數(shù)學第二十二章課件各種積分間的關(guān)系與場論的初步

第二十二章

各種積分間的聯(lián)系與場論初步

§1各種積分間的聯(lián)系

1、格林公式區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)復連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)區(qū)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理22.1（格林公式）設區(qū)域D是由逐段光滑閉曲線L圍成的平面單連通閉區(qū)域，函數(shù)則有(格林公式)在D上具有連續(xù)一階偏導數(shù),或證明：見380頁說明1)對復連通區(qū)域，公式也成立。強調(diào)：(i)所有邊界.(ii)每段的方向2)記憶：

其中:為切向量（與同向）;為外法線2、高斯公式定理22.2.設空間閉區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)閉曲函數(shù)P,Q,R在V及S上具有連續(xù)的一階面S所圍成,偏導數(shù)數(shù)，則有(Gauss公式)證明：P377仿照格林公式的證明，先對簡單的區(qū)域證明高斯公式。其中V如圖22-9，它的邊界由下，上，中三部分S1，S2，S3

構(gòu)成。上部為S2，由方程下部為S1，由方程給出，給出，中間由母線平行于Z軸的柱面S3構(gòu)成。S1與S2在Oxy平面上由公式投影D.V可表為考慮V的邊界曲面S的外側(cè)可表為下側(cè)，上側(cè)，以D的邊界為準線夾在S1與S2之間的柱面外側(cè)由三重積分的積算方法及第二型曲面積分的積算方法得：上面第四個等式成立是因為S3在Oxy面上得投影面積為零，所以同理可證3、stokes公式光滑曲面的邊界為光滑曲線L，函數(shù)

在及上具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則其中的側(cè)與的方向按右手法則確定

證明：先證設曲面S的方程為它在Oxy面上得投影為與過的點且平行于z軸的直線只交于以點。L是S的邊界，它它在Oxy面上的投影為l.取S的上側(cè)為正側(cè)，則單位法向量為因此因為L在曲面上，所以由格林公式，有同理可證把三個公式加起來，便得斯托克斯公式。證畢！說明：記憶：公式的推廣格林公式的推廣，即格林公式為其特例斯托克斯公式建立了函數(shù)在空間曲面S上的第二型曲面積分與其“原函數(shù)”在S的邊界曲線L上的第二型曲線積分之間的聯(lián)系，因此也是牛頓－萊布尼茨公式的一種高維的推廣。利用兩種曲面積分之間的關(guān)系，常把它寫成如下便于記憶的形式：背景：在力學里，質(zhì)點在保守力場中移動時，場力場所做的功和所走的路徑無關(guān)，而只與質(zhì)點運動的起點和終點有關(guān)，而此時功可用第二型曲線積分表示。因此，要討論問題：在什么條件下，第二型曲線積分與積分路徑無關(guān)（只依賴曲線的端點）第二節(jié)曲線積分與路徑無關(guān)定理22訂.4設D是平厚面單脹連通窩區(qū)域,在D上有連淚續(xù)偏蠅導數(shù),(1瞎)沿D中任朗意光憐滑閉極曲線L,有(2配)對D中任妖一分產(chǎn)段光零滑曲院線L,曲線閱積分(3燃)(4采)在D內(nèi)每鵝一點習都有與路案徑無悉關(guān),只與婆起止型點有聾關(guān).函數(shù)則以衫下四唯個斷雕言等侄價:在D內(nèi)是掃某一帝函數(shù)的全厘微分,即平面愧上曲胸線積饅分與叮路徑沙無關(guān)般的等簽價條狠件定理22乒.4的證處明1－4：設D是平責面單嬸連通稱區(qū)域,在D內(nèi)具有毯一階箭連續(xù)慎偏導寒數(shù),(1哭)沿D中任旋意光壤滑閉相曲線L,有(2手)對D中任萬一分壯段光膊滑曲腳線L,曲線綢積分(3柴)(4殺)在D內(nèi)每賺一點鋒都有與路串徑無詢關(guān),只與除起止四點有宜關(guān).函數(shù)則以淋下四蝴個條帆件等廉價:在D內(nèi)是酒某一落函數(shù)的全斃微分,即說明:積分吩與路灶徑無他關(guān)時,曲線叮積分濫可記晝?yōu)樽C明(1盛)供(2愁)設為D內(nèi)任意兩條壯由A到B的有揭向分藝段光叔滑曲線,則(根據(jù)敞條件(1衫))證明(2市)勺(3獄)在D內(nèi)取瓣定點因曲憲線積著分則同理戀可證因此俗有和任膠一點B(x,y),與路培徑無葛關(guān),有函數(shù)證明(3較)所(葉4)設存甩在函逃數(shù)u(x錘,桌y)使得則P,看Q在D內(nèi)具向有連搖續(xù)的省偏導侄數(shù),從而俊在D內(nèi)每航一點碑都有證明(4具)朱(時1)設L為D中任拘一分替段光鍋滑閉咐曲線,(如圖)部,利用格林脆公式,得所圍訴區(qū)域婆為證畢在區(qū)構(gòu)域上考沙察積茄分（1）其中為從到沿上倆半圓耳周（2）從到沿下牙半圓漸周解：（1）（2）在區(qū)鎮(zhèn)域上考滲察上搏述積肯分：這時是單曠連通北的，奴為具什么僻仍有實際橋上：認不滿膝足定理犧中關(guān)描于望及猛其偏私導數(shù)規(guī)的連宰續(xù)性條件夸。我妥們注攝意：緊若有看破壞粱連續(xù)扯性條悼件的湊“奇適點”雄，我嚼們將這些占點從罷區(qū)域砍中除炎去，第于是各區(qū)域就變沉為含綁有點省“洞都”的區(qū)域,而在上具觸有了聽連續(xù)倒性。東從而可化覽為上構(gòu)面的想情形圓的評方程尊：例.意義對內(nèi)任爛一條轟不包婦含奇矩點的閉黨曲線，由更格林倚公式籠，逼有環(huán)繞懲奇點的任抹意兩碗條簡暮單閉徒曲線瓶和溝的墓正向禽的積遍分相等你，拌即環(huán)繞繼某一見奇點n圈的行光滑餅閉曲塘線L，其埋中n1圈是緩正向放，n2圈是小負向則積輪分等于殃該點塘循環(huán)交常數(shù)妄的倍。(i西ii替)(i萍v)若不礎(chǔ)自相統(tǒng)交光肢滑閉熊曲線L包圍返了k個奇申點，嘉則沿L正向熔的積過分等于飲這k個奇端點的擱循環(huán)廢常數(shù)專之和泛。第三舒節(jié)、巧場論閱初步1.梯度汁場梯度:稱為譜函數(shù)拐的梯戶度，坑它定泉義了遞一個獨向量伸場，稱為糕梯度支場，又稱為梯酬度場悼的勢礦函數(shù)未，則記函數(shù)沿的方鋤向?qū)敂?shù)，利用托梯度尿得：其中為與梯浮度之間睡的夾潛角。2.散度吹場散度:設是空仗間區(qū)悼域上的巡壽向量凡場，犁在上每一擾點，定義加向量多場的告散度那為，記擇為散度爺構(gòu)成漏了的一仙個數(shù)跳量場櫻。嗎利用算子貫有公式葡可寫碰成物理肌意義：就是樸流體壩在點的禾單位亡體積黑的流皆量，讀即流扣量密慢度。向量帖場定義公式蠢可寫赴成：3.旋度養(yǎng)場小結(jié)格林訴公式單連芝通區(qū)絕域積分戲與路蓬徑無識關(guān)習題1、設L是一紡條分庸段光隔滑的印閉曲楊線,證明證:令則利用薪格林猾公式,得2、計算其中D是以O(0摘,0烏)消,A(1紗,1沙)蚊,B(0效,1枝)為頂促點的會三角舅形閉它域.解:令,則利用興格林焰公式,有3、計算其中L為上質(zhì)半從O(0訓,畜0)到A(4帽,漁0)拿.解:為了胡使用洲格林嘗公式,添加箭輔助渡線段它與L所圍原式圓周區(qū)域朝為D牢,則4、驗證是某梢個函鴨數(shù)的撫全微嘉分,并求出這畢個函鵝數(shù).證:設則由定解理2可知,存在劈燕函數(shù)u(x頸,摔y)使。。5、設質(zhì)庫點在滾力場作用示下沿鋪曲線L:由移動我到求力俘場所煮作的禾功W解:令則有可見,在不僅含原熱點的預單連岸通區(qū)隨域內(nèi)悉積分薯與路咽徑無作關(guān).取圓?；?、質(zhì)點M沿著詞以AB為直貴徑的鼠半圓,從A(1辰,2犧)運動棍到點B(3鴿,煉4)流,到原默點的挑距離,解:由圖仿知故所螞求功牢為銳角,其方鍬向垂聲直于OM,且與y軸正醉向夾袍