數(shù)值計(jì)算方法的意義內(nèi)容與方法

數(shù)值計(jì)算方法陳研chenyan@

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新學(xué)科綜合樓4-201

中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)資源和環(huán)境學(xué)院

2005年9月§1數(shù)值計(jì)算方法的意義、內(nèi)容與方法軟件的核心就是算法。20世紀(jì)最偉大的科學(xué)技術(shù)發(fā)明---計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)是對(duì)人腦的模擬，它強(qiáng)化了人的思維智能；計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用，已不僅僅是一種科學(xué)技術(shù)現(xiàn)象，而且成了一種政治、軍事、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)現(xiàn)象；沒(méi)有軟件的支持，超級(jí)計(jì)算機(jī)只是一堆廢鐵而已；算法猶如樂(lè)譜，軟件猶如CD盤(pán)片，而硬件如同CD唱機(jī)。算法的研究和應(yīng)用正是本課程的主題！現(xiàn)代科學(xué)研究的三大支柱理論研究科學(xué)實(shí)驗(yàn)科學(xué)計(jì)算計(jì)算數(shù)學(xué)21世紀(jì)信息社會(huì)的兩個(gè)主要特征：“計(jì)算機(jī)無(wú)處不在”“數(shù)學(xué)無(wú)處不在”21世紀(jì)信息社會(huì)對(duì)科技人才的要求：--會(huì)“用數(shù)學(xué)”解決實(shí)際問(wèn)題--會(huì)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算建立數(shù)學(xué)模型選取計(jì)算方法編寫(xiě)上機(jī)程序計(jì)算得出結(jié)果科學(xué)計(jì)算解題過(guò)程一、計(jì)算數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和早期發(fā)展計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)古老的分支，雖然數(shù)學(xué)不僅僅是計(jì)算，但推動(dòng)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的最直接原因還是計(jì)算問(wèn)題。

二、二十世紀(jì)計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展數(shù)值代數(shù)

最優(yōu)化計(jì)算

數(shù)值逼近

計(jì)算幾何

概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算

蒙特卡羅方法

微分方程的數(shù)值解法

微分方程的反演問(wèn)題

數(shù)值計(jì)算的主要內(nèi)容數(shù)值代數(shù)：方程求根、線(xiàn)性方程組求解、特征值和特征向量的計(jì)算、非線(xiàn)性方程組的求解；數(shù)值逼近：插值、數(shù)值微分和積分、最小二乘法；微分方程數(shù)值解：常微分方程數(shù)值解；偏微分方程數(shù)值解：差分法有限元法有限體積法教材

數(shù)值計(jì)算方法徐濤

編著（吉林科學(xué)技術(shù)出版社）參考書(shū)目

應(yīng)用數(shù)值方法使用MATLAB和C語(yǔ)言

RobertJ.Schilling&SandraL.Harris（機(jī)械工業(yè)出版社）

NumericalRecipesinC++TheArtofScientificComputingSecondEdition

WilliamH.Press

等著

（電子工業(yè)出版社）

現(xiàn)代數(shù)值分析

李慶揚(yáng)、易大義、王能超

編著（高等教育出版社）

§2算法一、算法的概念描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以敘述，也可以借助形式語(yǔ)言（算法語(yǔ)言）給出精確的說(shuō)明，也可以用框圖直觀地顯示算法的全貌。

定義：由基本運(yùn)算及運(yùn)算順序的規(guī)定所構(gòu)成的完整的解題步驟，稱(chēng)為算法。例1：一群小兔一群雞，兩群合到一群里，要數(shù)腿共48，要數(shù)腦袋整17，多少小兔多少雞？算術(shù)方法：若沒(méi)有小兔，則雞應(yīng)是17只總腿數(shù)：2＊17＝34一只小兔增加2條腿，應(yīng)該有只小兔10只小雞代數(shù)方法：設(shè)有x只小雞，y只小兔，(-2)*(i)+(ii),得只小兔高斯消去法例：求解二元一次聯(lián)立方程組用行列式解法：首先判別

（1）如果，則令計(jì)算機(jī)計(jì)算

輸出計(jì)算的結(jié)果x1，x2。（2）如果D=0，則或是無(wú)解，或有無(wú)窮多組解。是否為零，存在兩種可能：令通過(guò)求解過(guò)程，可以總結(jié)出算法步驟如下：S2計(jì)算S3如果則輸出原方程無(wú)解或有無(wú)窮多組解的信息;否則S1輸入S4輸出計(jì)算的結(jié)果輸入D=a11a22-a12a21D=0開(kāi)始輸出

x1,x2

結(jié)束

No輸出無(wú)解信息Yes二、算法的優(yōu)劣計(jì)算量小存貯量少邏輯結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單例：用行列式解法求解線(xiàn)性方程組:n階方程組，要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式的值，總共需要做n!(n-1)(n+1)次乘法運(yùn)算。

n=20需要運(yùn)算多少次？n=100?一、誤差的背景介紹1.來(lái)源與分類(lèi)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差§3數(shù)值計(jì)算中的誤差例1:質(zhì)量為m的物體，在重力作用下，自由下落，其下落距離s與時(shí)間t的關(guān)系是：（1.1）其中g(shù)為重力加速度。通過(guò)富測(cè)量嫁得到絡(luò)模型級(jí)中參悅數(shù)的歡值——觀測(cè)朗誤差求近壞似解燃—憂(yōu)—永方法景誤差(截樣斷誤亂差）機(jī)器木字長(zhǎng)巾有限仆—雙—舍入撒誤差用計(jì)澆算機(jī)惕、計(jì)珍算器央和筆坦算，據(jù)都只午能用魯有限完位小母數(shù)來(lái)代否替無(wú)堆窮小濱數(shù)或變用位林?jǐn)?shù)較族少的日小數(shù)釘來(lái)代爆替位逆數(shù)較吊多的有變限小斯數(shù)，加如：=魂3.涉14靈15霜92綿6…x=寶8.此12嚷34厘5四舍述五入痛后…文…在數(shù)值旦計(jì)算凝方法繁中，喊主要揀研究截?cái)鄳?yīng)誤差和舍入敬誤差（包矛括初位始數(shù)斑據(jù)的幼誤差夸）對(duì)嫁計(jì)算懼結(jié)果收的影避響！二、談絕對(duì)惡誤差騙、相呈對(duì)誤描差和項(xiàng)有效盆數(shù)字1．折絕對(duì)車(chē)誤差劇與絕矮對(duì)誤翼差限例2:若殿用以完厘米吩為最得小刻報(bào)度的漿尺去擾量桌個(gè)子的姻長(zhǎng)，大約揮為1.湖45米，端求1.孤45米的砌絕對(duì)仆誤差境。1.命45米的絕對(duì)眼誤差跪=？不知仰道！定義1：設(shè)x是準(zhǔn)確值，x*為x的一個(gè)近似值，稱(chēng)

是近似值x的絕對(duì)誤差,簡(jiǎn)稱(chēng)為誤差。

（1.5）但實(shí)際問(wèn)題往往可以估計(jì)出不超過(guò)某個(gè)正數(shù)，即，，則稱(chēng)

為絕對(duì)誤差限，有了絕對(duì)誤差限就可以知道x范圍為即x落在內(nèi)。在應(yīng)用上，常常采用下列寫(xiě)法來(lái)刻劃x*的精度。2．相對(duì)繪誤差伴和相系對(duì)誤須差限（1.6）定義元2：設(shè)x是準(zhǔn)評(píng)確值悉，x*是近很似值殊，稱(chēng)滿(mǎn)足 為近似值x的相對(duì)誤差，相應(yīng)地，若正數(shù)，則稱(chēng)為x的相對(duì)誤差限。3．有效秧數(shù)字則說(shuō)x*近似洪表示x準(zhǔn)確桌到小登數(shù)后德第n位，光并從綱這第n位起直到閥最左撥邊的芒非零強(qiáng)數(shù)字而之間卡的一牧切數(shù)糕字都胃稱(chēng)為有效骨數(shù)字，并把靈有效稿數(shù)字砍的位項(xiàng)數(shù)稱(chēng)滴為有效湊位數(shù)。定義塞3：如果（1.7）由上礦述定展義有效數(shù)位為3位有效數(shù)位為5位有效數(shù)位為4位誤差巾的傳畝播與結(jié)積累例3沖：蝴蝶楊效應(yīng)——室紐充約的運(yùn)一只恭蝴蝶餡翅膀?qū)懸慌母溃L(fēng)歸和日橋麗的籠北京皇就刮烤起臺(tái)饑風(fēng)來(lái)酷了？跨！NYBJ以上且是一藏個(gè)病嚴(yán)態(tài)問(wèn)戒題§4數(shù)值黎計(jì)算予中應(yīng)望該注殲意的蓮一些載原則1．要種使用促數(shù)值脆穩(wěn)定孝的算細(xì)法例4：求

（n=0,1,2,…,8）的值。解：煙由于初值遞推軌公式（1.8）注意胸此公絮式精確成立按(1案.8您)式就謙可以宵逐步筆算出Wh壤at桶h寸ap裁pe暫ne蛾d?腿!不穩(wěn)喪定的腐算法胳！由遞符推公此式（1臘.8吧）可看薄出，In-1的誤養(yǎng)差擴(kuò)個(gè)大了5倍后走傳給In，因而輩初值I0的誤炊差對(duì)貧以后荷各步遮計(jì)算侵結(jié)果噸的影裳響，灰隨著n的增謎大愈來(lái)戴愈嚴(yán)完重。湯這就市造成I4的計(jì)看算結(jié)斤果嚴(yán)具重失羞真。這就矮是誤幟差傳相播所咱引起炕的危侍害!改變曬公式疫：將公式變?yōu)椴环翚w設(shè)I9I10，于是投由可求銷(xiāo)得I90.思01得7，按公駱式（1委.9儀）可逐沖次求泉得（1.9）I80.桿01籌9I70.竊02盡1I60.牲02皺4I80.較02絡(luò)8I40.史03慕4I30.坐04耳3I20.菊05衣8I10.熊08交8I00.紹18鄙2穩(wěn)定罰的算苦法秧！在我她們今躺后的曾討論產(chǎn)中，誤差將不予可回防避，算法凡的穩(wěn)定岡性會(huì)是牲一個(gè)營(yíng)非常翁重要裕的話(huà)閘題。2．要邪避免彎兩個(gè)狂相似競(jìng)數(shù)相遲減在數(shù)偏值計(jì)溉算中腿，兩仙個(gè)相盡近的閥數(shù)作段減法偷時(shí)有鮮效數(shù)午字會(huì)悶損失京。（1.10）的值。當(dāng)x=耕10欄00，y的準(zhǔn)庭確值概為0.鑒01言58敘01、直接調(diào)相減2、將（1貼.1學(xué)0）改寫(xiě)罷為則y=榮0.代01鏡58怎1例5:求類(lèi)似妨地2.絕對(duì)株值太枝小的默數(shù)不茂宜作棄除數(shù)例6：如分拒母變?nèi)簽?.煙00趁11，也優(yōu)即分堅(jiān)母只承有0.王00章01的變尖化時(shí)3.仔避晶免大冊(cè)數(shù)吃小數(shù)例7：用單精度計(jì)算的根。精確狹解為算法1：利用求根公式在計(jì)離算機(jī)染內(nèi)，慨109存為南0.翠11咐010，1碰存為滾0.嚼11在01。做加雜法時(shí)歷，兩滋加數(shù)勝的指擱數(shù)先下向大核指數(shù)仇對(duì)齊烈，再貨將浮迫點(diǎn)部插分相帝加。騾即1渾的予指數(shù)埋部分勁須變樓為1010，則惱：1印=扶0廚.0旗00崇00島00洋00特1愚1010，取抽單精現(xiàn)度時(shí)抽就成姜為：109+1抵=0贏.1究00嗽00激00憤01虎010+0辨.0豆00準(zhǔn)00米00挪0熔1里010=0中.1密00譜00評(píng)00棵0艦1番010算法2：先可解出注：求和娛時(shí)從綿小到慌大相宋加，憐可使蔽和的丘誤差寒減小撇。例8溉：按殼從小華到大劣、以亮及從學(xué)大到慚小的說(shuō)順序朋分別塌計(jì)算4.絕先廈化簡(jiǎn)連再計(jì)盼算，足減少嗚步驟俱，避悼免誤訂差積批累。一般我來(lái)說(shuō)火，計(jì)辣算機(jī)細(xì)處理幕下列臘運(yùn)算撲的速殃度為1恰+楊2睬+拐3甩+驕…好+紹40爹+蛛1件09再利訪用5.胖算法絡(luò)的遞推偏