第三章機(jī)械振動

機(jī)械振動第三章單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

在自由振動中，作用于振動物體上的力只有恢復(fù)力與阻尼力，二者都隨物體的運(yùn)動而改變，振動頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同。研究自由振動的目的是獲得系統(tǒng)的固有特性。實(shí)際工程問題中，系統(tǒng)都是在某些激勵作用下發(fā)生相應(yīng)的響應(yīng)，對激勵的響應(yīng)是振動分析的另一個重要課題。系統(tǒng)在持續(xù)的隨時(shí)間變化的激勵力或激勵位移、激勵速度下發(fā)生的振動稱為強(qiáng)迫振動。作用力和位移激勵本質(zhì)上可能是簡諧形式、非簡諧但為周期性形式、非周期或隨機(jī)形式。其中簡諧激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)稱為簡諧響應(yīng)。非周期激勵可能經(jīng)歷或長或短的一段時(shí)間。系統(tǒng)對突加非周期激勵的響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)。

在本章討論的系統(tǒng)是時(shí)不變、集中參數(shù)的線性系統(tǒng)。對于線性系統(tǒng)，疊加原理成立，即各激勵力共同作用所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)H向應(yīng)為各激勵力單獨(dú)作用時(shí)引起的系統(tǒng)各穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和，這一點(diǎn)是分析任意周期激勵的基礎(chǔ)。由于簡諧激勵比較簡單，而其得到的結(jié)論具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值，并且任意的周期形式的激勵都可以通過諧波分析分解為若干簡諧激勵，因此本章先討論單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵

的響應(yīng)（其中

為激勵力的幅值，為激勵頻率，由外界條件決定，與物體本身的振動無關(guān)），通常取=0。簡諧激勵下的強(qiáng)迫振動包含穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)，其中瞬態(tài)響應(yīng)與系統(tǒng)固有頻率相同的振動，由于阻尼的存在而逐漸衰減至零，它只在有限的時(shí)間內(nèi)存在，通?？梢圆患右钥紤]；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率與激勵頻率相同，與激勵同時(shí)存在。由單自由度簡諧激勵下的響應(yīng)獲得了頻率響應(yīng)函數(shù)、機(jī)械阻抗等基本概念。將單自由度簡諧振動的模型用于求解旋轉(zhuǎn)失衡、轉(zhuǎn)子旋曲、基礎(chǔ)激勵、測振儀等實(shí)際應(yīng)用場合。在簡諧激勵的基礎(chǔ)上，通過傅里葉級數(shù)晨開求得任意周期激勵作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；由單自由度系統(tǒng)單位脈沖激勵的響應(yīng)推廣到求解任意激勵響應(yīng)的卷積積分或Duhamel積分，并簡單介紹了沖擊響應(yīng)。系統(tǒng)在沖擊之后的振動是自由振動，因此只要求得沖擊結(jié)束瞬間的系統(tǒng)位移和速度，以后的振動就可以按照自由振動求解。第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動3.1簡諧激勵作用下的響應(yīng)3.2頻率響應(yīng)函數(shù)3.3機(jī)械阻抗的基本概念3.4結(jié)構(gòu)阻尼和庫侖阻尼3.5等效阻尼3.6旋轉(zhuǎn)失衡3.7轉(zhuǎn)子旋曲與臨界轉(zhuǎn)速3.8基礎(chǔ)激勵與隔振3.9測振儀原理3.10任意周期激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)3.11任意激勵作用下的瞬態(tài)響應(yīng)3.12沖擊響應(yīng)3.1簡諧激勵作用下的響應(yīng)考慮如左圖所示的單自由度系統(tǒng)受簡諧激勵的力學(xué)模型。根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，質(zhì)量在受到彈簧恢復(fù)力-kx，粘性阻尼力

和外力

作用下的運(yùn)動微分方程為（3-1）式中，m為質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；k為剛度系數(shù)。上式是一個非齊次二階微分方程，在一般情況下，還要考慮初始條件

的作用為研究系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，需確定上式的解。解由齊次方程的通解和非齊次方程的特解組成。對于小阻尼系統(tǒng)，齊次方程的通解為（3-2）式中，

為阻尼比，

為固有頻率，

為有阻尼自由振動頻率，A和B是由初始條件確定的常數(shù)。非齊次方程的特解為

（3-3）為了求出振幅X和相位角

，將激勵力和響應(yīng)均表示為復(fù)數(shù)形式（3-4）（3-5）可得采用復(fù)數(shù)表示的振動方程為（3-6）將復(fù)數(shù)形式的響應(yīng)代入式（3-6）可得由式（3-8）右端的復(fù)數(shù)表達(dá)式，可得振幅和相角為于是式(3-1)的非齊次方程的特解可以表示為從而得到式(3-1)的完整解為

（3-6）

(3-12)式(3-12)右端的第一部分代表衰減的自由振動，因隨時(shí)間增加不斷減小，最終趨于零而稱為瞬態(tài)響應(yīng)。第二部分代表與外力激振頻率相同的簡諧振動，即阻尼振動系統(tǒng)在簡諧力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。把初始條件

代入式(3-12)，便可求出常數(shù)A和B，得到系統(tǒng)在簡諧激勵力作用下的響應(yīng)。單自由度有阻尼系統(tǒng)在簡諧力作用下的瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和完整解如圖3-2所示。

(1)系統(tǒng)的運(yùn)動是頻率為

和頻率為的簡諧運(yùn)動的組合；(2)頻率為

的自由振動由于阻尼

的存在而逐漸衰減至零，它只在有限的時(shí)間內(nèi)存在，故叫做瞬態(tài)振動；

(3)頻率為的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不因阻尼而衰減，其振幅和相角與初始條件無關(guān)。例3-1設(shè)一機(jī)器可簡化為一單自由度系統(tǒng)，其參數(shù)如下：m=10kg，，k=，=0.01m，=0根據(jù)以下條件求系統(tǒng)的響應(yīng)：（1）作用在系統(tǒng)的外激勵為，其中=100N，=100（2）=0時(shí)的自由振動。解：（1）根據(jù)已知參數(shù)可得

根據(jù)式（3-12）和初始條件可得將=0.01m，=0代入上式可得A=-0.0233m，B=-0.00117m（2）對于自由振動，其響應(yīng)表達(dá)式為代入初始條件可得可見，兩種情況求出的A和B是不一樣的。

對于一特定系統(tǒng)，X和

是外力

和激勵頻率

的函數(shù)，只要

和

保持不變，則X和

是常值。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的位移與各力之間的關(guān)系可以用圖3-3所示的矢量表示：物體的慣性力-、彈性力kX、阻尼力

和外力

平衡。由力的平衡關(guān)系也可以得到式(3-9)和式(3-10)。

kX3-3單自由度有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動矢量圖為便于進(jìn)一步討論，將式(3-9)和式(3-10)無量綱化，分子分母同除以k，可得式中，

稱為等效靜位移，m;

為頻率比；

為動力放大因子，表示強(qiáng)迫振動的振幅隨頻率比r、阻尼比

變化的規(guī)律。圖3-4中給出了放大因子

與

隨頻率比r（橫軸）和阻尼比

的變化曲線圖。從圖3-4可見：(1)當(dāng)激勵頻率很低，即r→0時(shí)，

→1，與阻尼無關(guān)，即外力變化很慢時(shí)，在短暫時(shí)間內(nèi)幾乎是一不變的力，振幅與靜位移相近，相角

很小。r<l時(shí)，0<

<

，表明響應(yīng)滯后于激勵力；若=0，則=0，表明激勵力和響應(yīng)同相位。此時(shí)慣性力

和阻尼力

都很小，外力幾乎與彈簧力構(gòu)成平衡，這一頻率區(qū)域稱為剛度控制區(qū)。(2)當(dāng)激勵頻率很高，即r>>1時(shí)，

→0

，也與阻尼無關(guān)，即外力方向改變過快，振動物體由于慣性來不及跟隨，相角

接近于

。r>1時(shí)，

<

<

；若=0，則=，表明激勵力和響應(yīng)反相位。此時(shí)慣性力很大，外力幾乎完全用于克服慣性力，這一頻率區(qū)域稱為質(zhì)量控制區(qū)。

(3)當(dāng)激勵頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時(shí)，即r≈1時(shí)，強(qiáng)迫振動的幅值很大；若=0，則理論上

，振幅的制約因素是阻尼。此時(shí)相角

等于

，表明響應(yīng)和激勵力的相位差為

。r=1時(shí)，若=0，則

從0突變到

;此時(shí)振幅很大，慣性力與彈簧力平衡，外力用于克服阻尼力，這一頻率區(qū)域稱為阻尼控制區(qū)。(4)當(dāng)r=1時(shí)，即

時(shí)的頻率稱為共振頻率，且有（3-15）共振時(shí)的振幅比值也稱為Q系數(shù)或系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)。在設(shè)計(jì)機(jī)器或結(jié)構(gòu)物時(shí)，通常要避免共振，使固有頻率偏離激勵頻率一定量（如20%）。但振幅的最大值并不在r=1處，而是在

處，并且有（3-16）

(3-17)在振動測試時(shí)，若測得了響應(yīng)的最大幅值，則系統(tǒng)的阻尼比可通過式(3-17)來確定。

(5)從式（3-16）可知，若

，則=0，即振幅最大值發(fā)生在=0處，即靜止時(shí)位移最大。由此可以得到以下結(jié)論：當(dāng)

時(shí)，不論r為何值，X/X。≤1；當(dāng)

<

時(shí)，對于很小或很大的r值，阻尼對響應(yīng)的影響可以忽略。對圖3-1所示的系統(tǒng)，若粘性阻尼力為0，則運(yùn)動方程式(3-1)簡化為（3-18）齊次方程的通解為（3-19）式中，C1和C2是任意常數(shù)。假設(shè)無阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動方程式（3-18）的特解為式中X是振幅。（3-20）

將式落（3統(tǒng)-2痛0）緞代入己（3曲-1欲8）槍可得（3階-2梯1）對式稻（3詳-2覽1）計(jì)無量肚綱化臥，可死得系分統(tǒng)的氧幅頻露特性沉為（3銅-2嘗2）應(yīng)用年初始擋條件得到藏系統(tǒng)壇的總納響應(yīng)園為（3辨-2賤3）圖3霞-5像中給呆出了隨頻其率比錯r的斃變化伶曲線野圖。從圖搭3-痰5中是可見陣：(1糖)0<r<1種時(shí)，蘭式(江3-掌22最)的部分母認(rèn)為正焰值，友此時(shí)毫系統(tǒng)陸的強(qiáng)材迫響姻應(yīng)與券外力駐同相衫；(2比)r>l漁時(shí)，設(shè)式(局3-亦22閑)的永分母截為負(fù)吐值；里此時(shí)虧系統(tǒng)伐的強(qiáng)福迫響譜應(yīng)與麻外力洲反相柳，即暗響應(yīng)荷和激吧勵有的相朋角差點(diǎn)，此騙外，考當(dāng)r→∞時(shí)，弊X→0，系距統(tǒng)的體響應(yīng)旗趨近虧于0齊。(3悶)寺r=1時(shí)，遺由圖知3-艦5可筆知此猜時(shí)系暴統(tǒng)的甘強(qiáng)迫溪響應(yīng)扭趨近還于無杰窮大蠻，此拔時(shí)系猶統(tǒng)發(fā)究生共濟(jì)振。業(yè)為求吧此條郵件下雅的響海應(yīng)，錫將式擱(3浙-2阿3)石重新集整理省為(3鉗-24)當(dāng)→時(shí)，級最后漏一項(xiàng)押為0/0型不荷定式，由洛周必達(dá)倒法則孩求得化式(然3-報(bào)24乎)的日響應(yīng)悼為(3先-2視5)可見求，共掘振時(shí)粒系統(tǒng)竿的響淡應(yīng)將點(diǎn)隨著眾時(shí)間神線性峰增大六。許搶多機(jī)演器在闊正常推運(yùn)轉(zhuǎn)穗速度真時(shí)，排其激尺勵頻槽率通鳴常遠(yuǎn)盯遠(yuǎn)大若于固啦有頻吉率，膽因此切在開鄭車和渣停車巧過程宜中都落要穿喚越共博振頻鉤率，壯由于昂共振姐時(shí)幅鑄值的綢增大始需要翁一定織時(shí)間說，只釣要加裕速或顫減速怨進(jìn)行象得比杠較快陣，一聚般可宴以順岔利通逮過共襪振，慎而不燃致發(fā)倦生過穗大的移幅值去。例3德-2帆證明盜在小威阻尼雨的情肆況下艘，阻統(tǒng)尼比喪可以談表示慢為式中飾，分別夸是半貼功率拿點(diǎn)對巾應(yīng)的鄭頻率艘。解：賠由半作功率館點(diǎn)的膚定義鏟可知在半疾功率負(fù)點(diǎn)的彩頻率全比r朋滿足因此斑可求慎得對于陷小阻餅?zāi)崆榘Y況兩式夸相減誓可得因此押可以各通過別測量存半功晝率帶憐寬估算老阻尼剪比。并真且可甘見：古阻尼金越小蘋，半烤功率功帶寬頁越小含，共慰振峰旨越尖搏。3.搬2頻率畢響應(yīng)鼓函數(shù)頻率捷響應(yīng)確函數(shù)刮是以蔑頻率評為自黎變量黨的函匪數(shù)，蜂它描既述了參系統(tǒng)廁的響悅應(yīng)與遺輸入捕在不吸同頻否率時(shí)僵的對覺應(yīng)關(guān)弄系，型包含在幅值麻信息市和相堵位信焦息，朋一般塌以復(fù)囑數(shù)形為式表在示。濤對于房誠單自細(xì)由度查有阻撲尼系坊統(tǒng)，堵其頻昌率響子應(yīng)函不數(shù)為（3文-2斥6）式中（3美-2瓜7）頻響愿函數(shù)妙描述栗了振壟動系側(cè)統(tǒng)的月特性，它與振動乓系統(tǒng)騰的運(yùn)暖動微械分方魔程以蛾及傳剛遞函介數(shù)是等價(jià)的。向若已款經(jīng)測棒得系扣統(tǒng)的鋪頻率匹響應(yīng)站函數(shù)娘，則青其響伴應(yīng)可由頻率桃響應(yīng)認(rèn)函數(shù)序和輸陜?nèi)氲美绲?。膚頻率住響應(yīng)單函數(shù)采為系誕統(tǒng)的纏位移膊輸出否與力笨輸入笛之比粱，閑輸此也喇被稱緣瑞為動撫柔度盈。系跌統(tǒng)速偽度響北應(yīng)與自力輸派入之比被稱哭為速擱度導(dǎo)符納，蛋系統(tǒng)尤加速鴨度響毛應(yīng)與些力輸磨入之散比被托稱為青加速蹄度導(dǎo)貝納。3.誼3機(jī)械加阻抗熟的基壘本概挨念機(jī)械非阻抗頃是頻汗率響嫩應(yīng)函毫數(shù)的緒倒數(shù)湯。以滲簡諧駛激勵落為例食，機(jī)仰械阻我抗即棟為激佛勵力希與其救所引起的供穩(wěn)態(tài)犯響應(yīng)菌之比傘。對頸于單甲自由誕度有柿阻尼紹系統(tǒng)除，其是機(jī)械資阻抗笑為(3牙-2暖8)式中跡，(3第-2閥8)由以磨上定錘義，竄頻率志響應(yīng)耐函數(shù)筑和機(jī)燃械阻道抗都沸是以拴頻率蠻為自斥變量庫的復(fù)得函數(shù)喚，都潮是頻惜域函掠數(shù)，涉而不平是時(shí)瓜域函罪數(shù)。蓄上述霸定義鄰是廣袋義的何機(jī)械鑄阻抗母概念們，確年切地燃說，朵機(jī)械詠?zhàn)杩箠手傅娜凼橇草斎胧Ｅc系針統(tǒng)的躍速度瘦響應(yīng)滅之比打，是漫速度岸導(dǎo)納究的倒速數(shù)。含系統(tǒng)植的力頓輸入爬與位送移響崇應(yīng)之務(wù)比被欄稱為冬動剛天度。窩力輸震入與漁系統(tǒng)架的加冰速度移響應(yīng)拍之比牢，被強(qiáng)稱為需視在榜質(zhì)量倉。三扇種基伴本元熔件的駝阻抗熊和導(dǎo)邁納如習(xí)表3筋—1需所示疾。表3葉-1使三種遷基本暑元器聽件的大機(jī)械枕阻抗阻抗頻率響應(yīng)函數(shù)動剛度阻抗視在質(zhì)量動柔度速度導(dǎo)納加速度導(dǎo)納質(zhì)量

-mm彈簧k阻尼器

icc互換規(guī)律i113.銷4結(jié)構(gòu)惡阻尼胞和庫商侖阻輩尼前幾賭節(jié)分析攪所采圈用的滲阻尼妹為粘綢性阻孩尼，弄阻尼照力和叢振動騾速度乒成正菠比，識對應(yīng)治的系詢統(tǒng)運(yùn)直動微畢分方程是仆線性面的。溉實(shí)際呢的阻肺尼形瞞式種奪類較蘭多，耗常見激的還疼有結(jié)披構(gòu)阻乘尼（萌滯后屑阻尼潔）和跑庫侖蝦阻尼炭。結(jié)構(gòu)偏阻尼票由材綁料分脈子的鳥內(nèi)摩商擦耗孫能引顫起。逝考慮覆結(jié)構(gòu)疑阻尼膛的振氧動系水統(tǒng)如知圖3謀-6扁所示秀，在年簡諧固力作用烈下，真其運(yùn)繳動微黨分方莖程為(3彈-2員9)式中戒，表示淡阻尼燒力；為材遙料的乒損耗著因子竊。在哨簡諧徐力激箭勵作奇用下，則造有(3暑-3掠0)被稱幕為復(fù)蘋剛度俘。橡膠畝材料歷即具濟(jì)有這滑種阻愉尼形鐮式，北其損丹耗因?yàn)┳油ㄓ?xùn)常在0.1～面0.糕4范老圍內(nèi)虜，隨糠環(huán)境功溫度釋、硫汗化工網(wǎng)藝和畫填充椒材料序不同致而變中化。計(jì)算估式(子3-屋30菌)的伴穩(wěn)態(tài)錯響應(yīng)帳，其情振幅吳為(3差-3悟0)式中勿，表示私靜變貧形。背與粘坡性阻杜尼的匙穩(wěn)態(tài)著響應(yīng)構(gòu)振幅比較梳可知，宋在共征振頻鑰率即r=勵1時(shí)，戰(zhàn)有。雖健然在診其他墨頻率幸這一膊關(guān)系娃并不泰成立奪，但栗考慮謠到阻閘尼主要在共振區(qū)罰附近動起作世用，者故在向時(shí)域雨分析駁計(jì)算裳中可剪以利芹用將結(jié)暫構(gòu)阻股尼轉(zhuǎn)于化為催粘性果阻尼處理哈。具有橫庫侖惰阻尼貨的單灰自由它度系刑統(tǒng)如住圖3續(xù)-7晃所示萍，在嘗受到鴿簡諧仗激勵逢力的作職用下衛(wèi)，其遵運(yùn)動繩微分地方程胞為(3疤-3莫2)式中肯，是庫矮侖摩飯擦力毯；s間gn孕是符侵號函鄭數(shù)；為動炸摩擦兵系數(shù)買；N餃為正剛壓力泛。該系予統(tǒng)只執(zhí)有在仍彈簧寄的恢籍復(fù)力臉大于良摩擦扇力的籍情況冶下才支能夠撇發(fā)生螺運(yùn)動嗚。由沖第2關(guān)章的拔分析否可知各，自倉由振遵動時(shí)湖每經(jīng)沃過半蜘個振絕動周澤期振慘幅衰乳減，因膀此彈盤簧的烏恢復(fù)傷力也及將逐碧漸減拖小。嘆當(dāng)彈婚簧的惕恢復(fù)經(jīng)力與先摩擦搶力相師差無倍幾時(shí)持，振斤動呈疏現(xiàn)粘物滯狀筍態(tài)。3.嗎5等效謀阻尼對于重各種拘不同指的阻綢尼類媽型，跨穩(wěn)態(tài)萬振動年時(shí)每雁個振崖動循次環(huán)的醫(yī)力——位移垮曲線著將形酒成一羨個封娛閉圈撤，這保個封捎閉圈膽稱為額滯回?fù)Q曲線畝。對寧于粘堡性阻化尼來肥說，銷滯回服曲線伶呈橢探圓，攏其面助積正雖比于言每一陜循環(huán)史阻尼懂消耗竹的能喪量：式中拖，是阻掉尼力凱。對古粘性罩阻尼奇系統(tǒng)截，=。穩(wěn)填態(tài)振營動的松位移尚和速巖度為阻尼該力每無個循倒環(huán)消緣瑞耗的鍵能量而為可見稅，粘筋性阻蓮尼耗富能△爺E隨調(diào)頻率我而變曬。為了帆簡化姥分析億計(jì)算趁，利附用等錢效粘麥性阻長尼的久概念甜可以耍將不想同的音阻尼勒當(dāng)作甲粘性售阻尼均處理。阻尼謊等效金的原闖則是銀，在叨一個菠振動對周期押中不特同阻猴尼所兵消耗債的能磚量與否粘性咸阻尼女在一陰個周架期中所消耗霜的能翁量相疏等。對于馳結(jié)構(gòu)滑阻尼嚇，其學(xué)在一交個循蔑環(huán)內(nèi)記消耗殼的能測量可截以表追示為（3奪-3奴5）可見達(dá)，結(jié)毫構(gòu)阻釀尼每抖個循擦環(huán)的拜能量手消耗叨和頻抬率無鎖關(guān)。秤其等劣效粘偵性阻拔尼系欲數(shù)為（3蟻-3高6）對于朱庫侖柄阻尼起材料趨，若鼓振動豈的幅層值用表示男，則驕干摩捆擦力滲在1跨/4狐個循零環(huán)中蔬的能喉量消耗為，因券此在刷一個閘完整末循環(huán)制中因龜干摩披擦導(dǎo)水致的場能量半消耗李為（3研-3移7）其等院效阻呼尼系茂數(shù)為（3寶-3們8）例3宜-3預(yù)當(dāng)振文動物薦體在倦流體柱介質(zhì)弄中高洲速運(yùn)團(tuán)動時(shí)館，所殺遇到呼的阻竄尼力淺通常蘇假定歷為與蒼速度平方成啊正比爹，阻勺尼力撫表示觸為，式梁中，a是常巖數(shù)，是阻繳尼器羊中的昂相對抽速度肯，正哄號對應(yīng)于<0，負(fù)萄號對印應(yīng)于>0，求默解其羨等效估粘性雞阻尼扒系數(shù)統(tǒng)和其娛穩(wěn)態(tài)蒙響應(yīng)缸的值燒。解：泡在簡概諧運(yùn)繳動的一咳個周以期中牧，所得消耗顆的能這量為令此寒能量適等于皮等效南粘性趟阻尼反在一疤個周奇期中訂損耗距的能千量，垂則其裕等效津粘性扎阻尼猛系數(shù)偵