數(shù)學(xué)第二十二章課件各種積分間的關(guān)系與場(chǎng)論的初步

第二十二章

各種積分間的聯(lián)系與場(chǎng)論初步

§1各種積分間的聯(lián)系

1、格林公式區(qū)域D分類(lèi)單連通區(qū)域(無(wú)“洞”區(qū)域)復(fù)連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)區(qū)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理22.1（格林公式）設(shè)區(qū)域D是由逐段光滑閉曲線(xiàn)L圍成的平面單連通閉區(qū)域，函數(shù)則有(格林公式)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或證明：見(jiàn)380頁(yè)說(shuō)明1)對(duì)復(fù)連通區(qū)域，公式也成立。強(qiáng)調(diào)：(i)所有邊界.(ii)每段的方向2)記憶：

其中:為切向量（與同向）;為外法線(xiàn)2、高斯公式定理22.2.設(shè)空間閉區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)閉曲函數(shù)P,Q,R在V及S上具有連續(xù)的一階面S所圍成,偏導(dǎo)數(shù)數(shù)，則有(Gauss公式)證明：P377仿照格林公式的證明，先對(duì)簡(jiǎn)單的區(qū)域證明高斯公式。其中V如圖22-9，它的邊界由下，上，中三部分S1，S2，S3

構(gòu)成。上部為S2，由方程下部為S1，由方程給出，給出，中間由母線(xiàn)平行于Z軸的柱面S3構(gòu)成。S1與S2在Oxy平面上由公式投影D.V可表為考慮V的邊界曲面S的外側(cè)可表為下側(cè)，上側(cè)，以D的邊界為準(zhǔn)線(xiàn)夾在S1與S2之間的柱面外側(cè)由三重積分的積算方法及第二型曲面積分的積算方法得：上面第四個(gè)等式成立是因?yàn)镾3在Oxy面上得投影面積為零，所以同理可證3、stokes公式光滑曲面的邊界為光滑曲線(xiàn)L，函數(shù)

在及上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則其中的側(cè)與的方向按右手法則確定

證明：先證設(shè)曲面S的方程為它在Oxy面上得投影為與過(guò)的點(diǎn)且平行于z軸的直線(xiàn)只交于以點(diǎn)。L是S的邊界，它它在Oxy面上的投影為l.取S的上側(cè)為正側(cè)，則單位法向量為因此因?yàn)長(zhǎng)在曲面上，所以由格林公式，有同理可證把三個(gè)公式加起來(lái)，便得斯托克斯公式。證畢！說(shuō)明：記憶：公式的推廣格林公式的推廣，即格林公式為其特例斯托克斯公式建立了函數(shù)在空間曲面S上的第二型曲面積分與其“原函數(shù)”在S的邊界曲線(xiàn)L上的第二型曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系，因此也是牛頓－萊布尼茨公式的一種高維的推廣。利用兩種曲面積分之間的關(guān)系，常把它寫(xiě)成如下便于記憶的形式：背景：在力學(xué)里，質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，場(chǎng)力場(chǎng)所做的功和所走的路徑無(wú)關(guān)，而只與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而此時(shí)功可用第二型曲線(xiàn)積分表示。因此，要討論問(wèn)題：在什么條件下，第二型曲線(xiàn)積分與積分路徑無(wú)關(guān)（只依賴(lài)曲線(xiàn)的端點(diǎn)）第二節(jié)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)定理22訂.4設(shè)D是平厚面單脹連通窩區(qū)域,在D上有連淚續(xù)偏蠅導(dǎo)數(shù),(1瞎)沿D中任朗意光憐滑閉極曲線(xiàn)L,有(2配)對(duì)D中任妖一分產(chǎn)段光零滑曲院線(xiàn)L,曲線(xiàn)閱積分(3燃)(4采)在D內(nèi)每鵝一點(diǎn)習(xí)都有與路案徑無(wú)悉關(guān),只與婆起止型點(diǎn)有聾關(guān).函數(shù)則以衫下四唯個(gè)斷雕言等侄價(jià):在D內(nèi)是掃某一帝函數(shù)的全厘微分,即平面愧上曲胸線(xiàn)積饅分與叮路徑沙無(wú)關(guān)般的等簽價(jià)條狠件定理22乒.4的證處明1－4：設(shè)D是平責(zé)面單嬸連通稱(chēng)區(qū)域,在D內(nèi)具有毯一階箭連續(xù)慎偏導(dǎo)寒?dāng)?shù),(1哭)沿D中任旋意光壤滑閉相曲線(xiàn)L,有(2手)對(duì)D中任萬(wàn)一分壯段光膊滑曲腳線(xiàn)L,曲線(xiàn)綢積分(3柴)(4殺)在D內(nèi)每賺一點(diǎn)鋒都有與路串徑無(wú)詢(xún)關(guān),只與除起止四點(diǎn)有宜關(guān).函數(shù)則以淋下四蝴個(gè)條帆件等廉價(jià):在D內(nèi)是酒某一落函數(shù)的全斃微分,即說(shuō)明:積分吩與路灶徑無(wú)他關(guān)時(shí),曲線(xiàn)叮積分濫可記晝?yōu)樽C明(1盛)供(2愁)設(shè)為D內(nèi)任意兩條壯由A到B的有揭向分藝段光叔滑曲線(xiàn),則(根據(jù)敞條件(1衫))證明(2市)勺(3獄)在D內(nèi)取瓣定點(diǎn)因曲憲線(xiàn)積著分則同理戀可證因此俗有和任膠一點(diǎn)B(x,y),與路培徑無(wú)葛關(guān),有函數(shù)證明(3較)所(葉4)設(shè)存甩在函逃數(shù)u(x錘,桌y)使得則P,看Q在D內(nèi)具向有連搖續(xù)的省偏導(dǎo)侄數(shù),從而俊在D內(nèi)每航一點(diǎn)碑都有證明(4具)朱(時(shí)1)設(shè)L為D中任拘一分替段光鍋滑閉咐曲線(xiàn),(如圖)部,利用格林脆公式,得所圍訴區(qū)域婆為證畢在區(qū)構(gòu)域上考沙察積茄分（1）其中為從到沿上倆半圓耳周（2）從到沿下牙半圓漸周解：（1）（2）在區(qū)鎮(zhèn)域上考滲察上搏述積肯分：這時(shí)是單曠連通北的，奴為具什么僻仍有實(shí)際橋上：認(rèn)不滿(mǎn)膝足定理犧中關(guān)描于望及猛其偏私導(dǎo)數(shù)規(guī)的連宰續(xù)性條件夸。我妥們注攝意：緊若有看破壞粱連續(xù)扯性條悼件的湊“奇適點(diǎn)”雄，我嚼們將這些占點(diǎn)從罷區(qū)域砍中除炎去，第于是各區(qū)域就變沉為含綁有點(diǎn)省“洞都”的區(qū)域,而在上具觸有了聽(tīng)連續(xù)倒性。東從而可化覽為上構(gòu)面的想情形圓的評(píng)方程尊：例.意義對(duì)內(nèi)任爛一條轟不包婦含奇矩點(diǎn)的閉黨曲線(xiàn)，由更格林倚公式籠，逼有環(huán)繞懲奇點(diǎn)的任抹意兩碗條簡(jiǎn)暮?jiǎn)伍]徒曲線(xiàn)瓶和溝的墓正向禽的積遍分相等你，拌即環(huán)繞繼某一見(jiàn)奇點(diǎn)n圈的行光滑餅閉曲塘線(xiàn)L，其埋中n1圈是緩正向放，n2圈是小負(fù)向則積輪分等于殃該點(diǎn)塘循環(huán)交常數(shù)妄的倍。(i西ii替)(i萍v)若不礎(chǔ)自相統(tǒng)交光肢滑閉熊曲線(xiàn)L包圍返了k個(gè)奇申點(diǎn)，嘉則沿L正向熔的積過(guò)分等于飲這k個(gè)奇端點(diǎn)的擱循環(huán)廢常數(shù)專(zhuān)之和泛。第三舒節(jié)、巧場(chǎng)論閱初步1.梯度汁場(chǎng)梯度:稱(chēng)為譜函數(shù)拐的梯戶(hù)度，坑它定泉義了遞一個(gè)獨(dú)向量伸場(chǎng)，稱(chēng)為糕梯度支場(chǎng)，又稱(chēng)為梯酬度場(chǎng)悼的勢(shì)礦函數(shù)未，則記函數(shù)沿的方鋤向?qū)敂?shù)，利用托梯度尿得：其中為與梯浮度之間睡的夾潛角。2.散度吹場(chǎng)散度:設(shè)是空仗間區(qū)悼域上的巡壽向量凡場(chǎng)，犁在上每一擾點(diǎn)，定義加向量多場(chǎng)的告散度那為，記擇為散度爺構(gòu)成漏了的一仙個(gè)數(shù)跳量場(chǎng)櫻。嗎利用算子貫有公式葡可寫(xiě)碰成物理肌意義：就是樸流體壩在點(diǎn)的禾單位亡體積黑的流皆量，讀即流扣量密慢度。向量帖場(chǎng)定義公式蠢可寫(xiě)赴成：3.旋度養(yǎng)場(chǎng)小結(jié)格林訴公式單連芝通區(qū)絕域積分戲與路蓬徑無(wú)識(shí)關(guān)習(xí)題1、設(shè)L是一紡條分庸段光隔滑的印閉曲楊線(xiàn),證明證:令則利用薪格林猾公式,得2、計(jì)算其中D是以O(shè)(0摘,0烏)消,A(1紗,1沙)蚊,B(0效,1枝)為頂促點(diǎn)的會(huì)三角舅形閉它域.解:令,則利用興格林焰公式,有3、計(jì)算其中L為上質(zhì)半從O(0訓(xùn),畜0)到A(4帽,漁0)拿.解:為了胡使用洲格林嘗公式,添加箭輔助渡線(xiàn)段它與L所圍原式圓周區(qū)域朝為D牢,則4、驗(yàn)證是某梢個(gè)函鴨數(shù)的撫全微嘉分,并求出這畢個(gè)函鵝數(shù).證:設(shè)則由定解理2可知,存在劈燕函數(shù)u(x頸,摔y)使。。5、設(shè)質(zhì)庫(kù)點(diǎn)在滾力場(chǎng)作用示下沿鋪曲線(xiàn)L:由移動(dòng)我到求力俘場(chǎng)所煮作的禾功W解:令則有可見(jiàn),在不僅含原熱點(diǎn)的預(yù)單連岸通區(qū)隨域內(nèi)悉積分薯與路咽徑無(wú)作關(guān).取圓?；?、質(zhì)點(diǎn)M沿著詞以AB為直貴徑的鼠半圓,從A(1辰,2犧)運(yùn)動(dòng)棍到點(diǎn)B(3鴿,煉4)流,到原默點(diǎn)的挑距離,解:由圖仿知故所螞求功牢為銳角,其方鍬向垂聲直于OM,且與y軸正醉向夾袍