2023年高考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)（新教材）第五章 三角函數(shù)（公式、定理、結(jié)論圖表）（新教材）

2023年高考數(shù)學(xué)必背知識(shí)手冊(cè)（新教材）第五章

三角函數(shù)（公式、定理、結(jié)論圖表）1．角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．2．角的表示如圖，(1)始邊：射線的起始位置OA，(2)終邊：射線的終止位置OB，(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.這時(shí)，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”．3．任意角的分類(1)按旋轉(zhuǎn)方向分(2)按角的終邊位置分①前提：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．②分類：4．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．思考：終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？提示：終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角，終邊相同．5．度量角的兩種單位制(1)角度制：①定義：用度作為單位來(lái)度量角的單位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360).(2)弧度制：①定義：以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制．②1弧度的角：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角．6．弧度數(shù)的計(jì)算思考：比值eq\f(l,r)與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？提示：一定大小的圓心角α所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無(wú)關(guān)．7．角度制與弧度制的換算8．一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π9.扇形的弧長(zhǎng)和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則(1)弧長(zhǎng)公式：l＝αR.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.10．單位圓在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓．11．任意角的三角函數(shù)的定義(1)條件在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，α∈R它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么：(2)結(jié)論①y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)；②x叫做α的余弦函數(shù)，記作cos_α，即cosα＝x；③eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tan_α，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(3)總結(jié)eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，正切函數(shù)我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．12．正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域三角函數(shù)定義域sinαRcosαRtanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))13.正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)(1)圖示：(2)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．14．誘導(dǎo)公式一15．平方關(guān)系(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.(2)語(yǔ)言敘述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1.16．商數(shù)關(guān)系(1)公式：eq\f(sinα,cosα)＝tan_α(α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z)．(2)語(yǔ)言敘述：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．思考：對(duì)任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？提示：成立．平方關(guān)系中強(qiáng)調(diào)的同一個(gè)角且是任意的，與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)．17.誘導(dǎo)公式二(1)角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如圖所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α.18．誘導(dǎo)公式三(1)角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．如圖所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α.19．誘導(dǎo)公式四(1)角π－α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．如圖所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α.思考：(1)誘導(dǎo)公式中角α只能是銳角嗎？(2)誘導(dǎo)公式一～四改變函數(shù)的名稱嗎？提示：(1)誘導(dǎo)公式中角α可以是任意角，要注意正切函數(shù)中要求α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.(2)誘導(dǎo)公式一～四都不改變函數(shù)名稱．20．誘導(dǎo)公式五(1)角eq\f(π,2)－α與角α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，如圖所示．(2)公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin_α.21．誘導(dǎo)公式六(1)公式五與公式六中角的聯(lián)系eq\f(π,2)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).(2)公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α.思考：如何由公式四及公式五推導(dǎo)公式六？提示：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα.coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα.22．正弦曲線正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象叫正弦曲線．23．正弦函數(shù)圖象的畫(huà)法(1)幾何法：①利用單位圓畫(huà)出y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象；②將圖象向左、右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)．(2)五點(diǎn)法：①畫(huà)出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲線連接；②將所得圖象向左、右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度)．24．余弦曲線余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫余弦曲線．25．余弦函數(shù)圖象的畫(huà)法(1)要得到y(tǒng)＝cosx的圖象，只需把y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度即可．(2)用“五點(diǎn)法”畫(huà)余弦曲線y＝cosx在[0,2π]上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．思考：y＝cosx(x∈R)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象平移得到的原因是什么？提示：因?yàn)閏osx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，所以y＝sinx(x∈R)的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位可得y＝cosx(x∈R)的圖象．26．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么這個(gè)函數(shù)的周期為T(mén).(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．27．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)28.單調(diào)性與最值解析式y(tǒng)＝sinxy＝cosx圖象值域[－1,1][－1,1]單調(diào)性在eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)))＋2kπ，k∈Z上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)))＋2kπ，k∈Z上單調(diào)遞減在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上單調(diào)遞減最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z時(shí)，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z時(shí)，ymin＝－1思考：y＝sinx和y＝cosx在區(qū)間(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是減函數(shù)，你能確定m的最小值、n的最大值嗎？提示：由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性可知m＝eq\f(π,2)，n＝π.29.正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)＝tanx圖象定義域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))值域R周期π奇偶性奇函數(shù)對(duì)稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z單調(diào)性在開(kāi)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z內(nèi)都是增函數(shù)30.兩角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β適用條件公式中的角α，β都是任意角公式結(jié)構(gòu)公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反31．兩角和與差的余弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R32.兩角和與差的正弦公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈R33.重要結(jié)論－輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同時(shí)為0)，其中cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).34、兩角和與差的正切公式名稱簡(jiǎn)記符號(hào)公式使用條件兩角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1兩角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－135．二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2αsin2α＝2sin_αcos_αC2αcos2α＝cos2α－sin2αT2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)36.余弦的二倍角公式的變形37．正弦的二倍角公式的變形(1)sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα).(2)1±sin2α＝(sin_α±cos_α)2.38.半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))，(4)taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2cos\f(α,2),cos\f(α,2)·2cos\f(α,2))＝eq\f(sinα,1＋cosα)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝eq\f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cos\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq\f(1－cosα,sinα).39．φ對(duì)y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響40．ω(ω＞0)對(duì)y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響41．A(A＞0)對(duì)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響42．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中參數(shù)的物理意義43．解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：(1)審清題意；(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論．<解題方法與技巧>一、角的有關(guān)概念的判斷1．理解角的概念的關(guān)鍵與技巧：(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．2．象限角的判定方法：(1)在坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限．(2)第一步，將α寫(xiě)成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判斷β的終邊所在的象限；第三步，根據(jù)β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限．提醒：理解任意角這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”．典例1：(1)給出下列說(shuō)法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上)．(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．①420°.②855°.③－510°.(1)①[①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確；②－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②錯(cuò)誤；③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯(cuò)誤；④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯(cuò)誤．](2)[解]作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．二、終邊相同的角的表示及應(yīng)用1．在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過(guò)如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．2．運(yùn)用終邊相同的角的注意點(diǎn)所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．提醒：表示終邊相同的角，k∈Z這一條件不能少．典例2：(1)將－885°化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)寫(xiě)出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)－885°與k·360°，k∈Z的關(guān)系確定k.(2)先寫(xiě)出與α終邊相同的角k·360°＋α，k∈Z，再由已知不等式確定k的可能取值．(1)(－3)×360°＋195°[－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.](2)[解]與α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴3eq\f(11,36)≤k＜6eq\f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4,5,6.k＝4時(shí)，β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5時(shí)，β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6時(shí)，β＝6×360°－1910°＝250°.三、任意角終邊位置的確定和表示1．表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．2．nα或eq\f(α,n)所在象限的判斷方法：(1)用不等式表示出角nα或eq\f(α,n)的范圍；(2)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)確定角nα或eq\f(α,n)所在象限．例如：k·120°＜eq\f(α,3)＜k·120°＋30°，k∈Z.由0°＜eq\f(α,3)＜30°，每次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°可得eq\f(α,3)終邊的位置．提醒：表示區(qū)間角時(shí)要注意實(shí)線邊界與虛線邊界的差異．典例3：(1)若α是第一象限角，則－eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角(2)已知，如圖所示．①分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(\A\AL(由α的范圍寫(xiě),出\f(α,2)的范圍))→eq\x(\A\AL(確定\f(α,2)是第,幾象限角))→eq\x(根據(jù)角終邊的對(duì)稱性確定－\f(α,2)是第幾象限角)(2)①eq\x(觀察圖形)→eq\x(確定終邊落在OA，OB位置上的角)②eq\x(\A\AL(由小到大分別標(biāo)出起始,和終止邊界對(duì)應(yīng)的角))→eq\x(\A\AL(加上360°的整數(shù),倍，得所求集合))(1)D[因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵詋·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋45°，k∈Z，所以eq\f(α,2)是第一、三象限角，又因?yàn)椋璭q\f(α,2)與eq\f(α,2)的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，所以－eq\f(α,2)是第二、四象限角．](2)[解]①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．四、角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法1關(guān)鍵：抓住互化公式πrad＝180°是關(guān)鍵；2方法：度數(shù)×EQ\f(π,180)＝弧度數(shù)；弧度數(shù)×EQ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)；3角度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度.典例4:(1)①將112°30′化為弧度為_(kāi)_______．②將－eq\f(5π,12)rad化為角度為_(kāi)_______．(2)已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝eq\f(7π,12)rad，試比較α，β，γ，θ，φ的大小．(1)①eq\f(5π,8)rad②－75°[(1)①因?yàn)?°＝eq\f(π,180)rad，所以112°30′＝eq\f(π,180)×112.5rad＝eq\f(5π,8)rad.②因?yàn)?rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，所以－eq\f(5π,12)rad＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°.](2)法一(化為弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,12)rad，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)rad＝eq\f(7π,12)rad.顯然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化為角度)：β＝eq\f(π,10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝105°.顯然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.五、用弧度數(shù)表示角1．弧度制下與角α終邊相同的角的表示：在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍．2．根據(jù)已知圖形寫(xiě)出區(qū)域角的集合的步驟：(1)仔細(xì)觀察圖形．(2)寫(xiě)出區(qū)域邊界作為終邊時(shí)角的表示．(3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角．提醒：角度制與弧度制不能混用.典例5：(1)終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))(2)用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角θ的集合．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(\A\AL(判斷角α的,終邊位置))→eq\x(\A\AL(用弧度制表示,角α的集合))(2)eq\x(在[0，2π內(nèi)找角表示終邊落在第一象限陰影內(nèi)的角)→eq\x(加kπk∈Z表示角θ的集合)(1)D[因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a，a)(a≠0)，所以角α的終邊落在直線y＝x上，所以角α的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).](2)[解]因?yàn)?0°＝eq\f(π,6)rad,210°＝eq\f(7π,6)rad，這兩個(gè)角的終邊所在的直線相同，因?yàn)榻K邊在直線AB上的角為α＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，而終邊在y軸上的角為β＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，從而終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)<θ<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).六、弧度制下解決扇形相關(guān)問(wèn)題的步驟：(1)明確弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)αr2和S＝eq\f(1,2)lr.(這里α必須是弧度制下的角)(2)分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式．(3)根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解．提醒：看清角的度量制，恰當(dāng)選用公式．典例6：(1)如圖所示，以正方形ABCD中的點(diǎn)A為圓心，邊長(zhǎng)AB為半徑作扇形EAB，若圖中兩塊陰影部分的面積相等，則∠EAD的弧度數(shù)大小為_(kāi)_______．(2)已知扇形OAB的周長(zhǎng)是60cm，面積是20cm2，求扇形OAB的圓心角的弧度數(shù)．[思路點(diǎn)撥](1)先根據(jù)兩塊陰影部分的面積相等列方程再解方程求∠EAD的弧度數(shù)．(2)先根據(jù)題意，列關(guān)于弧長(zhǎng)和半徑的方程組，再解方程組求弧長(zhǎng)和半徑，最后用弧度數(shù)公式求圓心角的弧度數(shù)．(1)2－eq\f(π,2)[設(shè)AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S陰影BCD，由題意可得eq\f(1,2)×12×α＝12－eq\f(π×12,4)，∴解得α＝2－eq\f(π,2).](2)設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝60，,\f(1,2)lr＝20，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝15＋\r(205)，,l＝\f(40,15＋\r(205))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝15－\r(205)，,l＝\f(40,15－\r(205))，))∴扇形的圓心角的弧度數(shù)為eq\f(l,r)＝43－3eq\r(205)或43＋3eq\r(205).七、由角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值的步驟：(1)已知角α的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．②在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)．則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．(2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別，若正、負(fù)未定，則需分類討論．典例7：(1)已知角θ的終邊上有一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，則sinθ＋tanθ的值為_(kāi)_______．(2)已知角α的終邊落在直線eq\r(3)x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(依據(jù)余弦函數(shù)定義列方程求x)→eq\x(依據(jù)正弦、正切函數(shù)定義求sinθ＋tanθ)(2)eq\x(\A\AL(判斷角α的,終邊位置))→eq\x(\A\AL(分類討論求sinα，,cosα，tanα))(1)eq\f(3\r(10)＋30,10)或eq\f(3\r(10)－30,10)[因?yàn)閞＝eq\r(x2＋9)，cosθ＝eq\f(x,r)，所以eq\f(\r(10),10)x＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又x≠0，所以x＝±1，所以r＝eq\r(10).又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．當(dāng)θ為第一象限角時(shí)，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝3，則sinθ＋tanθ＝eq\f(3\r(10)＋30,10).當(dāng)θ為第二象限角時(shí)，sinθ＝eq\f(3\r(10),10)，tanθ＝－3，則sinθ＋tanθ＝eq\f(3\r(10)－30,10).](2)[解]直線eq\r(3)x＋y＝0，即y＝－eq\r(3)x，經(jīng)過(guò)第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)(－1，eq\r(3))，則r＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2，所以sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3)；在第四象限取直線上的點(diǎn)(1，－eq\r(3))，則r＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2)，cosα＝eq\f(1,2)，tanα＝－eq\r(3).八、判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略：1基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限；2關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào)；3注意：用弧度制給出的角常常不寫(xiě)單位，不要誤認(rèn)為角度導(dǎo)致象限判斷錯(cuò)誤.提醒：注意巧用口訣記憶三角函數(shù)值在各象限符號(hào).典例8：(1)已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第四象限，則角α終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)判斷下列各式的符號(hào)：①sin145°cos(－210°)；②sin3·cos4·tan5.[思路點(diǎn)撥](1)先判斷tanα，cosα的符號(hào)，再判斷角α終邊在第幾象限．(2)先判斷已知角分別是第幾象限角，再確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，最后判斷乘積的符號(hào)．(1)C[因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα>0，,cosα<0，))由此可判斷角α終邊在第三象限．](2)[解]①∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.②∵eq\f(π,2)＜3＜π，π＜4＜eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)＜5＜2π，∴sin3＞0，cos4＜0，tan5＜0，∴sin3·cos4·tan5＞0.九、利用誘導(dǎo)公式一進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的步驟1定形：將已知的任意角寫(xiě)成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z.2轉(zhuǎn)化：根據(jù)誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化為求角α的某個(gè)三角函數(shù)值.3求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數(shù)值.典例9：求值：(1)tan405°－sin450°＋cos750°；(2)sineq\f(7π,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))coseq\f(13π,3).[解](1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,6)＋taneq\f(π,4)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(5,4).十、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決給值求值問(wèn)題的方法：1已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值，要注意公式的合理選擇，一般是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系.2若角α所在的象限已經(jīng)確定，求另兩種三角函數(shù)值時(shí)，只有一組結(jié)果；若角α所在的象限不確定，應(yīng)分類討論，一般有兩組結(jié)果.提醒：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時(shí)，要注意有關(guān)角終邊位置的判斷，確定所求值的符號(hào).典例10：(1)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝________.(2)已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程組求cosα.(2)先由已知條件判斷角α是第幾象限角，再分類討論求sinα，tanα.(1)－eq\f(\r(5),5)[由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα＜0，所以cosα＝－eq\f(\r(5),5).](2)[解]∵cosα＝－eq\f(8,17)＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).十一、靈活應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值1．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.2．已知tanα＝m，求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的值解決這類問(wèn)題需注意以下兩點(diǎn)：(1)一定是關(guān)于sinα，cosα的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式；(2)因?yàn)閏osα≠0，所以可除以cosα，這樣可將被求式化為關(guān)于tanα的表示式，然后代入tanα＝m的值，從而完成被求式的求值．提醒：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根據(jù)角的終邊位置，利用三角函數(shù)線判斷它們的符號(hào)．典例11：(1)已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，則tanα＝________.(2)已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，計(jì)算下列各式的值．①eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；②sin2α－2sinαcosα＋1.[思路點(diǎn)撥](1)法一：eq\x(求sinαcosα)→eq\x(求sinα－cosα)→eq\x(求sinα和cosα)→eq\x(求tanα)法二：eq\x(求sinαcosα)→eq\x(弦化切構(gòu)建關(guān)于tanα的方程)→eq\x(求tanα)(2)eq\x(求tanα)→eq\x(換元或弦化切求值)(1)－eq\f(12,5)[法一：(構(gòu)建方程組)因?yàn)閟inα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因?yàn)棣痢?0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5).由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5).](2)[解]由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化簡(jiǎn)，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一(換元)原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二(弦化切)原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).②原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).十二、三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法1化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.2對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.3對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.提醒：在應(yīng)用平方關(guān)系式求sinα或cosα?xí)r，其正負(fù)號(hào)是由角α所在的象限決定，不可憑空想象.典例12：(1)化簡(jiǎn)eq\f(2sin2α－1,1－2cos2α)＝________.(2)化簡(jiǎn)eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα)).(其中α是第三象限角)[思路點(diǎn)撥](1)將cos2α＝1－sin2α代入即可化簡(jiǎn)．(2)首先將tanα化為eq\f(sinα,cosα)，然后化簡(jiǎn)根式，最后約分．(1)1[原式＝eq\f(2sin2α－1,1－21－sin2α)＝eq\f(2sin2α－1,2sin2α－1)＝1.](2)[解]原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|).又因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所以sinα＜0.所以原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,－sinα)＝－1.十三、應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明1．證明恒等式常用的思路是：(1)從一邊證到另一邊，一般由繁到簡(jiǎn)；(2)左右開(kāi)弓，即證左邊、右邊都等于第三者；(3)比較法(作差，作比法)．2．技巧感悟：朝目標(biāo)奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代換；(2)化切為弦；(3)多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的應(yīng)用(分解因式)．提醒：解決此類問(wèn)題要有整體代換思想．典例13：求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[思路點(diǎn)撥]解答本題可由關(guān)系式tanα＝eq\f(sinα,cosα)將兩邊“切”化“弦”來(lái)證明，也可由右至左或由左至右直接證明．[證明]法一：(切化弦)左邊＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右邊＝eq\f(sinα＋sinαcosα,sin2α)＝eq\f(1＋cosα,sinα).因?yàn)閟in2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，所以eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，所以左邊＝右邊．所以原等式成立．法二：(由右至左)因?yàn)橛疫叄絜q\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊，所以原等式成立．十四、利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟1“負(fù)化正”——用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化；2“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；3“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；4“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值.典例14：求下列各三角函數(shù)值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)法一：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).法二：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.十五、解決條件求值問(wèn)題的兩技巧1尋找差異：解決條件求值問(wèn)題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.2轉(zhuǎn)化：可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.提醒：設(shè)法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)問(wèn)題典例15：(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，則sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.eq\f(m2－1,2) B.eq\f(m2＋1,2)C.eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(化簡(jiǎn)已知和所求三角函數(shù)式)→eq\x(根據(jù)sinα±cosα，sinαcosα的關(guān)系求值)(2)eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\x(105°＋α－α－75°＝180°),\x(cosα－75°＝－\f(1,3)，α為第四象限角)))→eq\x(求sinα－75°)→eq\x(用sin180°＋α＝－sinα求值)(1)A[sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)＝eq\f(m2－1,2).](2)[解]∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)＜0，且α為第四象限角，∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).十六、三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法1合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).2切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).提醒：注意分類討論思想的應(yīng)用.典例16：設(shè)k為整數(shù)，化簡(jiǎn)：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).[思路點(diǎn)撥]本題常用的解決方法有兩種：①為了便于運(yùn)用誘導(dǎo)公式，必須把k分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論；②觀察式子結(jié)構(gòu)，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．[解]法一：(分類討論)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m(m∈Z)，則原式＝eq\f(sin2mπ－αcos[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(sin－αcosπ＋α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝eq\f(－sinkπ＋α[－coskπ＋α],－sinkπ＋αcoskπ＋α)＝－1.十七、解決化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的策略：1首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.2可以將已知式進(jìn)行變形，向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形，向已知式轉(zhuǎn)化.提醒：常見(jiàn)的互余關(guān)系有：EQ\f(π,3)－α與\f(π,6)＋α，\f(π,4)＋α與\f(π,4)－α等；常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有：EQ\f(π,3)＋θ與\f(2π,3)－θ，\f(π,4)＋θ與\f(3π,4)－θ等.典例17：(1)已知cos31°＝m，則sin239°tan149°的值是()A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值為_(kāi)_______．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(\A\AL(239°＝180°＋59°,149°＝180°－31°,59°＋31°＝90°))→eq\x(\A\AL(選擇公式,化簡(jiǎn)求值))(2)eq\x(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝\f(π,2))→eq\x(選擇公式化簡(jiǎn)求值)(1)B(2)eq\f(1,2)[(1)sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－cos231°)＝eq\r(1－m2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).]十八、三角恒等式的證明的策略1遵循的原則：在證明時(shí)一般從左邊到右邊，或從右邊到左邊，或左右歸一，總之，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則.2常用的方法：定義法，化弦法，拆項(xiàng)拆角法，公式變形法，“1”的代換法.典例18：(1)求證：eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).(2)求證：eq\f(cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tanθ.[證明](1)右邊＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))·－sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2cosθsinθ－1,cos2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ2,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝左邊，所以原等式成立．(2)左邊＝eq\f(cosθsin－θtan－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(cosθsinθtanθ,－sinθcosθ)＝－tanθ＝右邊，所以原等式成立．十九、誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為??；②看角與角間的聯(lián)系，可通過(guò)相加、相減分析兩角的關(guān)系.二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化.三看式子結(jié)構(gòu)：通過(guò)分析式子，選擇合適的方法，如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形.典例19：已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．[思路點(diǎn)撥]eq\x(解方程并根據(jù)sinα的取值范圍確定sinα的值)→eq\x(\A\AL(由同角三角函數(shù)關(guān),系式求cosα，tanα))→eq\x(用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn))→eq\x(求值)[解]方程5x2－7x－6＝0的兩根為x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2，因?yàn)椋?≤sinα≤1，所以sinα＝－eq\f(3,5).又α是第三象限角，所以cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinαcosα)·tan2α＝eq\f(cosα－sinα,sinαcosα)·tan2α＝－tan2α＝－eq\f(9,16).二十、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的初步認(rèn)識(shí)1．解決正、余弦函數(shù)的圖象問(wèn)題，關(guān)鍵是要正確的畫(huà)出正、余弦曲線．2．正、余弦曲線的形狀相同，只是在坐標(biāo)系中的位置不同，可以通過(guò)相互平移得到．3．正、余弦曲線的對(duì)稱性對(duì)稱中心對(duì)稱軸y＝sinx(x∈R)(kπ，0)，k∈Zx＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zy＝cosx(x∈R)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zx＝kπ，k∈Z提醒：對(duì)稱中心處函數(shù)值為0，對(duì)稱軸處函數(shù)值為－1或1.典例20：(1)下列敘述正確的是()①y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象關(guān)于點(diǎn)P(π，0)成中心對(duì)稱；②y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象關(guān)于直線x＝π成軸對(duì)稱；③正、余弦函數(shù)的圖象不超過(guò)直線y＝1和y＝－1所夾的范圍．A．0B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)(2)函數(shù)y＝sin|x|的圖象是()(1)D(2)B[(1)分別畫(huà)出函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]和y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象，由圖象(略)觀察可知①②③均正確．(2)y＝sin|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x≥0，,－sinx，x＜0，))結(jié)合選項(xiàng)可知選B.]二十一、用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上簡(jiǎn)圖的步驟(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出五個(gè)點(diǎn)(0，y1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y2))，(π，y3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y4))，(2π，y5)，這里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通過(guò)函數(shù)解析式計(jì)算得到的．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)，就得到正(余)弦函數(shù)y＝Asinx＋b(y＝Acosx＋b)(A≠0)的圖象．提醒：作圖象時(shí)，函數(shù)自變量要用弧度制，x軸、y軸上盡量統(tǒng)一單位長(zhǎng)度．典例21：用“五點(diǎn)法”作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖．(1)y＝1－sinx(0≤x≤2π)；(2)y＝－1＋cosx(0≤x≤2π)．[思路點(diǎn)撥]eq\x(列表：讓x的值依次取0，\f(π,2)，π，\f(3π,2)，2π)→eq\x(描點(diǎn))→eq\x(用平滑曲線連接)[解](1)①取值列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101－sinx10121②描點(diǎn)連線，如圖所示.(2)①取值列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101－1＋cosx0－1－2－10②描點(diǎn)連線，如圖所示．二十二、正弦(余弦)函數(shù)圖象的應(yīng)用1．用三角函數(shù)的圖象解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)作出y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的圖象．(2)確定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．(3)確定sinx＞a(或cosx＞a)的解集．2．利用三角函數(shù)線解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的兩個(gè)x值的終邊所在的位置．(2)根據(jù)變化趨勢(shì)，確定不等式的解集．典例22:(1)函數(shù)y＝eq\r(2sinx－1)的定義域?yàn)開(kāi)_______．(2)在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y＝sinx和y＝lgx的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sinx＝lgx的解的個(gè)數(shù)．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(列出不等式)→eq\x(畫(huà)出函數(shù)圖象)→eq\x(寫(xiě)出解集)(2)eq\x(畫(huà)出y＝sinx和y＝lgx的圖象)→eq\x(找準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)10，1)→eq\x(\A\AL(判斷兩個(gè)函數(shù)圖象,的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)))→eq\x(\A\AL(判斷方程sinx＝lgx,的解的個(gè)數(shù)))(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))[由2sinx－1≥0得sinx≥eq\f(1,2)，畫(huà)出y＝sinx的圖象和直線y＝eq\f(1,2).可知sinx≥eq\f(1,2)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2kπ≤x≤\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).](2)[解]建立平面直角坐標(biāo)系xOy，先用五點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象．描出點(diǎn)(1,0)，(10,1)，并用光滑曲線連接得到y(tǒng)＝lgx的圖象，如圖所示．由圖象可知方程sinx＝lgx的解有3個(gè)．]二十三、求三角函數(shù)周期的方法：(1)定義法：即利用周期函數(shù)的定義求解．(2)公式法：對(duì)形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A≠0，ω≠0)的函數(shù)，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)圖象法：即通過(guò)觀察函數(shù)圖象求其周期．提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq\f(π,|ω|).典例23：求下列函數(shù)的周期：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))；(2)y＝|sinx|.[思路點(diǎn)撥](1)法一：尋找非零常數(shù)T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式計(jì)算．(2)作函數(shù)圖象，觀察出周期．[解](1)法一：(定義法)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋2π))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π＋\f(π,4)))，所以周期為π.法二：(公式法)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))中ω＝2，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.(2)作圖如下：觀察圖象可知周期為π.二十四、三角函數(shù)奇偶性的判斷1．判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好的兩個(gè)方面：一看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；二看f(x)與f(－x)的關(guān)系．2．對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再判斷．提醒：研究函數(shù)性質(zhì)應(yīng)遵循“定義域優(yōu)先”的原則．典例24：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).[思路點(diǎn)撥][解](1)顯然x∈R，f(x)＝coseq\f(1,2)x，∵f(－x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x))＝coseq\f(1,2)x＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－sinx＞0，,1＋sinx＞0，))得－1＜sinx＜1，解得定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．(3)∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z.∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)．二十五、三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用1．三角函數(shù)周期性與奇偶性的解題策略探求三角函數(shù)的周期，常用方法是公式法，即將函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．2．與三角函數(shù)奇偶性有關(guān)的結(jié)論(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)；(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)為奇函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)為偶函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)．典例25：(1)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是()A．y＝cos|2x| B．y＝|sin2x|C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))(2)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)＝sinx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)[思路點(diǎn)撥](1)先作出選項(xiàng)A，B中函數(shù)的圖象，化簡(jiǎn)選項(xiàng)C、D中函數(shù)的解析式，再判斷奇偶性、周期性．(2)先依據(jù)f(x＋π)＝f(x)化簡(jiǎn)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))；再依據(jù)f(x)是偶函數(shù)和x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)＝sinx求值．(1)D(2)D[(1)y＝cos|2x|是偶函數(shù)，y＝|sin2x|是偶函數(shù)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝cos2x是偶函數(shù)，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－2x))＝－sin2x是奇函數(shù)，根據(jù)公式得其最小正周期T＝π.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,