第七節(jié)定的換元積分法與分部

第七節(jié)定積分的換元積分法

與分部積分法一、定積分的換元積分法二、定積分的分部積分法一、定積分的換元積分法定理1

設(shè)函數(shù)單調(diào)函數(shù)滿足:證:

所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),故積分都存在

,且它們的原函數(shù)也存在

.是的原函數(shù)

,因此有則則有說明1)當(dāng)<,即區(qū)間換為[,]時(shí),定理

1仍成立

.2)換元必?fù)Q限

,且新變量與舊變量的上、下限要分別對(duì)應(yīng).

3)計(jì)算后不必回代求出

f[(t)]

(t)的原函數(shù)后不必把變量還原，只要把新變量的上、下限代入計(jì)算即可.例1(1)求例2

求例3

求此例說明:定積分的換元公式可以反過來使用.即有:即可以用來引入新變量t,例4

求例5計(jì)算用湊微分法時(shí)，若沒有引入新變量，則不必?fù)Q限.例6計(jì)算例7計(jì)算例8注意計(jì)算在對(duì)稱于原點(diǎn)的區(qū)間上的定積分時(shí)利用這兩個(gè)公式常能帶來很大的方便.=0為奇函數(shù),積分為0奇函數(shù)例10計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積課本Page213證思考與練習(xí)二、定積分的分部積分法定積分的分部積分公式推導(dǎo):例1

計(jì)算例2

計(jì)算例3求函數(shù)在[1,e]上的最大值與最小值.例2

計(jì)算解例3求函數(shù)在[1,e]上的最大值與最小值.解故

f(x)在

[1,e]上單調(diào)增加

,

故最小值為

最大值為

例4

設(shè)求解例5

證明定積分公式為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)課本Page215注意此公式在定積分的計(jì)算中很有用.例6

計(jì)算解例7

計(jì)算解一般地有：例8解1、定積分的換元法三、小結(jié)1)用湊微分法時(shí)，若沒有引入新變量，則不必?fù)Q限.2)作變換x=(t)時(shí),(t)在積分區(qū)間上應(yīng)單調(diào)且有連續(xù)導(dǎo)數(shù),同時(shí)還應(yīng)注意換元必?fù)Q限.3、一些特殊積分及公式等式.2、定積分分部積分法應(yīng)該邊積分邊代積分限.思考題解令思考題解答計(jì)算中第二步是錯(cuò)誤的.正確解法是練習(xí)題練習(xí)題答案練習(xí)題練習(xí)題答案例1計(jì)算解原式例2

求解原式

例3

求解原式

此例說明:定積分的換元公式可以反過來使用.即有:即可以用來引入新變量t,例4

求解原式

例5計(jì)算解原式

用湊微分法時(shí)，若沒有引入新變量，則不必?fù)Q限.例6計(jì)算解原式

例7計(jì)算解原式

例8解例9設(shè)

f(x)C[a,a](a>0)，證明：

證明由此可得：

1)

若

f(x)為偶函數(shù)

,f(x)=f(x),則有2)

若

f(x)為奇函數(shù)

,f