2021屆高考押題樣卷新高考版-數(shù)學(xué)(含答案解析)

絕密★啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），其共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以它的共軛?fù)數(shù)，其虛部為，故選B．2．集合，，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)所給的兩個集合的元素，表示出兩個集合的交集，在集合中，；在集合中，，要求兩個向量的交集，即找出兩個向量集合中的相同元素，元素是向量，要使的向量相等，只有橫標(biāo)和縱標(biāo)分別相等，，解得，此時，故選B．3．已知一元二次方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則“且”的_____________是“且”．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】已知是一元二次方程的兩個不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且時，可得，；當(dāng)且時，可取，，此時不滿足且，所以“且”是“且”的充分不必要條件，即“且”的充分不必要條件為“且”，故選A．4．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在R上是減函數(shù)，，又冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，而函數(shù)是R上增函數(shù)，，，故選B．5．把顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白四種顏色的小球放入顏色分別為紅、黃、藍(lán)、白四種顏色的紙盒中，則四個小球都沒有放入相同顏色的紙盒中的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】將四種不同顏色的球放入四種不同顏色的紙盒中基本事件的總數(shù)為，四個球都沒有放入相同顏色的紙盒中的基本事件的總數(shù)為，所以四個小球都沒有放入相同顏色的紙盒中的概率為，故選B．6．已知()，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，將兩邊同時平方得，則，∵，∴，，∴，∴．7．已知橢圓的方程為，、為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，直線與軸交于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接、，是的內(nèi)心，可得、分別是和的角平分線，由于經(jīng)過點(diǎn)與的內(nèi)切圓圓心的直線交軸于點(diǎn)，則為的角平分線，則到直線、的距離相等，所以，同理可得，，由比例關(guān)系性質(zhì)可知．又因?yàn)椋詸E圓的離心率，故選A．8．在三棱錐中，已知，，，，若三棱錐的外接球的體積為，則三棱錐的體積為（）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】設(shè)球半徑為，則，，而，所以是球的直徑，球心是中點(diǎn)，，所以中點(diǎn)是直角的外心，所以平面，又平面，所以，，，，是中點(diǎn)，所以，故選A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．線性回歸方程對應(yīng)的直線一定經(jīng)過點(diǎn)B．5件產(chǎn)品中有3件正品，2件次品，從中任取2件，恰好取到1件次品的概率為C．某中學(xué)為了解學(xué)生課外體育鍛煉時間，擬采用分層抽樣的方法從該校三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為100的樣本，已知該校高一?高二?高三年級學(xué)生之比為，則應(yīng)從高二年級中抽取30名學(xué)生D．“兩個事件是對立事件”的充分不必要條件是“兩個事件是互斥事件”【答案】ABC【解析】對A，線性回歸方程對應(yīng)的直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，故A正確；對B，恰好取到1件次品的概率為，故B正確；對C，應(yīng)從高二年級中抽取名學(xué)生，故C正確；對D，若兩個事件是互斥事件，則兩個事件不一定是對立事件；若兩個事件是對立事件，則這兩個事件一定是互斥事件，所以“兩個事件是對立事件”的必要不充分條件是“兩個事件是互斥事件”，故D錯誤，故選ABC．10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．點(diǎn)是的一個對稱中心點(diǎn)B．的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到C．在上單調(diào)遞增D．是方程的兩個解，則【答案】BCD【解析】，所以，對于A：令，解得，當(dāng)時，，所以點(diǎn)是的一個對稱中心點(diǎn)，故A正確；對于B：的圖象向右平移個單位長度得到的圖象的函數(shù)解析式為，所以平移得到的圖象不是的圖象，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D：令，解得或，即或，所以，故D錯誤，綜上，故選BCD．11．在中，角所對的邊分別為，則能確定為鈍角的是（）A．B．均為銳角，且C．均為銳角，且D．【答案】AC【解析】對于A：，即，可得，又為三角形的內(nèi)角，所以為鈍角；對于B：均為銳角，等價于，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，，故B錯誤；對于C：均為銳角，可得，，又，所以，故B為鈍角；對于D：，所以，所以為銳角，故D錯誤，綜上選AC．12．已知函數(shù)，若，且，則（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】當(dāng)時，．設(shè)函數(shù)，則有，，，故是偶函數(shù)，且最小值為0．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減．把的圖象向右平移一個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故可得到函數(shù)在上的圖象．又，故函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為．作平行于軸的直線，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有四個交點(diǎn)．?dāng)?shù)形結(jié)合可知，故A正確；由，得，又根據(jù)題意知，所以，即，即，所以，故B正確；令，則，，得，，因此，故C正確；又時，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故D錯誤，故選ABC．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則______．【答案】45【解析】因?yàn)?，所以，因此，故答案?5．14．的展開式中含的項的系數(shù)為_________．【答案】【解析】由題意知：含項為按的升冪排列的第4項，∴，∴，∴該項的系數(shù)為，故答案為．15．已知函數(shù)，點(diǎn)為函數(shù)圖象上一動點(diǎn)，則到直線距離的最小值為__________．（注）【答案】【解析】，，與直線平行的切線斜率，解得或，當(dāng)時，，即切點(diǎn)為，此時點(diǎn)到直線的距離為；當(dāng)時，，即切點(diǎn)為，此時點(diǎn)到直線的距離為：，故答案為．16．已知正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，在平面內(nèi)有一動點(diǎn)，且滿足，則的最小值是___________；直線與直線所成角的取值范圍為___________．【答案】，【解析】設(shè)A在面內(nèi)的投影為E，故E為三角形BCD的中心，設(shè)正四面體的棱長為，球的半徑為．則，，依題可得，球心在上，，代入數(shù)據(jù)可得，則，，又，，故的軌跡為平面BCD內(nèi)以E為圓心，為半徑的圓，，三點(diǎn)共線時，且P在BE之間時，的最小值是．以E為圓心，BE所在直線為x軸建立如圖所示直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)，，故，，設(shè)直線與直線所成角為，∵，∴，又，故，故答案為，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列的前項和為，且，，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】∵，∴，∴，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項公式為．（2）據(jù)（1）可得，所以，，兩式相減得，化簡得．18．（12分）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，．（1）求；（2）若，求周長最大時，的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴，，．（2）∵，據(jù)（1）可得，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即當(dāng)時，取得最大值，即周長取得最大值，此時．19．（12分）如圖，在多面體中，，，垂直于底面，且滿足，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：由題意得，，，∵，，垂直于底面，∴，，，，可得，所以，故．由，，，，，得．又，由，得，所以，故．又，因此平面，因?yàn)槠矫?，故．?）如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線，為，軸的正半軸，過點(diǎn)作平行于且向上的射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，因此，，，．設(shè)平面的法向量，所以，即，則；同理可得，平面的一個法向量，，故二面角的余弦值為．20．（12分）2021年4月15日是第6個全民國家安全教育日，某社區(qū)為增強(qiáng)居民的國家安全意識，舉行了國家安全知識競賽．第一輪比賽共設(shè)有四道題，規(guī)定，答對第一道題得1分，答對第二道題得2分，答對第三道題得3分，答對第四道題得6分，這4道題，任意一道答錯扣2分．每答完一題，分?jǐn)?shù)進(jìn)行累加，當(dāng)答題者累計得分低于分時，停止答題，淘汰；當(dāng)答題者累計得分大于等于4分時，答題結(jié)束進(jìn)入下一輪；當(dāng)四題答完，累計得分低于四分，則答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)答完四題，累計得分不低于4分時，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪．每位答題者都按題號順序進(jìn)行答題，直至答題結(jié)束．假設(shè)參賽者甲對第一、二、三、四題回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；（2）用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，．【解析】用表示甲第i個問題回答正確，表示甲第i個問題回答錯誤，則，，，；，，，．（1）記事件Q：甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率，則：，即甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率為．（2）由題意知的可能取值：2，3，4，∴；；．∴分布列為∴．21．（12分）已知橢圓，過橢圓右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，已知橢圓左焦點(diǎn)為，三角形的面積為，不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)總滿足，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）依題可得的坐標(biāo)為，，可得，又，，解得，，故橢圓的方程為．（2）證明：依題可得直線的斜率存在，設(shè)直線的直線方程為，設(shè)，，，由，可得，，即，，，因?yàn)?，所以，，即，得，化簡得，直線的方程為，所以，直線恒過定點(diǎn)．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)，若對任意的，都有恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)，即，有兩個零點(diǎn)，∴有兩個零點(diǎn)時，的范圍是．（2）對任意的，不等式恒成立，在上恒成立，令，則，令，則，在上為增函數(shù)，又，，，使得，即，時，，，在上單調(diào)遞減；時，，，在上單調(diào)遞增，，由，可得，令，則，又，在上單調(diào)遞增，，，，，，，綜上所述，滿足條件的的取值范圍是．堅持希望一天，一個瞎子和一個瘸子結(jié)伴去尋找那種仙果，他們一直走呀走，途中他們翻山越嶺。歷經(jīng)千辛萬苦，頭發(fā)開始斑白。有一天，那瘸子對瞎子說：“天哪！這樣下去哪有盡頭？我不干了，受不了了?！袄闲郑蚁嘈挪贿h(yuǎn)了，會找到的，只要心中存有希望，會找到的?！毕棺訁s說?？扇匙訄?zhí)意要留在途中的山寨中，瞎子便一個人上路了。由于瞎子看不見，不知道該走向何處，他碰到人便問，人們也好心地指引他，他身上捉襟見肘，遍體鱗傷，可他心中的希望未曾改變。終于有一天，他到達(dá)了那座山，他全力以赴向上爬，快到山頂?shù)臅r候，他感覺自己渾身充滿了力量，像年輕了幾十歲，他向身旁摸索，便摸到了果子一樣的東西，放在嘴里咬一口，天哪！他復(fù)明了，什么都看見了，綠綠的樹木，花兒鮮艷，小溪清澈。果子長滿了山坡，他朝溪水俯身看去，自己競變成了一個英俊年輕的小伙子！準(zhǔn)備離去的時候，他沒有忘記替同行而來的瘸子帶上兩個仙果，到山寨的時候，他看到瘸子拄著拐棍，變成了一個頭發(fā)花白的老頭，瘸子認(rèn)不出他了，因?yàn)樗咽且粋€年輕的小伙子?？僧?dāng)他們相認(rèn)后，瘸子吃下那果子，卻絲毫未起任何變化，他們終于知道，只有自己的行動，才能換來成功和幸福。所謂成功，我們要心存希望，要勇往直前，要堅持，要有毅力，那么，成功早晚屬于你。一飯千金幫助漢高祖打平天下的大將韓信，在未得志時，境況很是困苦。那時候，他時常往城下釣魚，希望碰著好運(yùn)氣，便可以解決生活。但是，這究竟不是可靠的辦法，因此，時常要餓著肚子。幸而在他時常釣魚的地方，有很多漂母（清洗絲棉絮或舊衣布的老婆婆）在河邊作工的，其中有一個漂母，很同情韓信的遭遇，便不斷的救濟(jì)他，給他飯吃。韓信在艱難困苦中，得到那位以勤勞克苦僅能以雙手勉強(qiáng)糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便對她說，將來必定要重重的報答她。那漂母聽了韓信的話，很是不高興，表示并不希望韓信將來報答她的。后來，韓信替漢王立了不少功勞，被封為楚王，他想起從前曾受過漂母的恩惠，便命從人送酒菜給她吃，更送