎論：所以..卷.5/嶺18歸/2烤02途369-1，0，1，增胡減減接增5/亡18居/2附02蜓370三.輩函數(shù)悅的極蛛大值虹和極投小值1.定義:P衡84(1歌)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2憐)則稱為的極小值點,稱為函數(shù)的極小值

.極大閘值與捏極小涌值統(tǒng)偶稱為極值,極大局值點懷與極賺小值溜點統(tǒng)龜稱為極值遲點.5/哲18寸/2龍02催371極大炮值極小哀值統(tǒng)稱為極值。極值為是一份個局部的概街念！極大嶺值re庭la行ti針ve群m午ax便im月um極小抬值re捎la扮ti流ve暗m其in授im禾um極值re魔la披ti職veex甜tr綁em劈燕a5/伶18合/2根02證372是極康值點2.極值訂的條陷件是駐點或不可嘉導點增減增減函數(shù)劣單調(diào)分區(qū)間旨的分傍界點貧一定當是極單值點擠。函數(shù)尺的極在值點刮恰好陣是函楊數(shù)f(陽x)在其發(fā)左右糞附近由單鎮(zhèn)調(diào)增趙加（百減少值）變罷為單娛調(diào)減斜少（型增加臂）的齒轉(zhuǎn)折曬點。5/晉18渾/2頁02槍373是極堡值點2.極值紋的條脂件是駐點或不可要導點5/蔬18母/2栗02竊374函數(shù)衡極值(r靠el嫌at品iv飛eex盾tr盡em升a)求法(1話)確定茅函數(shù)涌定義假區(qū)森間欣；(3昨)用臨端界點荒劃分梳函數(shù)患定義吩區(qū)間群為部粒分區(qū)在間相；(2裕)求導嘩數(shù)吵確餡定臨界曲點（若可疑冷點）；(4父)在各污部分基區(qū)間辟內(nèi)判擋斷導纏數(shù)的梨正負還性，龍得出氧函數(shù)悅的單調(diào)鍵性；(5半)檢查廁在片臨界夕點左懲右的斷符號洲（即銅判斷墾函數(shù)在臨嗓界點救左右憂單調(diào)做性的壇變化巡壽）：左正右負極大號值左負右正極小紙值左右龍同號不是本極值5/它18蜘/2允02鎮(zhèn)375例1.求函波數(shù)篇的極值。解：①令得(駐點)②當向時，參不存現(xiàn)在。賤則(不可寇導點)（1）定期義域吊為R，23+_+（3）劃選分區(qū)廉間討嘗論：（2）求允導數(shù)丙，解想臨界賊點：是極炕大值脆點，韻極大活值為是極幸小值喚點，素極小呈值為不存判在023/摩25/效18禍/2暗02勵376練習再（1）函屯數(shù)的極值.解：函數(shù)谷定義創(chuàng)域為R，令得002-2是極嘉大值迷點，合極大紋值為是極曬小值鑒點，譜極小泄值為5/絕18覽/2孤02街377（2）函排數(shù)的極值.令得解:函數(shù)哥定義卵域為R，0021是極永大值桶點，鎖極大震值為是極校小值扣點，丹極小退值為5/斤18烈/2壇02觀378練習.求函鋪數(shù)的極扎值.解:1)求導勇數(shù)2)求駐影點令得3)列表磚判別是極辣大值啄點，其極惑大值虛為是極均小值納點，其極柔小值貓為79證：同理煎可證(2娃)定理2.敵7(函數(shù)卡極值移判別疤法Ⅱ)5/準18討/2施02魚380定理2.坑7(函數(shù)炸極值奇判別吐法Ⅱ)例、5/判18謀/2弄02劉381解:注意:5/白18莖/2興02局382∩∪∪5/勻18您/2犁02體383四.狀函數(shù)戲的最充大值距和最碗小值1、函貪數(shù)的泄最大標值（泡最小抬值）決是在猶所考脊察的哀范圍狐內(nèi)所由有函良數(shù)值中最摟大（猜最小輸）的淘一個煮，相舍應(yīng)的掘自變爺量是咳最值拆點。最值暖是整輪體概貧念最值ab崗so座lu吸teex像tr事em虜a最大糠值ab梯so素lu否te媽m毛ax報im打um最小嫩值ab眠so辟lu年te援m部in棉im侍um5/寺18態(tài)/2放02翻384定義2.夠4若曲壟線弧船位于腐其每技一點央處的援切線物的上戲方，昆稱此艘曲線賣是上凹的；若曲傻線弧面位于央其每肥一點毫處的弱切線哭的下距方，令稱此欲曲線雄是下凹的；上凹(c斑on躲ca野ve們u博pw蓄ar吳d)下凹(c漫on妥ca布ve樹d浴ow矮nw侍ar娘d)四.堵函數(shù)線曲線獸的凹摧向和姑拐點5/永18另/2丙02腔385定義2.奴4若曲旁線弧逼位于資其每午一點喊處的載切線夜的上狂方，隙稱此擇曲線朵是上凹的；若曲躲線弧要位于武其每慢一點曲處的訊切線似的下錄方，膽稱此像曲線圈是下凹的；上凹(c油on沖ca胸ve藝u王pw幟ar銅d)下凹(c敗on娘ca條ve緊d令ow誼nw刮ar獨d)5/泄18熊/2著02石386abcOxyABC一、陣函皇數(shù)曲摧線的告凹向獄（co勺nc桂av估it扎y）5/昌18拿/2館02燃387二、跨函數(shù)儀曲線糖的拐曉點（in跑fl載ec鈴ti衫on階p桿oi測nt）OxyABC5/踢18扎/2寺02免388yOxABCabc

三、殼凹向昏的判增斷＋＋－－5/瘦18猛/2休02聚3895/抬18事/2爹02納390二階仁導數(shù)揚為0的點惹不一袋定為毛其拐宏點！四、陸如本何求重拐點5/狹18情/2至02尤391例：求函數(shù) 的凹性和拐點。解:諒(1)(2犁)劃分泰區(qū)間(3耀)判斷驕符號—+下凹上凹拐點盒：注意溉“點撇”0∩∪5/仁18逆/2束02彈392練習共１求曲畢線演的凹此向區(qū)憲間與駕拐點.解函數(shù)的定義域為令，解得．把定義域分成三個區(qū)間，列表如下：

因此,該曲線的拐點為和5/吩18借/2來02相393例２求曲線的拐點．解函數(shù)的定義域為，顯然時,不存在所以該曲線的拐點為5/艦18閑/2涉02朝394拐點拐點5/耗18昨/2惹02京395小結(jié)兔：函數(shù)看的單芹調(diào)區(qū)病間函數(shù)炭的極角值最遠值函數(shù)削的凹魄向拐半點5/濫18債/2縮慧02說396作業(yè)極值喬：P1騎06內(nèi)/9悔(1狹)(途3)仍(5作)(口7)單調(diào)投區(qū)間傭：P1伙06繡/溜105/銅18兼/2揀02累3975/醫(yī)18虜/2賭02脅398課堂做練習嘆：5/臣18錄/2蠻02動3995/料18擴/2綿02躲310篇0(k為某院一常騰數(shù))例.鐵路殼上AB段的蜜距離與為10類0繁km滿,工廠C距A處20AC⊥AB干,要在AB線上族選定誼一點D向工恥廠修水一條已知餐鐵路欣與公獨路每諷公里給貨運積價之周比為3:5誕,為使障貨D點應(yīng)墓如何菌選取?20解:設(shè)則令得又所以為唯一的極小殃點,故AD=1懸5畝km時運受費最晉省.總運虜費物從B運到珠工廠C的運蔬費最軍省,從而長為最衫小點,問km肚,公路,5/薦18豈/2鑼02麗310當1敵人盈乘汽蓮車從救河的符北岸A處以1千米/分鐘朝的速讀度向黎正北典逃竄故，同綿時我診軍摩廁托車獻從河銳的南餓岸B處向匪正東都追擊放速度鐮為2千米/分鐘襪．問撇我軍從摩托午車何閃時射綢擊最在好（見相距敗最近繞射擊口最好裳）？例解(1傳)建立牧敵我涌相距物函數(shù)否關(guān)系敵我傲相距健函數(shù)5/構(gòu)18任/2仙02待310槍2得駐雙點實際呢問題騎求最熱值應(yīng)牌注意:(1日)建立計目標呢函數(shù);(2顆)求最啊值;5/壩18鼓/2戶02輔310勒3例某房艱地產(chǎn)詠公司唉有50套公榮寓要塵出租者，當球租金奮定為殃每月18連0元時溝，公極寓會沉全部船租出斗去．沾當租效金每救月增狠加10元時船，就余有一橋套公書寓租疲不出絲式去，飾而租奶出去亦的房允子每戒月需梯花費20元的嘴整修噸維護隆費．嘴試問掃房租賠定為膠多少熱可獲棚得最哀大收奪入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月光總收餐入為5/非18尋/2聽02減310下4（唯旬一駐非點）故每要月每奇套租朝金為35宰0元時牧收入握最高時。最大倡收入求為極大掛值5/扣18重/2均02委310綿5如：但通過拾導數(shù)逝可看脈出：見函數(shù)剩在0點的隔任何貫鄰域茫內(nèi)都餓不單較調(diào)。5/卸18獅/2痕02言310包6請大摸家回劇家練裙習：極值零：P1少06全/9袍(1殖)(訪3)咐(5面)(提7)微分漫：P1耽10改/疾27繡-3籮0單調(diào)成區(qū)間倆：P1寬06溝/短105/貓18迷/2辭02晚310勵7例2.某旅逆行團，20天的極行程酬每人雙繳交帶費用60杜00笨0元，攤這是諒已有10松0人參帝加的忘情況貝下。必倘若濤旅行經(jīng)社同瞎意每捉增加虛一人戴則每危人少瘡收20開0元，橫試問句旅客猾人數(shù)承為若鏟干時姥旅行稅社可寺以得相到最材大利榮益?解:假設(shè)詢旅客末人數(shù)塵為標人時艦旅行倆社的他最大村利益為他，則令旅客碎人數(shù)肯為20時0人時賢旅行惡社的泊最大崖利益竭為元，旋此時茂每人遞繳交40傻00擱0元?！?/琴18苦/2虛02涉310場85/吹18月/2廊02扯310忍9例解例5/素18數(shù)/2純02玩311斜0練習柔：求兄下列榮函數(shù)y的微編分5/只18甲/2偽02膜311慕15/型18烤/2杜02德311央25/右18雷/2剃02鞋311雜3MNT）P微分喉的幾奧何意址義5/丟18趟/2飯02痰311診4微分股的應(yīng)宋用:近似寶計算P1制05旦,7怨(3礎(chǔ))求ln禾1.排01的近似凡值5/抹18殿/2鳳02接311屋5已知呼正方央形邊壁長，當故邊長儲有一稅個小輔的增殃量，求程此正糾方形腹面積須的改允變量近似工值為杏多少迅？微分寇的應(yīng)侮用5/坊18據(jù)/2辜02菠311艦65/掘18昂/2亂02要311獸75/刪18斜/2耽02滑311鵝85/婆18礙/2捧02彈311努9微分芬形式麥不變?yōu)┬栽O(shè)及都可導,則復合函數(shù)的微分為上式采說明底無論擔是u自變得量還抖是中拉間變隱量其巷微分尾形式于不變,這一性質(zhì)少稱為微分底形式趕不變皺性.5/天18支/2謙02們312型0例在下客列等照式左柴端的借括號載中填惜入適臉當?shù)捻灪瘮?shù),使等悼式成量立.解(1烤)我們霸知道可見一般地,有(C為任意常數(shù))5/極18晉/2饞02吃312個1(2堪)(C為任意常數(shù))5/務(wù)18啞/2糖02鞏312瞧2作業(yè)P14熊7：5.（3,酷4,池5,礦6）補予充題飽：5，6，8復合錦、隱愁函數(shù)纖求導筍：P9我4：2（1，2，3，5）7（1，3），10（1，2）P9友7：2（2，4）微分母及其件應(yīng)用別：P1洗05：2（2，3，4，6），3（1，2）經(jīng)濟尸應(yīng)用勁：P1休45：1；P1郊46，4補充楚題：9—劈燕—1領(lǐng)65/懷18倍/2態(tài)02駱312允3解:例4率.4嶄.1推廣5/雖18輸/2噸02蠢312香4解:例4臺.4問.2例4財.4或.3解:5/茅18拿/2哈02辭312膊53.復合其函數(shù)雙的求醫(yī)導法炒則利用獵上述早公式執(zhí)及法眾則初地等函播數(shù)求邊導問盈題可脖完全陳解決.注意:初等番函數(shù)城的導誰數(shù)仍萬為初及等函示數(shù).例4釣.4盟.4解:5/帳18求/2巷02熔312蒼6設(shè)函數(shù)有導數(shù)（1）若x是自變量時，三、漲一階襪微分墾的形苗式不腸變性（2）若x是中允間變筆量時估，即緞是另澆一變柿量t的可春微函網(wǎng)數(shù)則.5/產(chǎn)18晝/2啊02恐312逢7結(jié)論：不論x是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分形式總是.例4.恨4.其5設(shè),求.解:例4.齒4.趨6設(shè)，求.5/血18若/2昌02脖312悔8四、山隱函氣數(shù)的暗導數(shù)解:定義4.趨4.炊1由方程所確定的函數(shù)稱為膜隱函臺數(shù)。隱函數(shù)的顯化問題:隱函煌數(shù)不敲易顯聚化或啦不能牽顯化遙如何于求導?5/彎18鉛/2黃02蹄312陡9隱函特數(shù)求荷導法身則:用復懼合函絮數(shù)求妖導法腿則直煎接對雁方程厘兩邊凱求導,或利屢用一路階微虹分的撞形式槳不變記性對錦方程謊兩邊悲求微績分.例4.濾4.卵7的導憲數(shù).解:法一魄、方帆程兩溉邊對x求導(注:y看成x的函若數(shù))求由方程確定的隱函數(shù)5/讓18攻/2妥02晶313珍0法二道、方瓜程兩宗邊同續(xù)時求遵微分例4.夏4.儀8設(shè)曲線C的方程為，5/孕18晶/2表02涼313件1求過C上點的切線方程，并證明曲線C在該點顯然桑通過烏原點.解:所求切線方程為的法儉線通下過原毛點.5/臟18珠/2村02沈