Mn第五章微分方程模型

第五章微分方程模型5.1傳染病模型5.2經(jīng)濟增長模型5.3

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5香煙過濾嘴的作用5.6人口預測和控制5.7煙霧的擴散與消失5.8萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動態(tài)模型描述對象特征隨時間(空間)的演變過程.分析對象特征的變化規(guī)律.預報對象特征的未來性態(tài).研究控制對象特征的手段.根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù).微分方程建模根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設.按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程.5.1傳染病模型描述傳染病的傳播過程.分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律.預報傳染病高潮到來的時刻.預防傳染病蔓延的手段.不是從醫(yī)學角度分析各種傳染病的特殊機理,而是按照傳播過程的一般規(guī)律建立數(shù)學模型.背景與問題傳染病的極大危害(艾滋病、SARS、)基本方法已感染人數(shù)(病人)i(t)每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設若有效接觸的是病人,則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為.2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病.建模~日接觸率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時刻(日接觸率)tmlogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染.增加假設SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù).mls/=模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸使健康者感染的人數(shù)不超過原有的病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲線增長接觸數(shù)(感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù))i(t)單調(diào)下降模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者.SIR模型假設1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為.2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個方程.模型4SIR模型無法求出的解析解先做數(shù)值計算,再在相平面上研究解析解性質(zhì)(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的數(shù)值解i(t)從初值增長到最大;t,i0.s(t)單調(diào)減;t,s0.04.設=1,=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB計算作圖i(t),s(t)及i(s)si相軌線i(s)模型4消去dtSIR模型的相軌線分析相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進行分析si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0模型4SIR模型預防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫忽略i0模型4預防傳染病蔓延的手段降低日接觸率

提高日治愈率提高移出比例r0以最終未感染比例s和病人比例最大值im為度量指標.1/s0i0si10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.020.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200,s0(r0

)s

,ims

,im模型4SI冬R模型被傳貢染人磁數(shù)的降估計記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高溉閾值1/s0-1/=降低被傳染人數(shù)比例x傳染熱病模揚型模型1模型2千(SI長)模型3烈(SI弊S)模型4仍(SI壘R)區(qū)分病人和健康人考慮治愈模型3,棟4窯:描述慚傳播除過程,分析盾變化允規(guī)律,預報捆高潮款時刻,預防嚼蔓延司手段.模型4:數(shù)值糕計算俘與理堆論分退析相釣結(jié)合.5.嗚2經(jīng)濟新增長似模型增加靈生產(chǎn)騰發(fā)展釣經(jīng)濟增加期投資增加漁勞動旋力提高機技術建立孫產(chǎn)值蒜與資險金、妥勞動寒力之舒間的魯關系.研究墳資金淡與勞淡動力憐的最六佳分潑配，血使投閉資效牧益最胞大.調(diào)節(jié)號資金震與勞弟動力嘗的增痛長率遇，使捷經(jīng)濟(生產(chǎn)堡率)增長.1.道格取拉斯(D玻ou誘gl拆as或)生產(chǎn)幫函數(shù)產(chǎn)值Q(t)F為待洞定函棟數(shù)資金K(t)勞動澆力L(t)技術f(t)=硬f0(常數(shù))模型在假設靜態(tài)模型每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的投資z隨著y的增司加而善增長萬，但采增長景速度償遞減yg(y)01.色D喬ou職gl塞as生產(chǎn)償函數(shù)解釋念含義幟？Do界ug衣la含s生產(chǎn)岸函數(shù)產(chǎn)值Q,資金K,勞動纖力L,技術f0~資金飄在產(chǎn)閣值中俊的份媽額1-~勞動想力在雹產(chǎn)值鋼中的昏份額更一粘般的幅道格誦拉斯(D如ou絞gl哄as叢)生產(chǎn)畫函數(shù)1.業(yè)D拒ou升gl郵as生產(chǎn)鑰函數(shù)~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值~單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值w,r,K/扶L求資魄金與羽勞動陪力的蓬分配商比例K/聲L(每個恐勞動遺力占何有的冶資金)，使效毛益S最大.資金捉和勞按動力伯創(chuàng)造蘇的效恩益資金學來自皺貸款董，利暖率r勞動貫力付岔工資w2）資野金與耕勞動織力的如最佳獅分配宿（靜峽態(tài)模寨型）3)經(jīng)濟(生產(chǎn)廈率)增長然的條直件(動態(tài)想模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長,K(t),L(t)應滿演足的麥條件模型思假設投資貴增長級率與味產(chǎn)值心成正綱比(用一點定比您例擴舅大再禮生產(chǎn))勞動愁力相自對增勁長率腳為常怖數(shù)Be崇rn搶ou量ll炮i方程3)經(jīng)濟躬增長初的條咸件產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟扔增長掩的條突件~勞動獅力相衰對增欲長率每個叮勞動畢力的袍產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>03)經(jīng)濟避增長狡的條逝件勞動力增長率小于初始投資增長率5.爛3正規(guī)稱戰(zhàn)與惹游擊祝戰(zhàn)戰(zhàn)爭補分類定：正拌規(guī)戰(zhàn)匪爭，桃游擊游戰(zhàn)爭蟻，混榜合戰(zhàn)目爭.只考些慮雙寧方兵增力多宗少和蘭戰(zhàn)斗鼠力強宿弱.兵力續(xù)因戰(zhàn)枝斗及逗非戰(zhàn)標斗減鑄員而憐減少彈，因仔增援秩而增中加.戰(zhàn)斗敗力與喝射擊猶次數(shù)廣及命世中率艦有關.建模查思路掉和方秘法為盞用數(shù)弓學模記型討口論社糕會領灑域的墨實際襪問題嘉提供帥了可癢借鑒廈的示場例.第一負次世滑界大面戰(zhàn)La痛nc俗he噸st敘er提出預測漠戰(zhàn)役去結(jié)局大的模績型.一般體模型每方甘戰(zhàn)斗保減員燒率取盜決于腐雙方北的兵胖力和檔戰(zhàn)斗球力.每方云非戰(zhàn)謙斗減貨員率煙與本惜方兵涌力成抄正比.甲乙稈雙方店的增脆援率貞為u(t),v(t).f,秤g取決切于戰(zhàn)殖爭類濫型x(t)池~甲方妙兵力妻，y(t)碰~乙方賢兵力模型剃假設模型正規(guī)梁戰(zhàn)爭惱模型甲方拍戰(zhàn)斗毅減員鐘率只拜取決渡于乙森方的犧兵力可和戰(zhàn)荒斗力雙方如均以負正規(guī)吃部隊刃作戰(zhàn)忽略仿非戰(zhàn)已斗減舞員假設持沒有汽增援f(x,y)=ay,a~乙方侮每個屠士兵寒的殺號傷率a=rypy,ry~射擊役率，py~命中隔率0正規(guī)遍戰(zhàn)爭賴模型為判身斷戰(zhàn)輕爭的僅結(jié)局映，不橫求x(t),y(t)而在怖相平測面上問討論x與y的關王系.平方騾律處模型乙方勝游擊什戰(zhàn)爭雷模型雙方抵都用合游擊濃部隊棉作戰(zhàn)甲方惑戰(zhàn)斗毒減員聰率還靠隨著衰甲方耽兵力頸的增雜加而答增加忽略非戰(zhàn)斗減員假設沒有增援f(x,y)=cx漂y,c~乙方志每個限士兵魚的殺醫(yī)傷率c=rypyry~射擊扯率py~命中忘率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積0游擊忘戰(zhàn)爭相模型線性弊律屋模型0混合猶戰(zhàn)爭辛模型甲方墳為游崖?lián)舨吭铌牐∫曳揭檎?guī)部委隊乙方遙必須10倍于績甲方寸的兵僵力!設x0=1燙00喇,rx/ry=1曉/2泡,px=0徹.1鎮(zhèn),sx=1雪(k煎m2),sry=1陸(m2)5.骨4藥物歐在體染內(nèi)的乓分布鑄與排坦除藥物鴨進入媽機體槳形成血藥姥濃度(單位取體積傷血液件的藥撇物量).血藥孕濃度程需保聚持在次一定慈范圍拔內(nèi)——給藥潑方案盯設計.藥物星在體寫內(nèi)吸泄收、佩分布掩和排富除過守程——藥物藥動力紛學.建立房室如模型——藥物蕩動力喊學的刮基本儲步驟.房室——機體填的一芒部分騎，藥蔬物在孤一個賠房室圾內(nèi)均怪勻分捎布(血藥伐濃度基為常危數(shù))，在善房室千間按徑一定裕規(guī)律侍轉(zhuǎn)移.本節(jié)抽討論二室梯模型——中心客室(心、連肺、描腎等)和周右邊室(四肢饅、肌握肉等).模型繭假設中心根室(1鮮)和周振邊室(2男),容積蟲不變.藥物敲在房公室間吐轉(zhuǎn)移回速率縱及向擠體外事排除葵速率不與該集室血修藥濃效度成滴正比.藥物交從體裂外進座入中雨心室哄，在鮮二室捕間相醫(yī)互轉(zhuǎn)輝移,從中崗心室染排出料體外.模型餅建立中心室周邊室給藥排除c1(t),x1(t)V1c2(t),x2(t)V2轉(zhuǎn)移線性未常系涼數(shù)非僅齊次擦方程對應啟齊次封方程虎通解模型塘建立幾種感常見御的給堪藥方沉式1.快速噸靜脈緊注射t=0瞬時注射啦劑量D0的藥節(jié)物進扎入中唯心室,血藥造濃度慶立即溫為D0/V1給藥槐速率f0(t)和初缸始條織件2.恒速減靜脈賴滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)鎖規(guī)律差趨于菊零0tT藥物幕以速戶率k0進入僚中心橫室3.口服弊或肌怠肉注似射相當括于藥栽物(劑量D0)先進籮入吸爬收室塵，吸訊收后績進入鋪中心肺室.吸收爪室藥襖量x0(t)吸收室中心室D0參數(shù)耗估計各種禿給藥加方式耀下的c1(t),c2(t)取決身于參抹數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速激靜脈煤注射D0,在ti(i=1健,2茅,,n)測得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,由較小的用最小二乘法定B,參數(shù)嗎估計進入中心室的藥物全部排除建立房室凱模型,研究說體內(nèi)血藥右濃度變化驕過程,確定轉(zhuǎn)移識速率遇、排咸除速桿率等噸參數(shù),為制幸訂給禁藥方啦案提彼供依報據(jù).機理播分析術確定顆模型爸形式投，測跨試分鞭析估夾計模爛型參脈數(shù).藥物細在體遷內(nèi)的米分布為與排止除房室諒模型茂：一室準模型二室通模型多室統(tǒng)模型非線令性(一室)模型c1較小外時近宋似于變線性~一級排除腹過程如c1較大羊時近陸似于揮常數(shù)~零級排除洋過程過濾盈嘴的殃作用綁與它棟的材灑料和芬長度陜有什攔么關悄系?人體摩吸入貓的毒放物量益與哪捐些因勸素有鋼關，孤其中曉什么保因素演影響替大，奪什么機因素跡影響次小?模型貿(mào)分析分析根吸煙紹時毒宴物進院入人盟體的最過程泊，建劑立吸垃煙過柔程的敘數(shù)學碰模型.設想源一個“機器兆人”在典權型環(huán)棗境下拐吸煙在，吸辣煙方忠式和童外部辛環(huán)境句在整軋個過扒程中聚不變.問題5.圍5香煙副過濾眼嘴的將作用模型足假設定性掏分析1）l1~煙草弄長，l2~過濾飯嘴長冰，l佩=艱l1+l2，毒物轉(zhuǎn)量M均勻歇分布翁，密辟度w0=M/l1.2）點殃燃處轎毒物扎隨煙當霧進賢入空宅氣和互沿香放煙穿傷行的丸數(shù)量驢比是a′:a,a′+a=1泡.3）未蛾點燃泳的煙止草和郊過濾慨嘴對累隨煙枕霧穿咬行的酸毒物炕的(單位委時間)吸收如率分命別是b和.4）煙玻霧沿忍香煙沒穿行碑速度鈴是常型數(shù)v，香煙蓋燃燒愉速度城是常啊數(shù)u，v俘>>屢u.Q~吸一慘支煙登毒物這進入離人體翠總量模型渴建立0t=0蚊,x=0，點燃碧香煙q(x,噴t)篇~毒物消流量w(x,臭t)即~毒物窮密度1)耀求q(x,0五)=q(x)流量守恒t時刻讀，香采煙燃寫至x=ut1)無求q(x,0灘)=q(x)2)啊求q(l,t)3)求w(ut,t)考察盈t內(nèi)毒賓物密零度的菜增量(單位長度煙霧毒物被吸收部分)4)計算QQ~吸一便支煙抬毒物隨進入怨人體佳總量結(jié)果劫分析煙草為什鉗么有換作用?1）Q與a,硬M成正次比，aM是毒除物集堪中在x=l處的歐吸入括量2)~過濾嘴因素，,l2~負指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草積的吸集收作暈用b,劑l1~線性作用帶過度濾嘴不帶芝過濾腹嘴結(jié)果撓分析4)與另車一支穿不帶伙過濾碼嘴的吩香煙闊比較棚，w0,孕b,蓋a棋,師v,詠l均相更同，茂吸至x=賽l1扔掉.提高-b與加陷長l2，效果野相同.香煙呈過濾割嘴的演作用在基晃本合蹈理的習簡化做假設表下，膝用精每確的忌數(shù)學灰工具峽解決句一個忘看來純不易械下手桿的實遷際問雙題.引入忌兩個崇基本始函數(shù)盒：流希量q(x,壺t)和密含度w(x,落t)，運母用物著理學天的守面恒定攪律建把立微泄分方幕程，牧構(gòu)造素動態(tài)惡模型.對求昨解結(jié)誦果進憂行定絨性和視定量警分析偏，得壩到合發(fā)乎實暖際的蠅結(jié)論.5.鉛6人口膽預測萍和控悼制年齡編分布染對于沿人口小預測蠟的重滅要性.只考桑慮自恰然出陷生與貴死亡弊，不滾計遷饑移.人口規(guī)發(fā)展遮方程F(r,資t)~人口饒分布傷函數(shù)(年齡<r的人申口)p(r,皺t)~人口清密度個函數(shù)N(t)~人口哥總數(shù)rm(軋)~最高加年齡人口撲發(fā)展是方程一階局偏微饑分方筋程齡數(shù)齡數(shù)數(shù)內(nèi)人口飄發(fā)展忽方程0tr定解震條件已知演函數(shù)(人口梨調(diào)查)生育徒率(控制剛手段)生育裁率f(t)的分說解~總和柜生育膨率h~生育笛模式0人口批控制廟系統(tǒng)~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密正反巡壽饋系候統(tǒng)滯后銹作用佛很大輸入輸入輸出反饋人口腥指數(shù)1）人討口總揚數(shù)2）平緊均年胞齡3）平諸均壽勵命t時刻顏出生什的人深，死儉亡率貿(mào)按(r,t)計算謀的平慰均存齒活時亡間4）老情齡化茅指數(shù)控制拔生育失率控制N(t)不過劉大控制(t)不過悟高5.間7煙霧槳的擴爆散與繪消失現(xiàn)象丹和問題炮彈攪在空要中爆杰炸，耍煙霧至向四罰周擴軟散，妹形成圓勵形不決透光縫區(qū)域.不透康光區(qū)根域不啟斷擴葵大，孔然后筋區(qū)域泰邊界院逐漸明說亮，牙區(qū)域吃縮小贈，最籍后煙伴霧消住失.建立胖模型政描述舒煙霧疑擴散忠和消誓失過狡程，棚分析消把失時直間與窄各因賽素的饞關系.問題伯分析無窮晉空間隙由瞬褲時點唇源導擔致的頭擴散鍛過程兔，用二黎階偏性微分炮方程望描述艱煙霧蒜濃度鮮的變鴨化.觀察抹到的冊煙霧仰消失善與煙明霧對萌光線郊的吸浙收、以及院儀器鑒對明茅暗的彩靈敏犧程度擔有關.模型偏假設1）煙嗎霧在同無窮葉空間靜擴散堤，不幕受大場地和臭風的影亡響；喬擴散王服從令擴散合定律.2）光雞線穿便過煙院霧時躬光強返的相敢對減眼少與寧煙霧濃度滴成正斤比；鐮無煙耀霧的蝕大氣風不影負響光譜強.3）穿銀過煙圈霧進議入儀弓器的毛光線忠只有屢明暗狐之分糖，明暗小界限庭由儀啟器靈激敏度蓮決定.模型線建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律擴散鑒定律接：單位庸時間恨通過便單位涌法向令面積周的流午量q與濃饅度C的梯度發(fā)成正無比.曲面毛積分傍奧氏堤公式1）煙霧濃度的變化規(guī)律的微分形式，并利用積分中值定理初始糊條件Q~炮彈怪釋放武的煙臭霧總扯量~單位膛強度跳的點妄源函姨數(shù)對任織意t,C的等旬值面諷是球膀面x2+y2+z2=R2;RC僅當t,對任恭意點(x,冷y,深z),C01）煙霧濃度的變化規(guī)律2）光跪強穿驕過煙柿霧時先的變沙化規(guī)抄律假設2）光凝強的亂相對堅減少譽與煙頌霧濃誓度成禽正比.I(l)無~沿l方向供的光腰強，C(l)避~沿l方向花的煙旦霧強父度記未哈進入泛煙霧(ll0)時光定強為I(