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OBA切線的性質(zhì)定理1.圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑幾何符號(hào)語(yǔ)言:∵AB是⊙O的切線,B為切點(diǎn)∴AB⊥OBAlo
根據(jù)切線的性質(zhì),遇到切點(diǎn),連接半徑,這是在圓中添加輔助線的常用方法之一(知切線,連半徑)方法技巧
重點(diǎn)回顧根據(jù)切線性質(zhì),我們經(jīng)常要做的輔助線是什么?常見問題:證明線段(邊)、角相等;求線段(邊)的長(zhǎng)、角的度數(shù);證明線段比例;求周長(zhǎng)、面積等。常用解題的方式及技巧:(1)利用互余知識(shí)直接得角相等,進(jìn)一步推出邊相等、平行;或求角度數(shù);或依靠角相等得三角形全等、相似(得出線段比例,進(jìn)一步得到線段相等或求出線段長(zhǎng))。(2)有角平分線、兩邊相等(常見于兩半徑),必得線段平行。(3)反之知道線段平行、兩邊相等(常見于兩半徑),可證出角平分線。(4)較難點(diǎn),在求線段長(zhǎng)時(shí),通常假設(shè)一邊為x,通過相似成比例,用x表示另一邊,并把已知、未知數(shù)據(jù)集中到一個(gè)三角形,用勾股定理解之??谠E:有切線,連半徑;用互余,得角等;角平分,邊相等,證平行;知平行、邊相等,得平分(角);較難時(shí),用相似,得比例;設(shè)未知,巧轉(zhuǎn)移,用勾股,求線長(zhǎng);圓弧長(zhǎng),扇面積,三公式,要牢記,解答題,需靠它。例題欣賞我思,我進(jìn)步!例.如圖,直角梯形ABCD中,∠A=900,AD//BC,E為AB的中點(diǎn),以AB為直徑的圓與邊CD相切于點(diǎn)F.試猜想CE,DE的位置關(guān)系以及CD與AD,BC的數(shù)量關(guān)系,說明理由.ABCDEF解:CE⊥DE
,CD=AD+BC.
連結(jié)EF∵∠A=
900,∴AD與⊙E相切.∵CD與⊙E相切.∴∠FDE=∠ADC,AD=DF12
同理得:∠ECF=∠BCD,CF=BC12∵AD//BC∴∠ADC+∠BCD=1800.∴∠EDF+∠ECF=900.∴∠DEC=900.∴CE⊥DE
∴
CD=DF+CF=AD+BC.∴CE⊥DE,CD=AD+BC123OBACD例2.
如圖,AB為⊙O的直徑,,AD是和⊙O相切于點(diǎn)A的切線,⊙O的弦BC平行于OD.求證:DC是⊙O的切線4Ao二.圓的切線的判定定理是什么?切線的判定方法有哪幾種?
(1)
當(dāng)已知條件中沒有明確給出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),常過圓心作該直線的垂線段,證明該垂線段的長(zhǎng)等于半徑,也就是“
”。切線的判定方法
(2)當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí),常連結(jié)過該公共點(diǎn)的半徑,證明該半徑垂直于這條直線,也就是“
”。經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.CD無交點(diǎn),作垂直,證半徑有交點(diǎn),連半徑,證垂直口訣:無交點(diǎn),作垂直,證半徑;有交點(diǎn),連半徑,證垂直。重點(diǎn):要引入一個(gè)直角或證得一個(gè)90度。一)、有交點(diǎn),連半徑,證垂直(一)利用角度轉(zhuǎn)換證垂直1.如圖,AB是⊙O的弦,OD⊥OB,交AB于點(diǎn)E,且AD=ED.求證:AD是⊙O的切線.解:連接OA.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB.又∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,而∠DEA=∠BEO,∠B+∠BEO=90°,∴∠DAE+∠OAB=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O的切線二、無交點(diǎn),作垂直,證半徑1.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),以D為圓心的圓與AB相切于點(diǎn)E.求證:AC與⊙D相切.
解:連接DE,過D作DF⊥AC于點(diǎn)F
易證△BDE≌△CDF,
∴DF=DE,∴AC與⊙O相切F2.如圖,AB是⊙O的直徑,AM,BN分別切⊙O于點(diǎn)A,B,CD交AM,BN于點(diǎn)D,C,DO平分∠ADC.(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若AD=4,BC=9,求⊙O的半徑R.
解:(1)過O作OE⊥CD于點(diǎn)E.∵AM切⊙O于點(diǎn)A,∴OA⊥AD,又∵DO平分∠ADC,∴OE=OA,∴CD是⊙O的切線(2)連接OC,易證Rt△OAD≌Rt△OED(HL),∴AD=ED,∠AOD=∠EOD,同理可證Rt△OBC≌Rt△OEC得BC=EC,∠BOC=∠EOC,∴∠DOC=90°,DC=AD+BC=13,由勾股定理可得OD2=R2+42
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