高中數(shù)學(xué)人教高中必修第三章三角恒等變換必修四兩角差的余弦公式

學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.2.理解用向量法導(dǎo)出公式的主要步驟.3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計算.NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引自主學(xué)習(xí)題型探究達(dá)標(biāo)檢測1自主學(xué)習(xí)PARTONE知識點(diǎn)兩角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(1)適用條件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式結(jié)構(gòu)：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號與左邊角的連接符號相反.1.存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.(

)2.任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(

)3.任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(

)4.任意角α，β，cosα－cosβ＝cos(α－β).(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×√×2題型探究PARTTWO題型一利用兩角差的余弦公式化簡求值例1

計算：(1)cos(－15°)；解方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.反思感悟利用兩角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，利用公式直接求解.(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值.跟蹤訓(xùn)練1

(2018·廣安期末)cos80°·cos35°＋sin80°·cos55°的值是√解析cos80°·cos35°＋sin80°·cos55°＝cos80°·cos35°＋sin80°·sin35°題型二給值求值√所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)反思感悟給值求值問題的解題策略(1)從角的關(guān)系中找解題思路：已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中的角的關(guān)系，根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.③2α＝(α＋β)＋(α－β).④2β＝(α＋β)－(α－β).∴cos2α＝cos[(α＋β)－(β－α)]＝cos(α＋β)cos(β－α)＋sin(α＋β)sin(β－α)題型三給值求角又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα引申探究cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinαcosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα反思感悟求解給值求角問題的一般步驟(1)求角的某一個三角函數(shù)值.(2)確定角的范圍.(3)根據(jù)角的范圍寫出所求的角.＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)兩角差的余弦公式的應(yīng)用核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG典例如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn).(2)在(1)的條件下，求cos(β－α)的值.∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα素養(yǎng)評析從已給信息得出角α，β的正弦、余弦值是解決本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了從圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念的思想，這正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的具體表現(xiàn).3達(dá)標(biāo)檢測PARTTHREE1.(2018·濱州期末)cos165°等于√12345解析cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)√12345又α，β均為銳角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β).于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα3.(2018·河南商丘九校聯(lián)考)cos(－40°)·cos20°－sin(－40°)sin(－20°)＝______.12345解析原式＝cos(－40°)cos20°＋sin(－40°)sin20°＝cos(－40°－20°)＝cos(－60°)＝cos60°12345解∵α，β均為銳角，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ5.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，α，β∈(0，π)且a⊥b，求α－β的值.12345解因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝0.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.“給式求值”或“給值求值”問題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式或某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時需運(yùn)用拆