應用多元統(tǒng)計北大第二章

應用多元統(tǒng)計分析

第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計1

在多元統(tǒng)計分析中,多元正態(tài)分布占有相當重要的地位.這是因為許多實際問題涉及到的隨機向量服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布;當樣本量很大時,許多統(tǒng)計量的極限分布往往和正態(tài)分布有關;此外,對多元正態(tài)分布,理論與實踐都比較成熟,已有一整套行之有效的統(tǒng)計推斷方法.基于這些理由,我們在介紹多元統(tǒng)計分析的種種具體方法之前，首先介紹多元正態(tài)分布的定義、性質及多元正態(tài)分布中參數(shù)的估計問題.第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計2第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計目錄§2.1隨機向量§2.2多元正態(tài)分布的定義與基本性質§2.3條件分布和獨立性§2.4隨機矩陣的正態(tài)分布§2.5多元正態(tài)分布的參數(shù)估計3

本課程所討論的是多變量總體.把p個隨機變量放在一起得

X=(X1,X2,…,Xp)′為一個p維隨機向量,如果同時對p維總體進行一次觀測,得一個樣品為p

維數(shù)據(jù).常把n個樣品排成一個n×p矩陣,稱為樣本資料陣.

第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計

§2.1隨機向量4第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計§2.1隨機向量其中X(i)(i=1,…,n)是來自p維總體的一個樣品.

=(X1,X2,…,Xp)def5在多元統(tǒng)計分析中涉及到的都是隨機向量,或是多個隨機向量放在一起組成的隨機矩陣.

本節(jié)有關隨機向量的一些概念(聯(lián)合分布,邊緣分布,條件分布,獨立性;X的均值向量,X的協(xié)差陣和相關陣,X與Y的協(xié)差陣)要求大家自已復習.

三﹑均值向量和協(xié)方差陣的性質(1)設X,Y為隨機向量,A,B為常數(shù)陣,則

E(AX)=A·E(X)E(AXB)=A·E(X)·B第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計§2.1隨機向量6D(AX)=A·D(X)·A'

COV(AX,BY)=A·COV(X,Y)·B'

(2)

若X,Y相互獨立,則COV(X,Y)=O;反之不成立.若COV(X,Y)=O,我們稱X與Y不相關.故有:兩隨機向量若相互獨立,則必不相關;兩隨機向量若不相關,則未必相互獨立.

(3)隨機向量X=(X1,X2,…,Xp)′的協(xié)差陣D(X)=是對稱非負定陣.

即=′,′

≥0(為任給的p維常量).

第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計§2.1隨機向量7第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計

§2.1隨機向量—協(xié)差陣的性質(4)Σ=L2,其中L為非負定陣.

由于Σ≥0(非負定),利用線性代數(shù)中實對稱陣的對角化定理，存在正交陣Γ,使8第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計

§2.1隨機向量—協(xié)差陣的性質

當矩陣Σ>0(正定)時，矩陣L也稱為Σ的平方根矩陣，記為Σ1/2.

當矩陣Σ>0(正定)時,必有p×p非退化矩陣A使得Σ=AA′

9第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計

§2.1隨機向量—協(xié)差陣的性質若Σ≥0(非負定),必有p×q矩陣A1使得

Σ=A1A1′

這里記Γ=(Γ1|

Γ2)

,Γ1為p×q列正交陣(p≥q).并設：10

在一元統(tǒng)計中，若U～N(0,1),則U的任意線性變換X=σU+μ～N(μ,σ2)。利用這一性質，可以從標準正態(tài)分布來定義一般正態(tài)分布：

若U～N(0,1),則稱X

=σU+μ的分布為一般正態(tài)分布,記為X

～N(μ,σ2

)。

此定義中，不必要求σ＞0,當σ退化為0時仍有意義。把這種新的定義方式推廣到多元情況，可得出多元正態(tài)分布的第一種定義。第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計§2.2多元正態(tài)分布的定義11

定義2.2.1

設U=(U1,…,Uq)′為隨機向量,U1,…,Uq相互獨立且同N(0，1)分布；設μ為p維常數(shù)向量，A為p×q常數(shù)矩陣，則稱X=AU+μ的分布為p維正態(tài)分布，或稱X為p

維正態(tài)隨機向量,記為X

～Np(μ,AA′)。

簡單地說，稱q個相互獨立的標準正態(tài)隨機變量的一些線性組合構成的隨機向量的分布為多元正態(tài)分布。第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計§2.2多元正態(tài)分布的第一種定義12第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計§2.2多元正態(tài)分布的性質1

在一元統(tǒng)計中,若X～N(μ,σ2),則X的特征函數(shù)為

φ(t)=E(eitX)=exp［itμ-t

2σ2/2］13第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計

§2.2多元正態(tài)分布的性質114

性質1

設U=(U1,…,Uq)′為隨機向量,U1,

…,Uq

相互獨立且同N(0,1)分布；令X=μ+AU,則X的特征函數(shù)為第二章多元正態(tài)分布及參數(shù)的估計§2.2多元正態(tài)分布的性質1這里t=(t1,…,tp),故ΦX(t)為p元函數(shù).當X～N(0,1)時,φ(t)=exp［-t

2/2］.15性質鐘1的證明：根據(jù)糊隨機課向量膊特征貍函數(shù)稈的定駝義和南性質虛，經(jīng)余計算燃即可丘得出X的特臟征函窩數(shù)為ΦX(t)=E(恭eitX)=槐E燭(eit(AU+μ))第二裙章攝多元裹正態(tài)策分布灣及參蠶數(shù)的恩估計§2鐘.2偏多元刻正態(tài)期分布椒的性野質1令t′庫A=s′=支(s1,…sq)16第二么章滴多元蒸正態(tài)腳分布隱及參矩數(shù)的騙估計§2溜.2襯多元幅正態(tài)但分布材的性陵質1(因U1,…桿,Uq相互睬獨立,乘積豎的期驅望等花于期泄望的勵乘積)17定義康2.呼2.構2若p維隨糠機向么量X的特箏征函漫數(shù)為:第二唱章巧多元嗎正態(tài)惹分布歐及參歐數(shù)的艙估計§2輩.2佛多元跡正態(tài)滔分布注的第假二種痛定義控一元夠正態(tài):耽(p=1澤)則稱X服從p維正稻態(tài)分嫂布,停記為X～Np(μ雕,Σ往)益.記Σ枯=AA′，占則有秧以下即定義徐。18性質虹2設X～Np(μ,玩Σ)劇,B為s×p常數(shù)者陣，d為s×1常向堡量，媽令Z=元BX藍+d,則Z～Ns(Bμ+d,BΣ垂B).該性油質指全出正頓態(tài)隨引機向子量的放任意脂線性搬組合膚仍為天正態(tài)道分布窄.第二組章昨多元僚正態(tài)纏分布恩及參差數(shù)的惠估計§2邪.2凱多元覺正態(tài)損分布地的性舊質219第二祝章示多元聰正態(tài)宰分布昌及參港數(shù)的槍估計§2醒.2脈多元毛正態(tài)惰分布均的性象質2證明因Σ≥0,Σ可分萍解為Σ=AA,其章中A為p×q矩陣.已知X～Np(μ枯,Σ奇),由定彎義2屈.2荒.1貓可知X=AU+μ(d表示歐兩邊膠的隨漆機向愈量服桂從相革同的躺分布漢.)其中U=(U1,…江,Uq),且U1,…欲,Uq相互宏獨立支同N(伴0，浴1)分布鵝。d20Z=BX+d=B(AU+μ)+d第二厘章捆多元曠正態(tài)容分布貿及參戚數(shù)的鳴估計§2叮.2紙多元昏正態(tài)肢分布飲的性庭質2d=(BA)U+(Bμ+d)由定謎義2地.2造.1擋可知Z～Ns(Bμ琴+d,(BA)(BA))，即Z～Ns(Bμ求+d,BΣ鑼B).(這縫里Σ=AA).21推論設X=～Np(μ,俘Σ)蹤蝶,將μ,Σ剖分愁為第二狂章庭多元趣正態(tài)喚分布捉及參耐數(shù)的涂估計§2雕.2留多元廳正態(tài)豬分布啄性質2的推謎論則X(1恥)～幟Nr(μ(1),Σ11),X(2覺)～恩Np-除r(μ(2振),Σ22).X(1頑)rX(2兩)p-朵r22證明鄉(xiāng)豐：由性誦質2堅可得賤：類似風地第二過章脾多元桑正態(tài)昆分布故及參釣數(shù)的煙估計§2鵝.2多元刻正態(tài)防分布性質2的推甜論23此推亡論指誕出，助多元畜正態(tài)跨分布萍的邊驗緣分險布仍常為正柳態(tài)分護布。鵲但反淘之，漸若隨桐機向概量的彩任何源邊緣射分布株均為芳正態(tài)的分布愧，也購不一駝定能亞導出念該隨冰機向失量服咽從多迷元正昨態(tài)分增布.如例臨2.把1.鵲1,證明蠅了X1,X2均為婚一元清正態(tài)娛分布,但由(X1,X2)聯(lián)合尋密度泊函數(shù)賀的形剃式易姑見它犁不是邀二元凝正態(tài).第二蘿章永多元炸正態(tài)套分布頸及參剃數(shù)的返估計§2跳.2膏多元憤正態(tài)態(tài)分布性質2的推龜論24第二高章遭多元各正態(tài)秀分布飾及參摔數(shù)的荒估計§2競.2鋸多元竟正態(tài)最分布性質2的推騾論例2洪.1例.1(X1,X2)的聯(lián)紅合密淡度函邪數(shù)為我們綁從后面面將乎給出任的正難態(tài)隨統(tǒng)機向動量的爸聯(lián)合閱密度撲函數(shù)蜜的形路式可餐知,朱(X1,X2)不是驗二元鴉正態(tài)思隨機弄向量.但通逆過計酷算邊薦緣分能布可譜得出:X1~N伴(0部,1番)才,X2~N腸(0劉,1粘)這就品說明橋若隨樣機向橡量的黨任何冬邊緣佩分布庸均為令正態(tài)需分布社時，撈也不延一定亮能導輪出該暢隨機例向量晉服從承多元院正態(tài)腔分布.25第二噴章竊多元降正態(tài)題分布運及參裝數(shù)的餓估計§2鋪.2樓多元誤正態(tài)瓣分布峽的定屬義與們基本芒性質回—簡螞單例主子例如識:設果三維粥隨機倡向量X=轎(X1,X2,X3),且則有默(1司)X1~N(熄2,瀉1)脅,26第二港章稍多元爹正態(tài)詠分布場及參挪數(shù)的掙估計§2當.2汽多元伍正態(tài)緊分布腳的定棋義與慶基本喂性質援—簡單例子由性登質2做知,Y為3稀維正碧態(tài)隨例機向范量,遺且(2慎)27第二馳章慨多元刑正態(tài)虧分布族及參您數(shù)的繳估計§2茄.2娃多元聰正態(tài)撥分布堡的定芳義與泄基本犧性質偉—簡單例子28第二緊章心多元仔正態(tài)眠分布泄及參貼數(shù)的走估計§2怖.2籍多元克正態(tài)役分布顧的定齊義與黨基本麗性質皮—簡單例子(3昂)溫設Z=2X1-X2+3X3,試求刃隨機員變量Z的分太布.Z=2X1-X2+3X3=(彈2,領-1雀,3形)X=CX故有糾:所以Z~卷N(溉4,宗29營).29性質慮3若X～Np(μ,魚Σ)飛,E(X)=μ,D(X)=Σ.證明因Σ≥0簽,Σ可分萄解為稻：Σ=AA′，則由庫定義鋒2.純2.頂1可途知X的=墾AU殖+μ(A為p×斗q實矩恒陣)其中U=(U1,…記,Uq)′曬,且U1,…及,Uq相互減獨立臥同N(可0，桌1)分布軍,故有E(U)=滅0,D(U)=Iq.d第二表章焦多元沙正態(tài)熱分布股及參槽數(shù)的靈估計§2者.2關多元糊正態(tài)克分布慨的性穗質330第二飼章該多元假正態(tài)柱分布格及參額數(shù)的汗估計§2哪.2絡多元授正態(tài)腸分布保的性匹質3利用音均值浸向量呼和協(xié)休差陣幕的有丙關性清質可館得：此性鍬質給筑出多具元正駱態(tài)分胞布中許參數(shù)μ和Σ的明確商統(tǒng)計喘意義府.μ是望隨機角向量X的均干值向賢量，Σ是俯隨機底向量X的協(xié)捉差陣底。如簡借單例抱子中,由性拴質2知Z服從垂正態(tài)帖分布,利用減性質3,31性質貧4設X=(X1,…皇,Xp)′為p維隨剛機向鵲量，象則X服從p維正雪態(tài)分錦布對任粱一p維實哥向量a,ξ=打a′鄭X是一養(yǎng)維正達態(tài)隨駝機變熊量.必要儉性的蹤蝶證明管由性腸質2乖即得蠟（只嶄須取B=a′,d=0臣即可惱）.充分炊性的繁證明：①挖首先輩說明完隨機朝向量X的均俊值和笛協(xié)方死差陣境存在:因對憶任給p維實吵向量t∈Rp,ξ=t′叨X～一元枕正態(tài)臘分布躬，可失知ξ的各順階矩捏存在，第二雁章達多元檔正態(tài)蒼分布戶及參爪數(shù)的飲估計§2扒.2太多元頁正態(tài)飛分布磚的性惰質432第二她章弊多元廳正態(tài)稅分布搭及參絞數(shù)的漢估計§2嫌.2耀多元臉正態(tài)樂分布拔的性扮質4如取t=ei=(幻玉0,賞…,傭1,雞…,量0)′,Xi=ei′X,且E(Xi)(i=1閥,2鍛,…溝,p)存在.E(Xi2)(i=1恩,2仗,…頌,p)也存營在.再比梳如取t=(拼0,頭…,準1,凱0,袍…1溫,.縫.,壟0)′,ξ=t′X=Xi+Xj,且E(ξ)=E(Xi+Xj)(i,母j=1爛,2肥,…恨,p)存在.E(ξ2)=E[借(Xi+Xj)2]=E(Xi2)+2E盡(XiXj)+E(Xj2)也存廚在,即E(XiXj)議(i,傻j=1竿,2執(zhí),…些,p)存在.故E(Xi),值Co鼠v(Xi,Xj)=E(XiXj)-E(Xj)E(Xi)(i,絕j=1蔥,…傾,p)存在溫.33第二吃章工多元脫正態(tài)惹分布慕及參拜數(shù)的姑估計§2購.2譽多元內正態(tài)箏分布裕的性托質4記E(X)=μ,D(X)=Σ.②桐計算ξ的特臣征函風數(shù):對任研意給攏定的t∈Rp,因隨機逗變量ξ=tX服從N(tμ,慶tΣ瓦t).堆，故奶知ξ的特紙征函守數(shù)為音ξ(θ)=要E(妖eiθξ)=e速xp瘦[iθ(tμ)倉-θ2(tΣt)/警2］③瓦計算腿隨機偉向量X的特紫征函冰數(shù):在ξ的特麥征函是數(shù)中峰，取θ=1，即演得34第二唱章定多元相正態(tài)糟分布妙及參懸數(shù)的論估計§2認.2洽多元繩正態(tài)電分布變的第否三種臣定義ξ(1艦)=遇E(指eiξ)=另E(浮eitX)=乳ΦX(t)=廟ex印p［茂itμ-tΣt/碗2］頌由定歉義2部.2曬.2田可知喉，X～Np(μ襯,Σ值).饞定義抄2.文2.肉3若p維隨仰機向源量X的任件意線隙性組通合均起服從仗一元弄正態(tài)若分布年，則盾稱X為p維正刊態(tài)隨須機向狀量.勺35第二沖章肝多元炕正態(tài)場分布參及參懇數(shù)的東估計§2嘉.2字一元葉正態(tài)拾分布惰的密中度函其數(shù)在概躁率論姜中大感家都性知道盯一元鞏正態(tài)野隨機選變量辣的密非度函嚴數(shù)是麗這個攝式子范可改債寫為潔:36作為朵一元涼正態(tài)振隨機冤變量亦的推齊廣，漁以下襖性質麥來導刊出多貓元正窄態(tài)隨探機向仁量的唯聯(lián)合輕密度克函數(shù)資.第二擠章傻多元煮正態(tài)規(guī)分布活及參盡數(shù)的椒估計§2奮.2沙多元攪正態(tài)辨分布講的性撿質5性質乎5設X～Np(μ,鉤Σ)徐,且Σ＞0魚(正定窩),客則X的聯(lián)汗合密廳度函撈數(shù)為37第二展章狗多元供正態(tài)拾分布允及參才數(shù)的夏估計§2府.2散多元澆正態(tài)躺分布瞎的性刻質5證明①雖因Σ＞粥0,且rk壩(Σ棟)=p,由線瓦性代脫數(shù)的淹知識旬知存鉛在非奇腦異方緊陣A,使得Σ=AA′，且X=AU+μ其中U=(U1,…撤,Up)′醫(yī),且U1,…陷,Up相互粉獨立阻同N(必0，狠1)分布翁。d②U的聯(lián)故合密穴度函唱數(shù)(p元函凱數(shù)）為38第二權章忍多元瞧正態(tài)裝分布啦及參脫數(shù)的戚估計§2限.2交多元箱正態(tài)怨分布矮的性銀質5③軍利用U的聯(lián)算合密脅度函吩數(shù)及喚隨機槽向量寸的變萌換求X=蠟AU+μ的密樂度函朽數(shù)。對任亞給Bo竄re拘l(wèi)可測清集B，求p元函釣數(shù)fX(x)使得其中D={u|u=A-1(x-μ),xB}39第二次章玻多元摔正態(tài)妹分布嬸及參嫁數(shù)的吵估計§2承.2霉多元衡正態(tài)蝦分布橫的性瓣質5根據(jù)珍附錄§8未(怎P3盼97棋)公式(8拉.4堤),即有以下憶來求Ja執(zhí)co案bi行列勝式J(u→串x).40第二囑章鈔多元閘正態(tài)賓分布辦及參謙數(shù)的田估計§2蹲.2非多元宗正態(tài)貧分布情的性單質5④帥積分雞變換侄的Ja研co莖bi行列果式J(u→x)可利里用線鞭性變騎換x=采Au異+μ及J(x→財u)來計室算：駱因向量渠微商童的公臭式見汽附錄§8(8愛.1船)41第二跡章悶多元黎正態(tài)俊分布盡及參田數(shù)的領估計§2天.2秀多元休正態(tài)聰分布熊的性怒質5關于晚積分姻變換蛇的Ja挨co霸bi行列錫式J(u→x)的吩有關動內容氣請參怎閱附魯錄部懸分。故42第二暫章止多元雀正態(tài)疊分布惜及參羅數(shù)的爺估計§2你.2舒多元哈正態(tài)哥分布擦的性菠質5⑤銅寫出X=攪AU州+μ的密停度函江數(shù)：疑(菜這里Σ=AA′,)43其中μ是p維實闖向量孟,Σ是p階正崗定陣怪,則坡稱X=(X1,X2…Xp)′服從贏(非掙退化擴的)p元正聞態(tài)分蘋布.計也稱X為p維正縣態(tài)隨對機向沉量,藥簡記寒為X～Np(μ,Σ喬).第二梨章必多元輔正態(tài)型分布均及參乳數(shù)的晨估計§2近.2上多元售正態(tài)撥分布作的第右四種像定義雜定義壓2.憲2.聾4p維隨孤機向器量X=(X1,X2…Xp)′的聯(lián)基合密初度函犬數(shù)為批44第二斑章瘋多元棍正態(tài)膽分布往及參柄數(shù)的肚估計§2脅.2么多元說正態(tài)杜分布竭的多肥種定悔義及森關系估以上賢給出律了多勤元正郊態(tài)分段布的羨4種卻定義林。定刊義2覺.2件.4優(yōu)用密么度函熊數(shù)給可出定使義，汁它可草看成菠一元堪正態(tài)蜻密度鎮(zhèn)的直止接推潛廣；后但在遙這個更定義去里要男求Σ是正獅定陣談,它王給出飽的是抵非退怎化的對正態(tài)領分布止的定奇義。另三申種定藍義中屈把Σ陣推伍廣到臣非負役定的障情形澡,這弄三種臨定義粘是等壘價的摘。45例2福.2逐.1哨(二防元正箏態(tài)分皂布)第二匪章處多元千正態(tài)紋分布請及參懷數(shù)的抱估計§2豈.2繼多元始正態(tài)袋分布鬼的定攔義與層基本巴性質恩--渠例2字.2枕.1竿(即σ1＞0汽,σ2＞0臭,|籃ρ|竟＜1亂)(1番)試寫籠出X的聯(lián)敏合密歪度函盾數(shù)和升邊密警度辛函日數(shù)；(2虹)試說桶明ρ的統(tǒng)跟計意封義.46第二獲章泉多元艦正態(tài)守分布或及參蕩數(shù)的展估計§2克.2暖多元楊正態(tài)咽分布補的定革義與決基本療性質虹--冷例2伸.2搞.1可解:青（1討）因注意技改p2潑647二元燦正態(tài)扶隨機垮向量X的聯(lián)元合密僚度函尿數(shù)為究第二甲章愈多元歡正態(tài)惜分布悄及參擠數(shù)的駕估計§2壘.2光多元善正態(tài)匹分布槐的定員義與逆基本漏性質課--卸例2樸.2更.1紐奉48另由具性質縱2的推任論，即得第二跳章洋多元功正態(tài)勁分布便及參錄數(shù)的湯估計§2貢.2京多元芽正態(tài)繞分布儲的定貨義與董基本父性質腥--掉例2巷.2陜.1際(2蜘)因Co掘v(X1,X2)=σ12=ρσ1σ2,而X1與X2的相堵關系日數(shù)為故二我元正回態(tài)分貴布的很參數(shù)ρ就是該兩個男分量室的相夢關系招數(shù).49顯然當ρ=0時，f(x1,x2)=f1(x1)·f2(x2)，即X1與X2相互附獨立.當|ρ|=1時，|Σ貿|=0(Σ退化,即Σ的列挖向量艦或行寸向量瘡線性千相關)，則存祝在非熔零向盒量t=(t1,t2),使得Σt=0,從而tΣt=0，故而火隨機編變量ξ=t(X尼-μ扔)的方墓差為Va攏r[t(X炊-μ仰)］卡=tΣt=0,這表欄示P{t(X嬸-μ)=0}=圖1.第二艦章探多元魯正態(tài)扛分布暖及參惹數(shù)的制估計§2擱.2偵多元蹦正態(tài)惠分布冤的定斑義與翠基本竹性質循--戰(zhàn)例2癥.2余.1店50即t1(X1-μ1)+t2(X2-μ2)=境0以概懂率1喉成立；反之播，若X1與X2以概葬率1便存在爛線性氣相關茫關系詢，則|ρ|=凍1.當ρ＞0時,我們堆稱X1與X2存在觸正相既關;當ρ＜0時,我們朽稱X1與X2存在脈負相執(zhí)關.判第二洽章沙多元現(xiàn)正態(tài)寸分布段及參冬數(shù)的蜂估計§2借.2勢多元躍正態(tài)澆分布沸的定臥義與撥基本祝性質聞--儀例2肢.2咐.1聲51例2丘.2鼠.2二元茫正態(tài)欲密度訴函數(shù)甩的圖詢形及括等高探線的窩圖形第二起章勁多元竹正態(tài)宮分布碎及參酸數(shù)的礙估計§2背.2五多元煩正態(tài)狂分布眠的定巾義與同基本判性質銹--銹例2嘉.2隙.2達為了瓣對多食維正鳳態(tài)密切度函販數(shù)有斜更直莊觀地扛了解夕，下猶面的躬例子腥給出宵幾組粥參數(shù)硬下二流維正印態(tài)密獎度函檔數(shù)的生幾何門圖形禁.我們駱把具亂有等存密度諒的點尸的軌拒跡稱茅為等仆高線仰(面猛).顯然額當p=2時它是鑰一族誕中心商在(μ1,μ2)′的橢掃園.52一般充的p維正悲態(tài)密塔度等帆高面捧為第二蛇章繭多元致正態(tài)杜分布福及參北數(shù)的陶估計§2蛋.2救多元饒正態(tài)韻分布窩的定資義與協(xié)基本鳥性質隸--倡例2趙.2巴.2救取μ1=0膀,μ2=0,以下鉛繪制陽三組摧參數(shù)遙下二元薄正態(tài)檔密度榮函數(shù)醋及密卻度等摩高線獻圖形陡：（1厲）當時（2驅）當時（3權）當時53第二假章出多元擊正態(tài)薄分布熔及參許數(shù)的暴估計§2石.2引多元熱正態(tài)帳分布貝的定嘩義與各基本求性質補--等例2.躬2.爺254第二乞章突多元緊正態(tài)惠分布昂及參墳數(shù)的使估計§2高.2逐多元等正態(tài)饑分布煉的定匆義與聽基本瘡性質脂--草例2.債2.君255第二年章科多元淘正態(tài)輕分布學及參集數(shù)的迫估計§2紋.2吧多元茂正態(tài)涌分布調的定釘義與公基本節(jié)性質留--掃例2.腔2.漠256第二起章牌多元屠正態(tài)葛分布接及參毀數(shù)的統(tǒng)估計§2訂.3銹條雨件分動布和度獨立槳性-撈-獨原立性凳以下合是關翻于獨赤立性徑的一妨條重沫要結岸論：設X～Np(μ,宜Σ)職(p≥2滑),將X,個μ,局Σ剖分伙為57第二第章疫多元浸正態(tài)幕分布陽及參域數(shù)的頑估計§2字.3爭條臟件分土布和鎮(zhèn)獨立猛性-責-獨蔑立性因定理爬2.加3.偉1設p維隨盛機向印量X～Np(μ,Σ)，則X(1猶)與X(2婚)相互英獨立Σ12＝Or×構(p售-r)(即X(1招)與X(2清)不相政關)證明:必要定性顯謊然成排立.58第二壺章質多元幫正態(tài)社分布輩及參彩數(shù)的而估計§2逐.3主條淘件分繩布和幫獨立帶性-摩-獨酸立性殼(充屬分性嫁)：弟設Σ12＝0傍，則X的聯(lián)榜合密加度函插數(shù)為所以X(1逼)與X(2宣)相互滅獨立殖.59第二蜓章脫多元狼正態(tài)邊分布萍及參房誠數(shù)的合估計§2派.3蛙條續(xù)件分央布和付獨立軍性-誦-獨餅立性可推論末1設ri≥1駁(i=1候,…鉤,k),且r1+r2+…芹+rk=p，則X(1須),…溫,X(k糊)相互口獨立Σij＝0(一切i≠景j)推論餡2設X～Np(μ，Σ)，若Σ為對慰角形崗矩陣悲，則X1,…欣,Xp相互析獨立開.60第二長章璃多元樂正態(tài)芳分布狂及參砌數(shù)的外估計§2勝.3建條需件分源布和麗獨立本性-叼-獨茫立性寸例子例如姓:設制三維訪隨機輛向量X=(X1,X2,X3)',且則有咽(1博)(2煩)61第二繭章戶多元棒正態(tài)繭分布醋及參倍數(shù)的蠟估計§2大.3姑條督件分晨布和走獨立優(yōu)性-略-獨統(tǒng)立性土的例怒子(3瓣)X1與X3,X2與X3,也畏相互島獨立直;(4妙)(5義)丈令62第二迷章殼多元壓正態(tài)軟分布兔及參差數(shù)的撲估計§2禿.3狼條鼓件分鉗布和草獨立蒙性-唱-獨猛立性賄例子(6斬)Y的密拴度函模數(shù)為X3的密葵度函租數(shù)為故二窩維隨捎機向郊量Z的聯(lián)襲合密緒度函瘡數(shù)為63第二戰(zhàn)章峽多元愁正態(tài)普分布曲及參許數(shù)的脈估計§2鐵.3撞條倚件分夫布和彈獨立樂性-團-條臭件分吸布考慮舌二維往正態(tài)剝的條床件分錘布(首即p=2,r=1懶),由條與件密洋度的深定義古知，彎當X2給定蟻時,X1的條浮件密輝度為而64第二燈章咽多元憂正態(tài)貍分布佛及參經(jīng)數(shù)的那估計§2其.3新條渡件分皂布和央獨立苦性-喇-條后件分巷布65第二岔章淹多元恢正態(tài)栗分布激及參煎數(shù)的倍估計§2寫.3勻條話件分辱布和薦獨立綁性-己-條最件分刑布所以66第二株章文多元波正態(tài)猛分布油及參律數(shù)的責估計§2脅.3銹條廚件分務布和拾獨立態(tài)性-處-條皮件分計布即推廣模到p維情幣況，般利用Σ-1的分扇塊求經(jīng)逆公臟式：其中類似p=2的方買法，出可證桃明:且斑為r維正途態(tài)分舌布.67第二紡章鉤多元易正態(tài)功分布火及參孫數(shù)的槳估計§2渡.3例條浮件分旺布和桐獨立余性-姨-條駐件分鍋布捏定理托2.姐3.登2設X為p維向嚇量,X(1寨)為r維向栽量,匠且則X(2疏)給定廣時X(1朗)的條態(tài)件分涼布為(X(1謎)|X(2熊))～化Nr(μ1·2,Σ11佛·2),其中(Σ＞0品)68第二年章體多元蟲正態(tài)予分布鑒及參浪數(shù)的宰估計§2參.3仔條鈔件分販布和塌獨立紅性-約-條約件分忘布閣證明①作非葡奇異場線性鞋變換稅，令因為D(Z)=BΣB'=69第二營章假多元率正態(tài)劈燕分布崖及參滋數(shù)的淚估計§2掠.3絨條灑件分析布和仗獨立鋪性-量-條頃件分選布牙故有這表旱明Z(1服)與Z(2南)相互懶獨立腐.而君且可福得出70第二陷章論多元該正態(tài)峽分布糞及參猜數(shù)的牙估計§2王.3傍條韻件分扒布和趙獨立因性-趣-條糠件分砍布梯②Z的聯(lián)麥合密腳度為這里娛因Z(2恥)=X(2咐),故有g2(z(2大))=f2(z(2勢)).71第二志章日多元榴正態(tài)海分布陳及參籌數(shù)的撫估計§2因.3亂條傾件分植布和晶獨立個性-涉-條臟件分律布詠③因為Z＝BX，利用忍積分醫(yī)變換冠公式識，可碌以用g(z)來得舞到f(x),即72第二奔章止多元零正態(tài)播分布稈及參固數(shù)的潔估計§2捏.3標條公件分奶布和道獨立現(xiàn)性-小-條滑件分槳布乘所以X(2供)給定武時X(1勻)的條剃件密基度函管數(shù)為73第二葛章秀多元給正態(tài)漲分布懼及參共數(shù)的燙估計§2買.3叫條丹件分赴布和氣獨立俯性-播-條暴件分珠布叔74第二倘章營多元汪正態(tài)料分布氏及參奧數(shù)的評估計§2松.3蠅條丸件分賠布和劉獨立邀性-課-條識件分畢布杠所以X(2霸)給定宵時X(1網(wǎng))的條喊件分肚布為(X(1槐)|X(2深))～歪Nr(μ1·2,Σ11唉·2)洲,其中75第二狐章派多元鬼正態(tài)絨分布社及參逝數(shù)的溜估計§2窮.3句條續(xù)件分稱布和仇獨立喘性-輛-條葡件分出布滔推論在定新理2.附3.蒙2條件真下可脹得:76第二扣章河多元線正態(tài)既分布挨及參合數(shù)的崇估計§2隱.3降條碑件分濤布和舟獨立繼性-損-條晉件分導布的趴例子雖例:嶼設4臣維正驅態(tài)隨談機向地量X=集(X1,X2,X3,X4)',且(1葛)威令試驗右證Y(1住)與X(2憑)相互奇獨立.(由推辦論(1索)可知Y(1逗)與X(2坡)相互趙獨立).77第二通章曠多元驚正態(tài)遼分布跌及參那數(shù)的角估計§2販.3癢條雪件分逐布和物獨立培性-花-條綁件分糠布的際例子秧(1殃)辣因78第二辨章稈多元美正態(tài)狠分布訴及參它數(shù)的款估計§2略.3豎條罵件分偉布和對獨立持性-襯-條塑件分交布的繡例子丸經(jīng)驗糠證:CO椅V(Y(1瓣),X(2祖))=涼CO荷V(BX,CX)=BD(X)C'故Y(1參)與X(2舒)相互釋獨立.79第二眉章狀多元修正態(tài)購分布如及參誰數(shù)的增估計§2搜.3歐條說件分訴布和物獨立圈性-拐-條驅件分唱布的美例子圖(2勇)括求X(2貼)給定位時X(1限)的條淡件分敘布.由定搏理2的.3屠.2零,X(2紙)=x(2澇)給定宋時X(1剃)的條類件分牙布為(X(1匆)|X(2動))~Nr(1.憂2,11泡.2).80第二泛章叔多元倍正態(tài)殖分布飛及參捷數(shù)的厘估計§2輪.3隆條陜件分午布和通獨立勸性-絨-條應件分豪布的討例子替由此友可見抹條件唱方差卵總是屯小于套原方拳差:81第二法章肯多元章正態(tài)郊分布國及參吵數(shù)的輕估計§2植.3述條紛件分捐布和暗獨立鍬性-災-條件李期望劫則稱為條柏件期蒙望,記為E(X(1繁)|X(2養(yǎng))).并稱μ1·敢2為X(1釘)對X(2肚)的回歸，而=B稱為回歸伯系數(shù)駛.設82設X，懼Y為p維隨欠機向屯量，Y1,…陸,Yn均為兵隨機寶向量位，則遲有第二照章釋多元兔正態(tài)鉗分布域及參攜數(shù)的串估計§2權.3烏條偵件分繩布和層獨立毅性-缺-條戰(zhàn)件期恭望的密性質鍛83證明以下風來證返明性伴質(脫4)鞋.第二穩(wěn)章愿多元枯正態(tài)師分布計及參寺數(shù)的芝估計§2媽.3扒條冊件分危布和塵獨立基性-罩-條貓件期填望的尖性質秘記,設p+p維隨己機向吵量Z的聯(lián)茄合密穴度函數(shù)攔為f(x,拾y),X的密泄度函翠數(shù)為fX(x)，則故E［冤E(h(Y)|X)］評=E出(m(X))裹84第二環(huán)章傷多元彼正態(tài)闊分布度及參竊數(shù)的輕估計§2柄.3肥條扛件分朝布和章獨立護性-稅-條捕件期偶望的低性質告85性質隆(4態(tài))給物出，槽求E(h(Y))時，病可通設過另方一隨漿機向做量X，當X＝露x時求朱得條固件期啟望E(h(Y)|X).然后纖把X看為濟隨機轟向量固,求E［E(h(Y)|X)］朋,其結間果就賓等于憑直接皆求E(h(Y))秒.第二塑章渴多元薦正態(tài)秋分布慮及參千數(shù)的芝估計§2還.3旨條授件分稅布和眼獨立足性-役-條煮件期疾望的左性質希86第二簽章邁多元再正態(tài)倚分布較及參磚數(shù)的描估計§2財.3縮慧條友件分死布和科獨立豆性-醫(yī)-條件損協(xié)差爐陣則稱為條謹件協(xié)春差陣錫。記87第二聯(lián)章汗多元籠正態(tài)梳分布盒及參款數(shù)的譽估計§2陶.3哄條幕件分蛇布和驅獨立疲性-犁-偏相剝關系雅數(shù)揮稱為X(2符)=(xr+1,…亞,xp)′給定越時,Xi與Xj(i,爹j=1洲,2鬼,批….爸,r)的偏相劇關系晚數(shù)。(i,宮j=1怖,2名,漿….凝,r)88第二熟章絨多元戀正態(tài)應分布握及參蕩數(shù)的很估計§2嘗.3經(jīng)條壞件分壓布和敲獨立曉性-獸-最佳腫預測考慮r=1繩,記X(1瞞)＝Y,記g(x(2乓))=陰E(X(1鏡)|X(2尾))，流則對不任意察函數(shù)φ(·蠢),可以棕證明疫(見習叔題2覽-1尚6):E[擺(X(1邁)-g(x(2怪)))2]≤怕E[對(X(1媽)-φ(x(2騰)))2］即在牌均方載差最鬼小的恭準則惱下,橋條件古期望g(x(2野))是對Y的最閣佳預智測函雞數(shù).89第二木章轟多元轟正態(tài)闊分布籠及參烏數(shù)的祖估計§2瞞.4糾隨垃機矩樂陣的佩正態(tài)慢分布秩把來產(chǎn)自p元總銅體的飾容量暴為n的隨抹機樣射本排俗成一哪矩陣X：其中X(i)(i=1飯,…鉛,n)是來揀自p維總奴體的繡一個侄樣品蹈，則兆樣本初數(shù)據(jù)聞矩陣X就是議一個肥隨機久矩陣專.=(X1,X2,…叮,Xp)de擾f90第二鑼章染多元甚正態(tài)臭分布努及參起數(shù)的崖估計§2桌.4屆隨港機矩豬陣的籠正態(tài)趙分布客--拉直認運算討論她隨機哄矩陣X的分伏布時書，可酬考慮談把X的行看向量砌(即五樣品垂)一傅個接哪一個純連接榜起來轉構成既一個np維長艷向量揚，然妄后討屬論這材個長匪向量種的分雄布.圍所謂防拉直莊運算憐，就飲是將谷矩陣X的列他一個街接一艘個拉勤成一貍個長禮向量勾，記翼為91第二陷章征多元拒正態(tài)怒分布旁及參傷數(shù)的鳥估計§2筆.4呼隨瓦機矩奔陣的修正態(tài)唇分布瞧--拉直羞運算符號同“Vec蟻”稱為聰拉直毯運算喝.如宰果將乎矩陣X的行里向量朱(樣章品)蓮拉直滿為一棍個np維向拔量,味用拉炒直運歐算的廁符號翻可記撕為92第二老章責多元渴正態(tài)受分布慶及參姻數(shù)的擋估計§2趁.4低隨錄機矩厲陣的錫正態(tài)斷分布巡壽--拉直妙運算在多欺元統(tǒng)足計分達析中牧,經(jīng)攜常需教要考叼慮對宿稱矩議陣的區(qū)拉直業(yè)運算賢。設S是p×p階的斜對稱折隨機末矩陣汗，在S中只想包含p(p+1越)/拜2個不也同的標隨機尋變量徒,故錘將其錄拉直充為p2維向浙量是徹不合墓適的懼,應鐮拉成p(p+1玩)/澆2維向朝量。設S=(Sij)p×p為p階對庸稱陣釘，令范Sve雙c(S)=厲(S11,…赴,Sp1,S22,…輕,Sp2,…除,Spp)′為p(p+1耍)/貍2維向寧量.符號盈“Sve蕩c”稱為食對稱非矩陣碼的拉皺直運脹算.93第二嫩章薦多元些正態(tài)田分布基及參俯數(shù)的斯估計§2嚇.4群隨機奪矩陣背的正暗態(tài)分吃布-暮-Kr盒on止ec輕ke榨r積幫設A=(aij)和B分別澇為n×鉗p和m×q的矩播陣，A和B的Kr聰on閃ec質ke拌r積AB定義么為94第二偷章忍多元民正態(tài)便分布屯及參嫌數(shù)的蠻估計§2憑.4哄隨目機矩環(huán)陣的輩正態(tài)謙分布擠--Kr勁on品ec扔ke茅r積患子塊a11B為m×q的子微矩陣煙，n×p個子逃塊組武成的溪矩陣裕是一嬸個nm×pq的大矩陣陰.在尋多元讀統(tǒng)計展分析聰中Kr雁on約ec壘ke造r積(框簡稱積或謀直積齡)是濾一個五有用吼的工曉具.它邁的一些罪常用魯?shù)男远苜|在椒以后接將會唇用到。其中亂子塊95設X(i)=(Xi1,…同,Xip)′現(xiàn)(i＝1胃,…絮,n)為來漂自p維正紗態(tài)總糟體Np(μ,輝Σ)的隨忙機樣愈本(沃獨立咬同分是布),記隨滔機矩舟陣X＝(Xij)n×糠p，利用溉拉直兔運算譜及直貴積的納定義肉和性侮質,碑可知第二禁章某多元程正態(tài)懶分布綁及參面數(shù)的換估計§2怠.4指隨與機矩賞陣的碌正態(tài)臥分布事實活上，np維長肌向量Vec更(X′)的聯(lián)扭合密營度函耗數(shù)為綁96第二怕章胡多元橋正態(tài)多分布頭及參法數(shù)的揀估計§2訂.4勸隨致機矩貧陣的最正態(tài)令分布97第二召章勝多元開正態(tài)帝分布購及參沫數(shù)的閑估計§2知.4市隨紋機矩詠陣的邊正態(tài)訪分布由以隆上np維長企向量Ve情c(X')的聯(lián)延合密哭度函娃數(shù)可塌看出閘它是頑正態(tài)慢隨機池向量,且:其中M為:98第二蔥章睜多元抖正態(tài)酸分布距及參超數(shù)的燈估計§2產(chǎn).4本隨貞機矩鐮陣的畝正態(tài)屆分布故99第二妖章想多元富正態(tài)尼分布腿及參根數(shù)的涌估計§2贈.4曾隨級機矩燦陣的傘正態(tài)沿分布當隨疾機陣X按行鉤拉直幅后，醉如果深有則稱鑰隨機揭陣X服從矩陣積正態(tài)驚分布插，記作10中0第二姐章尤多元虜正態(tài)吃分布降及參籠數(shù)的莖估計§2撫.4遍隨挖機矩揚陣的肉正態(tài)外分布也就是：其中10莊1第二斯章嬌多元別正態(tài)搬分布晉及參記數(shù)的筑估計§2狡.5俱多只元正圖態(tài)分干布的診參數(shù)麻估計慨考慮p維正脂態(tài)總魄體X～Np(μ,沫Σ)易,設X(i)=(Xi1,…繭,Xip)′遵(i＝1為,…墳,n)為p維總鐮體X的簡稱單隨虛機樣而本，笑資料紙陣是一知個隨尖機矩鐘陣.10捉2第二遍章娘多元加正態(tài)宇分布軋及參綁數(shù)的燥估計§2箭.5法-余--刺多萌元正喬態(tài)樣牢本的撓數(shù)字銜特征(1責)觸樣本聾均值栗向量X10愁3第二往章般多元亞正態(tài)耀分布襲及參鋒數(shù)的級估計§2嗽.5餡-橡--暑多儲元正飼態(tài)樣命本的祝數(shù)字章特征中心役化數(shù)深據(jù)陣:10遷4第二撐章手多元至正態(tài)幟分布襖及參索數(shù)的隆估計§2原.5也-財--謊多假元正串態(tài)樣耽本的塞數(shù)字茶特征(2木)鐵樣本日離差豬陣A(交叉綿乘積味陣)其中10目5第二帥章腸多元貨正態(tài)角分布撇及參污數(shù)的窮估計§2言.5超-蜂--料多汽元正久態(tài)樣我本的調數(shù)字品特征或者怒把A表為:10攜6第二裂章堂多元堅正態(tài)書分布漲及參時數(shù)的屆估計§2場.5陣-穗--為多蘿元正異態(tài)樣粒本的咸數(shù)字旱特征或者從把A表為:10做7第二哀章逗多元只正態(tài)鈔分布饒及參鄙數(shù)的援估計§2窯.5飼-客--置多巧元正缺態(tài)樣域本的內數(shù)字俯特征(3顛)污樣本有協(xié)方薯差S:(4鍋)踩樣本轉相關盲陣R:10秧8第二融章征多元多正態(tài)徒分布會及參練數(shù)的竊估計§2態(tài).5梨-抽-趨多元岸正態(tài)扁樣本杜數(shù)字巖特征確的例馳子例:設從問某書牽店隨味機抽團取4蔑張收敘據(jù)了夸解圖克書的牽銷售勤情況部.每帳張收滔據(jù)記百錄售笛書數(shù)借量X2及總芬金額X1,具體州數(shù)值捉如下壤:試計虜算樣乎本均劣值,漸樣本信離差得陣,及樣本柄協(xié)差牌陣和益相關隨陣.解:10逃9第二士章萄多元稍正態(tài)垮分布繪及參悠數(shù)的罵估計§2邪.5卷-僵-逢多元鴉正態(tài)事樣本憐數(shù)字夸特征竄的例置子樣本角離差設陣A的計仍算公府式為貍:中心吃化數(shù)憤據(jù)陣11鵝0第二彈章代多元僅正態(tài)隨分布茅及參嚴數(shù)的哄估計§2話.5金-斬-弓多元寨正態(tài)路樣本林數(shù)字子特征良的例粗子11董1第二典章懷多元料正態(tài)奏分布范及參奇數(shù)的堤估計§2餃.5滾-掉-挎多元芽正態(tài)滾樣本除數(shù)字完特征對的例鄰子11蛋2第二睛章殼多元臟正態(tài)許分布頭及參撞數(shù)的辭估計§2易.5襲-振--μ，Σ的最戒大似洪然估陣計設X(i)(i＝1宗,…捉,n)為p維正載態(tài)總悅體N(μ,錯Σ)的隨呆機樣門本，以下理用最樓大似弊然法億來求凳參數(shù)μ,程Σ的最粉大似足然估陽計.統(tǒng)把隨雜機數(shù)圖據(jù)陣X按行能拉直稀后形爸成的np維長敗向量Ve膏c(X′)的聯(lián)著合密洗度函特數(shù)看殊成未逼知參耳數(shù)μ,甚Σ的函愛數(shù)，盟并稱狀為樣杠本X(i)(i＝1趙,…懼,n)的似訴然函艇數(shù),吃記為L(μ,披Σ)柜.11劍3第二們章敏多元弊正態(tài)啄分布襲及參得數(shù)的哲估計§2婆.5加-請--μ，Σ的最祝大似武然估花計(矩陣串跡的礦性質判見P3墾91慶)11境4第二約章巨多元卵正態(tài)科分布稼及參票數(shù)的幸估計§2仁.5慮-村--μ，Σ的最這大似盟然估迷計記號et腎r(揭A)=慌exp閘[tr萄(A)]11掉5第二裙章肆多元繪正態(tài)花分布臺及參錫數(shù)的險估計§2個.5棍-壘--μ，Σ的最免大似漏然估欺計其中pp矩陣A1可作頸如下挑分解效:11沈6第二宋章仿多元稻正態(tài)戰(zhàn)分布沿及參如數(shù)的玩估計§2沖.5噸-大--μ，Σ的最嘗大似畝然估網(wǎng)計由于lnx是x的單攜調函角數(shù),拾故L(μ,Σ)與lnL(μ,板Σ)有相騎同的煙最大仁值點窄.以辜下只狡須討藥論lnL(μ,戰(zhàn)Σ)的最么大值蠶問題各.下面譯給出緒與跡砌有關扎的一息條引由理.引理品2.慚5.耀1設B為p階正夕定陣輕，則尋trB-l顧n|B|≥p且等君號成商立的全充分紡必要茅條件龍是B=Ip.11鈔7第二沉章待多元蓋正態(tài)把分布亡及參窄數(shù)的勉估計§2禮.5媽-燭--μ，Σ的最吹大似哄然估嚴計證明因B＞0幼,故B的全柏部特做征值λ1,…秤,λp＞0演,且|B|=λ1…λp.利用抵不等蚊式ln蘿(1刃+x)≤x(當x+1廁＞0處),可得(x=λi-1館)所以悄trB-l燒n|B|≥p11歸8第二獨章何多元香正態(tài)雙分布飲及參接數(shù)的半估計§2寒.5搶-就--μ，Σ的最度大似瓦然估釘計因不沸等式ln冤(1校+x)≤x中的絡等號淘僅當x=0時成償立，秤故引芬理給證出的萌不等文式僅沾當λi-1裝=0農(i=驢1,瓜…,p)時成立夠,即B=版Ip.反之駕，當B=已Ip時，ln電|Ip|=蜘0,輩t晝rB=p,故引賊理給砌出的梅不等雖式中獎等號救成立.11姻9第二叼章罷多元揭正態(tài)彎分布苗及參燃數(shù)的厭估計§2當.5渡-卷--μ，Σ的最油大似位然估擱計下面闖討論沫當給美定Σ＞0時，LnL(μ,Σ)的最磁大值身點.12般0第二劣章師多元泡正態(tài)啊分布櫻及參陣數(shù)的畝估計§2移.5郵-辰--μ，Σ的最拌大似賽然估殃計以上幟不等扎式僅錫當μ=X時等柿號成哀立,即對姿于固縣定的Σ＞0鐵，下面講利用我跡的姜有關俘性質蹈及引習理2簽.5繩.1煤來證熄明：態(tài)當取鏟時12圓1第二皂章搏多元鍛正態(tài)挺分布鼓及參高數(shù)的游估計§2剝.5軍-匪--μ，Σ的最餃大似丑然估范計(取B=蔑>0由引變理2計.5置.1茄可得)12喘2第二諒章孫多元駝正態(tài)爹分布娃及參碰數(shù)的息估計§2財.5角-曠--μ，Σ的最傍大似平然估爆計由引怖理2體.5曬.1王，以柔上不概等式坦的等叮號僅輪當成立拾.所以12克3而似把然函準數(shù)的籃最大暖值為第二囑章逢多元催正態(tài)六分布遙及參帝數(shù)的悔估計§2渣.5責-婆--μ，Σ的最擾大似雞然估景計或者12播4定理依2.軍5.菌1設X(i)(i＝1裙,…好,n)是多僚元正言態(tài)總咱體Np(μ,犁Σ)的隨及機樣陪本，n＞p，則μ,Σ的最耽大似遇然估惰計為第二悲章礦多元擁正態(tài)艇分布淡及參春數(shù)的喚估計§2仰.5險-昌--μ，Σ的最甜大似商然估宵計12樹5第二擊章供多元貍正態(tài)賓分布罰及參單數(shù)的艘估計§2哪.5傷-裂--最大弄似估王計量勞的性負質參數(shù)融的最站大似嗎然估侵計有械很多歐優(yōu)良睛性標睡準,障如無狼偏性繁，有石效性閉,相漿合性玻等.μ和Σ的最軟大似孩然估罵計是雙否具滿有這皮些好隆的性扭質呢分?這憐是我蝦們現(xiàn)斤在要重討論膝的問染題.淚12勤6第二朱章堤多元塌正態(tài)勾分布遙及參登數(shù)的繩估計§2業(yè).5屑-犧--最大價似估李計量廊的性突質定理零2.范5.惹2設X和A分別滔為p元正捐態(tài)總泰體Np(μ,被Σ墨)的樣閉本均商值向增量和到樣本水離差滴陣,測則(S=A/(n-1）或S*=A/慘n)12味7第二鉗章骨多元銷正態(tài)廢分布龍及參科數(shù)的煌估計§2掉.5萄-禍--最大作似估狐計量淘的性哀質證明蟻的思攏路：引入正交饅陣Γ,形式關如下用：作線撫性變島換,續(xù)由隨粥機陣X得另蟻一隨航機陣Z.令12委8第二成章掉多元助正態(tài)擇分布換及參堤數(shù)的嘩估計§2絲式.5處-慣--最大硬似估客計量勿的性筍質Z的行給向量Zt是X的行蠟向量脹（樣熄品）亭的線矮性組血合:可以翁計算Zt的均傳值躲和協(xié)宣方差胡：12識9第二兆章振多元讓正態(tài)斬分布薄及參港數(shù)的物估計§2客.5輪-叮--最大逆似估閣計量事的性廉質當t≠n時當t=n時13面0第二畝章后多元鬧正態(tài)嶄分布帝及參鏟數(shù)的絡估計§2橋.5挎-巷--最大槍似估腿計量定的性溜質O當α≠β時=Σ當α=β時所以Z