2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資料專題6 立體幾何（文科）解答題30題 含答案

2023屆全國甲卷+全國乙卷高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提分復(fù)習(xí)資料專題6立體幾何（文科）解答題30題1．（貴州省貴陽市2023屆高三上學(xué)期8月摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在直三棱柱中，，，，M，N分別是，的中點．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．2．（廣西普通高中2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且.(1)求證：平面平面；(2)求多面體的體積.3．（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)求點到平面的距離.4．（新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中點，點F在PC上，且．(1)證明：平面PAB；(2)求三棱錐的體積．5．（新疆阿克蘇地區(qū)柯坪湖州國慶中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示，已知平面，，分別是，的中點，．(1)求證：平面；(2)求證：；6．（內(nèi)蒙古烏蘭浩特第一中學(xué)2022屆高三全真模擬文科數(shù)學(xué)試題）如圖在梯形中，，，，為中點，以為折痕將折起，使點到達點的位置，連接，(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時，求點到平面的距離.7．（山西省運城市2022屆高三5月考前適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)（文）試題（A卷））如圖，四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面為矩形，，，.(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積.8．（黑龍江省八校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，，點D是AB的中點．(1)求證：平面；(2)若底面ABC邊長為2的正三角形，，求三棱錐的體積．9．（青海省西寧市2022屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，是圓錐的頂點，是底面圓心，是底面圓的一條直徑，且點是弧的中點，點是的中點，，．(1)求圓錐的表面積；(2)求證：平面平面．10．（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點E為棱PC的中點．(1)證明：平面⊥平面PCD；(2)求四棱錐的體積；11．（江西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在正三棱柱中，，D，E分別是棱BC，的中點.(1)證明：平面平面.(2)求點到平面的距離.12．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（文）試題）在三棱錐中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在底面ABC上的射影為棱BC的中點O，且PB與底面ABC所成角為，點M為線段PO上一動點.(1)證明：；(2)若，求點M到平面PAB的距離.13．（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為圓柱的一條母線，P為的中點，Q為的中點，(1)若，證明：平面；(2)設(shè)，圓柱的側(cè)面積為，求點B到平面的距離.14．（江西省吉安市2023屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，．(1)證明：平面平面PAC；(2)若，求點D到平面PBC的距離．15．（江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗收考試（2月聯(lián)考）數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在長方體中，，，點E在棱上，且．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．16．（新疆兵團地州學(xué)校2023屆高三一輪期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖1，在等腰梯形中，，，分別是，，的中點，，將沿著折起，使得點與點重合，平面平面，如圖2．(1)證明：平面．(2)求點到平面的距離．17．（寧夏銀川市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖1，在直角梯形中，，點在上，且，將沿折起，使得平面平面（如圖2）.(1)求點到平面的距離；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.18．（陜西省漢中市2023屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量第一次檢測文科數(shù)學(xué)試題）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.(1)求證：；(2)求點到平面的距離.19．（內(nèi)蒙古赤峰市2022屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，．(1)證明：平面；(2)若，求四棱錐的體積．20．（內(nèi)蒙古2023屆高三仿真模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，，是棱的中點.(1)證明：平面；(2)若是棱的中點，，求點到平面的距離.21．（山西省晉中市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，平面平面.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積.22．（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期三模文科數(shù)學(xué)試題）已知三角形是邊長為2的正三角形，現(xiàn)將菱形沿折疊，所成二面角的大小為120°，此時恰有.(1)求的長；(2)求三棱錐的體積.23．（陜西省聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三下學(xué)期第一次大聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面是長方形，，，二面角為，點為線段的中點，點在線段上，且.(1)平面平面；(2)求棱錐的高.24．（陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：；(2)求點A到平面的距離.25．（陜西省寶雞教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（五）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，四邊形是邊長為2的菱形，為等邊三角形，，E為BC的中點，D為的中點，P為線段AC上的動點．(1)若平面，請確定點在線段上的位置；(2)若點為的中點，求三棱錐的體積．26．（山西省運城市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，點M是AB的中點，點N是線段BC上的動點．(1)證明：平面PAB；(2)若點N到平面PCM的距離為，求的值．27．（2020屆河南省許昌濟源平頂山高三第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐中，，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離.28．（青海省海東市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，,是棱的中點.(1)證明：平面平面.(2)求點到平面的距離.29．（河南省十所名校2022-2023學(xué)年高三階段性測試（四）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐P—ABCD中，，，．(1)證明：；(2)若，，，且點到平面的距離為，求的長．30．（河南省部分重點中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月開學(xué)聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別是和的中點.(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.專題6立體幾何（文科）解答題30題1．（貴州省貴陽市2023屆高三上學(xué)期8月摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在直三棱柱中，，，，M，N分別是，的中點．

(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；（2）利用等體積公式，轉(zhuǎn)化為，即可求解體積.【詳解】（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，且平面平面，因為，，且點是的中點，所以平面，又因為平面，所以；（2）三棱錐,由條件可知是等腰直角三角形，，所以，點到平面的距離，.2．（廣西普通高中2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且.(1)求證：平面平面；(2)求多面體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直證明面面垂直；（2）利用割補法分別計算四棱錐與三棱錐的體積，再求和即可.【詳解】（1）如圖所示，連接，平面，平面，，四邊形為菱形，，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）如圖所示，取中點，連接，四邊形為菱形，且，，，平面，平面，，又，且，平面，平面，所以四棱錐的體積為，又因為平面，所以三棱錐的體積，所以幾何體的體積.3．（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，.(1)證明：平面平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明；(2)利用，求得點B到平面的距離.【詳解】（1）證明：取的中點，連接交于，連接，，因為是菱形，所以，且是的中點，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因為，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）設(shè)到平面的距離為，因為平面，平面,所以,因為,平面，所以平面，且平面,所以,因為，，所以，所以,,,所以且,所以,取中點為，連接,因為是菱形，，所以為等邊三角形，所以,且,又因為平面，平面,所以,且平面,所以平面,又因為,因為，即,所以.4．（新疆烏魯木齊地區(qū)2023屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，E是PD的中點，點F在PC上，且．(1)證明：平面PAB；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）在線段上取點，使得，進而證明即可證明結(jié)論；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，即可得到本題答案.【詳解】（1）證明：在線段上取點，使得，所以，在中，，且，因為在四邊形中，，，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）作交于點，因為面，所以，又，與交于點，所以面，，又，所以，所以，所以，得，因為為中點，所以5．（新疆阿克蘇地區(qū)柯坪湖州國慶中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖所示，已知平面，，分別是，的中點，．(1)求證：平面；(2)求證：；【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】1）根據(jù)中位線定理，可得，即可由線面平行的判定定理證明平面；（2）由已知推導(dǎo)出，再由，得平面，由此能證明；【詳解】（1），分別是，的中點，，平面，且平面，平面；（2）平面，，分別是，的中點，，，平面，平面，平面，.6．（內(nèi)蒙古烏蘭浩特第一中學(xué)2022屆高三全真模擬文科數(shù)學(xué)試題）如圖在梯形中，，，，為中點，以為折痕將折起，使點到達點的位置，連接，(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意易證，，從而得到平面，再根據(jù)面面垂直的判定即可證明平面平面.（2）利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)換求解即可.（1）在梯形中，，所以，在中，，，所以，所以，即，梯形為直角梯形.因為，，，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）因為平面平面，，所以平面，又平面，所以，所以，即為等邊三角形.取的中點，連接，如圖所示：因為，為中點，所以.因為平面平面，，所以平面，因為，，設(shè)到平面的距離為，因為，所以，解得.即點到平面的距離為.7．（山西省運城市2022屆高三5月考前適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)（文）試題（A卷））如圖，四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面為矩形，，，.(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可證，易證，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；（2）因為，由（1）可知平面，由此可知是三棱錐的高，再根據(jù)，由此即可求出結(jié)果.（1）證明：中，因為，，，所以.所以，又側(cè)面為矩形，所以，又，，平面.所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因為，平面，所以平面，易得，，，，所以的面積.三棱錐的體積.8．（黑龍江省八校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，，點D是AB的中點．(1)求證：平面；(2)若底面ABC邊長為2的正三角形，，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）連接交于點E，連接DE，由三角形中位線定理，得，進而由線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，依題意，高為CD，再求底面的面積，進而求三棱錐的體積.【詳解】（1）連接交于點E，連接DE∵四邊形是矩形，∴E為的中點，又∵D是AB的中點，∴，又∵平面，平面，∴面．（2）∵，D是AB的中點，∴，又∵面ABC，面ABC，∴．又∵面，面，，∴面，∴CD為三棱錐的高，，又∵，，∴，，∴三棱錐的體積．9．（青海省西寧市2022屆高三二模數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，是圓錐的頂點，是底面圓心，是底面圓的一條直徑，且點是弧的中點，點是的中點，，．(1)求圓錐的表面積；(2)求證：平面平面．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出側(cè)面積，再求出底面積相加即可得解；（2）通過證明平面，可得平面平面.（1）圓錐的側(cè)面積，底面積，故表面積.（2）證明：由圓錐的性質(zhì)知，平面，因為平面，所以，因為是底面圓的一條直徑，所以又是的中點，所以，又，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面．10．（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，⊥，，，，點E為棱PC的中點．(1)證明：平面⊥平面PCD；(2)求四棱錐的體積；【答案】(1)證明見解析；(2)1.【分析】（1）作出輔助線，由線面垂直得到線線垂直，由勾股定理得到各邊長，得到和，從而得到線面垂直，證明面面垂直；（2）求出四棱錐的體積，進而由E為棱PC的中點得到四棱錐的體積.【詳解】（1）∵在四棱錐中，底面，平面ABCD，∴PA⊥AB，∵，，∴，，且，過點B作BM⊥CD于點M，連接AE，則，，由勾股定理得：，故PB=BC，又點為棱的中點，，由勾股定理得，∵△PAC為直角三角形，E為PC的中點，∴，∵，∴由得，又，故，又，所以平面⊥平面；（2）四邊形ABCD的面積為，故，∵點為棱的中點，∴.11．（江西省部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在正三棱柱中，，D，E分別是棱BC，的中點.(1)證明：平面平面.(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理證明；(2)根據(jù)等體積法求解.【詳解】（1）證明：由正三棱柱的性質(zhì)，所以，則，因為，所以，即.因為，D是棱BC的中點，所以.由正三棱柱的定義可知平面ABC，則.因為BC，平面，且，所以平面.因為平面，所以.因為AD，平面，且，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）連接.因為，所以的面積.由正三棱柱的性質(zhì)可知平面，則點到平面的距離為AD.因為是邊長為2的等邊三角形，所以，故三棱錐的體積.因為，E是的中點，所以，，則的面積.設(shè)點到平面的距離是d，則三棱錐的體積.因為，所以，解得.12．（廣西玉林、貴港、賀州市2023屆高三聯(lián)合調(diào)研考試（一模）數(shù)學(xué)（文）試題）在三棱錐中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在底面ABC上的射影為棱BC的中點O，且PB與底面ABC所成角為，點M為線段PO上一動點.(1)證明：；(2)若，求點M到平面PAB的距離.【答案】(1)見解析；(2).【分析】（1）由三線合一得，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得，最后根據(jù)線面垂直的判定定理得到面，則；（2）設(shè)點到平面的距離為,點到面的距離為，利用等體積法有，即，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求出，則.【詳解】（1）分別連接，，為中點，為等邊三角形，點在底面上的投影為點，平面，平面，，又平面平面，面，面，.（2）設(shè)點到平面的距離為,點到面的距離為，，為在底面上的投影,為與面所成角，，垂直平分，，為正三角形，，Rt中，易得，，到的距離為，，又，由，，，，點到平面的距離為13．（廣西南寧市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)檢數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，D，O是圓柱底面的圓心，是底面圓的內(nèi)接正三角形，為圓柱的一條母線，P為的中點，Q為的中點，(1)若，證明：平面；(2)設(shè)，圓柱的側(cè)面積為，求點B到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，再證明進而由線面垂直的判定定理可得平面，從而得證平面.（2）利用由等積法求解即可【詳解】（1）∵D，O為圓柱底面的圓心，∴平面.而為圓柱的一條母線，∴.又∵P為的中點，Q為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴.又∵P在上，而平面，∴O為P在內(nèi)的投影，且是圓內(nèi)接正三角形.∴三棱錐為正三棱錐.∴，∴，即.∵，平面.∴平面，∵，∴平面.（2）設(shè)點B到面的距離為h，設(shè)圓柱底面半徑為r，由母線及圓柱的側(cè)面積為，得，解得，則.在中，，則，，又，且，∴，解得.故點B到平面的距離為.14．（江西省吉安市2023屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，．(1)證明：平面平面PAC；(2)若，求點D到平面PBC的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，由及直線與平面垂直的判定定理得平面PAC，再由平面與平面垂直的判定定理證明平面平面PAC；（2）由（1）得，，由平面與平面垂直的性質(zhì)定理，平面ABCD，利用等體積法，求得D到平面PBC的距離.【詳解】（1）證明：取AB的中點為E，連接CE，由，可知四邊形ADCE是平行四邊形，所以，∴點C在以AB為直徑的圓上，所以，又，，且PA，平面PAC，所以平面PAC，又平面PBC，所以平面平面PAC．（2）因為平面PAC，平面PAC，所以，由，，得，又因為，，，，因為平面PAC，又平面ABCD，平面平面PAC，連接DE交AC于點O，則O為AC的中點，連接PO，則，．因為平面平面PAC，平面平面，所以平面ABCD，設(shè)點D到平面PBC的距離為d，由得，，所以．15．（江西省部分學(xué)校2023屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗收考試（2月聯(lián)考）數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在長方體中，，，點E在棱上，且．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】(1)通過證明平面得到.(2)將三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積求解.【詳解】（1）因為是長方體，所以平面，因為平面，所以，因為，面A1DC，所以平面，因為平面，所以.（2）在平面中，由得，所以，所以，所以，所以，所以，因為平面，所以平面，所以DC為三棱錐的高，所以.16．（新疆兵團地州學(xué)校2023屆高三一輪期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)（文）試題）如圖1，在等腰梯形中，，，分別是，，的中點，，將沿著折起，使得點與點重合，平面平面，如圖2．(1)證明：平面．(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明平面平面，再由性質(zhì)得出平面；（2）以的中點為坐標原點建立坐標系，由向量法得出點到平面的距離.【詳解】（1）因為，分別是，的中點，所以.又四邊形是菱形，所以，.因為平面，平面，所以平面.同理可證平面，因為平面.所以平面平面，又平面，所以平面.（2）取的中點為，連接，由題意易知，因為平面平面，平面平面，平面所以平面，所以以點為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系設(shè)平面的法向量為，，取，則則點到平面的距離17．（寧夏銀川市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（文）試題）如圖1，在直角梯形中，，點在上，且，將沿折起，使得平面平面（如圖2）.(1)求點到平面的距離；(2)在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】(1)應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直,再應(yīng)用等體積法,計算距離即可;(2)因為平面,可求得分的比例關(guān)系,根據(jù)(1)即可求得三棱錐的高,計算即可求得三棱錐的體積.【詳解】（1）取中點，因為，所以.因為平面平面，平面平面平面，所以平面.在直角三角形中，.,.（2）存在點，此時，過點作，連接因為，所以所以四邊形EFPC為平行四邊形，所以因為平面平面，所以平面.因為，所以由（1）知平面，點到平面的距離,.18．（陜西省漢中市2023屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量第一次檢測文科數(shù)學(xué)試題）如圖，多面體中，四邊形為菱形，平面，且.(1)求證：；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)進行推理即可得解；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化法即可求解.【詳解】（1）證明：平面，平面，四邊形為菱形，，又，平面平面，平面（2）平面，，由四邊形為菱形，，可得，，設(shè)點到平面的距離為，則，由可得，解得.點到平面的距離為.19．（內(nèi)蒙古赤峰市2022屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，．(1)證明：平面；(2)若，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析.(2)【分析】（1）根據(jù)題干中的已知條件結(jié)合菱形的性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）在中，利用余弦定理求得的值，在中，利用勾股定理證明，即可證明為四棱錐的高，利用棱錐的體積公式計算即可.(1)解：如圖，記與的交點為，連接.因為底面為菱形，故，為、的中點，，又，故，所以，故，又,故平面.(2)解：因為，在中，由余弦定理得：，解得：.同理.又，故為等邊三角形，則，，,所以.在中，，，，故，所以，又，，故平面.所以四棱錐的體積為.20．（內(nèi)蒙古2023屆高三仿真模擬考試文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，，，，是棱的中點.(1)證明：平面；(2)若是棱的中點，，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直判定可證得平面，進而得到；利用勾股定理和線面垂直的判定得到平面，從而得到；利用勾股定理可證得，由此可得結(jié)論；（2）設(shè)點到平面的距離為，利用等體積轉(zhuǎn)換的方式，由，結(jié)合棱錐體積公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1）連接，，，，又，，為棱中點，，又，，平面，平面，又平面，；在直角梯形中，取中點，連接，，，又，，，四邊形為正方形，，，，又，，，，平面，平面，平面，；，，，，又，平面，平面.（2），，，，由（1）知：平面，，則點到平面的距離，；，，，分別為棱中點，，，，，，，，，由余弦定理得：，則，，設(shè)點到平面的距離為，，解得：，即點到平面的距離為.21．（山西省晉中市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在三棱錐中，為等腰直角三角形，，，平面平面.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由勾股定理可得，結(jié)合為等腰直角三角形，可得平面，進而得到.（2）考慮到條件平面平面，故以△ABC為底面，△ABP底邊AB上的高為體高進行求解.(1)證明：∵，，，∴，∵為等腰直角三角形，，∴又∵，平面.∴平面.∵平面，∴命題得證.(2)解取的中點.連接（如圖）.∵為等腰直角三角形，，∴，，.又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.又∵平面.∴，由（1）得，，，平面∴平面.又∵平面，∴∴，∴∴.所以三棱錐的體積為.22．（山西省太原市2022屆高三下學(xué)期三模文科數(shù)學(xué)試題）已知三角形是邊長為2的正三角形，現(xiàn)將菱形沿折疊，所成二面角的大小為120°，此時恰有.(1)求的長；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）取中點，連接，先證明平面，進而得到再計算的長即可；（2）根據(jù)為二面角的平面角可得三棱錐的高，進而利用體積轉(zhuǎn)換求三棱錐的體積即可（1）取中點，連接，∵是正三角形，∴，又∴∴平面，∴，故為等腰三角形又菱形，故，，∴，故（2）由（1）知，為二面角的平面角，∴∵AD⊥平面PMC，∴平面PAD⊥平面PMC．交線為PM.故三棱錐的高∵∴23．（陜西省聯(lián)盟學(xué)校2023屆高三下學(xué)期第一次大聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面是長方形，，，二面角為，點為線段的中點，點在線段上，且.(1)平面平面；(2)求棱錐的高.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明線面垂直，再利用面面垂直的判定進行證明；（2）利用等體積法求解棱錐的高.【詳解】（1）∵，∴.又，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）如圖，作于，于，連接，∵平面，平面，∴；∵,面ABCD，∴平面；∵平面，∴；∵，面EHM，∴平面面EHM，∴.設(shè)棱錐的高為，∵平面，∴，∵二面角為，∴.∵底面是長方形，，，點為線段的中點，且.∴，，，.∴，∵，∴，∴棱錐的高.24．（陜西省榆林市2023屆高三上學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：；(2)求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，證明平面，得線線垂直；（2）利用體積法求點面距：．【詳解】（1）取的中點，連接.因為，所以.又，所以.又，所以為正三角形，所以.因為，且在平面內(nèi)，所以平面.又平面，所以.（2）因為，所以.又，所以，則.由，得，故，連接，則.因為平面底面，平面，所以平面，則連接.因為，所以，在中，到的距離，則.設(shè)點A到平面的距離為，由，得，解得，即點到平面的距離為.25．（陜西省寶雞教育聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（五）文科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，四邊形是邊長為2的菱形，為等邊三角形，，E為BC的中點，D為的中點，P為線段AC上的動點．(1)若平面，請確定點在線段上的位置；(2)若點為的中點，求三棱錐的體積．【答案】(1)點P是線段AC上靠近點C的四等分點(2)【分析】（1）連接與DE相交于，連接，連接交于點，由線面平行的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形相似得到，，從而得到，即可得到，從而得解；（2）取的中點，連接，，即可得到，再由面面垂直的性質(zhì)得到平面，求出的長度，即可得到點到平面的距離，從而得到點到平面的距離，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】（1）解：如圖，連接與相交于，連接，連接交于點，∵平面，平面平面，平面，∴，∵，，∴，，又，所以，∵，，∴，∴點是線段上靠近點的四等分點；（2）解：如圖，取的中點，連接，，∵四邊形為邊長為2的菱形，，∴，為等邊三角形，∵，為等邊三角形，∴，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又由，為的中點，為的中點，可得，∵四邊形為邊長為2的菱形，為等邊三角形，，∴，∵D為的中點，平面平面，∴點到平面的距離與點到平面的距離相等，∴，∵為的中點，∴點到平面的距離為，∴三棱錐的體積為．26．（山西省運城市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，，，，，點M是AB的中點，點N是線段BC上的動點．(1)證明：平面PAB；(2)若點N到平面PCM的距離為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接AC，通過證明，即可得平面PAB；（2）過點作，垂足為，利用可得的值，則可得答案.【詳解】（1）證明：連接AC在中，因為，，，所以，因為，，所以是等邊三角形．因為點是的中點，所以，在中，，，，滿足，所以，而，所以平面；（2）過點作，垂足為，由（1）可知平面，因為平面，所以平面平面，平面平面，所以平面．由得，，解得，所以.27．（2020屆河南省許昌濟源平頂山高三第二次質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱錐中，，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明平面，由線面垂直的性質(zhì)定理可得，由線面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直的判定定理證明平面平面即可.（2）由，利用等體積法，即可求出點到平面的距離.【詳解】（1）解：取、的中點分別為、，連結(jié)，，，因為，，所以四邊形為梯形，又、為、的中點，所以為梯形的中位線，所以，又，所以，因為，為