線性代數(shù)課件

第五節(jié)初等矩陣一、初等變換與初等矩陣二、初等矩陣的應(yīng)用一、初等變換與初等矩陣

初等變換包括：線性方程組的初等行變換、矩陣的初等行(列)變換和行列式的初等行(列)變換。線性方程組的初等行變換在第一節(jié)里已經(jīng)詳細(xì)介紹過了,本節(jié)介紹矩陣的初等行(列)變換,行列式的初等行(列)變換將在下一章中學(xué)習(xí)。在線性代數(shù)中,矩陣的初等行(列)變換是一種基本的運(yùn)算手段,它可以用來解決諸如矩陣的秩、線性方程組的求解、行列式的計(jì)算等各類計(jì)算問題,可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程,減少計(jì)算量。在解決某些重要問題,如線性相關(guān)、矩陣的逆時(shí),它也是一種重要的手段。這一節(jié)我們將建立矩陣的初等行(列)變換與矩陣乘法的聯(lián)系,并在這個(gè)基礎(chǔ)上,給出用初等變換求逆矩陣的方法。用消元法求解線性方程組用到三種同解初等行變換,把這三種變換移植到矩陣上就得到矩陣的三種初等行變換。定義1.14下面的三種變換稱為矩陣的初等行變換：1)互換兩行(互換i,j兩行,記作ri

rj)；2)以一個(gè)非零的數(shù)k乘某一行中的所有元素(第i行乘數(shù)k,記作kri或ri×k)；3)把某一行所有元素乘k后加到另一行對(duì)應(yīng)元素上去(第j行乘k加到第i上去,記作ri+krj)。以上定義中的“行”換成“列”,即得到初等列變換的定義(把記號(hào)r換成c)。矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。我們對(duì)矩陣A施行一次初等變換變?yōu)榫仃嘊,我們也可以對(duì)矩陣B施行一次類似的初等變換將矩陣B變?yōu)锳。比如對(duì)A作一次初等變換ri×k

得到矩陣B,對(duì)B作一次初等變換ri(1/k)，又得到A。

對(duì)A作一次初等變換ri+krj得到矩陣B,對(duì)B作一次初等變換ri+(-krj)，又得到A。

所以初等變換是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換。例1.18若矩陣A=,對(duì)它進(jìn)行初等行變換：A==B

矩陣B具有以下特點(diǎn)：1)每一行非零首元的下方(同一列)都是零；2)每一行非零首元的列標(biāo)不小于行標(biāo)；3)零行在最后；具有這些特點(diǎn)的矩陣B稱為矩陣A的行階梯形矩陣。對(duì)例1.18中的所得到的矩陣B再作初等行變換：B==C

矩陣C具有以下特點(diǎn)：1)C是階梯形矩陣；2)每一行非零首元為1；3)非零首元所在的列除了這個(gè)1以外,其余全為零。具有這些特點(diǎn)的矩陣C稱為矩陣A的行最簡(jiǎn)形矩陣。實(shí)際上,如果我們將矩陣A=

看成線性方程組

所對(duì)應(yīng)的增廣矩陣,則上述階梯形矩陣B、行最簡(jiǎn)形矩陣C就是上述線性方程組所對(duì)應(yīng)的行階梯形線性方程組、行最簡(jiǎn)形線性方程組的增廣矩陣。

綜上所述,消元法解線性方程組的三種運(yùn)算實(shí)際上就相當(dāng)于對(duì)線性方程組的增廣矩陣施以相應(yīng)的初等行變換。

因此,在解線性方程組的時(shí)候,我們可以先寫出線性方程組的增廣矩陣,然后用初等行變換將增廣矩陣化為行階梯形矩陣,如果有矛盾方程出現(xiàn),則原方程無解。否則繼續(xù)化成行最簡(jiǎn)形矩陣,直接寫出原線性方程組的解即可。

于是,例1.1的解題過程可以寫成下面的形式：與D對(duì)應(yīng)的線性方程組為即原方程組的解為下面我們繼續(xù)對(duì)剛才得到的矩陣C=

作初等列變換：C==F

矩陣F的左上角是一個(gè)單位矩陣E,其余元素全為0,這樣的矩陣F稱為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形。與上只述計(jì)率算過修程類促似,對(duì)任冒意一怒個(gè)矩胖陣Am×n,經(jīng)過笛有限舌次的難初等雙行變承換可孔以化啄為行朗階梯譯形矩風(fēng)陣和嶼行最廟簡(jiǎn)形堆矩陣回。在功行最南簡(jiǎn)形肌矩陣供的基堤礎(chǔ)上珠再作歇初等煮列變繡換可臂得標(biāo)弱準(zhǔn)形F。標(biāo)訴準(zhǔn)形襲可表遵示為F=與定芹理1.皇2對(duì)應(yīng)緒的,我們膛有定理1.稀3矩陣要的行攤最簡(jiǎn)讀形是粱唯一潛的。由于構(gòu)行階濫梯形底矩陣匯中非序零行蜂的行秩數(shù)=行最緣瑞簡(jiǎn)形引中非狂零行沈的行涉數(shù)=標(biāo)準(zhǔn)后形中1的個(gè)摧數(shù),因此歲：標(biāo)生準(zhǔn)形其中m、n、r是唯爪一確資定的護(hù)。我察們將社在第去二章濱中證擺明：r就是墳矩陣A的秩鴨。對(duì)于側(cè)可逆知矩陣,我們馳不加屑證明驅(qū)的給酬出下?lián)龆览恚憾ɡ?.燭4可逆藏矩陣修的標(biāo)貴準(zhǔn)型滋是單寫位矩盟陣。定義1.摟15若矩驗(yàn)陣A經(jīng)過寶有限哲次初膝等行悅變換交變成辟矩陣B,則稱你矩陣A與矩迷陣B行等棟價(jià)；鍵如果嗓矩陣A經(jīng)過翻有限說次初適等列片變換擔(dān)變成孝矩陣B,則稱扯矩陣A與矩來陣B列等佩價(jià)；幫矩陣牙的行叛、列危等價(jià)塵統(tǒng)稱爆為矩起陣等敲價(jià),記作A~B。性質(zhì)1.滾9矩陣梯之間循的等糞價(jià),具有堤下列傻基本銜性質(zhì)義：1)自反溝性A~A；2)對(duì)稱壺性若A~B,則B~A；3)傳遞怒性若A~B,B~C,則A~C。數(shù)學(xué)黎中,把某連類事諒物之久間具斃有上養(yǎng)述三異條性氏質(zhì)的森關(guān)系吊稱為貌等價(jià)找關(guān)系鍬。因此另矩陣誓之間在等價(jià)逐的關(guān)赤系是盞一種互等價(jià)貝關(guān)系,線性臺(tái)方程食組之竄間的稍同解杯關(guān)系檔也是等一種爆等價(jià)侄關(guān)系吃。定義1.稠16對(duì)單忌位矩俯陣E作一可次初泡等變蠶換得懂到的抬矩陣帆稱為革初等獻(xiàn)矩陣傘。顯然,初等城矩陣茶都是年方陣征。有膀三類句初等無行變眾換、叔三類浩初等左列變贈(zèng)換,可得朋到三設(shè)種初范等矩謊陣。1.交換E的i,j行,得初醫(yī)等矩肌陣E(i,j)2.E的第i行乘貧數(shù)k0,得初腥等矩算陣E(i(k))3.E的第j行乘凝數(shù)k加到截第i行上,得初文等矩照陣E(i,j(k))同樣由可以惕得到再與初新等列夫變換釘相應(yīng)守的初食等矩洗陣。兇顯然浸對(duì)單畢位矩罷陣E作一治次初獎(jiǎng)等列奏變換損所得模的初書等矩聚陣也述包括低在上抱面所攜列舉聞的這符三類荷矩陣復(fù)當(dāng)中訊。因伶此,這三責(zé)類矩闊陣就網(wǎng)是全者部的察初等序矩陣禁。關(guān)于魔初等軟矩陣,我們宣有下喝列性傅質(zhì)：性質(zhì)1.膀10初等請(qǐng)矩陣陳都是計(jì)可逆辦的,它們?cè)u(píng)的逆核矩陣渴還是醉同類嶼型的鋤初等懸矩陣峰：1)E(i,j)-惜1=E(i,j)；2)E(i(k))-1=E(i(k-1評(píng)))；3)E(i,惡j(k))-1=E(i,蜜j(-k))例1.魄19若有弊矩陣,計(jì)算E3(1拘,凡2)A、AE3(3底,靈1(稠2)涼)。解E3(1曬,垂2)頃,E3(3壓,站1(壁2)端)，則E3(1僅,傭2)A即用E3(1膜,且2)左乘陵矩陣A,相當(dāng)動(dòng)于對(duì)A進(jìn)行回初等廢行變壘換,交換居了A的第1行和充第2行,又AE3(3欣,財(cái)1(炮2)止)即用E3(3慶,皺1(涂2)伸)右乘蹈矩陣A,相當(dāng)膽于對(duì)A進(jìn)行經(jīng)初等糞列變?cè)該Q,將A的第3列乘2加到在第1列。與上家面例謎題類舉似,我們俯可以殿直接凍驗(yàn)證煎下述箱定理患成立坊。定理1.萬5設(shè)A是一淺個(gè)m×n的矩怖陣,對(duì)A進(jìn)行國一次扭初等歷行變穿換,相當(dāng)撿于對(duì)A左乘叉相應(yīng)網(wǎng)的m階初端等矩麥陣；什對(duì)A進(jìn)行證一次濃初等眉列變蔬換,相當(dāng)件于對(duì)A右乘肯相應(yīng)庭的n階初睜等矩豆陣。二、詠初等定矩陣芝的應(yīng)肚用定理1.充6若A是n階方舍陣，師則愚矩陣A可逆豎的充傍分必形要條英件是五存在l個(gè)初免等矩蛛陣，P1,P2,挨…,Pl，使挑得A=P1P2…Pl。證明脆必要目性設(shè)n階方擇陣A可逆,由定登理1.脆4,A~E。當(dāng)撫然也記有E~A,故由勾定理1.勺5,存在銳有限寧個(gè)初顆等矩毯陣P1P2…Pl使得P1P2…PrEPr+1…Pl=A即A=P1P2…Pl。充分辱性:由性東質(zhì)1.須6以及對(duì)性質(zhì)1.文10，結(jié)億論顯糠然成壞立。利用泛矩陣幣等價(jià)份的定圓義以哈及定金理1.滴6,我們妻有：定理1.避7A~滅B充分緊必要企條件妹存在量可逆伯矩陣P,Q,使得B=橋PA猶Q。定理1.旬8對(duì)于心任意賀矩陣Amn,存在m階可喪逆矩陣P,n階可恨逆矩跟陣Q,使得.由定那理1.化6,我們?nèi)蠵l-1Pl-1-1…P1-1A=E(1匯.1套4)Pl-1Pl-1-1…P1-1E=A-1(1欣.1乳5)(1討.1環(huán)4)、(1告.1天5)兩式頁說明柜經(jīng)過這有限比次初悅等行奪變換A可變余成E,經(jīng)過歸同一白系列錘初等丹行變受換E可變豈成A-1。(1掠.1策4)、(1餃.1誘5)兩式規(guī)合并屠成分霞?jí)K矩佩陣形誕式有泥：Pl-1Pl-1-1…P1-1(A,E)=歷(E,A-1)料(洋1.雨16嫩)(1膀.1死6)式給快出了刷求逆還矩陣義的一檢種方創(chuàng)法：把A和同彼階的龍單位殺矩陣E組成閃一個(gè)n×2n的矩貌陣(A,E),對(duì)(A,E)施行烤初等風(fēng)行變舟換,把A變成E時(shí),原來勉的E就變井成了A-1。例1.緩20設(shè)A=餡,求A-1。解(A,E)=所以A-1=注意,可以明證明跟可逆涉矩陣帆也能龜用初逼等列抄變換斃化成籠單位領(lǐng)矩陣致。把可夏逆方總陣A和同需階的源單位孟矩陣E組成扒一個(gè)2n×n的矩告陣,對(duì)踏施顏行初磁等列塵變換,