線性規(guī)劃問題的解

§1-4.線性規(guī)劃問題的解

一.解的基本概念

對于標(biāo)準(zhǔn)型LP問題

可行解：滿足約束條件（1-13）和（1-14）的解稱為可行解。

基：A中任何一組m個線性無關(guān)的列向量構(gòu)成的子矩陣,稱為該問題的一個基（basis）,與中的這些列向量對應(yīng)的變量稱為基變量（basicvariable）最優(yōu)解：若基本可行解又是最優(yōu)解（也稱基本最優(yōu)解），這個基就稱為最優(yōu)基（optimalbasis）?；窘猓簩τ诨?令非基變量為零,求得滿足（1-13）的解，稱為基對應(yīng)的基本解（basicsolution）?；究尚薪猓簼M足（1-14）的基本解稱為基本可行解（basicfeasiblesolution）；基本可行解所對應(yīng)的基稱為可行基（feasiblebasis）。

二.解的性質(zhì)

在右圖中設(shè)線段長度與之比為，由此得

o線性規(guī)劃問題的幾個定理定理1-4線性規(guī)劃問題有可行解,必有基本可行解；有最優(yōu)解,必有基本最優(yōu)解。定理1-1線性規(guī)劃問題的可行域是凸集。定理1-2A為線性規(guī)劃問題可行域的極點(diǎn)的充要條件是的A正分量對應(yīng)的系數(shù)列向量線性無關(guān)。（證明從略）。

定理1-3A是可行域的極點(diǎn)的充要條件是它為基本可行解。（證明從略。）綜上所述,我們在理論上得到了線性規(guī)劃問題的以下結(jié)論：線性規(guī)劃問題的可行域是一凸集（包括有界凸集和無界凸集）；線性規(guī)劃問題的每個基本可行解對應(yīng)著可行域的一個極點(diǎn)（頂點(diǎn)）；若線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解,必在可行域的某一極點(diǎn)上得到。由此可見,我們只需在基本可行解中尋求最優(yōu)解。如何有效地尋求最優(yōu)解,這就是下節(jié)要介紹的單純形法。

§1-5單純形法一、單純形法的基本思路如果線性規(guī)劃問題存在最優(yōu)解，一定有一個基本可行解是最優(yōu)解。因此單純形法迭代的基本思路是：先找出一個基本可行解，判斷其是否為最優(yōu)解，如為否，則轉(zhuǎn)換到相鄰的基本可行解，并使目標(biāo)函數(shù)值不斷增大，一直找到最優(yōu)解為止。

1、確定初始基可行解

max(1-17)

在約束條件（1-18）式的變量的系數(shù)矩陣中總會存在一個單位矩陣，不妨設(shè)為

(1-20)式中稱為基向量,同其對應(yīng)的決策變量稱為基變量,模型中的其它變量稱為非基變量。在(1-18)式中令所有非基變量等于零,即可找到一個解

X=(，)T=(b1,…,bm,0,…,0)T因有b≥0,故X滿足約束(1-19),是一個基本可行解記為又稱初始基本可行解。2、從一個基本可行解轉(zhuǎn)換為相鄰的基本可行解設(shè)初始基本可行解中的前m個為基變量,即經(jīng)一系列變換得3、最優(yōu)性檢驗和解的判別（1-24）式中因,所以只要,就有。通常簡寫為或,它是對線性規(guī)劃問題的解進(jìn)行最優(yōu)性檢驗的標(biāo)志二、單純形法的矩陣描述在線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型：Max

中，不妨設(shè)是一個可行基，則系數(shù)矩陣Ａ可分塊為（Ｂ，Ｎ）。對應(yīng)于Ｂ的基變量為，，非基變量為，Ｎ＝。并令，其中為基變量的系數(shù)列向量，N為非基變量的系數(shù)列向量。于是原問題可化為即對約患束方白程兩儀邊同伴左乘我以駕，響得=，并代盤入目濫標(biāo)函割數(shù)，旁得令非高基變稠量=0得=坐,從而栗相應(yīng)伙的基學(xué)本可返行解發(fā)為目標(biāo)煎函數(shù)名取值垮為又由合于,故有將豈及Z的表下達(dá)式昌又可再寫成令源，番，則又侄有+=歸+第四瞧步：叨重復(fù)燭第二奸、三材兩步靜，一壞直到齒計算些結(jié)束期為止敘。三、泳單純時形法碰的計駱?biāo)悴阶u(yù)驟根據(jù)遣上節(jié)斯中講診述的昏原理,單純柱形法嚇的計幫算步朋驟如考下：第一魂步：拐求初里始基褲本可并行解,列出技初始叼單純辮形表竟。第二遲步：帳最優(yōu)容性檢室驗。第三濱步：越從一蘋個基逃本可模行解岔轉(zhuǎn)換圖到相憑鄰的褲目標(biāo)扔函數(shù)值所更大治的基薄本可需行解狀，列刪出新?lián)蔚膯窝冃紊弑?。一、大M法在上踏一節(jié)攜例1-宜9中，蓄化為伸標(biāo)準(zhǔn)永形式罷后約奇束條例件的毯系數(shù)凍矩陣疫中含路有單乏位矩座陣，竭以此抽作初僚始基駱，使百求初牛始基惰可行月解和咱建立無初始較單純企形表輕都十頓分方孩便。講但時臣?；壢馂闃?biāo)磨準(zhǔn)形稀后的喇約束捧條件破的系狀數(shù)矩繳陣中暫不存堂在單校位矩今例1-遺10用單斑純形陜法求穩(wěn)解線葉性規(guī)址劃問頸題§1餐-6什.初始肚可行憐基的趕求法解療先零將其臨化成梢標(biāo)準(zhǔn)贏形有Ma電xMa買x這種跨情況脅下，米可以釋通過疤添加裳兩列塵單位修向量好，使查連同占約束撲條件服中的泡向量禍構(gòu)成航單位原矩陣忙。是人我為添王加上爪去的仆，它及相當(dāng)植于在瀉上述泛問題驚的約軌束條夠件（1-救34）中勝添加胞變量垂，約賭束條另件(1驢-3摘5)中添妖加變僻量，大變量崖相應(yīng)稿稱為池人工冊變量宜。由乳于約孫束條量件（1-針34）（1-順35）在堵添加鎖人工奇變量丙前已刮是等鄙式為村使這書些等亂式得匙到滿縣足，充因此頑在最撞優(yōu)解濟(jì)中人裕工變翁量取軋值必槍須為講零。怕為此奮，令鐵目標(biāo)垃函數(shù)冶中人薦工變椒量的負(fù)系數(shù)家為任閃意大緞的負(fù)逐值，容用“-M墻”代表挖。7p“-M意”稱為惹“罰養(yǎng)因子龜”，本即只關(guān)要人突工變趙量取偉值大財于零五，目朋標(biāo)函損數(shù)就皇不可督能實墊現(xiàn)最疏優(yōu)。淹因而吊添加捧人工登變量猾后，豎例1-臨10的數(shù)慎學(xué)模把型的五標(biāo)準(zhǔn)好形式艱就變蹈為ma箭x該模嗓型中唱與欣對清應(yīng)的稻變量粘為墾基變朽量，絞令非逝基變泥量等批于零舅，即呼得到粘初始禿基可玻行解,并列凝出初康始單服純形釘表。屢在單響純形溉法迭擠代運(yùn)抗算中嫁，M可當(dāng)詢作一吸個數(shù)嫁學(xué)符抬號一您起參遼加運(yùn)猛算。乒檢驗夕數(shù)中殖含M符號愚的項茂，當(dāng)M的系關(guān)數(shù)為弄正時杏，該神檢驗吼數(shù)為巧正，構(gòu)當(dāng)M的系衛(wèi)數(shù)為藏負(fù)時胳，該扣項檢栗驗數(shù)葬為負(fù)吃。例1-堪10添加梯人工村變量遇后，透用單服純形紡法求隊解的燒過程宋見下刷頁表1-須8。最并優(yōu)解炕為：二、梳兩階需段法用大M法處顛理人風(fēng)工變訂量，廢在用襯手工廢計算腦求解團(tuán)時不靈會碰幼到麻瘦煩。號但用接電子植計算礦機(jī)求五解時協(xié)，對M就只忠能在雁計算爆機(jī)內(nèi)照輸入處一個袖機(jī)器惱最大草字長書的數(shù)折字。搭如果客線性猴規(guī)劃歐問題修中的或圖等魔參數(shù)潮值與它這個矮代表M的數(shù)踢相對漸比較燦接近販，或痕遠(yuǎn)遠(yuǎn)劇小于拍這個爽數(shù)字劑，由警于計股算機(jī)啦計算役時取找值上滲的誤騎差，象有可窄能使外計算堅結(jié)果紛發(fā)生琴錯誤自。為照了克拘服這趟個困叮難，墨可以鄉(xiāng)豐對添林加人嬸工變際量后趙的線前性規(guī)級劃問候題分甜兩個罷階段侍來計找算，鄉(xiāng)豐稱為斑兩階磨段法綠。表1-里8-30100-M-M0-M-M4191111000001[1鞏]1-1-11-200003-3欄-2賢M4M10-M004130211-10313-21-10-1106[6身]0403-3100-M-3步+6扮M04M哨+103M-4買M01-1轎/21入基膊出基庭原則首先炎是檢插驗數(shù)嘆即鍋單純兇形表碌中系資數(shù)矩導(dǎo)陣的國第西列惰的可價值適系數(shù)挑減疊去第騰列元盞素乘擔(dān)以對史應(yīng)行知所在恐的基字的價業(yè)值系具數(shù)的尼和的械差。當(dāng)目囑標(biāo)函渾數(shù)是皇求ma詞x時，困大者氣對應(yīng)膏的列盆所在屠的變偽量為煉入基臨變量這，如部果有弓幾個添檢驗各數(shù)一港樣大冤，且巧是最青大者延，取軋腳標(biāo)肌小的作變量什為入祖基變狐量；睜當(dāng)目摘標(biāo)函浪數(shù)是丘求mi撓n時，采小者昌為入調(diào)基變蒸量。由于續(xù)表-3喝1牛1禮0患[宗2/尚3]臘0清1/火2辨-燃1/縱2海1/尚6別3/隔20設(shè)3散0鄰1綿1/蠻3區(qū)0駐0商0巴1掩/3盜90再0責(zé)0肢0帳0臣1艘-1礎(chǔ)/2澆1/稈2顛-1別/2死-0拳0堪3憤0份3/傍2煙-M贈-3橋/2治-戰(zhàn)M+或1/價21仁3嶺/23/牛20書1鍛0毛3顫/4齒-3普/4繳1擠/40藝0洗0盆0坊0燃1棟-1花/2違1恩/2柱-1違/20鹿5疑/2版-1貿(mào)/2忙1冶0哀0炸-鼠1/挪4堵1/笨41/柏4-9摘/2塵0疑0丘0歸-煉3/初4善-暮M+解3/喜4疾-M醫(yī)-1淘/4兩階好段法豎的第稿一階仿段是聯(lián)先求況解一箱個目嶼標(biāo)函繩數(shù)中航只包齊含人渠工變宵量的亂線性擦規(guī)劃纏問題幼，即閣令目姓標(biāo)函冶數(shù)中粱其它疲變量暢的系碰數(shù)取偏零，苦人工新變量努的系負(fù)數(shù)取代某個灘正的岡常數(shù)沫（一僵般取1），肢夠成腿新的拜目標(biāo)臣函數(shù)堂，在峽保持漲原問樂題約慚束條雀件不抖變的求情況腫下求繳這個饞目標(biāo)笑函數(shù)裝極小時化時慎的解亡。顯憑然在或第一缸階段尖中，妨當(dāng)人幼工變搖量取檔值全非為0時，系目標(biāo)冷函數(shù)漲值也哲為0。這眠時候袍的最摩優(yōu)解賓就是早原線乘性規(guī)參劃問牧題的想一個譜基本置可行累解。針如果蹄第一晃階段蠶求解捉結(jié)果剪最優(yōu)忙解的筋目標(biāo)填