北師大一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理教學(xué)目標(biāo)

1．熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運用它由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知系數(shù)。2．通過根與系數(shù)的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力；3．通過本節(jié)課的教學(xué)，向?qū)W生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律.．重點、難點分析本節(jié)的重點是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因為學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，在處理有關(guān)一元二次方程的問題時，就會多一些思路和方法，同時，也為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ).二、重點·難點·疑點及解決辦法1．教學(xué)重點：根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)。2．教學(xué)難點：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系。3．教學(xué)疑點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系。

4．解決辦法；在實數(shù)范圍內(nèi)運用韋達(dá)定理，必須注意△≥0這個前提條件，而應(yīng)用判別式的前提條件是方程必須是一元二次方程，即二次項系數(shù)a≠0因此，解題時，要根據(jù)題目分析題中有沒有隱含條件a≠0△≥0ax2+bx+c=0(a≠0)復(fù)習(xí)提問1寫出一元二次方程的一般式2一元二次方程求根公式。X1,2=用配方法解一般形式的一元二次方程把方程兩邊都除以解:移項，得配方，得即一、真實感知過程：(a≠0）即該式叫一元二次方程的求根公式當(dāng)

b2-4ac≥0該方法叫公式法一般形式的一元二次方程一、真實感知：(a≠0）當(dāng)△=

b2-4ac<0該方程無解：如何利用該萬能公式？當(dāng)△=b2-4ac=02-bX=a\當(dāng)△=b2-4ac>01）把一元二次方程化成一般式；用公式法解一元二次方程的一般步驟:（2）確定出a,b,c

的值；（3）求出△的值（或代數(shù)式）并且a,b,ca之間沒有公因數(shù)，且二次項系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計算較為簡便。4）當(dāng)△=b2-4ac>0時，能求出方程的兩個不相等的實數(shù)根。當(dāng)△=

b2-4ac=0時，能求出方程的兩個相等的實數(shù)根。當(dāng)△=

b2-4ac<0時，該方程沒有實數(shù)根。1、m取什么值時，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個相等的實數(shù)解五、智力挑戰(zhàn)2、已知方程(2a-1)x2-8x+6=0沒有實數(shù)根,則a的最小整數(shù)值是多少?用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?、(x-2)（3x-5）=12、3x2=5x+21、2x2-4x-1=0若x1，x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系。韋達(dá)定理的證明：X1+x2=+==-X1x2=●===如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：（韋達(dá)定理）注：能用韋達(dá)定理的前提條件為△≥0韋達(dá)（1540－1603）△=韋達(dá)定理的作用：（一：驗根）判定留下列寄各方套程后絨面的兩個五數(shù)是取不是舊它的夜兩個冰根。123二、爸求兩淋根之改和與浮兩根車之積溝：1、x2-2漂x-燭1=截02、2x2-3瞇x+蓮=臭03、2x2-展6x睡=哲04、3x2=膽4x1+x2=2x1x2=-南1x1+x2=3x1+x2=0x1x2=0x1+x2=x1x2=x1x2=-已知遇方程5x2+kx-醉6=葉0的一根射是2，求彩它的花另一裳根及k的值。三、翠已知勵方程到一根踢，求篇另一名根。∴∴

法1∵

2是方程的根法2、已憂知方短程x2-(面k+特1)懲x+嬸3k糊=0的一個潛根是2幟,求它的喝另一疼個根鹽及k的值傳。解二裕：設(shè)方程落的另圣一個句根為x1.由韋可達(dá)定認(rèn)理，枯得x1＋2房誠=蜂k+鴿1x1●2=驅(qū)3咽k解這齊方程陷組，佩得x1=－面3k跨=－蛇2答：皂方程剖的另暗一個仍根是泥－3為,朵k的值顆是－2。X1，x2是方襪程2x腦2+乎4x妙-5存=0的兩洋根則X12+x22=—栗—(X1+1恨)(x2+1醒)=餃__炭__四、顏可以鄙求其賄它有紀(jì)關(guān)式蒙子的撇值：∴x12+x22＝(跑x1＋x2)2-2稠x1x2＝(格-曲2煙)2–2獲(-推2.陵5)=4患+5=9∴(x1+1聽)(敢x2+1缺)=顏x1x2+猾(x1+x2)+瘋1=-挑2.別5+秤(-素2戴)+巨1=-禮3.庭56、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1,x2。

求：(1)(2)x12+x22解：由題歪意可職知x1+x2=疾-明,糞x1·x2=-敏3(1供)===∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2(2羊)嘗∴x12+x22＝(伍x1＋x2)2-2青x1x2＝(-蠻)2-2救×(持-3歡)＝6小結(jié)尋：用算公式智法解憤一元社二次圈方程館的解修的情伯況1）當(dāng)△=b2-4a宅c>宅0時，培能求錢出方煤程的接兩個龜不相放等的雹實數(shù)慈根。當(dāng)△=b2-4a銳c=竊0時，浴能求環(huán)出方紙程的釘兩個符相等照的實熊數(shù)根村。當(dāng)△=b2-4a隸c<誦0時，檔該方此程沒苦有實楊數(shù)根椒。2根與揪系數(shù)遍的關(guān)雕系ax筒2+姜bx次+c俗=0有根鏟的前苗提（a≠0△≥供0)兩根途為x1，x2，那么作用C：由的已知餃一元宣二次豆方程鋒的一唯個根圍求出船另一遮個根或夸未知邀系數(shù)2作用A：判大定解弟方程狹的結(jié)騎果是熔不是按它的民兩個液根。利用B：求瞞兩根偉的和顧，兩揪根的罷積作用D：求薄出其器它有鄉(xiāng)豐關(guān)式蛾子的做值（2）已隨知方啊程4x支2+伸3x撥-2康=0的兩靈根是x1，x2，則x1+x2=——x1x2=—矩—（3）一崇元二見次方觀程5x你2+斥kx兄-6者=0的一坐個根是粉非負(fù)陽數(shù)，則它態(tài)的另突一根殺是__憲__川__欠_，k是——差——4、已睡知方讀程3x2－19際x+良m=克0的一個忽根是1，求供它的催另一亮個根給及m的值。5、設(shè)x1,x2是方顧程2x2＋4x－3=著0的兩個主根，散求(x1+1梁)(遍x2+1疤)的值簡。解：亂設(shè)方休程的擺另一擊個根蕩為x1,則x1+1=,∴x1=,又x1●1=,∴m=定3程x1=貼16解：由韋達(dá)定理，得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=6關(guān)于x的方量程X2和-(蛇2m競+1麗)x+身m=鳳0的兩筆根之悅和與加兩根丘之積揀相等室，則m=卵__字__推__董__南__跌_（7）一東元二土次方都程x2只+5摔x+競k=宣0的兩森實根牧之差遙是3，則k=欄——拓廣宋探索1、當(dāng)k為何拜值時拉，方疾程2x2-(曾k+馬1)舞x+對k+候3=獎0的兩萍根差杏為1。解：逆設(shè)方授程兩蠅根分除別為x1,x2(x1>x2)，則x1-x2=1∵(x2-x1)2=(墊x1+x2)2-4魂x1x2由韋達(dá)定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9省,k2=秀-3當(dāng)k=賣9或-3時，毛由于△≥0，∴k的值冶為9或-3。你會建做嗎約？你會決做嗎炒？已知x1,x2是方避程3x2+p舞x+步q=射0的兩葛個根訓(xùn)，分別乖根據(jù)爭下列臣條件蕩求出p和q的值:(1懶)就x1=1,睡x2=2(2揮)李x1=3,仰x2=巾-6(3伶)病x1=-以,擋x2=(4原)坐x1=-2所+昂,勉x2=際-2拿-由韋管達(dá)定撕理，步得解：x1+x2=底-術(shù),額x1·x2=∴p截=世-3折(x1+x2)吵q=疑3肺x1·x2(1恢)p園=幼-9控q腿=懸6(2夠)p跡=典9覺q戶=殊-5臭4(3槳)p明=邀0傻q診=鄰-2憑1(4魚)p劇=迷12田q因=利-31以戶，謙為根言的一元似二次獄方程定是（考）BADC作業(yè)單：（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)