數(shù)值課件第章

第5章

解線性方程組的直接方法

本章要點高斯消元法、高斯列主元素消去法。矩陣三角分解法、追趕法。向量和矩陣的范數(shù)。3.1引言在工程技術(shù)、自然科學(xué)和社會科學(xué)中，經(jīng)常遇到的許多問題最終都可歸結(jié)為解線性方程組，如電學(xué)中網(wǎng)絡(luò)問題、用最小二乘法求實驗數(shù)據(jù)的曲線擬合問題，工程中的三次樣條函數(shù)的插值問題，經(jīng)濟運行中的投入產(chǎn)出問題以及大地測量、機械與建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計計算問題等等，都歸結(jié)為求解線性方程組或非線性方程組的數(shù)學(xué)問題。因此線性方程組的求解對于實際問題是極其重要的。

第3章解線性方程組的直接法

常見的線性方程組是方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的n階線性方程組，一般形式為

簡記為

Ax=b，其中

(3.1)

一般b≠0,當(dāng)系數(shù)矩陣A非奇異(即detA≠0)

時，方程組（3.1）有惟一解。

線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：直接法：就是經(jīng)過有限步算術(shù)運算，可求得方程組精確解的方法（若計算過程中沒有舍入誤差），如克萊姆法則就是一種直接法，直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。迭代法:(

第六章介紹）就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組的精確解的方法。也就是從解的某個近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個無窮序列去逼近精確解的方法。(一般有限步內(nèi)得不到精確解)3.2解線性方程組的直接法（高斯消去法）

3.2.1高斯消去法的基本思想先用一個簡單實例來說明Gauss法的基本思想例3.1解線性方程組

①②③解:

該方程組的求解過程實際上是將一個方程乘或除以某個常數(shù),然后將兩個方程相加減,逐步減少方程中的未知數(shù),最終使每個方程只含有一個未知數(shù),從而得出所求的解。整個過程分為消元和回代兩個部分。

（1）消元過程第1步:將方程①乘上(-2)加到方程

②上去,將方程

①乘上加到方程

③上去,這樣就消去了第2、3個方程的項,于是就得到等價方程組

④⑤第2步：將方程

④乘上加到方程

⑤上去，這樣就消去了第3個方程的項，于是就得到等價方程組

⑥這樣，消元過程就是把原方程組化為上三角形方程組，其系數(shù)矩陣是上三角矩陣。

（2）回代過程回代過程是將上述三角形方程組自下而上求解，從而求得原方程組的解：

前述的消元過程相當(dāng)于對原方程組

的增廣矩陣進行下列變換(表示增廣矩陣的第行）同樣可得到與原方程組等價的方程組⑥

由此看出,高斯消去法解方程組基本思想是設(shè)法消去方程組的系數(shù)矩陣A的主對角線下的元素,而將Ax=b化為等價的上三角形方程組,然后再通過回代過程便可獲得方程組的解。換一種說法就是用矩陣行的初等變換將原方程組系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣,而以上三角形矩陣為系數(shù)的方程組的求解比較簡單,可以從最后一個方程開始,依次向前代入求出未知變量。這種求解上三角方程組的方法稱為回代,通過一個方程乘或除以某個常數(shù),以及將兩個方程相加減,逐步減少方程中的變元數(shù),最終將方程組化成上三角方程組,一般將這一過程稱為消元,然后再回代求解。通常把按照先消元,后回代兩個步驟求解線性方程組的方法稱為高斯（Gauss）消去法。3.2.2高斯消去法算法構(gòu)造

我們知道,線性方程組(3.1)用矩陣形式表示為

(3.3)解線性方程組（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元過程就是對(3.3)的增廣矩陣進行初等行變換。將例3.1中解三階線性方程組的消去法推廣到一般的階線性方程組并記則高斯消去法的算法構(gòu)造歸納為：

⑴消元過程,高斯消去法的消元過程由n-1步組成：第1步設(shè),把(3.3)中的第一列中元素消為零,令用乘以第1個方程后加到第個方程上去,消去第2～n個方程的未知數(shù),得到即

其中

第k步

（k=2,3,…,n-1）繼續(xù)上述消元過程，設(shè)第k-1次消元已經(jīng)完成，得到與原方程組等價的方程組

記為其中設(shè)，計算乘數(shù)用乘以第k個方后加到第i個到第n個方程中，消去第i個到第n個方程的未知數(shù)，得到只要,消元過程就可以進行下去,直到經(jīng)過n-1次消元之后，消元過程結(jié)束，得到與原方程組等價的上三角形方程組,記為

或者寫成

即

(3.7)（2）回代過程就是對上三角方程組（3.7）自下而上逐步回代解方程組計算，即

（3）高費斯消籠去法周的計苗算步孕驟：①峰消元隙過程;設(shè)局計櫻算②回代炕過程(4老)Ga撞us蓮s消去勇法計送算量園≈①消元熔計算:憂aij(k鐘+1奔)=用aij(k應(yīng))-襖mikakj(k址)(i俗,j魚=k少+1封,k絨+2森,臉…既,構(gòu)n)第一并步們計算亭乘數(shù)mi1,難mi1=ai1/a11(i財=2嶄,3訂,…寇,n出)需要n-屆1次除冰法運炒算,計算aij(2）(i見,j擦=2睡,3銷,…繞,n獸)需要(n錘-1鐵)2次乘盟法運辭算及(n襯-1漲)2次加土減法愿運算,第k步加減法次數(shù)乘法次數(shù)除法次數(shù)123…n-1(n-1)2(n-2)2(n-3)2…1(n-1)2(n-2)2(n-3)2…1(n-1)(n-2)(n-3)…1合計n(n-1)(2n-1)/6n(n-1)(2n-1)/6n(n-1)/2乘除印法次滿數(shù)：MD奪=n(洲n-露1)系(2喚n-付1)混/6棉+其n(掛n-威1)易/2界=1鼻/3械n真(n2-1勝)加減綢法次朵數(shù)：AS趙=n(創(chuàng)n-漏1)鐘(2土n-住1)咳/63.甲2.殖3高斯迫消去誦法的觸適用盛條件定理3.驕1方程獨組系危數(shù)矩第陣的懲順序炊主子乞式全咽不為零該則高物斯消先去法趙能實穗現(xiàn)方釀程組儲的求解蝕。證明靈上三胡角形嗚方程蠶組是香從原舉方程袖組出漁發(fā)，炸通過宰逐次疊進行“一行蘇乘一砌數(shù)加療到另遇一行”而得張出的淚，該忍變換看不改控變系恭數(shù)矩辦陣順犧序主屑子式散的值閑。設(shè)方集程組徑系數(shù)著矩陣期，其聾順序族主子大式（m暮=1休,2槽,…，n）經(jīng)變閣換得告到的恢上三亭角形城方程甜組的傾順序諸主子垂式所以手能實濱現(xiàn)高矮斯消換去法袖求解（m春=1儉,2加,…，n）定義3.蔬1設(shè)矩令陣那每菠一行鴉對角英元素猾的絕筒對值雜都大獲于同辱行其屑他元雞素絕耗對值將之和則稱A為嚴(yán)斥格對非角占減優(yōu)矩帳陣。定理3.虹2若方吹程組怕的系雹數(shù)矩?fù)P陣A為嚴(yán)逃格對唱角占限優(yōu)，厲則用獲高斯誤消去黎法求勒解時鋸，委全淚不為零。一般蕩線性閉方程型組使個用高翅斯消來去法耽求解怪時，備在消草元過修程中?？赡苊睍鲣N現(xiàn)迅的計情況送，這間時消勻去法慌將無伸法進仿行；晚即使叛，但布它的屆絕對懶值很我小時玻，用銅其作魂除數(shù)訴，會蓮導(dǎo)致綱其他惰元素肢數(shù)量響級的剩嚴(yán)重書增長漫和舍我入誤纏差的揪擴散徐，將乏嚴(yán)重蕉影響特計算爪結(jié)果姨的精資度。苗實際討計算片時必飯須避岡免這宋類情映況的嘉發(fā)生端。主合元素私消去拉法就衡可彌驗補這黨一缺戲陷?；景趟枷脒_：每雙次消恨元之釣前在妨系數(shù)惜矩陣量中按多一定濫的范以圍選新取絕漲對值隙最大擊的元惹素作綁為主皇元素貝，以妥便減哨少舍柜入誤喝差的客影響涌。交換撇原則席：通補過方徹程或米變量悶次序錫的交返換，舅使在是對角陽線位于置上揪獲得封絕對掏值盡鴨可能立大的蕩系數(shù)可作為akk(k州)，稱秒這樣判的akk(k柔)為主元從素，并汁稱使嗽用主段元素號的消膨元法為主例元素肥法根據(jù)粒主元斯素選捎取范施圍分紋為：怎列主尿元素朝法、儀行主梢元素哈法、脂全主新元素爭法列主浴元素騙法：緩在待雄消元踐的所冶在列菜中選板擇主維元，博經(jīng)方稀程的介變換濕，置家主元翻素于黃對角蛙線位重置后染進行個消元瓦的方出法。全主撤元素室：在全序體待訊選系印數(shù)中蚊選取串主元嘉，則候得全主眨元素抖法。記筆顧記3.甚2.煌4高斯衣主元勤素消狹去法主元礎(chǔ)素法殿的意顆義例3.康2用高表斯消廊去法師求下肯列方才程組機的解解：劫確定醬乘數(shù)辛，屠再計縮慧算系及數(shù)假設(shè)簽計算悶在4位浮更點十聞進值讀的計鵲算機嗎上求知解,則有這時病方程漁組的小實際訊形式筐是由此色回代榮解出,但這奇?zhèn)€解精不滿隊足原陶方程酒組,解是普錯誤流的。鐵這是董因為將所用繭的除鈴數(shù)太促小使卡得上駝式在毯消元善過程虹中“吃掉”了下眼式，毀解決分這個衰問題絲式的方氏法之用一就割是采抄用列礙選主回元高役斯消云元法說。即層按列侍選絕匪對值濾大的膀系數(shù)脅作為預(yù)主元氧素，紙則將穿方程迅組中猾的兩錢個方堤程相山交換槽，原痛方程鞭組變完為得到西消元振后的壤方程碎組這時因而騰方程此組的柔實際儉形式紙是由此耐回代戶解出,這個天結(jié)果屑是正不確的可見紙用高剖斯消退去法口解方挽程組紫時,小主塑元可胖能導(dǎo)弊致計災(zāi)算失瞞敗,因為港用絕雅對值們很小低的數(shù)隨作除載數(shù),乘數(shù)驢很大,引起紀(jì)約化讓中間話結(jié)果家數(shù)量派級嚴(yán)肺重增銳長,再舍腎入就痕使得志計算廟結(jié)果壘不可傳靠了,故避攪免采腳用絕睡對值隸很小符的主昨元素往。以怠便減即少計罰算過拿程中純舍入納誤差跑對計伙算解憐的影苗響。每一桐步選夕絕對青值最圣大的聰元素完為主寬元素梁，保藏證丘。Stepk:①選?、诜跪fikkth尾en交換都第k行與端第ik行;Ifjkkth蜜en交換艷第k列與貍第jk列;③消元全主克元素向法不是榮按列重選主戲元素街，而詢是在麗全體必待選辱系數(shù)趁中選趨取，求則得全主枝元素獄法。例3.揚3用全主志元素精法解帳下列制線組

10x1-19x2-2x3=3(1)-20x1+40x2+x3=4(2)x1+4x2+5x3=5(3)解：退選擇探所有旅系數(shù)粒中絕緣瑞對值隱最大撫的40作為主元騾素，摔交換票第一溝、二淋行和窩交換佛第一短、二事列使侍該主劉元素仍位于另對角傾線的跑第一賓個位稱置上鴉，得40x2-20x1+

x3=4(4)-19x2+10x1-2x3=3(5)

4x2+x1+5x3=5(6)記筆訓(xùn)記計算m21=-銜19繳/4捐0=0厘.4講75，m31=4懶/4盛0=0產(chǎn).1(5隨)-窮m21(4臨),攏(渡6)際-玻m31(4森)消去x2得0.5x1–1.525x3=4.9(7)3x1+4.9

x3=4.6(8)選4.宏9為主擾元素

4.9x3+3x1=4.6(9)1.525x3+0.5x1=4.9(10)計算m32=-濾1.摸52儉5/份4.路9=-吸0.暴31引12挨2，(1乓0)遍-估m(xù)32(9鍬)消去x2得1.節(jié)43婚36闖6x1=6思.瓦33址16搞1捐(賞11激)記筆鏟記保留熱有主醒元素已的方幫程40x2-20x1+

x3=4(4)

4.9x3+3x1=4.6(9)

1.43366x1=6.33161(11)進行怒回代x1=4.41634

x3=-1.76511x2=2.352303.敘2.鼻4.晚1列主趟元素想法列主汁元素督法就蕉是在姥待消撈元的將所在歷列中責(zé)選取初主元煙，經(jīng)溜方程曉的行逝交換鋪，置芬主元栗素于苦對角征線位奶置后敬進行冶消元險的方是法。片即樂：在高勝斯消汪元第k步之讀前，要做如擁下的源事情何：若交換k行和j行行的筐交換膽，不舉改變膏方程類組的捐解，捐同時寫又有樹效地嗎克服泊了高帽斯消瞇元的貝缺陷杯。例3.迷4用列主醋元素禍法解乏下列看線性良方程被組

10x1-19x2-2x3=3(1)-20x1+40x2+x3=4(2)x1+4x2+5x3=5(3)解：禁選擇-2蕉0作為屢該列望的主元桑素，-20x1+40x2+x3=3(4)

10x1-19x2-2x3=4(5)x1+4x2+5x3=5(6)計算m21=1資0/淋-2尋0=-軟0.義5m31=1張/-芬20=-月0.牌05(5田)-請m21(4隙),裹(泊6)鄰-父m31(4蟲)得x2–1.5x3=5(7)6x2+5.05x3=5.2(8)選6為主惡元素6x2+5.05x3=5.2(9)x2–1.5x3=5(10)計算m32=1叨/6=0若.1待66粘67，(1怒0)窄-艦m32(9舉)得-2淹.3犁41睛68盛x3=4妥.1唐33待32助(詞11剩)記筆同記保留例有主狗元素阻的方裙程-20x1+40x2+x3=4(4)6x2+5.05x3=5.2(9)-2.34168x3=4.13332(11)進行點回代x3=-1.76511x2=2.35230x1=4.41634記筆血記列選掌主元預(yù)素的徹計算英方法晨與高著斯消財去法智完全寸一樣,不同置的是倉在每戰(zhàn)步消糾元之膝前要鎮(zhèn)按列蝦選出指主元蜘。例3.款5用矩角陣的涼初等族行變豬換求牙解解巾方程賽組解:用矩聯(lián)陣的勾初等亂行變鋪換求恭解,對增青廣矩蘋陣(下面闖帶下桑劃線悅元素朵為主敞元素)所以羊，等糟價的液三角授形方配程組嚴(yán)為：回代修求解湯，得凝：3.頃2.弦5高斯-約當(dāng)教（Jo隔rd爽an）消撤去法高斯工消去蓮法有差消元挺和回兵代兩嚇個過吳程，復(fù)消去馬的是后對角尺線下廉方的坡元素滔。當(dāng)貸對消鑰元過贈程稍鄉(xiāng)豐加改涼變便轎可使斧方程辦組失化蛇為對鏟角陣。（3.尺8）這時作求解滲就不賣需要避回代勺了，克這種臟將主雹元素洗化為1，并辟用主留元將請其所回在列繭的冗賄余元床素全純都消賊為0，即賢消去繞對角燦線上棟方與速下方杰的元篇素，濾這種享方法興稱為高斯-約當(dāng)兇消去妖法，這時債等號直右端逆即為播方程盡組的惹解。算法橫核心緊：每步衛(wèi)不計什算mik，而紛是先制將當(dāng)暑前主捕元akk(k)變?yōu)?;把akk(k)所在習(xí)列的陰上、孤下元獄素全惰消為0;計算萍方法例3.識6用高甲斯-約當(dāng)(J少or濟da丸n)消去耗法求距方程帽組的膨解解屢方浩程組盲相應(yīng)赤的增耀廣矩洽陣列選榜主元故得定理3.懂4設(shè)A為非匠奇異鵲矩陣師，方知程組AX榆=紀(jì)I的增卸廣矩牧陣為C=AI，如短果對C應(yīng)用眨高斯-約當(dāng)撈消去散法化弓為IB，則=B。例3.個7用高騰斯-約當(dāng)態(tài)（Jo營rd先an）消碼去法求的逆欲矩陣解C=AI=3.濃3矩陣覺三角慕分解貨法矩陣至三角拍分解蠢法是儲高斯引消去苗法解擔(dān)線性浪方程訊組的惑一種便變形另解法3.卵3.昂1矩陣窗三角伐分解偶原理應(yīng)用析高斯危消去富法解n階線這性方跌程組Ax良=b危,經(jīng)過n步消四元之嘆后,得出傻一個夕等價寺的上哥三角載型方事程組A(n突)x=囑b(n混),對上擱三角繩形方贊程組越用逐烏步回桐代就惹可以簽求出喊解來晴。上誕述過樹程可區(qū)通過咱矩陣差分解麗來實鈔現(xiàn)。將非蔬奇異絨陣A分解珠成一棕個下駐三角樣陣L和一普個上直三角笑陣U的乘襯積A=捕LU稱為趴對矩陣A的三忘角分嬸解，哀又稱LU分解其中方程過組Ax孕=b的系輕數(shù)矩悔陣A經(jīng)過葬順序?qū)孟胫鸩今R化為桿上三竭角型A(n松),相當(dāng)松于用唱一系射列初獄等變丟換左樸乘A的結(jié)嘆果。肺事實鎖上，已第1列消隔元將A(1波)=A化為A(2呢)，若聯(lián)令：則根塊據(jù)距蜘陣左類乘有L1A(1責(zé))=A(2芝)第2列消當(dāng)元將A(2絨)化為A(3笑)，若倒令：經(jīng)計拔算可痰知L2A(2撫)=A(3劈燕),依此洪類推,一般辟有LkA(k舅)=A(k掌+1貞)mi1=漁a(1育)i1/喚a(1進)11i=竄2,哥3,粱……戰(zhàn)n于是飲矩陣散經(jīng)過嘩消元叫化為溝上三饞角陣的過悔程可填表示及為上述鋒矩陣鍵是一姻類初頸等矩棉陣,它們漲都是六單位夠下三牢角陣含，且坐其逆博矩陣杰也是帶單位染下三劍角陣,只需獎將扮改頭為,就得呢到蠢。柄即于是遇有其中L為由辣乘數(shù)逮構(gòu)成釋的單思位下趴三角賽陣，U為上慨三角賢陣，狡由此否可見牙，在塑的條言件下呀，高艙斯消促去法殲實質(zhì)衣上是蘆將方笑程組浸的系耐數(shù)矩躁陣A分解租為兩塑個三引角矩擴陣的沸乘積A=退LU。這瀉種把澆非奇戚異矩污陣A分解怨成一勒個下是三角關(guān)矩陣L和一承個上卻三角否矩陣U的乘軍積稱關(guān)為矩爸陣的芽三角歲分解誦，又油稱LU分解煩。顯然戀，如征果,由行目列式石的性芹質(zhì)知鏈，方德程組傳系數(shù)取矩陣A的前n-垃1個順么序主嚷子矩六陣掌非浮奇異灑，即籌順序掠主子窩式不撇等于殘零，姿即其中（A的主陜子陣益）反之,可用繩歸納持法證伏明,如果A的順冠序主憐子式則于是錯得到撞下述炕定理驚：定理3.杰5設(shè)寬。濁如果A順序傾各階巴主子雜式,,則A可惟盲一地之分解壞成稅一個嗎單位腎下三只角陣L和一槐個非賣奇異為的上甘三角厚陣U的乘貞積。證：支由于A各階藏主子缸式不皮為零,則消拒元過愚程能竊進行年到底,前面歐已證擇明將揮方程泡組的團系數(shù)裙矩陣A用初跨等變匯換的敏方法畫分解慘成兩睬個三插角矩釣陣的陵乘積A=摸LU的過匠程?，F(xiàn)僅踩證明臣分解肉的惟揮一性晨。設(shè)A有兩菜種LU分解其中雷為單蜜位下稿三角勵陣，濾為上偶三角態(tài)陣∵A的行屑列式腳均為飾非奇飲異矩觀陣,有上式霧兩邊抗左邊段同乘評，稻右邊壇同乘獨得上式貿(mào)左邊鴿為單康位下樹三角仰陣,右邊鋸為上沫三角蘿陣,故應(yīng)芽為單悼位陣,即惟一嚇性得控證。把A分解唉成一謙個單委位下暗三角濟陣L和一像個上躺三角紋陣U的乘壟積稱酒為杜利辜特爾錫（Do鳥ol唐it派tl棄e）分解。其中若把A分解房誠成一尿個下蘇三角塘陣L和一缸個單當(dāng)位上攝三角榴陣U的乘題積稱襯為（克洛特怖分解Cr晝ou貢t）其中3.殘3.席2用三藍角分鍛解法偏解方她程組求解線抬性方錘程組Ax負(fù)=b時,先對代非奇著異矩圈陣A進行LU分解利使A=倡LU，那公么方懂程組芒就化島為LU協(xié)x犬=b從而伯使問鮮題轉(zhuǎn)難化為茂求解盯兩個歡簡單參的的棚三角盟方程效組L河y=始b求解yU贏x=永y求解x這就眠是求衛(wèi)解線爭性方賴程組廈的三厘角分蜻解法殘的基其本思級想。叫下面扁只介鬼紹杜士利特常爾（Do逼ol坦it形tl腰e）分每解法鞏。設(shè)A=因LU為由矩藥陣乘陣法規(guī)竹則由此毛可得U的第1行元吉素和L的第1列元的素再確銷定U的第k行元挽素與L的第k列元凈素,對于k=休2,旦3,候…郵,n計算輕：①計算U的第k行元畏素（j=肥k,抬k+惰1,…,n）②計算L的第k列元平素（i=聾k,鏡k+牲1,…,n）（j=k,k+1,…,n）

①計算U的第k行元興素固定k，對j=i,i+1例,梢…,n有（j=k,k+1,…,n）

②計算L的第k列元盲素同理翠，固區(qū)定k，對i=k,k+1滴,混…,n有（i=途k,藍k+葵1,…,n）利用鎖上述濤計算匯公式電便可恭逐步統(tǒng)求出U與L的各魔元素求解Ly傅=b烏,即計凝算:求解Ux派=y建,即計溪算：顯然,當(dāng)尺時,解Ax街=b直接仔三角臺分解炊法計貫算才什能完首成。柳設(shè)A為非糕奇異久矩陣,當(dāng)喉時計川算將脖中斷膜或者赤當(dāng)犬絕對膝值很欲小時發(fā)，按技分解稱公式看計算紡可能搭引起夸舍入徐誤差習(xí)的積極累，談因此概可采故用與車列主券元消濕去法球類似謊的方司法，傷對矩隊陣進酬行行娛交換嶺，則夠再實辮現(xiàn)矩旬陣的蠟三角挨分解扮。用直笛接三安角分握解法院解Ax舍=b大約禿需要次乘鬼除法撥。三角去分解廳法的恐存放嗚元素悄的方祥法：的元梳素存歪放在A的，即uuuuuuUlllLúúú?ùêêê?é=úúú?ùêêê?é=332322131211323121111相應(yīng)標(biāo)位置毒。優(yōu)點詢：不用籃存儲控中間圓量，莊適合債于計玻算機粥計算堵。說明脂：以上叫計算爽方法韻實際趁上是糞消去養(yǎng)法的過變形—緊湊格式捎。例3.拒8用三香角分晴解法咐解方汁程組求解Ly油=b得y=捐[2，2，1]T求解Ux海=y得x=互[止-爸1，0，1樂]T所以笛方程凳組的蠟解為

設(shè)，試將A進行三角分解。解：由高朗斯消鄭去法禍得到用直飄接三毯角分賊解法蒙解方餃程組虛。解：3.琴4平方惱根法工程蹦實際儀計算叼中,線性謠方程趕組的纏系數(shù)般矩陣艘常常幕具有乒對稱郵正定姨性，匆其各偽階順囑序主緣瑞子式隊及全娛部特資征值輪均大侄于0。矩切陣的逢這一弊特性這使它誓的三中角分熔解也匯有更毯簡單濕的形獸式，她從而豪導(dǎo)出卵一些嗓特殊械的解頌法，哲如平牛方根墨法與旬改進光的平裙方根墻法。定理3.蹲6設(shè)A是對予稱正盤定矩館陣，烈則存碗在惟遞一的污對角切元素尾均為識正數(shù)揭的下繞三角煉陣L，使A=尿LLT證：窄因A是正立定矩親陣,芹A的順招序主叔子式?i>0栗,鵝i=障1,稅2,…,n因此容存在儀惟一虛的分愛解A=疏LUL是單扭位下冊三角謊陣,識U是上盆三角叼陣,將U再分這解其中D為對龜角陣,肚U0為單軟位上煤三角買陣，次于是A姓=西L搶U您=俯L怖D葉U0又A柿=塑AT=態(tài)U0TD山LT由分努解惟窗一性,即得U0T=LA=飾L剃D絞LT記又因雁為de派t(銳Ak)＞0,友(k笑=1混,2情,…慎,n少),故于是雹對角蓄陣D還可蓄分解其中蒜為榨下三澤角陣,令L=低L1，定境理得圣證。將A=票LLT展開功，寫徒成按矩坦陣乘治法展針開，裂可逐阿行求量出分艷解矩棵陣L的元孤素，只計算殘公式鍬是對貓于i=患1,部2,…,nj=顯i+1,轎i+2,…渾,n這一豪方法夠稱為平方務(wù)根法,又稱喬累獄斯基(C墳ho野l(fā)e泰sk令y)分解,它所梯需要許的乘拳除次巡壽數(shù)約汁為眨數(shù)量疼級,比LU分解碎節(jié)省滾近一股般的術(shù)工作瓶量。例3.泡9平方促根法均求解侍方程即組解:因方鄙程組倍系數(shù)至矩陣邀對稱評正定,設(shè)A=認(rèn),即：由Ly愚=b解得由昌解淺得由此目例可問以看憑出，錯平方供根法鬧解正每定方材程組酸的缺瞧點是史需要環(huán)進行遮開方深運算序。為再避免溝開方秘運算層，我拋們改竟用單察位三顏角陣旬作為笨分解迎陣，艷即把皆對稱邊正定至矩陣A分解乓成的形拿式，越其中為對饑角陣捐，而是單伍位下應(yīng)三角葛陣,這里鍛分解推公式犯為據(jù)此維可逐昆行計唯算運用隨這種刮矩陣無分解貪方法,方程疑組Ax愛=b即可歸外結(jié)為檔求解掙兩個咳上三查角方火程組和其計陰算公像式分像別為和求解捆方程貍組的茫上述兄算法新稱為閱改進活的平劑方根曲法。萍這種將方法閃總的興計算妹量約讓為嬌，炎即僅陽為高煩斯消肺去法膏計算晝量的濃一半狗。3.勸5追趕砍法在數(shù)朵值計澡算中,有一將種系竟數(shù)矩軟陣是假三對克角方蟻程組簡記易為Ax途=f雨,A滿足由條件（1）（2）（3）用歸欠納法隨可以雙證明芒，滿哨足上抹述條吳件的訊三對朋角線腔性方疼程組拍的系現(xiàn)數(shù)矩泡陣A非奇影異，李所以悟可以水利用洲矩陣魚的直聰接三各角分悄解法予來推驗導(dǎo)解撕三對里角線貌性方援程組墊的計辮算公魯式，勤用克萬洛特議分解浴法，廊將A分解保成兩爐個三爛角陣夕的乘亡積，幕設(shè)A=到LU按乘泰法展蠶開則可賢計算可依荷次計預(yù)算當(dāng)，耳由上帶式可集惟一鬧確定L和U。例3.夫9用追振趕法度求解稠三對腳角方票程組解由Ly追=f解出y又由Ux齊=y解出x記筆燥記3.浙6向量摸和矩朝陣的肥范數(shù)為了渾研究笑線性緒方程恩組近欠似解肥的誤俘差估愈計和迭測代法皺的收聞斂性,有必拿要對展向量惹及矩象陣的“大剛小”亭引進窯某種衡度量--鄉(xiāng)豐--范數(shù)崗的概筍念。艇向量怠范數(shù)拆是用滋來度岔量向友量長而度的,它可左以看的成是負(fù)二、勵三維裁解析陷幾何爛中向派量長營度概收念的浪推廣圣。用Rn表示n維實漁向量溉空間睡。3.胸6向量撞和矩弊陣的倍范數(shù)定義3.林2對任蔬一向鴨量XRn,按照墓一定碑規(guī)則侵確定誘一個府實數(shù)與茶它對開應(yīng),該實紅數(shù)記陡為||X|厚|,若||X|巧|滿足晉下面爸三個性質(zhì):(1芬)||X|餃|0；||X|聰|=丹0當(dāng)且損僅當(dāng)X=竿0；(2敗)對任長意實即數(shù)，||僚X|跟|=留||||X|灶|；對任櫻意向囑量YRn，||X+拾Y|繩|屈||X|抓|+屢||勾Y|也|則稱飾該實碑?dāng)?shù)||X|毅|為向惕量X的范數(shù)在Rn中，嚴(yán)常用保的幾中種范訂數(shù)有朗：記筆登記其中x1,x2,…,xn分別依是X的n個分鼻量。毛以上附定義絕的范數(shù)軟分別芽稱為1-范數(shù)得，2-范數(shù)盲和-范數(shù)可以供驗證惑它們漲都是新滿足咸范數(shù)錄性質(zhì)奪的，即其中是由嚇內(nèi)積巾導(dǎo)出雖的向襲量范包數(shù)。3.因6向量殲和矩違陣的將范數(shù)當(dāng)不僻需要定指明嘩使用師哪一辰種向指量范食數(shù)時痛，就坑用記郊號||茂.|叨|泛指煙任何沫一種吐向量憂范數(shù)率。有了嫌向量挎的范腰數(shù)就略可以準(zhǔn)用它扭來衡群量向咐量的劇大小幸和表嘩示向齡量的糠誤差紡。設(shè)x*為Ax皮=b的精塌確解斬，x為其躺近似姻解，招則其盤絕對英誤差酒可表煮示成||材x-好x*||，其公相對夏誤差認(rèn)可表劉示成記筆順記3.校6向量洋和矩壯陣的無范數(shù)或例3.圓10證明陸對任們意同負(fù)維向紫量x立,遍y有證：即例3.疼11設(shè)x=室(1恢,崇0,克-樣1,落2撓)T,計算解:蚊=例1+煉0+拉|-來1|腿+2革=4定理3.騙7對于臘任意唯向量x,有證:膚∵∴即當(dāng)p→∞，∴定義3.心4塵(向量廁序列臣的極燃限)設(shè)獵為攤中的一向賺量序控列，,記。如塵果(i奮=谷1,珠2,象…,索n萍)，則吳稱賭收蕉斂于譽向量盈，逮記為定理3.唐8（向艇量范逼數(shù)的獨等價燥性）廊設(shè)染為上任篇意兩膏種向浮量范煤數(shù),則存道在常泛數(shù)C1,斥C2>0胸,使得紗對任頓意瘡恒運有（證:略）定理3.誦9其中鳴為向正量中佛的任妨一種兩范數(shù)迷。證熔由斗于而對秧于位上結(jié)的任迫一種奸范爽數(shù),由定模理3.走7知存醫(yī)在常疏數(shù)C1，C2，使于是繡可得從而摸定理涌得證秘。定義3.繪5（矩艦陣的系范數(shù)澡）如令果矩乏陣麻的某仁個抹非負(fù)甘的實歇值函憤數(shù)輸，滿近足則稱正是鴿上琴的一照個矩性陣范崇數(shù)(或模)定義3.疏6（矩井陣的悶算子鋸范數(shù)的）設(shè)n維向記量X和n階方則陣A，當(dāng)給定闖一種寶向量遵范數(shù)||X||時，牲則定隱義為矩拉陣的尖范數(shù)最，并步稱為應(yīng)矩陣弊的算勝子范蝕數(shù)。矩陣說范數(shù)扣定義譜的另古一種煮方法從定用義可宅以看擇出，況矩陣慣范數(shù)廁和向良量范棕數(shù)密適切相敘關(guān)。矩陣釋范數(shù)斷的性筑質(zhì)可鋪由向辰量范波數(shù)定坐義直坑接驗遍證。(1告)設(shè)A≠袋0,x≠0戶,使Ax凍≠0立,根據(jù)驢向量筆范數(shù)內(nèi)的性質(zhì)Ax由>援0,所以>0x≠0麻,使Ax辱=湖0,則=0當(dāng)A=庫0時,矩陣鼻范數(shù)制的性赴質(zhì)可夫由向能量范暴數(shù)定掌義直網(wǎng)接驗司證∴(2退)根據(jù)驗向量仇范數(shù)墳的性蕩質(zhì)矩陣址范數(shù)馳的性筆質(zhì)可絞由向扒量范艱數(shù)定束義直賤接驗礎(chǔ)證(3澆)定義3.銅7（矩李陣的位譜半遵徑）繞設(shè)疑的柱特征值為,稱為A的譜半詳徑。例3.者12計算劉方陣的三豪種常婦用范寺數(shù)例3.挎12計算出方陣的三離種范飄數(shù)解先計秀算所以,從而定理3.歸11設(shè)A為n階方籠陣,則對損任意魄矩陣兼范數(shù)都有證:設(shè)主為A的特勵征值架，x是格對應(yīng)幟于的收特征抱向量,則λx炸=A倦x。兩脹端取紗范數(shù)抓并依眉據(jù)其填性質(zhì)得由于x≠0，故芹，所賺以3.漿7誤差弟分析3.返7.喜1方程陷組的踢性態(tài)在建繭立方欄程組殘時，洋其系紐奉數(shù)往賽往含崖有誤才差（悠如觀錄測誤并差或謎計算瞎誤差區(qū)），炸就是菠說，森所要免求解擇的運狂算是遞有擾頭動的縱方程艘組，扛因此茫需要洞研究飾擾動刃對解碎的影臘響。例3.喬13考察蠟方程遮組和上述梁兩個監(jiān)方程甚組盡查管只功是右躺端項淚有微屢小擾尸動,但解私大不胃相同,第1個方聰程組列的解噸是第2個方藥程組木的解鏡是絮。這臟類方命程組短稱為梁病態(tài)候的。定義3.峰8詞A或b的微簡小變羊化(又稱和擾動姑或攝況動)引起苗方程膠組Ax=b解的周巨大釋變化秧，則附稱方終程組樂為病陸態(tài)方復(fù)程組把，矩已陣A稱為頁病態(tài)豆矩陣角。否返則方袋程組遭是良煩態(tài)方袋程組冊，矩厚陣A也是鐮良態(tài)照矩陣為了槽定量肯地刻猛畫方音程組鵲“病暖態(tài)”危的程難度，螞要對鎮(zhèn)方程撥組Ax=b進行觀討論頓，考厭察A（或b）微始小誤認(rèn)差對怕解的旋影響庫。為胳此先并引入沃矩陣鄰條件鍬數(shù)的照概念澆。定義3.半9（矩賤陣條菊件數(shù)盾）設(shè)A為非坡奇異凝矩陣撫，稱亡為樂矩陣A條件膀數(shù)。我們碌先來大考察愈常數(shù)慣項b的微郊小誤返差對我解的澆影響西。設(shè)A是精頸確的,襪b有誤壩差(或擾尋動)δ柜b,顯然,方程浮組滅的解豎與x有差挽別,記為即有即同（錦由設(shè)Ax=b饑≠0）于是名（3.袍18）又∵Ax周=b陷≠0，則只有由（3.煌18）式部及（3.板19）式納即得給如下誼定理（3.驢19）或定理3.蛛12慣(b的擾院動對拆解的復(fù)影響)設(shè)A非奇域異，Ax序=b≠0，且?guī)泟t饑有證:設(shè)A精確撲且非該奇異,b有擾配動δb險,使解x有擾疼動δx,則消去Ax厚=b，有又相比透較可犬得定理3.肚13腸(A的擾宏動對搏解的糧影響)設(shè)A非奇指異，Ax該=b組≠0，且若則證：見p66我們競還可努證明芝更為楊一般角的結(jié)蝦論：當(dāng)方肚程組溝的系潔數(shù)矩帽陣A非奇純異和垮常數(shù)公項b為非侄零向習(xí)量時柴，且艱同時渠有擾纖動δA，δb，滿缺足額，大若x和x+饞δx分別莖是方揚程組Ax院=b及往的轎解則例3.彎13線性僑方程族組的系沸數(shù)矩辜陣帶激誤差剝，成吊為如枯下方沃程組求方能程組校系數(shù)累矩陣貢的條臺件數(shù),并說訴明方療程組稈的性順態(tài)解患因包為所以因此肚方程杠組是慈良態(tài)貝的3.丸7.縫2精度柿分析求得詠方程肉組Ax=b的一開個近市似解孔以后,希望均判斷辟其精紹度，固檢驗貼精度臨的一拳個簡俘單辦灑法是延將近駝似解飼再回廣代到版原方幸程組恢去求扭出余量r.r蹄=役b-粗A如果r很小散，就敲認(rèn)為昨解是著相當(dāng)格精確父的。定理3.赴14設(shè)保是抹方程起組Ax=b的一栗個近喚似解,其精壘確解步記為,r為銅的余訂量。遺則有證明窄見P68例3.夢14設(shè)A為正糞交矩?fù)Q陣，歌證明襖：co膚nd2(A必)=坊1分析仙：由士正交碧矩陣殖和條模件數(shù)純的定噸義便疫可推賄得解：躺因為A是正港交矩督陣，故AT