理論力學試題庫整理版

［該試題庫啟用前絕密］ 注：［02A］表示02物師A卷，以此類推。理論力學（卷A）［02A］一、 填空題（每小題10分，共20分）1、 作平面運動的質點的加速度在極坐標系下的分量表達式為a=r—而2,a.=r0'+2將.；其中r為徑向速度大小的變化所引起的，而'+而為橫向速度的大小變化所引起的?！唬?，…」、……d/凱、況八tdL dL2、 保守系的拉格朗日方程為d-（礦）——=0，當—=0時，常稱為循環(huán)坐標，所對應的？《=瓦廠 ^ ^ —瑚 』守恒。二、 選擇題（每小題10分，共20分）1、兩個質點分別為秫］,秫2的物體用一個倔強系數(shù)為k的輕彈簧相連，放在水平光滑桌面上，如圖所示，當兩個物體相距x時，系統(tǒng)由靜止釋放，已知彈簧的自然長度為x，當物體相距％時，m1速度大小為（D）/WWVWWm2/WWVWWm2（A），（D）km 2 Vx—（A），（D）km 2 Vx—xm(m+m) 02、一個均質實心球與一個均質實心圓柱在同一位置由靜止出發(fā)沿同一斜面無滑動地滾下，則（D）（A） 圓柱先到達底部。（B） 質量大的一個先到達底部。（0半徑大的一個先到達底部。（D） 球先到達底部。（E） 同時到達底部。三、計算題（每小題20分，共60分）一 一_一 a（1—e2）】、一個質點在有心力作用下沿橢圓’=BS?運動，上式中r和0是以橢圓焦點為原點，長軸為極軸的極坐標；a表示半長軸，e表示偏心率（0<e<1），證明質點在、一一， … v1+e“近日點”處和“遠日點”處的速率之比為：—=一v1—eh解：由動量守恒r2B=h :.rO=-Y故在近日點處:v故在近日點處:v=rOi(1+e)0=0 a(1—e2)在近日點處：V2=r0=—h—(1—e)

0=兀 a在近日點處：V2=r02、圓柱半徑為我，質量為M，繞其軸作角速度為。0的轉動，然后將此圓柱無初速放在摩擦系數(shù)為目的水平桌面上，問圓柱何時開始作純滾動?解：由質心運動定理和轉動定理，物體的運動微分方程為Mx=fi紋-fRdtf=RMg可解出：X=pgtcw=—2^t+wR0wg當滿足關系x=Rw時，園柱體作無滑滾動，由此可解出t=“c 3四g3、軸為豎直而頂點向下的拋物線形光滑金屬絲，以勻角速度w繞豎直軸轉動，另一質量為m的小環(huán)套在此金屬絲上。并沿金屬絲滑動，已知拋物線的方程為x2=4ay，a為常數(shù)，試求小環(huán)的運動微分方程。解：本題可用兩種方法求解法一：用轉動參照系的物理定律列出小環(huán)的運動微分方程如下TOC\o"1-5"\h\zmx=mw2x一sin0 （1）<my=Ncos0—mg （2）由（2）式N=my+mg4s0（3）把（3）代入（1）可得：mx=mw2x—（my+mg）tg0 （4）又有，tg0=半，dx又有，tg0=半，dxy=——，y=——x=——x，y=——x2+——x，

4a4a2a 2a 2ax2、... ._x.x故有：m(1+ )x+mx2 +——mg—mw2x=04a2 4a22a

法二：用拉格朗日方程求小環(huán)的運動微分方程T=—m[（X2+y2）+久2x2]. V=mgy2L=T-V=—m[(x2+y2)+w2x2]-mgy2X2

X2

y=——4a2y二卜利用這些公式有x24a2TOC\o"1-5"\h\z. 1…“X2、 「x24a2L=—m[x2(1+ )+久2x2]一mg\o"CurrentDocument"2 4a2一、…d SL由拉格朗日方程; ）-丁=0可得dtSxSxx2 .xm（1+a）x+mx2+——mg一m^2x=0\o"CurrentDocument"4a2 4a2 2a理論力學（卷B）[02B]一、填空題（每小題10分，共20分）1、剛體作一般運動時，剛體內任意一點P的速度為V=匕+?x戶；加速度為"二氣+岑乂研'押饑『）-。2尸'：其中、表示基點的速度與加速度，己表示P點相對于基點的位矢。2、虛位移是_約束所許可的條件下，不是由于時間的改變所引起的位移：對穩(wěn)定約束，實位移是虛位移中的一個。對不穩(wěn)定約束，實位移與虛位移不一致。二、選擇題（每小題10分，共20分）1、在以加速度a向上運動的電梯內，掛著一根倔強系數(shù)為k，質量不計的彈簧，彈簧下面掛著一質量為M的物體，M處于A點，相對電梯的速度為零，當電梯的加速度突然變?yōu)榱愫?，電梯內的觀測者看到M的最大速度為（A）/、M 「 ；M,、aM.、'十十……s.,（A）aC，（B）a「77，（C）2a\j—j~，（D）：、：-;-，（E）上面四個答案都不對\k M \k2\k2、兩人各持一均勻直棒的一端，棒重W，一人突然放手，在此瞬間，另一人感到手上承受的力變?yōu)椋˙）（A）W3 （B）W4， （C）W6， （D）W2， （E）3W■■-4三、計算題（每小題20分，共60分）1、從有心力場中運動的質點的總機械能1m（r2+r202）-既=E出發(fā)，并利用在近日點處。=0,r=0r

解：由E=少2也=/-史2 r2r2 r又r=~~史3,0=0,r=P1+ecos0我們可得到：h2又—=k2Ph2 mkh2又—=k2PE=&m一(1+e)2— 所以有E=m竺i(1+e)2—(1+e)pL2可解出e可解出e=1+竺(h)2

mk22、質量為2、質量為m，長為2a的均勻棒AB，用鉸鏈固定在A點，棒從水平位置在鉛直面內無初速開始運動，當棒在重力作用下，通過與豎直位置成45。時，求棒的角速度。解：由機械能守恒1/①2=mgasin450匕I=—ml2=-m(2a)2=—ma23 33、在一光滑水平直管中，有一質量為m的小球，此管以恒定角速度瓦繞通過管子的一端的堅直軸轉動，如果起始時，球距離轉動軸的距離為a，球相對管子的速度為零。用拉格朗日方程求小球的運動微分方程。解：小球的絕對速度為亍=v'+3xr=xi+（3j）x（xi）=xi—3xkT=2m(x2+x232),V=0L=T—V=2m(x2+x232)d(竺)一竺=0dtdxdx況 .況—=mx,—=mx32dxdx可得mx—mx32=0理論力學（卷C）[03A]一、判斷題（對的打“J”，錯的打“X”，每題2分）

1、 切向加速度是因為速度的方向變化所引起的。2、 保守力作功與路徑無關。3、 在有心力場中運動的質點動量守恒。4、 內力不改變質點組的總動能。5、 剛體作定點轉動的自由度是3。6、 作用在剛體上的力可沿作用線移動而作用效果不變。7、 若作用在剛體上的所有外力的矢量和為零，則剛體處于平衡狀態(tài)。8、 軌道磨損和河岸沖刷是科里奧利力的影響。9、 質點發(fā)生實位移是需要時間的。10、 在穩(wěn)定約束的情況下，實位移是虛位移中的一個。1X；2J；3X；4X；5J；6J；7X；8J；9J；10V二、填空題（每題4分），,一 ， 、，dv., 、， V21、在自然坐標系下，質點的切向加速度為。廣~d~，法向加速度為a——。2、 在兩個平動參照系之間的速度變換關系為V=V'+V0，加速度的變換關系為a=a'+a0。3、 在有心力場中運動的質點所受的力矩為零，因而角動量守恒。4、 當質點組所受合外力為零時，質點組的總動量守恒。5、 當質點組的內力和外力都是保守力時，質點組的機械能守恒。三、選擇題1、作一維運動的簡諧振子，其拉格朗日量可寫為（1）(3)L=一鼻kx2 (4)L=02（1(3)L=一鼻kx2 (4)L=022 2下列說法正確的是（1）（2下列說法正確的是（1）（2）質心動量守恒。（4）沒有守恒量（1）機械能守恒，動量矩不守恒。（3）機械能不守恒，動量矩守恒。3、火車在平直軌道上以勻加速a向前行駛，在車中用線懸掛著一小球，當小球靜止時，懸線與豎直線的0夾角0可表達為（2）(1)tg0=0(2)tg0=%(3)tg0=a0 (4)tg0=gTOC\o"1-5"\h\z4、質量為m和m的兩自由質點互相吸引，它們之間的引力勢能為-竺性，開始時，兩質點皆處于靜1 2 r2止狀態(tài)，其間距離為a，當兩點的距離為2a時，質量為m1的質點的速度為（1）；2k⑷"廣氣？頑' 2:2k :2k :2；2k⑷"廣氣？頑' 2⑴V1="a(m+m)；⑵七=%：a(mrm)；⑶七=飛郁' 1 2 '12 ' 1四、計算題

一mh2dp-21、試導出下面有心力量值的公式F—〒'式中m為質點的質量，r為質點到力心的距離，h=r亦=常數(shù)，p為力心到軌道切線的垂直距離。解：由于質點在有心力場中運動，因此，質點的機械能守恒，角動量守恒，在極坐標系下，質點的機械能可表達為：2mv2+V(r)=Eh由于角動量守恒，故有pv=h，v二，代入上式p2mh2p-2+V(r)=Ett , ，、一， dv(r)17dp-2把上式兩邊對r求導有：- 二二mh2——dr2drdvF(rdvF(r)=--；drF(r)=-mh2位2dr2、一段半徑R為已知的均質圓弧，繞通過弧線中心并與弧面垂直的軸線擺動，求其作微振動的周期。解：首先求質心的位置設單位弧長的質量為人，則質心的坐標為：fRCoSOXdsfRCoSOXRdsy=-0 —R20X=RfCoSOds=Ry=-0 —R20X20 0-0這樣可求得懸掛點離質心的距離為："R-y廣R-R*R(1-誓)其次求圓弧的轉動慣量I=f(2RSin0)2人Rds=2人R3f(1-CoS0)d0=4人R3(0-Sin0)-0又卜矗，十財?-普)由復擺動的周期公式C=2兀:也我們有：T=2兀、:—3、在一光滑水平直管中，有一質量為m的小球，此管以恒定角速度①繞通過管子一端的豎直軸轉動，如果起始時，球距轉動軸的距離為「，球相對于管子的速度為零，試由拉格朗日方程求小球沿管的運動規(guī)律。解：小球的絕對速度為v2=x2+x2?2因而動能為T=1m(x2+x2?2)勢能為v=0L=T-V=2m(X2+x2w2)mx-mx^2=0mx-mx^2=0由丁(*)-丁=0可得小球的運動萬程為:dtox ox即x一①x2=0。上式的通解為：x=Ae^t+Be-皿x=A^e^t+B?e―伽利用初始條件，t=0,x=a,x=0?？傻肁=B=a故小球沿管的運動規(guī)律線為x=a（e伽+e-伽）=ach&t理論力學（卷D）[03B]一、 判斷題（對的打“J”，錯的打“X”，每題2分）1、 法向加速度是因為速度的大小變化所引起的。2、 非保守力做功與路徑無關。3、 在有心力場中運動的質點角動量守恒，機械能守恒。4、 內力不改變質點組的總動量。5、 剛體作一般運動時，自由度是6。6、 內力不改變質點組質心運動狀態(tài)。7、 若作用在剛體上的所有外力的力矩的矢量和為零，則剛體處于平衡狀態(tài)。8、 由于地球是一個轉動參照系，慣性離心力的作用將使重力加速度隨著緯度而變化。9、 自由落體偏東是科里奧利力的影響。10、 虛位移是約束許可的條件下，可能發(fā)生的位移，是不需要時間的。1、X；2、X；3、J；4、J；5、J；6、J；7、X；8、J；9、J；10、J二、 填空題（每題4分）1、 在極坐標系下，質點的橫向加速度為。。二海'+2而。徑向加速度為a,3+而2。2、 相對性原理可表述為所有的慣性系對于描述力學現(xiàn)象都是平權的，等價的。。3、 由于有心力為保守力，因而機械能守恒。4、 作定點轉動剛體上任意一點的線速度與角速度的關系為V=^xr。5、 剛體的平衡條件為F=0、M=0。三、 選擇題（每題5分）1、在有心力場中運動的質點，下列說法正確的是（2）（1） 動量守恒，角動量守恒，機械能守恒。（2） 動量不守恒，角動量守恒，機械能守恒。（3）角動量不守恒。 （4）機械能不守恒。2、細桿繞通過桿的一端O點的水平軸轉動，在重力作用下，當無初速地自水平位置轉到豎直位置時，細桿的角速度①為（3）（1）①（2（1）①（2）①（4）①3、質量為m和m的兩自由質點互相吸引，它們之間的引力勢能為-竺1竺，開始時，兩質點皆處于靜1 2 r止狀態(tài)，其間距離為a，當兩質點的距離為2a時，質量為mi的質點的速度可表為：（1）； 2k :2k -2k :2k（1）v=mI （2）v=mi （3）v=m；——（4）v=m——1 2\a（m+m） 1 *a（m+m） 1 2gam12丫am4、自由質點在球坐標系下的拉格朗日量為（設勢能為V（r））（1）▼1 1—一?、（1）L=—m（r2+r202+r2Sin20^2）一V（r） （2）L=—m（r2+r202）2 ' ' 2（3）L=—mr2 （4）L=—mr2Sin20022 2四、計算題（第1題15分，第2題15分，第3題10分）1、小環(huán)的質量為m，套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式為Q=4ay，試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度及小環(huán)在此時所受到的約束反作用力。解：小環(huán)的受力情況如圖所示，采用自然坐標，小環(huán)的運動微分方程為:m空=mgSln0dtv2m—=R-mgCoSdPdvdvdsdvTOC\o"1-5"\h\z又——= =v——dtdsdtdsSM=-空dsvdvvdv=-gdymv—=一mg—ds dsv=\?ag1 y”|又根據(jù)7=（ 1 y”|又根據(jù)7=（ ）3x

y 2a12a在拋物線頂點處y'=0，y"=P=2amv2y+mgCosQ=2mg2、 矩形均質薄片ABCD，邊長為a與b，重為mg，繞堅直軸AB以初角速①轉動。此時薄片的每一部分均受到空氣的阻力，其方向垂直薄片的平面，其量值與面積及速度平方成正比，比例系數(shù)湫，問經過多少時間后，薄片的角速度減為初角速度的一半？解：由題意，把矩形薄片分成許多小窄條，對赤的窄條所受的阻力為F=kb3x）2dx力矩為：dM=-kb?2x3dxz總力矩為：M=-fkb?2x3dx=-—kb?2a4TOC\o"1-5"\h\zz 401 d? 1…、由轉動定理：一ma2——=一―kb?2a43 dt 4m最后可解出：t= 3kba2?03、 在極坐標系下，寫出質點在平方反比引力場中的拉格朗日量，并推導出質點的運動微分方程。一 E1 ， ?、解：在極坐標系下，粒子的動能為T=-m（r2+r202）mk2對于平方反比引力，勢能為：V（r）=-——r/. 1、mk2拉格朗日量為：L=—m(r2+r202)+ TOC\o"1-5"\h\zr一……d"L、況由拉格朗日方程?。?丁-）一一=0有dtdq dqdL.8L八.mk2 mk2——=mr，——=m0r2，m(r2+r02)=drdr r2 r2食=mro2，竺=0d0 dod, ?、八mr20=常數(shù)—(mr20mr20=常數(shù)dt理論力學（卷E）[04A]一、判斷題（對的打“"”，錯的打“X”，每題2分）1、 作勻速圓周運動的質點的向心加速度，是由于速度的方向變化引起的。2、 平方反比引力是保守力。3、 在有心力場中運動的質點的角動量不守恒。4、 對于質點組來說，所有內力的矢量和為零。5、 內力對質點組質心的運動沒有影響。6、 作一般運動的剛體的自由度是37、 剛體的重心和質心無論在什么情況下都是重合在一起的。

8、 如果質點相對于轉動參照系靜止，則科里奧利加速度為09、 由于地球自轉的影響，赤道處的重力加速度將大于地球兩極的重力加速度。10、 虛功原理可表述為，對于處于平衡狀態(tài)的力學體系，諸約束力在任意虛位移中所作的虛功之和等于零。1、J； 2、J； 3、X； 4、J； 5、J； 6、X； 7、X； 8、J； 9、X； 10、X二、填空題(每題4分)1、在極坐標系中，徑向速度大小的變化所引起的加速度為f_，橫向速度大小的變化所引起的加速度為rO+肉。2、 慣性力的主要特點是沒有施力者，沒有反作用力。3、 若地球半徑為6400饑，重力加速度為9.8ms2，則第一宇宙速度的量值為7.9km：s4、 柯尼希定理表述為質點絹.的總動能等于質心的平動動能加相對質心系的動能5、 若拉格朗日函數(shù)L中不顯含廣義坐標q偵，則q偵稱為循環(huán)坐標。三、選擇題(每題5分)1、在平方反比引力作用下，質點作平面運動，若采用平面極坐標，則體系的拉格朗日函數(shù)為(2)官1 1/. ?、mk2(1)L二一m(r2+r2O2) (2)L二一m(r2+r2O2)+ 2 2 r(3)L.mk2二一mr2+ r/ (3)L.mk2二一mr2+ r(4)L二一mr202+22、 設v為第一宇宙速度，則第二宇宙速度為(4)1(1)2七(2)T3V] (3)T5V] (4)T^V]3、 半徑為a，質量為M的薄圓片，繞垂直于圓片并通過圓心的豎直軸以勻角速度①轉動，則繞此軸的/、 ， 2睥 /、，/、 ， 2睥 /、，(3)J=-Ma20， (4)J3=-Ma205(1)J=1Ma20， (2)J=1Ma20，24、對于空間轉動參照系，科里奧利力定義為(3)(1)OxV(1)OxV'，(2)2mOxv'(3)-2m(0xv'(4)-moxv'四、計算題(第一題15分，第二題15分，第三題10分)1、矩形均質薄片ABCD，邊長為a與b，重為mg，繞豎直軸AB以初角速度o0轉動，此時薄片的每一部分均受到空氣的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量值與面積及速度平方成正比，比例系數(shù)為k，問經過多少時間后，薄片的角速度減為初角速度的一半？解：如圖示；對面元bdx，所受的力為F=kbdx(x°)2則力矩為M=-fkbo2x3dx=-4kbo2a4

由轉動定理:1 d① 1八—ma2 =一一kb(^2由轉動定理:1 d① 1八—ma2 =一一kb(^2a43 dt 4d① 3kba2 =一 dt① 4m1①20①02 3kba2,—=一 dt① 4m4m

t= 3kba2們0C板與平面間的磨擦系數(shù)為口，在板上放一重為W的實心圓柱，此圓柱在板上滾動而不滑動，試求木板的加速2度a。解：此為平面平行運動動力學問題，列出方程如下：f=M2afR=2M2R23F-f-(M+M)g口=ma由以上關系式可解出：F一口(W+W)a= 2 g一均質棒斜靠在碗緣，一端在碗內，一端則在碗外，在碗3、半徑為r的光滑半球形碗，固定在水平面上，內的長度為C，試用虛功原理證明棒的全長為4(c2一一均質棒斜靠在碗緣，一端在碗內，一端則在碗外，在碗3、半徑為r的光滑半球形碗，固定在水平面上，內的長度為C，試用虛功原理證明棒的全長為4(c2一2r2)解：由虛功原理可得5?=^F?8r=mg^8ri8r=8xi+8yj，mg=-mgj，8w=-mg8y=0，8y=0又y=-(2rcos—L)sin028y=2rsin2080-(2rcos一；)cos080=0即2r(sin20一cos20)+2cos0=0

2r(1-2cos20)+2cos0=0_2r(2cos20-1)cos0c2rcos20=c， cos0=—2r咨宙士j4(c2-2r2)這樣有：1= c理論力學(卷f)[04B]該卷與“理論力學（卷D）”完全一致，詳見卷D理論力學（卷G）[05A]a（1-e2）L一質點在有心力作用下沿橢圓r=