2021屆江蘇省南通市XX中學高三上學期階段檢測數(shù)學試題(解析版)

2021屆江蘇省南通市如皋中學高三上學期階段檢測數(shù)學試題一、單選題1．i為虛數(shù)單位，，則的共軛復數(shù)為（）A．2-i B．2+i C．-2-i D．-2+i【答案】A【解析】試題分析：，則復數(shù)的共軛復數(shù)為；選A【考點】1.復數(shù)運算；2.共軛復數(shù)；2．函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)零點存在性定理結合、，即可得解.【詳解】因為函數(shù)在上單調遞增，且，，所以函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為.故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)零點存在性定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.3．已知集合，集合，則等于（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】解不等式化簡集合，再進行并集運算，即可得答案；【詳解】，，，故選：C.【點睛】本題考查解不等式及集合的并運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.4．指數(shù)函數(shù)（，且）在上是減函數(shù)，則函數(shù)在其定義域上的單調性為（）A．單調遞增 B．單調遞減C．在上遞增，在上遞減 D．在上遞減，在上遞增【答案】C【解析】結合指數(shù)函數(shù)的性質可知：，函數(shù)的導函數(shù)：，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，本題選擇C選項.5．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出當時,；當時，；當時，利用數(shù)形結合求出即得解.【詳解】當時,因為，所以，即;當時0，即;當時，，由圖可知;綜上的取值范圍是，故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結合分析推理能力.6．設函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除，再計算排除得到答案.【詳解】定義域為：，函數(shù)為偶函數(shù)，排除，排除故選【點睛】本題考查了函數(shù)圖像，通過函數(shù)的單調性，奇偶性，特殊值排除選項是常用的技巧.7．對于給定的復數(shù)，若滿足的復數(shù)對應的點的軌跡是橢圓，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)條件可得，即復數(shù)對應的點在以為圓心，2為半徑的圓內部.表示復數(shù)對應的點到的距離，由圓的性質可得答案.【詳解】因為的復數(shù)對應的點的軌跡是橢圓，

所以由復數(shù)的幾何意義可知表示復數(shù)對應的點到的距離小于2.即復數(shù)對應的點在以為圓心，2為半徑的圓內部.表示復數(shù)對應的點到的距離.如圖，設,則,即故選：A【點睛】本題考查橢圓的定義的應用，考查復數(shù)的幾何意義的應用和利用圓的性質求范圍，屬于中檔題.8．平面向量，，，則向量、夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】求得的值，利用平面向量數(shù)量積的定義可求得向量、夾角的余弦值.【詳解】設平面向量、的夾角為，，則，由平面向量數(shù)量的定義可得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量的定義求解向量夾角的余弦值，考查計算能力，屬于基礎題.二、多選題9．下列函數(shù)中，在其定義域內是偶函數(shù)的有（）A． B． C． D．【答案】CD【解析】利用偶函數(shù)的定義逐一判斷，即可得正確選項.【詳解】對于：，定義域為，，所以是奇函數(shù)，故不正確；對于：，定義域為，，且所以是非奇非偶函數(shù)，故不正確；對于：定義域為，關于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，故正確；對于：，定義域為，，所以是偶函數(shù)，故正確；故選：CD【點睛】本題主要考查了利用偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題.10．(多選題)下列四個條件，能推出＜成立的有（）A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a(chǎn)＞0＞b D．a(chǎn)＞b＞0【答案】ABD【解析】運用不等式的性質以及正數(shù)大于負數(shù)判斷.【詳解】因為＜等價于，當a＞b，ab＞0時，＜成立，故B、D正確.又正數(shù)大于負數(shù)，A正確，C錯誤，故選：ABD.【點睛】本題主要考查不等式的基本性質，屬于基礎題.11．如圖所示，在長方體，若，，分別是，的中點，則下列結論中不成立的是（）A．與垂直 B．平面C．與所成的角為45° D．平面【答案】ABD【解析】連接，根據(jù)中位線定理得到，結合線面平行和垂直的判定定理和心智定理，分析判定正確，再由異面直線所成的角的概念，可判定錯誤，即可求解.【詳解】連接，則交于點，又為的中點，可得，由平面，可得，可得，故A正確；由，平面，可得平面，故B正確；異面直線與所成的角為，因為的長度不確定，所以的大小不確定，所以C錯誤；由分別是的中點，得到，可得平面，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題主要考查了線面位置關系的判定與證明，以及異面直線所成角的求解及判定，其中解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理，以及異面直線所成角的求法是解答的關鍵，著重考查空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.12．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，，則下列命題正確的是（）A．當時，B．函數(shù)有3個零點C．的解集為D．，都有【答案】BCD【解析】利用函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且時，，求出在R上的解析式，判斷A錯；由A分別令，解出零點，判斷B對；由A令，求出解集，判斷C對；當時，對函數(shù)求導判斷出單調區(qū)間，求出最值，再利用奇函數(shù)的對稱性得出函數(shù)的值域，要證明，，即證明最大值與最小值的差的絕對值小于，D對．【詳解】對于A，當時，，則由題意得，∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，且時，，A錯；∴，對于B，當時，由得，當時，由得，∴函數(shù)有3個零點，B對；對于C，當時，由得，當時，由得，∴的解集為，C對；對于D，當時，由得，由得，由得，∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，∴函數(shù)在上有最小值，且，又∵當時，時，函數(shù)在上只有一個零點，∴當時，函數(shù)的值域為，由奇函數(shù)的圖象關于原點對稱得函數(shù)在的值域為，∴對，都有，D對；故選：BCD．【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)求值域中的應用，考查函數(shù)的性質，考查函數(shù)的表示方法，屬于中檔題．三、填空題13．如圖，某種螺帽是由一個半徑為2的半球體挖去一個正三棱錐構成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內接于半球底面大圓，頂點在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為_______．【答案】【解析】設BC的中點為D，連結AD，過點P作PO平面ABC，角AD于點O，則A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=，由此能求出挖去的正三棱錐的體積，得到答案.【詳解】由題意，某中螺帽是由一個半徑為R=2的半球體挖去一個正三棱錐P-ABC構成的幾何體，該正三棱錐P-ABC的底面三角形ABC內接于半球底面的大圓，頂點P在半球面上，設BC的中點為D，連結AD，過點P作PO平面ABC，交AD于點O，則AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=，所以，所以挖去的正三棱錐的體積為.【點睛】本題主要考查了組合體的結構特征，以及三棱錐的體積的計算，以及空間中線線、線面、面面位置關系等基礎題知識，其中解答中根據(jù)組合體的結構特征，求得正三棱錐的底面邊長和三棱錐的高，利用體積公式求解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.14．函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】試題分析：由題意得，得，設，可得在區(qū)間上單調遞增；在區(qū)間上單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極小值，同時也是最小值，因為當時，，當時，，所以要使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，所以實數(shù)的取值范圍是．【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及極值（最值）．15．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax＋1，g(x)＝3x－2，若函數(shù)F(x)＝有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】當a≤0時，函數(shù)f(x)在R上單調遞增，F(xiàn)(x)至多兩個零點，不滿足題意．當a＞0時，根據(jù)圖像可知：當f()0時，所以F(x)至多兩個零點；當f()＜0，即時，列式f()＜0或者，可解得結果.【詳解】易得f'(x)＝3x2－a．當a≤0時，，函數(shù)f(x)在R上單調遞增，F(xiàn)(x)至多兩個零點，不滿足題意．當a＞0時，令f'(x)＝3x2－a＝0，解得x＝±，由，得或，由，得，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上單調遞增，在(－，)上單調遞減，在同一坐標系中，分別作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖像，根據(jù)圖像可知：當f()0時，所以F(x)至多兩個零點；當f()＜0，即，又，所以，即，所以時，要使得F(x)有三個不同的零點，則f()＜0或者，即或，即或，解得a＞．又且，所以.故答案為：.或【點睛】本題考查了數(shù)形結合思想，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，屬于中檔題.16．在中，若，則的最大值為_____.【答案】【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)中的商數(shù)關系式，結合正弦和角公式化簡，并由正弦定理將角化為邊，代入余弦定理即可表示出，再由基本不等式即可求得的取值范圍，進而結合同角三角函數(shù)關系式求得的取值范圍，即可求得的最大值.【詳解】在中，，則，通分化簡可得，由正弦和角公式可得，所以，由正弦定理代入可得，即，又由余弦定理，代入可得，所以，當且僅當時取等號，則，所以，即，所以，則的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關系式的綜合應用，正弦和角公式化簡三角函數(shù)關系式，正弦定理與余弦定理在解三角形中的應用，基本不等式求最值，綜合性強，屬于難題.四、解答題17．已知二次函數(shù)滿足，，若，是的兩個零點，且.（1）求的解析式；（2）若，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可得的對稱軸為，零點為，，設，由即可求解.（2）利用基本不等式即可求解.【詳解】（1），，是的兩個零點，且.的對稱軸為：，可得，.設由，得，所以（2）∵，當且僅當，即時等號成立，∴的最大值是.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、基本不等式求最值，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎題.18．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，.（1）若函數(shù)恰有三個不相同的零點，求實數(shù)的值；（2）記為函數(shù)的所有零點之和.當時，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）作出函數(shù)的圖象，函數(shù)恰有三個不相同的零點，即直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，由圖象可得實數(shù)的值；（2）由的圖象可知，當時，有6個不同的零點，利用函數(shù)的奇偶性結合對稱性得出，進而可得的取值范圍．【詳解】（1）作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖象可知，當且僅當或時，直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，∴當且僅當或時，函數(shù)恰有三個不相同的零點.（2）由的圖象可知，當時，有6個不同的零點，設這6個零點從左到右依次為，，，，，，則，，是方程的解，是方程的解.∴當時，，∵∴當時，的取值范圍為.【點睛】本題考查函數(shù)與方程思想，考查考查函數(shù)的奇偶性和對稱性，考查指對函數(shù)的性質，屬于中檔題．19．有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無底薪，單以內（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過單的部分送餐員每單抽成元.現(xiàn)從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)分布表：送餐單數(shù)3839404142甲公司天數(shù)101015105乙公司天數(shù)101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數(shù)中隨機抽取天，求這天的送餐單數(shù)都不小于單的概率；（2）假設同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數(shù)學期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應選擇哪家公司應聘？說明你的理由.【答案】（1）；（2）①分布列見解析，；②小張應選擇甲公司應聘.【解析】（1）記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，可得（A）的值．（2）①設乙公司送餐員送餐單數(shù)為，可得當時，，以此類推可得：當時，當時，的值．當時，的值，同理可得：當時，．的所有可能取值．可得的分布列及其數(shù)學期望．②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)．可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學期望比較即可得出．【詳解】解：（1）由表知，50天送餐單數(shù)中有30天的送餐單數(shù)不小于40單，記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件，則．（2）①設乙公司送餐員的送餐單數(shù)為，日工資為元，則當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．所以的分布列為228234240247254．②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為，所以甲公司送餐員的日平均工資為元，因為，所以小張應選擇甲公司應聘．【點睛】本題考查了隨機變量的分布列與數(shù)學期望、古典概率計算公式、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20．如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．求證：平面BDEF；求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析.(2).【解析】（1）設與相交于點，連接，由菱形的性質可得，由等腰三角形的性質可得，利用線面垂直的判定定理可得結果；(2)先證明平面.可得，，兩兩垂直，以，，建立空間直角坐標系，求出，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，由空間向量夾角余弦公式可得結果.【詳解】（1）設與相交于點，連接，∵四邊形為菱形，∴，且為中點，∵，∴，又，∴平面.（2）連接，∵四邊形為菱形，且，∴為等邊三角形，∵為中點，∴，又，∴平面.∵，，兩兩垂直，∴建立空間直角坐標系，如圖所示，設，∵四邊形為菱形，，∴，.∵為等邊三角形，∴.∴，，，，∴，，.設平面的