數(shù)字電子技術(shù)第章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第3章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容提要：（1）邏輯代數(shù)的基本概念（2）邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則（3）邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法（4）邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式（5）邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法13.1概述主要內(nèi)容：邏輯函數(shù)的基本概念

邏輯函數(shù)的表示方法

23.1.1邏輯函數(shù)的基本概念

邏輯代數(shù)提供了一種方法，即使用二值函數(shù)進(jìn)行邏輯運(yùn)算，使得用語(yǔ)言描述顯得十分復(fù)雜的邏輯命題，使用邏輯代數(shù)語(yǔ)言后，就變成了簡(jiǎn)單的代數(shù)式，人們稱為“邏輯函數(shù)”。邏輯函數(shù)

Y＝（A、B、C

········）33.1.2邏輯函數(shù)的表示方法

（1）邏輯表達(dá)式F=AB（2）真值表（3）邏輯電路圖（4）卡諾圖

（5）波形圖

表3-1F=AB真值表ABF=AB000010100111F=AB邏輯電路圖F=AB的波形圖

43.2邏輯代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則

主要內(nèi)容：邏輯代數(shù)的交換律、結(jié)合律和分配律邏輯代數(shù)的基本公式摩根定理及其不同形式邏輯代數(shù)的代入規(guī)則、反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則53.2.1邏輯代數(shù)的基本定律

交換律結(jié)合律分配律1.A+B=B+A2.A?B=B?A4.A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C3.ABC=(AB)C=A(BC)5.A(B+C)=AB+AC6.A+BC=(A+B)(A+C)6公式1A·0=0A+1=1

公式2A·1=A

A+0=A公式3A·A=AA+A=A公式4公式5公式6 公式7

3.2.2邏輯代數(shù)的基本公式

73.2.3摩根定理

1.2.例3-1

應(yīng)用摩根定理求解：反復(fù)應(yīng)用摩根定理可得：83.2.4邏輯代數(shù)的三個(gè)規(guī)則

1．代入規(guī)則任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。2．反演規(guī)則對(duì)于任何一個(gè)邏輯式F，若將其中所有的“·”變成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到的結(jié)果就是。這個(gè)規(guī)則叫做反演規(guī)則。9使用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意遵守以下兩個(gè)原則：注意保持原函數(shù)中的運(yùn)算符號(hào)的優(yōu)先順序不變。不屬于單個(gè)變量上的反號(hào)應(yīng)保留不變?；虿粚儆趩蝹€(gè)變量上的反號(hào)下面的函數(shù)當(dāng)一個(gè)變量處理。

例3-2

已知邏輯函數(shù)，試求其反函數(shù)。例3-3

已知,求10３．對(duì)偶規(guī)則對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式F，如果將式中所有的“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，原表達(dá)式中的運(yùn)算優(yōu)先順序不變。那么就可以得到一個(gè)新的表達(dá)式，這個(gè)新的表達(dá)式稱為F的對(duì)偶式F*。這個(gè)規(guī)則叫做對(duì)偶規(guī)則。

11例3-4

已知，求。例3-5

已知，求。

123.3邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法主要內(nèi)容：并項(xiàng)化簡(jiǎn)法吸收化簡(jiǎn)法消去化簡(jiǎn)法配項(xiàng)化簡(jiǎn)法各種化簡(jiǎn)方法的綜合運(yùn)用

133.3.1并項(xiàng)法

例3-7

化簡(jiǎn)下列函數(shù)

(利用的公式)

143.3.2吸收法例3-8化簡(jiǎn)

利用公式和

153.言3.槽3配項(xiàng)告法利用辣公式例3-柄9化簡(jiǎn)給某友一個(gè)城與項(xiàng)抬配項(xiàng)近，然溫后將倦其拆季分成兩紋項(xiàng)，降再和彩其它英項(xiàng)合懂并。利用透公式蓮Ａ＋德Ａ＝鎮(zhèn)Ａ，芹為某蝕項(xiàng)配熟上所港能合速并的赤項(xiàng)例3-遼10化簡(jiǎn)163.鞭3.主4消去嚼冗余恰項(xiàng)法利用慮公式7例3-船11化簡(jiǎn)解：17例3-進(jìn)12化簡(jiǎn)解：實(shí)際隸應(yīng)用哥中綜浴合運(yùn)拳用各辮種方旨法。18例3-京13化簡(jiǎn)解：(1葛)先求迷出F的對(duì)筐偶函進(jìn)數(shù),并對(duì)協(xié)其進(jìn)勁行化奏簡(jiǎn)(2然)求的對(duì)瘡偶函衣數(shù)，扇得F的最計(jì)簡(jiǎn)或續(xù)與表鐵達(dá)式:19自測(cè)噴練習(xí):化簡(jiǎn)芹如下圈邏輯判函數(shù)203.柱4邏輯狀函數(shù)硬的標(biāo)盯準(zhǔn)形李式最小骨項(xiàng)與霜最大罵項(xiàng)的咽定義佩、性朗質(zhì)和校相互際關(guān)系把邏私輯函嗚數(shù)轉(zhuǎn)淚換為尊標(biāo)準(zhǔn)賠與或現(xiàn)表達(dá)線式把邏裳輯函果數(shù)轉(zhuǎn)熱換為攏標(biāo)準(zhǔn)雹或與迅表達(dá)枯式兩種告標(biāo)準(zhǔn)肌形式食的互抄相轉(zhuǎn)娛換標(biāo)準(zhǔn)暖形式麥與真燥值表夫的互皆相轉(zhuǎn)誘換主要荷內(nèi)容：213.扭4.鼠1最小補(bǔ)項(xiàng)與進(jìn)最大倦項(xiàng)最小辦項(xiàng)的嚼定義拌：設(shè)有n個(gè)變墊量，悄它們男所組種成的痕具有n個(gè)變兇量的龜“與”項(xiàng)援中，捏每個(gè)顆變量里以原萌變量舉或反浙變量末的形均式出青現(xiàn)一扒次，柄且僅男出現(xiàn)隸一次喂，這切個(gè)乘軌積項(xiàng)挖稱為最小懶項(xiàng)。最小遭項(xiàng)的導(dǎo)符號(hào)恥表示舅：mi其中i的確熄定方情法：陪原變勇量用1表示他，反灰變量愉用0表示生所得鍬二進(jìn)遼制碼泰的十密進(jìn)制瓶數(shù)某個(gè)深最小菜項(xiàng)不全在邏己輯函謝數(shù)F中，左就在撒其反紙函數(shù)渴中。22例

求的反函數(shù)。23最大蛛項(xiàng)的命定義：設(shè)有n個(gè)變暫量，泊它們赴所組鉛成的負(fù)具有n個(gè)變慰量的按“或”項(xiàng)隱中，送每個(gè)贏變量債以原道變量亦或反翠變量?jī)數(shù)男螎u式出金現(xiàn)一爹次，餃且僅蠻出現(xiàn)持一次遮，這抄個(gè)“鄙或”楊項(xiàng)稱返為最大忙項(xiàng)。最大渾項(xiàng)的寶符號(hào)掏表示皆：Mi其中i的確質(zhì)定方般法：糖原變?cè)Ａ坑?表示寇，反里變量瓦用1表示鐮所得躁二進(jìn)辨制碼凍的十誘進(jìn)制毫數(shù)某個(gè)此最大簽項(xiàng)不屈在邏筋輯函松數(shù)F中，漫就在咳其反耕函數(shù)捆中。24例

求的反函數(shù)。25最小燙項(xiàng)與拘最大緞項(xiàng)的擴(kuò)關(guān)系下標(biāo)i相同罷的最品小項(xiàng)繡與最尊大項(xiàng)齡互補(bǔ)手，即:如：凈即拍為:。263.臥4.翠2標(biāo)準(zhǔn)誘與或到表達(dá)賞式任何詞一個(gè)定邏輯捎函數(shù)燈都可寄以表攏示成索最小蔥項(xiàng)之銳和的洞形式踢，稱奴為標(biāo)準(zhǔn)潮與或鏡表達(dá)械式。例3-熔14將互展開途為最址小項(xiàng)遍之和翅的形勉式。273.死4.熱3標(biāo)準(zhǔn)槐或與途表達(dá)血式任何少一個(gè)宇邏輯曬函數(shù)決都可青以表翠示成拌最大垮項(xiàng)之桌積的附形式曾，稱伐為標(biāo)準(zhǔn)爸或與良表達(dá)臂式。例3-取16將展開光為最艇大項(xiàng)愉之積皮的形餡式。例3-聞17將寫成減標(biāo)準(zhǔn)拿或與聞表達(dá)拿式。283.亞4.壁4兩種睬標(biāo)準(zhǔn)顛形式賺的相槽互轉(zhuǎn)辜換對(duì)于涌一個(gè)n變量倒的邏贊輯函筍數(shù)F，若F的標(biāo)括準(zhǔn)與瓦或式愈由K個(gè)最小勸項(xiàng)相面或構(gòu)猴成，蟲則F的標(biāo)你準(zhǔn)或伐與式糊一定倉(cāng)由通個(gè)怕最大雄項(xiàng)相予與構(gòu)盾成。并且兩對(duì)于螺任何傅一組壩變量甜取值悼組合石對(duì)應(yīng)棒的序?qū)姨?hào)i，若選標(biāo)準(zhǔn)學(xué)與或沙式中不含mi，則悲標(biāo)準(zhǔn)裁或與宋式中那一定含Mi。例3-站18將標(biāo)煤準(zhǔn)與袋或表則達(dá)式表示為標(biāo)僚準(zhǔn)或袋與表泰達(dá)式諷。293.凝4.霉5邏輯產(chǎn)函數(shù)舌式與囑真值騾表的造相互躲轉(zhuǎn)換（1）由打真值癢表求圍對(duì)應(yīng)刻的邏豬輯函券數(shù)表測(cè)達(dá)式如果臥給出釀了函添數(shù)的解真值蘭表，烏則只聰要將函數(shù)剛值為1的那騎些最塊小項(xiàng)液相加偶，便擦是函六數(shù)的冠標(biāo)準(zhǔn)詠與或留表達(dá)漲式；將函數(shù)旗值為0的那源些最嘴大項(xiàng)盯相乘累，便早是函棉數(shù)的慌標(biāo)準(zhǔn)礎(chǔ)或與模表達(dá)貴式。ABCF最小項(xiàng)最大項(xiàng)00000101001110010111011101110100m0m1m2m3m4m5m6m7M0M1M2M3M4M5M6M730（2）由輛邏輯老函數(shù)黑表達(dá)茂式求亞對(duì)應(yīng)暗的真拼值表其步求驟是歸：首丈先在惠真值琴表中個(gè)列出狗輸入檔變量敬二進(jìn)否制值羊的所況有可砌能取啄值組壤合；其次金將邏餡輯函眾數(shù)的與或（或辟與）解表達(dá)詞式轉(zhuǎn)悄換為標(biāo)準(zhǔn)達(dá)與或（或全與）室形式關(guān)；最后固將構(gòu)腔成標(biāo)準(zhǔn)途與或（或犧與）利形式當(dāng)?shù)拿總€(gè)登最小冊(cè)項(xiàng)（最遠(yuǎn)大項(xiàng)飼）對(duì)疤應(yīng)的燦輸出綱變量句處填上1（0），其它闊填上0（1）。31自測(cè)諷練習(xí)P64323.怒5邏輯跪函數(shù)谷的卡紋諾圖晉化簡(jiǎn)號(hào)法2變量間、3變量鐮和4變量兆卡諾凝圖與或榆表達(dá)龜式的業(yè)卡諾倚圖表伯示與或拿表達(dá)擱式的師卡諾屬圖化么簡(jiǎn)或與展表達(dá)樓式的如卡諾刪圖化擔(dān)簡(jiǎn)含無(wú)擊關(guān)項(xiàng)息邏輯聲函數(shù)解的卡沖諾圖良化簡(jiǎn)多輸勿出邏蒼輯函召數(shù)的質(zhì)化簡(jiǎn)主要云內(nèi)容：333.芒5.謠1卡諾淺圖卡諾煎圖是覺(jué)一種痰描述拐邏輯仁函數(shù)順的方格趣矩陣，每鐮個(gè)方噴格代孔表一鋤個(gè)最組小項(xiàng)準(zhǔn)或最舉大項(xiàng)勻。它和喇真值聾表相濃似，暈包含測(cè)了輸坡入變里量的持所有者可能尾取值盛組合摔以及壺每種截取值草組合恥下的臣輸出殃結(jié)果戶，它相當(dāng)啄于真最值表嶼的一婦種特配殊輸醉出列。34卡諾項(xiàng)圖中想，方蕉格的喇?dāng)?shù)目動(dòng)等于門最小歷項(xiàng)或卵最大截項(xiàng)的落總數(shù)但。所覽有方額格按照嚷格雷絞碼順膏序進(jìn)行繁行和奮列的簽排列恭，使辛得每幣行和紹每列街的相甘鄰方徐格之避間僅休有一蔑位變脹量發(fā)產(chǎn)生變猛化。BCA000111100m0m1m3m21m4m5m7m6CAB0100m0m101m2m311m6m710m4m53變量附卡諾國(guó)圖35CDAB0001111000m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9m11m104變量錦卡諾戒圖363.鑼5.舞2與或徑表達(dá)雜式的劫卡諾嗚圖表社示對(duì)于特標(biāo)準(zhǔn)胳形式禁的與摩或表近達(dá)式次來(lái)說(shuō)拌，卡家諾圖帳的表研示方發(fā)法是袖：把羞表達(dá)握式中纖的每一個(gè)或最小亭項(xiàng)所對(duì)能應(yīng)的吊方格坐中填入1，其走余方湊格填入0，就掃得到鍬了該椒邏輯勇函數(shù)率的卡膜諾圖避。注虹意返變非量姿順摧序賢！37BCA000111100011111101答剛案38CDAB00011110000000011100111111100110答酬案39首先腹化為一般寇的與俯或表假達(dá)式，然票后在賤卡諾床圖上棗對(duì)每一個(gè)裁與項(xiàng)璃所包旺含的右那些密最小縫項(xiàng)（該潛與項(xiàng)董就是疊這些福最小犁項(xiàng)的脊公因錢子）陡相對(duì)眨應(yīng)的我方格陶內(nèi)填入1，其烘余的巴方格卵內(nèi)填液入0。40變換否為與臘或表援達(dá)式ＡＤ所包含的那些最小項(xiàng)ＢＣ所包含的那些最小項(xiàng)413.單5.浙3與或怎表達(dá)夠式的池卡諾由圖化隆簡(jiǎn)卡諾么圖化記簡(jiǎn)的分步驟第一微步：釋對(duì)卡山諾圖斥中的臉“1”進(jìn)行吧分組指，并尾將每庭組用設(shè)“圈”圍起摘來(lái)。悲根據(jù)尿以下慈規(guī)則置分組燃：（1）每噴個(gè)圈幸內(nèi)只尾能含繡有2n（n=0僻,1躺,2堤,3寨,…硬.）個(gè)盤最小勻項(xiàng)。（2）圈害內(nèi)的世每一瞧個(gè)最有小項(xiàng)航必須衡和該崇圈中挪的一象個(gè)或斜多個(gè)掛最小頓項(xiàng)邏比輯相墊鄰，馳但該簽圈中夕的所衛(wèi)有最港小項(xiàng)集并不雅一定礎(chǔ)必須糖相互旨邏輯升相鄰補(bǔ)。（3）所弟有取梢值為1的方休格均膏要被刮圈過(guò)克，即筒不能屋漏下麥取值留為1的方分格。茄但它穿們可絕以多脾次被辦圈。（4）圈球的個(gè)陳數(shù)盡碌量少盾，圈鄙內(nèi)方儀格的姓個(gè)數(shù)筋盡可朵能多駕。第二社步：佩由每瓦個(gè)圈綁得到暴一個(gè)墻合并利的與照項(xiàng)。彎該與棚項(xiàng)由絡(luò)該圈床中僅把僅以交一種噴形式宜（原想變量踩或者史反變攝量）蠢出現(xiàn)致的所彼有變謊量構(gòu)明成。施即消臥去同恩時(shí)以圖原變亦量和魄反變振量形塑式出厘現(xiàn)的歇變量火。攀即“留同移去變”。第三躲步：媽將上蒜一步價(jià)各合襪并與慈項(xiàng)相盾加，念即得婆所求橫的最謎簡(jiǎn)“急與或魯”表對(duì)達(dá)式鄙。42（1）任星何兩黎個(gè)（21個(gè)）保標(biāo)1的相鴉鄰最稀小項(xiàng)栗，可未以合濤并為脹一項(xiàng)所，并稻消去斧一個(gè)美變量窮（消畏去互麥為反末變量酒的因臂子，譽(yù)保留勞公因舅子）涉?！傲敉喝プ儭?3（2）任背何4個(gè)（22個(gè)）醉標(biāo)1的相厚鄰最證小項(xiàng)斜，可蟲以合圈并為鐘一項(xiàng)誼，并政消去2個(gè)變案量。44BDＢＤＢＤＢＤ45（3）任遞何8個(gè)（23個(gè)）晌標(biāo)1的相魄鄰最窩小項(xiàng)魯，可鑼以合勤并為蔥一項(xiàng)仗，并捉消去3個(gè)變淡量。ＤＢ46例：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)畫出養(yǎng)四變渾量的慚卡諾唱圖47例化簡(jiǎn)Y(A,驚B,娘C,勢(shì)D)=(攔0,鴉2,超3,請(qǐng)5,浸6,踏8,糟9,下10畜,1黑1,筐12賭,1樂(lè)3,汗14痰,1抽5)ABCD00011110000111101111111111111000A483.梨5.剪4或與船表達(dá)賊式的糊卡諾軌圖化如簡(jiǎn)對(duì)于氏標(biāo)準(zhǔn)具形式族的或衰與表酷達(dá)式熱來(lái)說(shuō)掘，卡漆諾圖足的表延示方爹法是爛：把戶表達(dá)機(jī)式中窩的每一裝個(gè)最霜大項(xiàng)所對(duì)躁應(yīng)的守方格吩中填入0，其餃余方豬格填納入1，就哭得到蚊了該粥邏輯延函數(shù)拉的卡屈諾圖毀。49ABC0

10001111000001101例3-蠢27用卡亡諾圖騎化簡(jiǎn)遵下面戲或與儀表達(dá)稻式。解：首先舟將上捕式轉(zhuǎn)值換為欣標(biāo)準(zhǔn)角或與疲形式悉：。50或與糠表達(dá)傍式的亂其它拼化簡(jiǎn)碼方法例3-造28用卡恒諾圖肺化簡(jiǎn)誘下面向或與仍表達(dá)姓式。解：（1）求穿出上隊(duì)式的刮反函剃數(shù)為包：（2）對(duì)易上述極反函晶數(shù)進(jìn)龍行卡配諾圖澡化簡(jiǎn)炎可得姥：（3）對(duì)壤上述題反函盆數(shù)再盡求反緒即得巡壽原函津數(shù)表脅達(dá)式權(quán)：513.盼5.捧5含無(wú)叮關(guān)項(xiàng)昆邏輯臨函數(shù)陰的卡個(gè)諾圖輸化簡(jiǎn)有時(shí)娃在真報(bào)值表永內(nèi)對(duì)諒應(yīng)于讓變量對(duì)的某底些取微值組雄合下組，函閑數(shù)的征值可暖以是任意襯的，或劉者這戶些變齒量的蒙取值旱組合根本賊不會(huì)控出現(xiàn)。這偵些變打量的遼取值概組合鑼所對(duì)棚應(yīng)的咽最小邪項(xiàng)或喪最大葵項(xiàng)稱擱為“無(wú)關(guān)奇項(xiàng)”或卸“任意屋項(xiàng)”。用符死號(hào)“d”、“×”或“φ”表示戲，它劉們的垃函數(shù)遼值可再以為彼“0”或“1”。使擋用無(wú)皆關(guān)項(xiàng)可有助渡于邏碑輯函層數(shù)的泳化簡(jiǎn)斥。含無(wú)垂關(guān)項(xiàng)勤的邏昆輯函株數(shù)有尿如下像幾種件表示猛方法屢：（1）最胞小項(xiàng)邊表達(dá)錄式：（2）最侮大項(xiàng)序表達(dá)料式：52解:例3-憲30化簡(jiǎn)壺下列醉函數(shù)：F（A，B，C，D）=Σm（0，3，4，7，11）+Σd(8，9，12，13，14，15召)53本章幕小結(jié)1．邏平輯變艷量和飾邏輯過(guò)函數(shù)如果懷一個(gè)傻事物聰?shù)陌l(fā)掏生與霸否只歉有完振全對(duì)雀立的傾兩種柴可能館性，結(jié)則可何將其飽定義嶺為一吵個(gè)