離散數(shù)學二元關系

第四章二元關系主要內(nèi)容：關系的概念及表示方法關系的性質(zhì)關系的運算:－關系的復合，求逆關系，關系的閉包。三種關系:－等價關系，相容關系，次序關系。5/24/20231一、序偶與有序n元組1.定義:由兩個對象x、y組成的序列稱為有序二元組，也稱之為序偶，記作<x,y>；稱x、y分別為序偶<x,y>的第一，第二元素。注意，序偶<x,y>與集合{x,y}不同：序偶<x,y>：元素x和y有次序；集合{x,y}：元素x和y的次序無關緊要。4-1序偶與集合的笛卡爾積5/24/202322.定義：設<x,y>，<u,v>是兩個序偶，如果x=u和y=v則稱<x,y>和<u,v>相等，記作<x,y>=<u,v>。3.定義：有序3元組是一個序偶,其第一個元素也是個序偶。有序3元組<<a,b>,c>可以簡記成<a,b,c>，但<a,<b,c>>不是有序3元組。5/24/202334.定義：有序n元組是一個序偶,其第一個元素本身是個有序n-1元組,記作<<x1,x2,,xn-1>,xn>。且可以簡記成<x1,x2,,xn-1,xn>。5.定義<x1,x2,…,xn>=<y1,y2,…,yn>(x1=y1)(x2=y2)(xn=yn)5/24/20234例如“斗獸棋”的16顆棋子，豹貓虎象獅狗鼠虎象獅豹狼鼠貓狗狼設：A={紅,藍}

B={象,獅,虎,豹,狼,狗,貓,鼠}每個棋子可以看成一個序偶，斗獸棋可記成集合AB：{<紅,象>,<紅,獅>,<紅,虎>,<紅,豹>,<紅,狼>,<紅,狗>,<紅,貓>,<紅,鼠>,<藍,象>,<藍,獅>,<藍,虎>,<藍,豹>,<藍,狼>,<藍,狗>,<藍,貓>,<藍,鼠>}5/24/202351.定義:設A、B是集合，由A的元素為第一元素，B的元素為第二元素組成序偶的集合，稱為A和B的笛卡爾積，記作A×B，即AB={<x,y>|xA∧yB}

例1設A={0,1}，B={a,b}，求AB，BA，AA。解：AB={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}BA={<a,0>,<b,0>,<a,1>,<b,1>}AA={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}可見A×B≠B×A所以，集合的笛卡爾積運算不滿足交換律。5/24/20236另外(AB)C={<<a,b>,c>|<a,b>ABcC}A(BC)={<a,<b,c>>|aA<b,c>BC},因<a,<b,c>>不是有序三元組,所以(AB)CA(BC)。故也不滿足結(jié)合律。2.性質(zhì)1)如果A、B都是有限集，且|A|=m,|B|=n，則|AB|=mn。證明：由笛卡爾積的定義及排列組合中的乘法原理，直接推得此定理。2)AΦ=ΦB=Φ5/24/202373)對∪和∩滿足分配律。

設A,B,C是任意集合，則⑴A(B∪C)=(AB)∪(AC)；⑵A(B∩C)=(AB)∩(AC)；⑶(A∪B)C=(AC)∪(BC)；⑷(A∩B)C=(AC)∩(BC)；證明⑴：任取<x,y>A(B∪C)

xAyB∪CxA(yB∨yC)(xAyB)∨(xAyC)<x,y>AB∨<x,y>AC<x,y>(AB)∪(AC)所以⑴式成立。（其余可以類似證明）5/24/202384)若C,則AB(ACBC)(CACB)證明：充分性：設AB，求證ACBC任取<x,y>AC

xAyCxByC(因AB)

<x,y>BC所以,ACBC。

必要性：若C,由ACBC求證AB取C中元素y,任取xAxAyC<x,y>AC<x,y>BC(由ACBC)xByCxB所以,AB。所以AB(ACBC)

類似可以證明AB(CACB)。5/24/202395)設A、B、C、D為非空集合，則ABCDAC∧BD證明：首先,由ABCD證明AC∧BD任取xA，任取yB，所以xAyB<x,y>A×B<x,y>C×D(由ABCD)xCyD所以,AC∧BD。

其次,由AC，BD證明ABCD任取<x,y>A×BxAyB

xCyD(由AC，BD)<x,y>C×D所以,ABCD證畢。5/24/2023106)約定(…(A1A2)…An-1)An)=A1A2…An

特別AA…A=An設R是實數(shù)集合，則R2表示笛卡爾坐標平面，R3表示三維空間，Rn表示n維空間。3.應用1)令A1={x|x是學號}A2={x|x是姓名}A3={男,女}

A4={x|x是出生日期}A5={x|x是班級}

A6={x|x是籍貫}則A1A2A3A4A5A6中一個元素：

<001，王強，男，1981:02:16，計2001-1，遼寧>這就是學生檔案數(shù)據(jù)庫的一條信息，所以學生的檔案就是A1A2A3A4A5A6的一個子集。5/24/2023112)令A={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}是英文字母表一個英文單詞可以看成有序n元組：如at=<a,t>,boy=<b,o,y>,data=<d,a,t,a>,computer=<c,o,m,p,u,t,e,r>于是可以說：atA2,boyA3,dataA4,computerA8,…所以英文詞典中的單詞集合可以看成是A∪A2∪…∪An的一個子集。作業(yè)P105⑵5/24/2023124-2關系及其表示法

相關

按照某種規(guī)則，確認了二個對象或多個對象之間有關系，稱這二個對象或多個對象是相關的。例1：

大寫英文字母與五單位代碼的對應關系R1:令α={A,B,C,D,…Z}β={30,23,16,22,…,21}是五單位代碼集合β={11000,10011,01110,10010,…,10001}R1={<A,30>,<B,23>,<C,16>,...,<Z,21>}α×β5/24/202313例2：令Ａ={1,2,3,4},A中元素間的≤關系R2：R2={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}A×A關系的定義定義1:

設A、Ｂ是集合，如果ＲA×B，則稱R是一個從A到B的二元關系。如果RA×A，則稱R是A上的二元關系。二元關系簡稱為關系。定義2:

任何序偶的集合，都稱之為一個二元關系。如:R={<1,a>,<書,車>,<人,樹>}基本概念5/24/202314<x,y>RxRy也稱之為x與y有Ｒ關系。后綴表示中綴表示<x,y>RxRy也稱之為x與y沒有Ｒ關系。例3.

R是實數(shù)集合，R上的幾個熟知的關系x2+y2=4≤≥=xy從例3中可以看出關系是序偶(點)的集合(構(gòu)成線、面)。5/24/202315關系亭的定為義域慣與值鐵域定義銀域(d回om棍ai抹n)：設RA×B，由所解有<x毀,y登>R的第棉一個妥元素捆組成臺的集視合，爹稱為R的定候義域詠。記作do孔mR，即do足mR=舉{x邊|y秒(<x款,y纖>R)}值域(r堅an瓦ge軟)：設RA×B，由所際有<x胡,y等>R的第便二個薯元素藝組成片的集垂合，兄稱為R的值磚域。記作ra等n摩R，即ra顯n脈R=耳{y窗|x遙(<x幫,y衰>R)}令：R1就={爪<高1,則1>舊,<遙1,做2>冰,<禽1,供3>么,<機1,捕4>秒,百<2畜,2糠>,<2部,3剪>,晃<險2,六4>眼,始<3角,3船>,啦<道3,狡4>速,<4尤,4科>}do售mR1通=止{1漏,2丈,3召,4歇}ra登n緒R1陣=哨{1田,2害,3痕,4祖}5/蠶19疼/2顏02文316枚舉膚法：即將爽關系律中所浙有序拌偶一洋一列梁舉出烤，寫凳在大編括號傘內(nèi)。軌如R={淺<尊1,秒1>歐,<章1,權2>拒,<藏1,釣3>僵,撈<1唐,4磚>,掛<2踢,2豎>,掩<于2,回3>光,鏟<2抬,4鴨>,洗<屬3,有3>惜,鏡<3哭,4累>,宏<違4,責4>反}。謂詞巴公式敘法：即用傷謂詞堡公式醬表示晨序偶罷的第股一元懸素與飽第二幕元素慕間的前關系股。例亦如R=挺{<香x,動y>態(tài)|x曲<y它}有向熟圖法：RA×B,用兩跳組小丙圓圈(稱為鋤結(jié)泰點)分別踢表示A和B的元知素，克當<x花,y支>R時，雁從x到y(tǒng)引一糕條有蔑向弧(邊)。這巡壽樣得估到的印圖形艙稱為R的關錢系圖并。關系稍的表已示方蟻法5/新19欄/2句02有317例設A=疫{1砌,2記,3凳,4吩},靈B=秤{a史,b泛,c脂},迅R1A×B,失R2A×A，R1={掛<注1,蕩a>摘,<酬1,都c>欣,<中2,店b>掏,<異3,冠a>駝,<鉆4,殘c>估},R2={俱<凳1,微1>乏,<或1,趨4>挑,<通2,煎3>篇,<項3,掩1>晨,<菜3,赤4>沸,<4脖,1費>,秒<4前,2母>}R2:3214ABabc1234R1:R1、R2的關舞系圖河如下?lián)Q：5/優(yōu)19誰/2才02愛318矩陣快表示鉤法：設A=盤{a1,鴨a2,,吃am}，B=紋{b1,夫b2,,bn}是個確有限佩集，RA×B，定義R的m×余n階矩陣MR=(rij)m×跑n，其際中1若<ai,bj>∈R0若<ai,bj>∈R(1≤i≤m,1≤j≤n)rij=例：R1={裁<享1,誕a>跑,<除1,湊c>乖,<敢2,壓b>肅,<違3,校a>餓,<艘4,而c>蟲}R2={鏡<什1,丸1>福,<段1,絕4>齊,<莖2,剝3>采,<游3,犬1>謙,<敗3,階4>嶺,<4柴,1財>,此<4輛,2替>}1010101000014×31234abc上例中MR1=MR2=10010010110010014×4123412345/床19長/2泛02脂319空關糠系Φ：因為ΦA×緩B，(或ΦA×勢A)，所以Φ也是定一個憤從A到B(或A上)的關娃系，版稱之幼為空杜關系尖。即無紫任何愉元素絹的關習系，復它的寧關系欄圖中航只有房誠結(jié)點,無任懼何邊景；它跳的矩冷陣中好全是0。完全鞭關系(全域遭關系)：A×食B(或A×解A)本身矩也是諷一個趕從A到B(或A上)的關解系，肌稱之挽為完禮全關升系。即含公有全蒙部序歪偶的研關系零。它燥的矩撞陣中排全是1。三個噸特殊挨關系5/阻19夢/2鎮(zhèn)02數(shù)320A上的恒等果關系IA：IAA×停A,且IA={宰<x僅,x泉>|伙x∈粘A}為A上的弦恒等賓關系港。例如A=唐{1水,2候,3流},則IA={育<1長,1棚>,挪<2俯,2扯>,偷<3肥,3仇>}A上的Φ、完全妖關系寸及IA的關乒系圖灶及矩跌陣如崖下：1111111113×3MA×A=1。2。。31。2。。31。。2。3ΦA×AIAMIA=1000100013×30000000003×3MΦ=5/連19旨/2較02艙321由于醋關系應就是沿集合滿，所披以集鄭合的∩、∪、-、色和~運算辜對關砍系也讀適用嫌。例如A是學閉生集指合，R是A上的墊同鄉(xiāng)新關系膝，S是A上的轎同姓賽關系兆，則R∪回S：或同權鄉(xiāng)或趟同姓盛關系R∩塞S：既同寇鄉(xiāng)又直同姓堵關系R-集S：同鄉(xiāng)種而不扛同姓趕關系R秧S：同鄉(xiāng)法而不光同姓,或同好姓而縣不同中鄉(xiāng)關擦系~R：不是坡同鄉(xiāng)吊關系,這里~R炎=(搶A×奪A)翠-R作業(yè)P1浮09賊⑵、⑸c)論d)關系清的集已合運燙算5/頓19鬧/2漿02越322本節(jié)傭中所經(jīng)討論雹的關窄系都巾是集痕合A中的霧關系何。關系惹的性虎質(zhì)主疏要有斬：自陜反性屬、反積自反攔性、炮對稱逗性、探反對腳稱性臭和傳棉遞性趁。一.自反邀性定義:設R是集滔合A中的灣關系漁，如充果對刮于任躲意x∈顧A都有<x篇,x輕>∈展R遭(xR咬x)，則稱R是A中自姜反關航系。即R是A中自曾反的飛關系x(拿xAxR雅x)例如捧：在實吊數(shù)集誰合中,“”是自蒙反關酬系，性因為州，對窩任意挽實數(shù)x，有xx.4-膝3關系帆的性家質(zhì)5/茅19席/2醫(yī)02度323從關描系有糠向圖委看自臂反性:每個雜結(jié)點那都有瞎環(huán)。從關聯(lián)系矩央陣看聲自反種性：亂主對摸角線饞都為1。令A=煩{1粘,2奮,3違}，確定隨以下把八個巡壽關系斷中哪痛些是齡自反屑的？1。2。。3R21

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。2。。3R61。2。。3R71。2。。3R85/終19展/2雜02煙324二.反自涌反性定義項：設R是集戚合A中的雞關系籃，如充果對肉于任近意的x∈趣A都有<x榮,x膽>R，則稱R為A中的居反自艱反關耽系。即R是A中反閃自反伐的x(材xA<x王,x執(zhí)>R)從關貢系有菠向圖行看反閉自反菠性:每個秧結(jié)點棵都無務環(huán)。從關漿系矩刮陣看窩反自呼反性蔽：主蛙對角帝線都灑為0。如實數(shù)他的大釘于關諒系>，父淺子關弓系是懇反自傍反的除。注意莊：一個謙不是齡自反極的關堤系，昏不一君定就禽是反佳自反遺的，版如前勁邊R6、R7非自厚反,也非蘭反自駁反。5/幼19激/2桶02倆325R2、R5、R8、均是廈反自延反關齊系。1。2。。3R21

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x=y)xy((xAyAxyxRy)yx)(P112)由R的關廣系圖謝看反叢對稱營性：偷兩個洋不同鴨的結(jié)找點之謠間最衣多有獨一條鋒邊。從關轎系矩默陣看羅反對運稱性?。阂约糁鲗κ饨蔷€懂為對里稱的贏兩個陪元素愈中最責多有海一個1。另外杠對稱績與反國對稱佳不是渴完全輔對立啦的，媽有些藥關系紙它既飼是對漿稱也堆是反謹對稱葉的，猾如空罩關系灑和恒悟等關畜系。5/縱19輕/2饞02突329上面R1、R2、R4、R5、R8均是抹反對胞稱關陣系。R4、R8既是早對稱攜也是賢反對釋稱的磚。1。2。。3R21

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。2。。3R61。2。。3R71。2。。3R85/襯19掌/2落02貍330五.傳遞幟性定義:R是A中關璃系，具對任慰何x,y,適z∈隙A,如果衫有xR施y,和yR破z,就有xR不z,則稱R為A中傳便遞關奶系。即R在A上傳遲遞xyz(希(xAyAzAxR暫yyR睡z)xR尤z)例實數(shù)惜集中墨的≤、＜嘆，集窗合、鼻是傳幸遞的湖。從關滿系關宮系圖擔和關劉系矩霞陣中災不易聲看清通是否平有傳幅遞性刷。必聾須直勉接根京據(jù)傳差遞的護定義掃來檢牲查。檢查少時要賣特別德注意痰使得倒傳遞光定義泥表達鎖式的狂前件咱為F的時短候此緣瑞表達古式為T，即是煮傳遞宮的。即若<x灰,y叨>∈R與<y殺,z餅>∈窗R有一架個是F時(即定惠義的慣前件誰為假)，R是傳把遞的虹。5/湊19旱/2爭02哭331例如A=垃{1將,2榜},下面A中關塵系R是傳累遞的蓬。通過濕帶量勝詞的冤公式娛在論互域展棗開式歇說明R在A上傳挽遞12xyz(左(xAyAzAxR兩yyR恭z)xR首z)xyz(著(x刺RyyR期z)xR匆z)茅(為了范簡單洞做些悉刪改)yz(譽(1RyyR耍z)1Rz茶)yz(兇(2RyyR權z)2Rz盯)(z(業(yè)(1R11Rz尚)1Rz始)z(該(1R22Rz面)1Rz定)(z(糞(2R11Rz寬)2Rz筋)(姜z(恐(2R22Rz躲)2Rz))(((1R11R1)1R1)((1R11R2)1R2))((離(1R22R1)1R1)((1R22R2)1R2))((捆(2R11R1)2R1)((2R11R2)2R2))((汪(2R22R1)2R1))((2R22R2)2R2))詞(((捧FF)F)((微FT)T)瓶)((頭(TF)F)((綿TF)T))((荒(FF)F)((摘FT)F)痰)((壤(FF)F))((傷FF)F))T5/歐19描/2楊02崇332以上R1、R3、R4、R5、R8均是胸傳遞士的關質(zhì)系。1。2。。3R21

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。2。。3R61。2。。3R71。2。。3R85/竊19瞧/2協(xié)02保333本節(jié)該要求縮慧：1.準確檢掌握訓這五恭個性碰質(zhì)的利定義踏。2.熟練駐掌握服五個犧性質(zhì)豎的判吹斷和逢證明蹤蝶。R是A中自廣反的x(矩xAxR核x)R是A中反蜘自反毯的x(前xA<x寄,x譜>R)R是A上對車稱的xy(長(xAyAxR掩y)yR爆x)R是A上反撇對稱包的xy(雨(xAyAxR哪yy淹Rx)x=詠y)xy(段(xAyAxyxR陣y)yx)R在A上傳剩遞xyz(滿(xAyAzAxR夏yyR啟z)xR玻z)注意性質(zhì)表達鄭式的賞前件槳為F時此連表達行式為T，即R是滿黎足此亭性質(zhì)勞的。(自反揉和反帝自反重性除川外)5/和19遇/2富02樸334自反性反自反性對稱性傳遞性反對稱性每個結(jié)點都有環(huán)主對角線全是1每個結(jié)點都無環(huán)主對角線全是0不同結(jié)點間如果有邊,則有方向相反的兩條邊.是以對角線為對稱的矩陣不同結(jié)點間,最多有一條邊.以主對角線為對稱的位置不會同時為1如果有邊<a,b>,<b,c>,則也有邊<a,c>.或前件為假

如果aij=1,且ajk=1,則aik=1性質(zhì)判定從關系的有向圖

從關系的矩陣5/貸19閉/2域02裙335下面匪歸納尾這八盼個關饞系的梁性質(zhì)互：Y-有N-無1。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R2R1R3R4自反性反自反性對稱性反對稱性傳遞性R1YNNYYR2NYNYNR3YNYNYR4YNYYY5/牽19澇/2沖02商3361。2。。1。2。。1。2。。1。2。。3333R5R6R7R8自反性反自反性對稱性反對稱性傳遞性

R5NYNYY

R6NNYNN

R7NNNNN

R8NYYYY

5/嫩19民/2危02丟337練習1:令I是整服數(shù)集敵合，I上關在系R定義翠為：R=諷{<幫x,守y>阿|x金-y可被3整除}，求證R是自梨反、瓣對稱五和傳茂遞的厘。證明震：⑴自反惰性：任取x∈嚼I,因x-慚x=萬0,啦0可被世3整策除,遣所以脊有<x,眾x>艙∈R舞,故R自反覽。⑵對稱繳性：任取x,蛋y∈遠I,設<x,故y>悄∈R論,由R定義要得x-晉y可被3整除,即x-存y=罵3n再(n牲∈I錘)，y-畏x=-拘(x歌-y肉)=拋-3燈n=右3(注-n歲),吵-n∈您N∴<確y,角x>袖∈R找,該R是對稱的。⑶傳遞披性:任取x,替y,鍋z∈項I,設xR隔y,yR轉(zhuǎn)z,由R定義違得x-圍y=訪3m荷,值y-復z=裕3n噴(捐m.迫n∈劣I)x-屢z=杏(x壘-y頭)+瓜(y活-z鴿)=昌3m竿+3稼n=它3(滅m+消n)按,m+蠻n∈境N所以xR徹z,所以R傳遞叼。布證繡畢5/曉19今/2眠02樓338練習2：設R是集扇合A上的誼一個膠自反監(jiān)關系,求證羅：R是對到稱和點傳遞角的，理當且常僅當<a奴,b部>和<a燒,c織>在R中,則有<b警,c務>也在R中。證明霸：必要委性已知R是對勻稱和錦傳遞腸的。設<a株,b帖>R又<a尖,c斷>R，(要證查出<b泳,c畝>R已)因R對稱用的故<b凱,a擋>R,又已血知<a雙,c雁>R由傳平遞性得<b晚,c眨>R。所以認有如敵果<a旱,b妙>和<a許,c古>在R中,則有<b輸,c顯>也在R中。充分苦性已知怨任意a,嶺b,陸cA，如<a游,b況>和<a滿,c懲>在R中,則有<b噸,c神>也在R中。5/掉19資/2噸02示339先證R對稱任取a,秩bA設<a斑,b棄>R，(要證蛛出<b虹,a炒>R腿)因R是自朗反的,所以<a攏,a搜>R，由<a釀,b發(fā)>R且<a刑,a桂>R，根據(jù)旅已知欄條件丈得<b翠,a冶>R，所泉以R是對鎖稱的雅。再證R傳遞任取a,散b,候cA設<a南,b渡>R，<b烏,c臣>R。(要證朵出<a紋,c鴿>R欣)由R是對粱稱的,得<b巨,a分>R，由<b搖,a洋>R且<b錯,c唱>R，根據(jù)略已知勿條件襲得<a蓄,c敏>R，所以R是傳塵遞的濤。作業(yè)己第11宇3頁⑴、⑶、⑷5/攏19竭/2葡02頂3404-緒4關系宏的復配合下面珠介紹擊由兩揀個關主系生盈成一射種新皇的關則系，槐即關等系的鳥復合荒運算宰。例如，有3個人a,刊b,羽c，A=疏{a辣,b含,c父}，R是A上兄蹈妹關發(fā)系，S是A上母附子關蒜系，<a殃,b傳>∈駐R∧境<b頓,c選>∈貝S即a是b的哥店哥,b是a的妹吧妹;b是c的母攏親，c是b的兒旗子。則a和c間就廉是舅舅敘和外對甥的關撞系,悲記作RS,稱它僑是R和S的復巷合關盒系。abcRS5/灶19耀/2陷02球3411.定義:設R是從X到Y(jié)的關至系，S是從Y到Z的關軌系，味則R和S的復返合關遙系記疤作RS。定義垃為：RS束={平<x辣,z郊>|xXzZy(室yY<x降,y細>R<y織,z謠>S)搶}顯然普，RS是從X到Z的關狠系。2.復合流關系遵的計呈算方輸法(俗稱章過河艙拆橋訴法)A=兵{1洽,2解,3敞}蹄B裳={侄1,訓2,喊3.良4}謙C普={急1,掘2,亡3,鄉(xiāng)豐4,柱5}RA×求B悄SB×慌C枚舉龍法R=港{<1,2>,燙<2訊,3恢>,徑<2觀,4蘆>,曬<3路,1純>}賺S=鞠{<僑1,睡2>喝,<2,1>,丹<2,3>,桶<3桑,4董>,撕<4驕,2況>,俊<4聽,5談>則RS={噸<1,關1>,申<1,旬3>,犯<2階,4藝>,拔<2條,2爪>,層<2即,5伸>,樓<3好,2光>}5/殲19生/2傲02夜342有向盼圖法CA1231234112345ABRSC12345123⑶關系妹矩陣戚法令A=腐{a1,世a2,…榮,抖am}狗B=太{b1,發(fā)b2,…譽,bn}C=賓{c1,毀c2,…使,寧ct}往RA×秀B教SB×油C5/雙19鐘/2坡02棍343MR<a1,b1><a1,b2>...<al,bn><a2,b1><a2,b2>...<a2,bn>......<am,b1><am,b2>...<am,bn>(aij)MS<b1,c1><b1,c2>...<bl,ct><b2,c1><b2,c2>...<b2,ct>......<bn,c1><bn,c2>...<bn,ct>(bij)<a1,c1>...<al,ct><a2,c1>...<a2,ct>......<am,c1>...<am,ct>M

(cij)0100001110003×4。10000101000001001001=4×51010001011100003×5c11=(a11∧b11)∨(a12∧b21)∨...∨(a1n∧bn1)=(a1k∧bk1)(其中∧是邏輯乘,∨是邏輯加)cij=(ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨...∨(ain∧bnj)=(aik∧bkj)(1≤i≤m,1≤j≤t)k=1n∨k=1n∨5/蟲19退/2錦02械344⑷謂詞桑公式倡法設I是實蕩數(shù)集攔合，R和S都是I上的鬼關系歐，定家義如置下：R=啊{<畏x,賢y>怠|刮y=草x2+3箭x}S=縣{<煎x,霧y>純|拘y=惜2x板+3摧}xx2+3x2(x2+3x)+3=2x2+6x+3RS所以RS刮={桃<x強,y墻>|柏y憶=2悼x2+6梨x+吧3}三.性質(zhì)關系券復合額運算鍋不滿崇足交傭換律西，但河是1.滿足瘡結(jié)合瓶律:秋RA×違B舌SB×馳C揀TC×持D則5/宴19杠/2洞02拳345悟b(電b∈沫B∧<a紡,b惱>∈牽R∧<續(xù)b,稠d>∈哥(S○T)暖b(仙b∈露B∧<a陳,b棗>∈名R∧c突(c眾∈C∧<b滔,c仗>∈羊S∧<練c,斃d>∈T妙))端b戶c(勢b∈助B∧<a瓜,b蠟>∈裹R∧(c寫∈C∧<b舌,c正>∈丟S∧<炕c,楊d>∈T炒))絡c開b(悼c∈蛙C∧(b襖∈B∧<a慌,b堂>∈諸R∧<b潔,c背>∈種S∧<醬c,才d>∈T辰))賤c努(c奔∈C∧b嗽(b蠅∈B∧<a榜,b牛>∈洪R∧<b尊,c扎>∈裁S)∧<芒c,蠶d>∈T怎)腔c昆(c盞∈C∧<a帳,c明>∈女(R○S)∧<蛛c,支d>∈T頸)<a騎,d籌>∈所以ABCDRSTRSSTR(ST)(RS)T可以賊用下建圖形封象表無示:證明：任取<a,d>∈5/針19免/2潑02游3462.RA×敞B心SB×糖CTB×睡C證明⑴任取諸<a,添c>∈R○(S攀∪T莫)偉b窮(b橫∈B∧<a禮,b振>∈燥R∧<b齒,c外>∈序S∪潤T)材b(泉b∈焦B∧<a泄,b驕>∈養(yǎng)R∧(<b日,c桿>∈帳S∨管<b銜,c仁>∈音T)鏈)企b(歌(b發(fā)∈B∧<a敏,b直>∈誕R∧<b翼,c喬>∈姻S)考∨(b飼∈B∧<a盜,b慨>∈競R∧<b軍,c政>∈裂T)猾)勻b(守b∈樓B∧<a足,b請>∈瞎R∧<b俗,c榴>∈怖S)饞∨b像(b剛∈B∧<a惜,b鏡>∈夾R∧<b膠,c捉>∈優(yōu)T)<驚a,墾c>障∈R○S∨寬<a低,c鎖>∈僻R○T<育a,嘆c>巾∈(拾R○S)搬∪(朽R○T)所以R○(S舍∪T捎)=餡(R○S)∪(R○T)5/姐19鋼/2請02似347證明熊⑵橋任取鵲<a,疾c>∈R○(S∩T)淘b宣(b啦∈B∧<a緞,b牙>∈拾R∧<b贈,c掘>∈江S∩T)優(yōu)b(仿b∈灘B∧<a義,b倘>∈狐R∧(<b彎,c山>∈曬S∧<b爛,c篩>∈件T)味)判b(萍(b妖∈B∧<a桐,b亦>∈打R∧<b荒,c穗>∈絹S)凡∧(b擦∈B∧<a奪,b槳>∈蓮R∧<b淹,c暢>∈阻T)暴)蹦b(旺b∈浴B∧<a腎,b浸>∈國R∧<b娃,c索>∈叨S)峰∧b頃(b輝∈B∧<a裹,b虛>∈潔R∧<b懼,c浙>∈殖T)<射a,峽c>雞∈R○S蛇∧<軟a,水c>勁∈R○T<畜a,狐c>徑∈(殘R○S)逮∩(R○T)所以R○(S∩T)(R○S)∩(R○T)x抬(A糕(x耽)∧B(瞞x)賽)xA疊(x碰)∧x脫B(雅x)5/建19朋/2駁02鋼3483.厭R是從A到B的關下系，廉則驗證:令A琴={紫1,撒2,鍛3}捏,莫B=故{a傍,b懶,c吵,d磁}RIBBAB123abcdabcdAIABRA123123abcd從這柳兩個朽圖看介出它緣瑞們的給復合西都等受于R。5/寬19厚/2貫02級3494.關系溜的乘蜂冪令R是A上關著系，惹由于姑復合泉運算槽可結(jié)歇合，壓所以關系觸的復娛合可栗以寫矮成乘弄冪形倘式。融即例如R是A上關上系，暢如上熄圖所妄示,可見<a腥,c視>勵R2,表明項在R圖上辟有從a到c有兩榮條邊謠的路偶徑:a→麥b→滿c;喉<a濤,d緒>瓣R3,表明暗在R圖上津有從a到d有三趣條邊的遠路徑游:a→渠b→司c→據(jù)d。..歌.如果昂<x,鄭y>濕Rk,表明魄在R圖上蜜有從x到y(tǒng)有k條邊瓣(長局為k)的路木徑(x,側(cè)y逢A)。有(m歷,n為非健負整誰數(shù))adbcR:5/鋪19糕/2腳02刮3504-途5逆關略系一.定義R是從A到B的關傭系，煩如果洲將R中的蓮所有劇序偶遵的兩個滿元素銀的位點置互帶換，直得到猛一個晃從B到A的關懲系，稱之茅為R的逆掉關系失，記粱作RC，或R-1。RC={舒<y懸,x庫>|伙<x搖,y鄙>槐R}<y羞,x朱>∈RC<偶x,勇y>愛R二.計算諒方法1.師R=幕{<怒1,濫2>鼓,<噸2,漸3>傷,<抹3,毯4>落,<野4,棒5>蔑}RC={河<2改,1翻>,添<3企,2肢>,懸<4綁,3剛>,蟲<5蕩,4吧>}5/泊19可/2模02院3512.酒RC的有箱向圖柜：是梢將R的有葵向圖剛的所搬有邊把的方的向顛念倒一鬼下即景可。3.RC的矩港陣M疾=(暈MR)T即為R矩陣怪的轉(zhuǎn)蓄置。取如三.性質(zhì)令R、S都是擊從X到Y(jié)的關擾系，玻則1.云(裹RC)C=琴R2.菠(杠R∪灣S)C=壤RC∪SC。3.打(括R∩姻S)C=座RC∩SC。4.第(更R－S)C=釣RC－SC。101000011011MR=3×4000101011MR=c4×31015/歇19停/2同02返352證明1：任兔取<y萄,x甜>顫(R臂∪S愛)C，則<y油,x導>結(jié)(R膜∪S鏈)C乖<x挪,y商>右R∪艘S鏟<x兄,y冒>帖R∨背<x益,微y>踏S震<y餓,x秧>道RC∨<畫y,決x>伏SC<效y,莊x>昂男RC∪SC所以(R璃∪S胖)C=蔥RC∪SC，其它妖類似疤可證經(jīng)。5.雞R糊S鞋郵RCSC。證明劃：充悲分性穗，已娘知RCSC，則任慮取<x藥,y妥>∈R<胸y,收x室>泊RC陪<y抱,乳x>桌SC臘<x公,y鍋>缺S濱∴村R溪S必要消性，股已知RS，則任弓取<y志,x奇>∈RC鍋<x胖,y拆>駛R豪<妹x,違y>套S<統(tǒng)y,唐x>鍵SC∴撤RCSC5/鉤19筑/2澡02撿3536.難(~柔R)C=~睜RC證明:任取<y鬧,x梨>∈(~脾R)C<富x,妻y>∈~筐R<吉x,宮y>萍R<收y,預x>凳RC<糞y,渡x>∈~漁RC∴(~滾R)C=~燃RC7.令R是從X到Y(jié)的關帶系，S是Y到Z的關抓系，踩則(R○S)C=沖SC○RC。(注意頌≠RC○SC)證明：任取<z韻,x痛>∈(謊R○S)C<筒x,倉z>借R○S棉y(德y∈毒Y∧<x讀,y里>∈盛R∧<鍬y,伏z>∈S驢)者y貢(y姑∈Y∧<z色,y死>∈子SC∧<諒y,艘x>∈RC)<嗽z,只x>虧SC○RC所以(R○S)C=科SC○RC5/螞19遮/2長02掙3548.梢R是A上關覆系，抗則⑴R是對填稱的差，當失且僅葛當RC=R⑵版R是反片對稱屬的，信當且吃僅當R∩種RCIA。證明兼：⑴充分躺性，已知RC=R霜(證出R對稱)任取x,籍yA設<x,豆y>貧R餅,則<y座,x建>腫RC,而RC=R所以清有<y筐,x嚴>梳R，所以R對稱助。必要霞性，已知R對稱浪，(證出RC=R寇)先證RCR，任取<y歇,x飾>∈RC,則<x慎,y麻>孤R,因R對稱所以輕有<y醋,x堂>∈R，所以RCR。再證R申RC，任取<x建,y馬>鑄R,因R對稱產(chǎn)，所脆以有<y學,x都>∈R，則<x然,y列>∈RC,所以R猜RC。最后童得RC=R。5/園19統(tǒng)/2戀02濾355證明⑵充分吐性，已漁知R∩句RCIA，(證出R反對攜稱)任取x,桂yA設<x,涉y>苗R且<y維,x枕>∈R，<x察,y選>連R∧<y棉,x虹>∈R捆<鋼x,客y>查R捧∧<x估,y伍>∈RC，<x五,y病>內(nèi)R∩幅RC<x貨,y汽>IA(因R∩陣RCIA)x喜=y所以R反對崖稱。必要呢性，已知R反對稱扁，(證出R∩乓RCIA)任取<x,侍y>耽R妹∩RC<x喉,y焰>匠R∩事RC<矩x,膏y>攏R曲∧<晌x,艘y>豈RC<漠x,感y>擠R饑∧<蘋y,涌x>杏Rx=害y值(因R反對杏稱)<x,劃y>雀IA所以R∩粥RCIA。作業(yè)終：第11午8頁⑴⑵a)宇b)、⑶我、⑸5/尤19趙/2震02辜3564-筆6關系歸的閉詢包運猜算關系食的閉凍包是透通過糧關系符的復賄合和脈求逆么構(gòu)成鴿的一傅個新剪的關只系。這里辣要介棵紹關蠶系的洽自反所閉包遲、對移稱閉振包和淚傳遞與閉包辯。一.例子給定A中關螞系R，如圖淺所示餐，求A上另石一個鏡關系R’，使得它累是包被含R的“最小民的”(序偶盡量貧少)具有把自反(對稱桃、傳呈遞)性的祥關系像。這個R'就是R的自反(對稱私、傳帽遞)閉包古。2。。31。2。。32。。32。。32。。35/李19差/2毀02巷357這三渣個關瞎系圖慘分別內(nèi)是R的自反拼、對階稱、數(shù)傳遞褲閉包寇。二.定義手：給定A中關薄系R,若A上另等一個間關系R′，滿足品：⑴R排R′；⑵R′是自喂反的(對稱種的、炒傳遞吵的)；⑶R′是“最小定的”，即遭對于糧任何A上自賠反(對稱天、傳青遞)的關叫系R″,如果R鳥R″,就有R′R″。則稱R′是R的自反(對稱奮、傳娃遞)閉包齒。記征作r(特R)、s(植R)、t(催R)碌)(ref仆le奇xi冬ve、sym末me南tr哀ic、tra霉ns肢it轟iv閱e)1231231235/嶼19斑/2良02患358三.計算學方法定理1.給定A中關慰系R,則r(飄R)喊=R鋼∪IA。證明：令R'捎=輔R∪IA,顯然R'是自夢反的拆和R武R澇'，下面話證明R'是“最小以的”：如紗果有A上自進反關方系R"且R好R索",又IA錯R"派,所以R∪IA蛾R"蹲,即R'礙R"。所以R'就是R的自熱反閉墊包。翁即r(護R)命=R況∪IA。定理2.給定A中關暈系R,則s(恥R)蕩=R驅(qū)∪RC。證明刻方法棄與1.類似掃。定理3.給定A中關戒系R,則t(削R)右=R快∪R2∪R3∪.侄..。證明：令R'腐=召R季∪R2∪R3∪.洪..診,⑴顯然切有R佩R逃'；5/慚19層/2碰02岸359⑵證R'是傳撕遞的義：任谷取x,民y,休z葉A,設有夸<x,箱y>搜逝R'第<漠y,啄z>通罷R'積,由R'定義準得必侮存在查整數(shù)i,屆j使得里<x,鳴y>批Ri,<y箭,z箱>Rj,根據(jù)豆關系茅的復歪合得火<x,叢z>辮Ri+例j,又因Ri+句j鬼R'禁,所以爽<x,倘z>找耳R'梳,∴匪R'傳遞。⑶證R'是“最小恭的”：如驢果有A上傳凈遞關綁系R"且R好R"綱,（證出R'傻蹄R蜻"）任取<x起,y蹄>旋R坊'肉,則由R'定義豈得必葉存在婆整數(shù)i,使得蠟<x,傲y>跨Ri,根據(jù)捉關系返的復賭合得A中必慢存在i-決1個元叼素e1,壁e2,.災..艙,ei-區(qū)1，使得(見油49役頁)<x,序e1>屋R∧泡<e1,e2>貧R∧..宋.∧催<ei-蹈1,y鑄>昂R。因R干R"緒,∴有<x,報e1>嗎R歐"偷∧<碗e1,e2>沸R誘"∧..件.∧物<ei-拴1,y薦>乎R"。由于R"傳遞掌，所梯以有<x省,y篩>生R島"?！郣'截乎R割"。綜上房誠所述何，R'就是R的傳割遞閉汗包，肝即t(理R)局=R茶∪R2∪R3∪…沖=∪Ri5/塔19傍/2渡02哥360用上披述公式彎計算t(喚R)，要計頂算R的無衣窮大家次冪恒,好雞象無軟法實苦現(xiàn)似使的。磁其實芬則不仆然，債請看浸下例挽:A=都{1德,2堆,3粒}茅A中關殼系R1,R2,R3,如下龍：R1={邀<1嫌,2懷>,陸<1演.3侄>,陡<3譯,2延>}R2={條<1講,2奇>,校<2小.3冰>,家<3朽,1原>}R3={認<1描,2乒>,懶<2暮.3慘>,恰<3歉,3殺>}R12={悟<1談,2例>}蒸,耕R13=頁R14=Φ所以t(到R1)=毫R1∪恢R12∪燒R13=夾R1R22={尾<1偉,3釋>,流<2嚴,1我>,紗<3分,2憤>}R23={碗<1弟,1炎>,悟<2屆,2滾>,駱<3川,3茂>}澆,壘R23=IA,判R24=辦R2..免.t(悉R2)=曬R2∪波R22∪妖R23R32={貢<1路,3腳>,崖<2著,3竿>,遣<3綱,3巾>}業(yè),聲R33=呼R32t(董R3)=膨R3∪R325/該19好/2稈02飲361定理4.給定A中關講系R,如果A是有提限集容合，拾|A|惕=n則t(扔R)申=R訪∪R2∪.敘..焰∪Rn。證明既：令R'炮=腫R∪嶄R2∪R3∪.內(nèi)..紙,需R"票=社R∪光R2∪.撐..艦∪Rn顯然倉有R"釣氏R立'故,下面愿證明R'筍卡R主"：任取<x上,y套>顯R饑',由R'定義型得必記存在最小候的正整泥數(shù)i使得劈燕<x,臂y>先Ri,(下面昨證明i≤沸n)如果i＞n,根據(jù)嫁關系提的復援合得A中必降存在i-開1個元握素e1,瓣e2,.駝..陵,ei-蘿1，使得覽<x,局e1>燭R∧稿<e1,e2>淘R∧..后.∧抖<ei-廣1,y架>腫R。上述畏元素淺序列恩:x=報e0,沸e1,拔e2,.臘..隆,ei-規(guī)1,y簡=ei中共逐有i+租1個元塵素，i+搞1>頌n神,而A中只揮有n個元新素，庸所以擾上述沈元素的中至曾少有忽兩個啞相同稀，設ej=ek(j圈<k涉)，于是R的關汽系圖妄中會月有下國面這頸些邊仍：5/炊19真/2饑02犁362從此另圖中廳刪去精回路挨中k-極j(自k-邀j≥砍1)條邊固后得免<x,驢y>父∈Ri-斥(k提-j)，i-胞(k騙-j敲)<憐i,與i是最軋小的巧矛盾諷。所以i≤亂n,所以武<x,勤y>到∈R牧''要,于是R'R"。最后同得R'=R"，所以t(救R)竟=R卵∪R2∪.版..用∪Rn定理角證畢撐。。。。。。。。。xe1ej-1ej=ekej+1。。。?！?。ej+2ek-1ek-2ek+1ek+2…...…...ei-1y5/木19模/2井02兼363求t(童R)的矩扮陣Wa扒rs烘ha叉ll算法胞：|X|環(huán)=n肉,居RX晝×X疾,令MR=A載R2的矩炕陣為A2，…Rk的矩圾陣為Ak.于是t(該R)的矩陣父記作MR+=A醉+A2+…紗+Ak+…(+是邏猴輯加)⑴置新叨矩陣A愚:=互MR;⑵置i=亞1;⑶對所娃有j慶,如果A[乳j,姻i]餃=漂1器,則對k=看1,條2,貌…,悲nA[賊j,型k]詞:=傻A[補j,駁k]柜+A漆[i曾,k笑];/*第j行+第i行,跪送回亡第j行*/⑷嶺i加1;⑸如果i≤竟n,則轉(zhuǎn)吊到步溝驟⑶，否倉則停駐止。5/續(xù)19施/2闊02飲364舉例陡，令X=萄{1努,2本,3夕,4懇},X中關樸系R圖如凱右圖需所示府。運行巴該算核法求t(路R)的矩污陣：A=MR=A=A=A=i=嚴1(i幸--房誠-列,j-耀--行)A[竹4,析1]損=1L1+L牌4→茫L