【教學(xué)】《復(fù)數(shù)的乘法與除法》示范教學(xué)北師大新課標(biāo)

復(fù)數(shù)的乘法與除法新知探究問題1復(fù)數(shù)的加減類似于多項(xiàng)式加減，試想：復(fù)數(shù)相乘是否類似于多項(xiàng)式相乘？是．新知探究問題2如何計(jì)算（1＋2i）（1＋3i）的值？類比多項(xiàng)式的乘法可得：（1＋2i）（1＋3i）＝1＋3i＋2i－6＝－5＋5i．新知探究問題3你能歸納復(fù)數(shù)的乘法嗎？對(duì)任意兩個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi和c＋di（a，b，c，d∈R），則（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i．新知探究問題4復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法有何不同？復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．新知探究資源名稱：【知識(shí)點(diǎn)解析】知識(shí)講解——復(fù)數(shù)的乘法法則資源介紹：本資源為復(fù)數(shù)的乘法法則知識(shí)講解微課.注意：本圖片為微課截圖，若需使用資源，請(qǐng)于資源庫(kù)調(diào)用.新知探究問題5數(shù)的乘法的運(yùn)算律對(duì)復(fù)數(shù)乘法還適用嗎？你能說出乘法的運(yùn)算律嗎？適用，復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝z2·z1結(jié)合律（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）乘法對(duì)加法的分配律z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3新知探究問題6請(qǐng)計(jì)算下列各式的值，因?yàn)閕2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，i9＝i，一般地，對(duì)任意自然數(shù)n，有i4n＝1，i4n＋i＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i．所以in具有周期性．i2，i3，i4，i4，i5，i6，i7，i8，i9．你能得出什么規(guī)律？你能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這個(gè)規(guī)律嗎？新知探究問題7若z1，z2∈C，是否有z12－z22＝（z1＋z2）（z1－z2）？成立．因此在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．只不過是在運(yùn)算中遇到i2時(shí)就將其換為－1，（z1＋z2）2＝z12＋2z1z2＋z22？復(fù)數(shù)的乘法（乘方）類似于實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的多項(xiàng)式的乘法（乘方），新知探究問題8｜z｜2＝z2，正確嗎？不正確．例如，｜i｜2＝1，而i2＝－1．新知探究問題9如何證明：對(duì)任意的兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2，若z1z2＝0，則z1，z2至少有一個(gè)為0．可以反證法證明，假z1，z2都不為0，即z1≠0，這與｜z1｜≠0，｜z2｜≠0矛盾，故假設(shè)不成立，原命題成立．所以｜z1｜2｜z2｜2＝0，所以｜z1｜＝0，或｜z2｜＝0，且z2≠0，則｜z1｜≠0，｜z2｜≠0，

≠0，≠0，

因?yàn)閦1z2＝0，所以

新知探究問題10計(jì)算下列三組復(fù)數(shù)的積z1z2，你能得到什么規(guī)律？①z1＝2＋i，z2＝2－i；②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；③z1＝4i，z2＝－4i．①z1z2＝（2＋i）（2－i）＝5；③z1z2＝4i×（－4i）＝16．互為共軛復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù)，等于這個(gè)復(fù)數(shù)（或其共軛復(fù)數(shù)）模的平方，②z1z2＝（3＋4i）（3－4i）＝25；即若z＝a＋bi（a，b∈R），則

新知探究問題11已知z（i＋1）＝1，如何求復(fù)數(shù)z？設(shè)z＝x＋yi（x，y∈R），則（x＋yi）（1＋i）＝1，即x－y＋（x＋y）i＝1，即

解得

所以

新知探究問題12探究復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律類比根式除法的分母有理化，比如

類比上述根式運(yùn)算，你能寫出復(fù)數(shù)的除法法則嗎？

滿足，復(fù)數(shù)的除法：（分母實(shí)數(shù)化）

新知探究問題13如何計(jì)算下列各值：（1）

；（2）

；（3）

．

初步應(yīng)用例1

計(jì)算：（－2－3i）（－1＋3i）（

＋i）．

解答：（

＋3）＋（11－

）i．

初步應(yīng)用例2

計(jì)算：（1）（1＋i）4；（2）（2－i）2（2＋i）2；（3）i21，i16，i27，i22（1）－4；（2）25；（3）i；1；－i；－1．初步應(yīng)用例3

求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c∈R，且a≠0）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根x1，x2，并驗(yàn)證

練習(xí)練習(xí)：教科書第175頁(yè)練習(xí)1，2，3，4．歸納小結(jié)（1）如何理解復(fù)數(shù)的乘法？（2）如何進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算？問題14通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？可以從以下幾個(gè)問題歸納．（1）復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)，可推廣到任意多個(gè)復(fù)數(shù)，任意多個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)．歸納小結(jié)（1）如何理解復(fù)數(shù)的乘法？（2）如何進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算？問題14通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？可以從以下幾個(gè)問題歸納．（2）實(shí)數(shù)化：②分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c－di，化簡(jiǎn)后即得結(jié)果，這個(gè)過程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類似．①在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，通常先把（a＋i）÷（c＋di）寫成商的形式，即（a＋bi）÷（c＋di）＝

1目標(biāo)檢測(cè)A復(fù)數(shù)（3i－1）·i的虛部是（）A．－1B．－3C．3D．1解析：（3i－1）·i＝3i2－i＝－3－i，所以虛部為－1．2目標(biāo)檢測(cè)B若復(fù)數(shù)z＝2i＋

，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為（）A．B．C．D．2解析：由題意，得

復(fù)數(shù)z的模

3目標(biāo)檢測(cè)已知復(fù)數(shù)z＝

，則復(fù)數(shù)z＝______________．解析：i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，i5＋i6＋i7＋i8＝i＋i2＋i3＋i4＝0，所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021＝i，

所以

4目標(biāo)檢測(cè)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根（b，c為實(shí)數(shù)）．（1）求b，c的值；（2）試說明1－i也是方程的根嗎？解答：（1）因?yàn)?＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，所以（1＋i