集合論總復(fù)習(xí)習(xí)題

集合論總復(fù)習(xí)

習(xí)題第二十一講1作業(yè)講評(píng)P863-1.(9)

設(shè)某集合有101個(gè)元素，試問：a)可構(gòu)成多少個(gè)子集？b)其中有多少個(gè)子集元素為奇數(shù)？c)是否有102個(gè)元素的子集？解：a)可構(gòu)成2101個(gè)子集b)有2100個(gè)子集元素為奇數(shù)c)不能有102個(gè)元素的子集2(10)設(shè)S={a1,a2,...,a8},由B17和B31所表示的S的子集各是什么?應(yīng)如何表示子集{a1,a8},{a2,a6,a7}和{a3,a8,a7}?

B17=B00010001={a4,a8} B31=B00011111={a4,a5,a6,a7,a8} {a1,a8}=B10000001=B129 {a3,a7,a8}=B00100011=B35{a2,a6,a7}=B01000110=B70作業(yè)講評(píng)P863-1.(10)解：S有28=256個(gè)不同的子集,可表示為B0,B1,B2,B3,…,B255,二進(jìn)制下標(biāo)有8位.3a)證明(1)A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)證明:(A∩B)(A∩C)=((A∩B)∩~(A∩C))∪((A∩C)∩~(A∩B))=((A∩B)∩(~A∪~C))∪((A∩C)∩(~A∪~B))=((A∩B)∩~C))∪((A∩C)∩~B))=A∩((B∩~C)∪(C∩~B))

=A∩(BC)作業(yè)講評(píng)P953-2.(11)4作業(yè)講評(píng)P953-2.(11)a)證明(1)A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)證明:(A∩B)(A∩C)=((A∩B)–(A∩C))∪((A∩C)–(A∩B))=(A∩(B–C))∪(A∩(C–B))=A∩((B–C)∪(C–B))=A∩(BC)注意：

A∪(B―C)≠(A∪B)―(A∪C)5(2)A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)不一定成立。證明:設(shè)A={2,3},B={1,4,7},C={3,5},則BC={1,3,4,5,7}

所以A∪(BC)={1,2,3,4,5,7}

但A∪B={1,2,3,4,7} A∪C={2,3,5}故(A∪B)(A∪C)={1,4,5,7}因此A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)不一定成立。作業(yè)講評(píng)6作業(yè)講評(píng)P1053-4.(3)c)(AB)(CD)=(AC)(BD)解:不成立。設(shè)A=B，C和D≠則左邊=，右邊≠7作業(yè)講評(píng)P1053-4.(3)e)證明(1)(AB)C=(AC)(BC)證明:對(duì)于任意的<x,y>

(AB)Cx(AB)∧yC((xA∧xB)∨(xA∧xB))∧yC((xA∧xB)∧yC)∨((xA∧x

B))∧yC)(<x,y>(AC)∧<x,y>(BC))∨(<x,y>(AC)∧<x,y>(BC))<x,y>(AC)(BC))8作業(yè)講評(píng)P1053-4.(3)e)證明(1)(AB)C=(AC)(BC)證明:(AB)C=((A-B)∪(B-A))C=((A-B)C)∪(B-A))C)=((AC)-(BC))∪((BC)-

(AC))=(AC)(BC)注意：A(B*C)=(AB)*(AC)(B*C)A=(BA)*(CA)*代表∪,∩或–運(yùn)算9作業(yè)講評(píng)P1053-4.(5)(5)證明若XY=XZ，且X≠

則Y=Z證明：1)Y=,則XY=,故XZ=∴Z=，∴Y=Z∴yZ∴YZ同理YZ∴Y=Z2)Y≠,任意yY，令xX，由已知有<x,y>XY=XZ10作業(yè)講評(píng)(5)證明若XY=XZ，且X≠

則Y=Z證明：∵XY=XZ且X≠

∴XYXZ且XZXY∴YZ且YZ∴Y=Z(1)AB的充分必要條件是ACBC;(2)AB的充分必要條件是CACBC是非空集合。11作業(yè)講評(píng)補(bǔ)充題90名學(xué)生，55人參加數(shù)學(xué)小組，44人參加語(yǔ)文小組，33人參加體育小組。36人參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組，29人參加數(shù)學(xué)和體育小組，25人參加語(yǔ)文和體育小組。問多少人3個(gè)小組都沒有參加？1.|A∪B|≤|A|+|B|2.|A∩B|≤min(|A|,|B|)3.|A–B|≥|A|–|B|4.|AB|=|A|+|B|–2|A∩B|12作業(yè)講評(píng)P1133-6.(3)舉出A={1,2,3}上的關(guān)系R的例子，使它有以下性質(zhì)：a)既是對(duì)稱又是反對(duì)稱的b)既不是對(duì)稱又不是反對(duì)稱的c)R是可傳遞的解:a)RIA，如R={<1,1>}b)部分對(duì)稱,如R={<1,2>,<2,1>,<1,3>}c)R={<1,2>,<2,1>,<1,1>,<2,2>}13作業(yè)講評(píng)P1133-6.(6)(6)設(shè)R是X上的自反關(guān)系。證明R是對(duì)稱和傳遞的,當(dāng)且僅當(dāng)＜a,b>和<a,c>在R中時(shí)，則有<b,c>在R之中。任意元素a,b,c,若aRb,由自反性得有aRa,于是有bRa,故R是對(duì)稱的；若有aRb且bRc,由對(duì)稱性得到bRa,于是有bRa且bRc,故有aRc,故R傳遞14作業(yè)講評(píng)P1133-6.(6)(6)設(shè)R是X上的自反關(guān)系。證明R是對(duì)稱和傳遞的,當(dāng)且僅當(dāng)＜a,b>和<a,c>在R中時(shí)，則有<b,c>在R之中。必要性：因?yàn)镽為X上的等價(jià)關(guān)系，所以具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性。對(duì)于集合X上的任意元素a,b,c，若aRb且aRc,由對(duì)稱性得：bRa，再由傳遞性得bRc。15作業(yè)救講評(píng)P1騾19尊3-類7.之(役3)令<x飛,方z>S孟元S，存愁在y使<x捎,胡y>S且<y爹,或z>S∵S是傳煉遞的∴<x稠,勝z>S∴S杠彎S籍莖S設(shè)S為X上的關(guān)系，證明S是自反的和傳遞的，則，其逆為真嗎？令<x招,鵲y>S，由自糞反性稿知<y修,怖y>S∴<x粘,蟲y>項(xiàng)S諷S∴S著跟S訂蜻S其逆樣不真績(jī)。例偵如X=溜{1，2，3}，S=輩{<灰1,朋2>，<2撓,2狀>，<1女,1狹>}軋,S和S群=沈S長(zhǎng),但S不是樸自反在的。16作業(yè)械講評(píng)A掌re制la抽ti袋on給R傷o良n掃a汽se魔t劍A激is仙c宇al播le挽d臉ci斯rc牌ul煤ar瓦i歲faR瘦ban涼dbR襯cim葬pl細(xì)ycR律a.祥Sh余ow址t結(jié)ha按t這R稼is輛r蹲ef慎le尋xi啦ve筐a菠nd旨c趣ir侍cu酷la乓r背if飛a娛nd烏o扭nl俱y使if福i糞t窄is敘a絨n積eq挖ui樂va裝le趙nc鬼e孟re怕la促ti臨on他.必要喪性：R是自茅反和文循環(huán)啞的R是等厘價(jià)關(guān)合系令<a謝,川b>R∵R是循汪環(huán)的∴<b郵,信a>R∴R對(duì)稱令<a天,沃b>蕉,餃<b襯,夾c>R，∵R是對(duì)蘭稱的∴<a捉,臺(tái)c>R∴R傳遞∵R是自啞反的∴<b析,券b>R∵R是循從環(huán)的∴<c滔,縫a>R集合A上的訊關(guān)系R，如院果aR映b且bR舌c蘊(yùn)含cR朝a，那劇么就檔稱R是循環(huán)詠的。證明伍：R是自屋反和鄉(xiāng)豐循環(huán)瓜的當(dāng)且迫僅當(dāng)R是等侵價(jià)關(guān)舉系17作業(yè)即講評(píng)A宜re夏la企ti島on塵R說o鬧n慨a(chǎn)顧se谷t完A鋪is撈c勇al嗎le漠d寨ci麥rc遲ul逆ar套i借faR熊ban液dbR輕cim析pl揭ycR驢a.拐Sh遞ow粥t注ha淹t癥R俯is豎r敏ef符le撫xi鍛ve羊a揪nd權(quán)c卻ir餐cu攀la鉛r竟if班a應(yīng)nd失o裹nl哲y啟if械i來t佩is屯a改n刑eq強(qiáng)ui緒va榴le逢nc正e演re摧la救ti回on壺.充分研性令<a腿,促b>扁,煩<b壘,始c>R，∵R是對(duì)赴稱的∴<c劉,踩a泉>R∴R循環(huán)∵R是等椒價(jià)關(guān)挺系∴R是自匹反,傳遞,對(duì)稱傷的∵R是傳挖遞的∴<a挨,販c剛>RR是等價(jià)屠關(guān)系R是自反傘和循草環(huán)的18作業(yè)乘講評(píng)Le踐t頃S減=祖{1哀,2于,3久,4們}郵an漫d列l(wèi)e互t誓A消=雜S狀S.射D耽ef辜in淘e誘th糊e運(yùn)fo惰ll聲ow華in必g島re拒la壯ti依on絞R籠o伍n償A:泡<a,興b>R丹<c,積d>柳if溪a巷nd貌o影nl化y冠ifa+辨d=b+針c.(1拐)史Sh敵ow紫t冊(cè)ha秤t是R酒is州a屈n船eq猛ui墻va墾le朋nc鞋e浴re萬(wàn)la斷ti笑on尺.(2旋)摸Co繞mp報(bào)ut冬e尸A/謎R即證者：R是自況反，砌對(duì)稱舉，傳東遞的⑴a,bS，則<a嗓,怖b>A∵a+較b=b+總a∴R自反⑵令<a避,桃b>R<c蛙,邀d>，即a+處d=b+桌c∴a+蛛f=b+針e∴<a斬,僚b>R<e慨,礙f>∴R傳遞∴該c造+岔b=羽d虛+磨a∴R對(duì)稱∴<a,銹b>R林<a,耕b>⑶令<a懶,悟b>R<c堡,炊d>，<c松,淡d>R<e急,營(yíng)f>即a+喉d=b+倉(cāng)c，c+版f=d+泳e∴<c氣,顫d>R<a車,倆b>19作業(yè)恐講評(píng)Le愈t沸S遣=迎{1慌,2橋,3降,4柳}英an導(dǎo)d校le貸t粥A候=求S蓋S.翻D抹ef邀in念e他th綠e性fo酷ll頭ow愉in喪g影re適la交ti欠on冤R遇o辛n垮A:聞<a,燥b>R部<c,騾d>狀if卡a下nd忌o悄nl細(xì)y剛ifa+威d=b+持c.(1跡)摔Sh生ow銹t勢(shì)ha桐t依R表is渠a嘆n禾eq候ui裂va曠le作nc柏e雞re矩la漠ti浩on的.(2暢)祖Co場(chǎng)mp緊ut卻e鹿A/笨R<1撿,1象>,A=董{<1臘,2菊>,<1拌,3浴>,<1斤,4揚(yáng)>,<2階,1貍>,<2誤,2虛>,<2辜,3辟>,<2啄,4名>,<3蓮,1歲>,<3且,2春>,<3艘,3授>,<3腹,4租>,<4顯,1慣>,<4掏,2暢>,<4朽,3基>,<4安,4隔>R=托{<<悅1,似1>閃,正<2壩,2嘴>>沉,<<歐1,遮1>軋,羅<3碌,3室>>更,<<巴1,吼1>六,芝<1沫,1包>>去,<<慎1,指1>慣,迫<4內(nèi),4棚>>轉(zhuǎn),<<多1,姓2>挪,毀<1賴,2誓>>兩,<<信1,喚2>扶,獵<2犯,3叢>>劍,<<館1,齊2>龍,籮<3迷,4駛>>狐,<<擱1,墊3>拖,腔<1堂,3沙>>匠,<<透1,魯4>和,健<1屈,4系>>壘,<<膠2,圣1>象,舌<3載,2族>>煌,<<排2,煮1>明,乞<2能,1楊>>甲,<<賄2,具1>進(jìn),寺<4山,3量>>宋,<<休3,也1>棄,鈔<3其,1忽>>嘉,<<粗3,揉1>黃,主<4協(xié),2女>>，<<細(xì)1,亦3>腹,帽<2鋼,4仆>>仆,<<到4,忽1>蠢,君<4庫(kù),1賄>>膠}}20作業(yè)刻講評(píng)Le畝t傷S調(diào)=支{1項(xiàng),2境,3增,4挨}仔an臉d妻le春t么A涂=侵S苦S.幣D強(qiáng)ef況in蹄e困th薄e畝fo好ll尾ow乞in字g不re喂la埋ti暴on束R干o賺n題A:蜘<a,句b>R懇<c,煮d>瀉if察a喬nd謝o穿nl呆y咱ifa+突d=b+納c.(1告)帶Sh欺ow字t龍ha喬t碑R陳is秒a敵n亮eq疫ui重va啄le行nc閱e漠re煌la笨ti某on填.(2協(xié))認(rèn)Co抄mp輝ut朱e范A/拔RA/窄R=千{{<塞1,絞1>危,<鵝2,薦2>鐵,<再3,派3>疾,<布4,且4>寄},韻{流<1步,2溪>,鑒<2謝,3疲>,邪<3愧,4泊>}峽,{<艇4,矮3>臉,<清3,衫2>慌,<緣瑞2,游1>帳},{<籃1,閣3>獅,<窄2,澤4>氣},{<3鍵,1賢>,駁<4合,2支>},{<蒜1,睬4>姐},{爺<4病,1廣>}榴}A=缸{<株1,貪1>百,脖<1瞎,2徹>,鐵<爭(zhēng)1計(jì),3鋪>,飽<1串,4纏>,<2坡,1趙>,掩<深2,綱2>伶,<我2,俯3>勝,<趕2,懲4>肚,<會(huì)3,桐1>信,<納3,玻2>蘿,<以3,合3>不,<畢3,柜4>薪,<4患,1賀>,愚<4凡,2蠻>,堡<鮮4,蒼3>夠,<屈4,充4>臂}21作業(yè)奏講評(píng)P1洗46轎3溜-1兆2掙(6閃)(6饑)設(shè)集禍合P=描{x1,斑x2,富x3,堂x4,矩x5,}上的滅偏序頌關(guān)系文如圖口所示洗。找出P的最妖大(小)元素裂，極而大(小)元素象。找出團(tuán)子集{x2,述x3,蛋x4}{慶x3,掛x4,宴x5,}蜓{x1,恢x2,其x3}的上(下)(確)界最大慣元素x1,無最發(fā)小元由素x5x1x2x3x4極大沙元素x1,極小恰元素x4,近x5集合上界下界上確界下確界{x2,x3,x4}x1x4x1x4{x3,x4,x5,}x1,x3無x3無{x1,x2,x3}x1x4x1x422作業(yè)枝講評(píng)P1核46咱3呀-1本2皺(7蠅)(7推)下圖秘給出坐了集電合{1佛,2風(fēng),3也,4妥}上的懶四個(gè)患偏序枕關(guān)系溜圖,畫出芬它們昨的哈坑斯圖孝，并膚說明期哪個(gè)房誠(chéng)是全樓序關(guān)勤系，筐哪個(gè)聯(lián)是良需序關(guān)旬系。1243(a漫)先去生環(huán)再去聲掉傳皇遞最后橡調(diào)整嫁位置1234(a)23作業(yè)新講評(píng)P1凱46撫3海-1滋2域(7賺)(7昌)下圖粱給出籌了集貴合{1關(guān),2使,3厚,4螺}上的弦四個(gè)罰偏序框關(guān)系千圖,畫出壤它們懶的哈級(jí)斯圖翼，并俊說明早哪個(gè)刮是全錄序關(guān)持系，捆哪個(gè)霸是良咽序關(guān)劃系。1234(c彩)先去旺環(huán)再去床掉傳脆遞最后勝調(diào)整矛位置421324作業(yè)筒講評(píng)補(bǔ)充森題設(shè)f,冊(cè)g,禿h是實(shí)吐數(shù)集R上的芳函數(shù)察，f(宵x)扁=x啟+2口,憂g(躁x)歪=x內(nèi)-2愈,謀h(吹x)榮=3載x，求f巾g、f以f、g推f、g紹g、f斗h、h移g、h服f尿gf礙g(x襖)=搶x偏f廈f(x要)=折x+選4g碌f(x濱)=解x鞠g蛾g(x郊)=究x-前4f潤(rùn)h(x優(yōu))=竭3x待+2秩h晨g(x通)=喂3x全-6h吸f曾g(x案)=徒h(x辨)=批3x25作業(yè)貞講評(píng)P1悶51侮4岡-2獵.(潮6)(6裁)設(shè)A和B是有唐窮集肝合，艦有多腰少不屋同入插射函像數(shù)和部多少量不同盜的雙買射函撓數(shù)。入射:匪X中沒裳有兩插個(gè)元沿素有幼相同龜?shù)南?1薦)f:搭A(yù)－>B為入盟射,必須愿有|A緊|≤|B嶺|,即m≤n設(shè)|A咬|能=爬m(xù)，|B株|個(gè)=風(fēng)nB中任啊意選拋出m個(gè)元愛素的倘任一議全排涂列即驚為所歌求.滿射:私Y(jié)中每吵一個(gè)蟲元素廳是X中的醫(yī)一個(gè)磁或多縣個(gè)元津素的賴象點(diǎn)現(xiàn)。(2灑)f:漫A－>B為雙異射,必須疊有|A京|=|B雷|,即m=n所以勇，共膝有m!個(gè)。26集合趁是什椅么集合萌是不固能精節(jié)確定臉義的竿基本帝概念。如何理解集合兩：由共丟同性活質(zhì)的冒一些洪對(duì)象野匯集羊而成窮的整朝體駝。集合謀可以精是有限會(huì)集，也頌可以候是無限塌集集合鏈的表庸示方迷法：枚舉分法敘述尿法（列架判別旨條件蘿）一般袖用大寫泛字母表示眾集合宵，用小寫兼字母表示繳元素見愁課本P8任227集合困與元垂素的菠關(guān)系集合懶與元句素的圖關(guān)系該：x蚊A或x輝A集合納元素姑可以曬是離散鈔型數(shù)據(jù)叛（如舟整型憑、邏待輯型賠、枚丹舉型底等）箱，也援可以們是非離鐮散型數(shù)據(jù)唐（如拉實(shí)型亡）。有限鼻集一算定是絹離散畫型數(shù)崖?lián)?，無向限集膽可能紋是離泛散型阻，也臥可能淋是非衣離散鎮(zhèn)型的紀(jì)數(shù)據(jù)食。本書狼中默再認(rèn)：自然協(xié)數(shù)集恰從0開始（見P9圍4，習(xí)題(3唇)中對(duì)培自然燥數(shù)N的子偏集C的定膚義）28集合泳的概限念子集：Ａ寧Ｂ(x)艷(x矛Ａ→xＢ)（B包含A）真子羨集：Ａ焰Ｂ蘿Ａ膀Ｂ討∧Ａ肆Ｂ(x)渡(x蛛Ａ→xＢ)∧草(斤x)聞(緒x懸B∧桌x旨A)空集：不愈包含棉任何雁元素疏的集諷合φ編=劃{x根|挪p毯(x基)∧聚┑p抓(x系)}，p(起x)為任勞何謂配詞全集：E攤=密{x衫|掃p塔(x怪)∨像┑p冷(x場(chǎng))}，p(訂x)為任隙何謂老詞29集合稻的相我等集合A、B相等：A肥=程B雞A椅,賭B的元守素完虜全相沫同A黑B且B秤A縫(進(jìn)x壞,若x稅A，則x言B艇)且(徹x維,若x仗B，則x國(guó)A歌)集合A、B不等：A≠沃B稅A勇,腰B的元士素不鉆完全鄰相同（不是技完全幟不同！)俗no嶼t猶(A跡裝B)或no喬t寺(B帳縣A扯)雄(秒x榮,篩x劃A且x漁B脈)或(纖x悔,仇x第B且x鉆A拒)30冪郵集冪集的概忍念：給定斤集合A，由集遵合A的所蝕有子駝集為元毯素組共成的蘋集合詞，稱沈?yàn)榧螦的冪適集，記危為P(齡A)。若|A越|蔑=浙n，則|P婚(A盈)|坊=顏2n如何社證明?注意P(愚φ)=晶{φ}膛≠φ區(qū)別糕：{},但免{},{}。A=啟B隆哲P翼(A息)忌=劇P(席B)A償B聾宇P(誤A)掃錄P放(B殖)31證明AB當(dāng)且泡僅當(dāng)P(壇A)P(雪B)充分蘭性:對(duì)任意xA{x}P(模A){x}P(表B)xB所以AB必要挨性:對(duì)任意xP(搭A(yù))xAxBxP(夏B)所以P(紅A)P(謀B)32集合倆之間稱的關(guān)服系子集：A包含BB包含于A真子集：相等：A、B的元素完全相同不等：A、B的元素不完全相同從屬：ＡＢ （一個(gè)集合是另外一個(gè)集合的元素）33空集運(yùn)的性陜質(zhì)空集率是一攝切集愛合的俊子集疤?？占瘺]是惟繡一的阻?？占g是任布何集際合的茂冪集衣的元它素?？占涞膬绯奔恢强辗空\(chéng)集。34空集例題例判斷灑下列呢命題腰的真累假:(1車)(2困)(3他){}自(4耗){}(2煙)為假;其余理均為玻真。35集合左運(yùn)算把的性螺質(zhì)交換半律A∩圖B薦=袍B∩享AA∪扭B種=呆B∪俯AA⊕艘B邊=福B⊕泡A結(jié)合結(jié)律(A杰∩B批)∩薦C耍=跡A∩發(fā)(B逢∩C突)(A栽∪B莊)∪采C括=此A∪幸(B置∪C梢)(A則⊕B磨)⊕活C粘=傭A⊕增(B歉⊕C嗚)注意呆：A―衣B敏≠堡B―興A(A兵―B欄)―搖C糠≠A鍛―(和B―手C)36集合支運(yùn)算得的性脹質(zhì)分配叫律（注懲意證廉明方鳳法是驅(qū)典型靜的，毀見P8牛9，P9籮1）A∩辮(B釣∪C瘡)戴=逃(仰A∩脂B)參∪(弓A∩盲C)A∪航(B氧∩C原)南=器(嫌A∪駱B)漿∩(機(jī)A∪綿C)A∩嚇(B周―C廈)=檢(打A∩震B(yǎng))維―(佳A∩賺C)P9所1定理但：A∪嗽(B錦―C咽)≠賤(A驅(qū)∪B黃)―棚(A浸∪C錄)例：B摧=~A意,出C蠶=φ時(shí)A∩育(B驢⊕C牲)聚=筒(臥A∩街B)顛⊕(示A∩老C)但：A∪屠(B盡⊕C攀)≠匯(A獸∪B躺)⊕勢(shì)(A摸∪C疑)例：B漢=促C雖,漿A夜≠聞φ時(shí)37集合尸運(yùn)算救的性且質(zhì)摩根蟲律~(A帥∪B亮)著=~A∩~B~(A威∩B敵)毒=~A∪~BA墳–庸(B邀∪C藍(lán))積=裂(A佩–管B寸)∩列(A鏡–惑C戀)A販–祥(B帳∩C役)摔=潮(A摧–番B藥)∪俘(A殘–序C析)吸收襲律A∪揉(A輔∩B巴)樂=逃A汁=愉A∩充(A跌∪B稈)其他A∩冤B革兼A迫楊A(yù)∪襯BA∩她B館將B純鑼A∪姜B38證明牌集合列相等如的方骨法往證A=繳B方法柴一：證明詞：A蛇B且B敬A（P9規(guī)1定理3-夢(mèng)2.結(jié)5的證竹明方思法）方法鐘二：證明凝滿足A元素文的條仇件邏蘇輯等蓮價(jià)于帥滿足B元素氣的條蹦件（P9移1定理3-誓2.女4的證仔明方棚法）方法駁三：使用壺集合油運(yùn)算尚的性棚質(zhì)（P9舒1定理3-惑2.羊6的證薦明方櫻法）39證明緞集合栽不等碧的方躬法往證A飯勉B：方法碰一：舉反廟例A≠溪B廁臣(俊x蓮,嗓x蓋A且x槳B虧)或(尿x喘,岸x傳B且x自A葬)方法滴二：說明級(jí)（或再證明譜）一減個(gè)是士空集繳（或士全集笛），殺另一沒個(gè)不助是方法巷三：畫文恨氏圖礎(chǔ)示意40證明宵集合亦是空析集的握方法方法冊(cè)一：其邏搞輯判膊斷條封件是衫永假方法倍二：用反慘證法盆：設(shè)曬a眾A，引出意矛盾啦的結(jié)庭果完（見P9慘5習(xí)題(1幸0)蒜a)的證堂明）方法箭三：利用懶等式傍，例免如：A⊕躁A=夾φ41包含燦排斥租原理│A脂∪B缸│=連│A翼│+歪│B厚│-忘│A鋪∩B斤││A賤∪B衛(wèi)∪C楊│=側(cè)│A嗚│+助│B典│+嗽│C賄│-│綢A∩期B│油-│感A∩剖C│宗-│甚B∩噴C│+│納A∩寨B∩程C│見P9病6-絹99例題1、2、342定義宋序偶序偶妄：有感序的艦偶對(duì)序偶摟與集諸合的莊區(qū)別縱：有博序/無序若x≠捏y，則<x將,y枯>≠盛<y扒,x辱>，但{x練,y遲}=炭{y伸,x紹}序偶穗與集牧合的鄉(xiāng)豐統(tǒng)一晨：<x絹,y館>燦=志{{氣x}俊,{卷x,圣y}幼}序偶測(cè)相等御的定扒義：<x推,y訪>=鼓<u慚,v超>x=部u且y=嫌v43集合幸的笛罪卡兒曲乘積集合A、B的笛犬卡兒固乘積AB他=<x芽,y民>(xA)∧(yB)見課遣本P1轎02例題144笛卡倚兒乘驢積的賠性質(zhì)A更B途園B且AA傾B槳C坡=心(A歷B翻)輩C躺貓A饑(B裕C違)An=堅(jiān)A貌A妙甚A鎮(zhèn)(n蒼個(gè)A畏)A哭B負(fù)蠻A騎壇B券An饑A熟n際A飽A蹦轎樓45笛卡版兒乘進(jìn)積的宏定理以下習(xí)定理庸均可攝從序諒偶、的集合格相等棄的定蟲義證努明：A疲(B偉∪C羨)恩(A困B妹)∪傍(A烏C稠)(B英∪C盈)爺A腳(B滾掘A)喂∪(茅C溫A)A忠(B盞∩C能)增(A著B管)∩斬(A卸C重)(B綿∩C摘)范A耗(B父緩A)晶∩(拾C款A(yù))若C去≠壩，則A逐B(yǎng)影科(A焰C撥)辣臂(B憑C發(fā))羨炕(C蛛A梁尾C糟B候)非空昆集合A,生B,葵C,增D,A椅B沈妥C毯D牛票A桑C且B敗兆D46關(guān)系竊的定杏義關(guān)系是兩貨個(gè)集貌合的照笛卡睛兒乘責(zé)積的婦子集充。本質(zhì)倒上關(guān)系R是序同偶的科集合：若<x飽,y濾>催R則記故為xR榨y若<x性,y賠>濱R則記執(zhí)為xR觸y集合A到集合B的關(guān)錫系：A食B的子高集集合A上的關(guān)畝系：A楊A(yù)的子哈集見課沙本P1籮06例題1、2、347特殊開的關(guān)緞系恒等訴關(guān)系IA＝禿x,班x超x撇A轎是A上的剖關(guān)系全域榨關(guān)系：R＝A眨B空關(guān)臺(tái)系：R＝定理：A到B的兩灘個(gè)關(guān)吩系的際交、鵝并、返差、返補(bǔ)仍攀是A到B的關(guān)農(nóng)系48關(guān)系介的表駁示集合義法：列舉懲集合匠的所鞋有元川素（其序偶際）或鑼判別緒條件敘述概法：敘述煉關(guān)系允定義積的判悉別條飲件；P1攝07例4矩陣游法：A到B的關(guān)堂系用|A抱|行|B戀|(zhì)列的0、1矩陣哪表示圖：A到B的關(guān)像系：用股有向峽偶圖粒表示冶（點(diǎn)向表示征集合急元素綁，弧仍表示理序偶統(tǒng)）A上的蝦關(guān)系：裹用有口向圖嫩表示預(yù)（點(diǎn)盲表示師集合受元素搏，弧紋表示淋序偶喪）49關(guān)系探的性茶質(zhì)討論淘非空穴集合A上的關(guān)果系R（即R列A氣A）自反溝性：撇a悅A,芝鄙a,尼a辰屬R關(guān)系車圖中每煮個(gè)點(diǎn)碗都有屆環(huán)關(guān)系元矩陣是對(duì)豪角線形元素筋全部傘為1反自尸反性：a巧A,吸衫a,聽a方蓮R關(guān)系眼圖中每濁個(gè)點(diǎn)俊都沒躁環(huán)關(guān)系蛾矩陣是對(duì)胞角線斬元素賽全部亭為050關(guān)系期的性腸質(zhì)對(duì)稱遣性：綱a,啦b森陣A,若a,袖b爬哥R，則b,述a罵梳R關(guān)系碗圖中任質(zhì)意兩萬(wàn)個(gè)不柄同的從點(diǎn)之壁間要菌么沒妨有邊樣，要其么有塑雙向腰邊；關(guān)系鼻矩陣是對(duì)修稱矩嬌陣反對(duì)孤稱性：若a麻b，則叢a,雕b寄R或b,叛a(bǔ)叔R；或者殼：a,痕b惕A,若a,恢b鬧R且b,秩a竟R謹(jǐn),則a=撇b；關(guān)系陳圖任意掉兩個(gè)蛇不同寨的點(diǎn)觸之間茄要么襖沒有餅邊，熱要么觀只有倍單向雞邊。關(guān)系唱矩陣呢？51關(guān)系兆的性腸質(zhì)傳遞桿性：a,纏b,悔c靜A,若a,她b山R且b,求c翅R，則a,番c漸R關(guān)系球圖中任痕意兩拉個(gè)點(diǎn)用之間好若經(jīng)墾過第勒三點(diǎn)隆有路擠接通艦，則徒必有陰直達(dá)狼邊;關(guān)系權(quán)矩陣較復(fù)妖雜52定義駕復(fù)合蹤蝶關(guān)系設(shè)R是A到B的關(guān)滴系，S是B到C的關(guān)裕系，便則RS稱為R和S的復(fù)合餅關(guān)系，表統(tǒng)示為RS測(cè)=限{脾<x慢,z盛>好|德x盼A∧袍z摩C∧(y)(逮y繪B∧巴<x竹,y閣>稍R∧稼<y等,z猛>營(yíng)S)轎}R表示船關(guān)系陜時(shí)，Rn表示n個(gè)關(guān)四系R的復(fù)擴(kuò)合復(fù)合南關(guān)系薦是不可乒交換并的（沒恒有公踩共域古）復(fù)合補(bǔ)關(guān)系錫是可結(jié)殖合的。53定義任逆關(guān)漫系設(shè)R是A到B的關(guān)幼系，榴將R中每逃一序蛋偶元弊素順描序互旦換，碌得到支的集任合稱考為關(guān)混系R的逆關(guān)鍋系，(in園ve考rs裹e鼻re份la突ti雖on嚼)表示濾為Rc=料{浩<y徑,x榮>鄙|訂<x銀,y闊>經(jīng)R}可見屠，Rc是B到A的關(guān)朋系。逆關(guān)新系保稿持了繁關(guān)系紐奉的性戀質(zhì)：即保毯持了涼原關(guān)兆系的低自反愧性、椒反自倆反性路、對(duì)遵稱性愁、反張對(duì)稱初性、蜜傳遞湯性（選若原廈關(guān)系浩有這涉些性觸質(zhì)的域話）墓。見輪課本P1伏19習(xí)題糟（5）54有關(guān)劇定理證明病兩個(gè)欺關(guān)系寬相等妨，實(shí)震質(zhì)上卡是證眨明兩偏個(gè)集墾合（閥元素鄭是序錦偶）天相等(R1∪R2)c=巴R1c∪R2c(R1∩R2)c=須R1c∩R2c(R1-R2)c=話R1c-R2c(A犁B搭)c=傻B非A(駐R1R2)c=覆R2cR1c(R1R2)R3=圣R1(R2擱R3)R是對(duì)硬稱的客R=RcR是反莖對(duì)稱機(jī)的啞R∩中RcIx55逆關(guān)復(fù)系的銜性質(zhì)逆關(guān)鍛系的妖矩陣：原關(guān)筍系矩蔬陣轉(zhuǎn)進(jìn)置之軍后得戲到逆交關(guān)系趨的矩揀陣逆關(guān)博系的底圖：把弧頁(yè)的方丹向反魚轉(zhuǎn)，料得到犬逆關(guān)漿系的疫圖逆關(guān)認(rèn)系保留齊了原采來關(guān)謹(jǐn)系的竭自反這、反報(bào)自反鳴、對(duì)擴(kuò)稱、和反對(duì)沸稱、軌傳遞撥等性草質(zhì)。56關(guān)系聞運(yùn)算爺后性葉質(zhì)的藝保持關(guān)系不運(yùn)算肚后性袍質(zhì)的肥保持運(yùn)算\性質(zhì)自反性反自反性對(duì)稱性反對(duì)稱性傳遞性R∪SR∩SR–SRcR·S57關(guān)系倡的閉醉包關(guān)系R的自辯反（縱對(duì)稱腰、傳蜘遞）朱閉包驕：是指團(tuán)包含R的、斥而且擊是自慌反的贏、最周小的參自反鄰（對(duì)鍵稱、榴傳遞籃）關(guān)傳系嚴(yán)格演的定唐義：飯見課瀉本P1電19如果R本身嚇是自鄭反的娘（對(duì)共稱的襪、傳姻遞的料），扇則其壩自反辨的（仗對(duì)稱洪的、妥傳遞聞的）缺閉包菊就是R自反微閉包牙：re異fl總ex象iv炸e流cl驅(qū)os散ur銷e對(duì)稱考閉包：sy濱mm疊et臭ri浙c臟cl瘋os墊ur您e傳遞飛閉包漠：tr林an醋si攻ti誤ve繁c浩lo效su瞧re58閉包歷的討競(jìng)論自反灘閉包r餃R旅蓮?fù)芌∪破Ix（R是集挑合X上的著關(guān)系凱）對(duì)稱怕閉包s宴R席娛R∪握Rc傳遞幣閉包t枯(R姻)綠=腎R∪琴R2∪…∪Rn∪…若|X喝|映=豪n，則只瘡需前m個(gè)（m領(lǐng)唯n）關(guān)系湯的并rsR這西sr(R指)rtR扣完tr(R策)tsR謝遷st(R仙)Wa零rs件ha熔ll算法尾的實(shí)嬸質(zhì)：動(dòng)簡(jiǎn)化犁矩陣守運(yùn)算識(shí)，此倚處不田要求扯，“銜數(shù)據(jù)拖結(jié)構(gòu)碧”課氏程再嚼講。59定義躲集合匹的劃貝分與姨覆蓋A為非空泡集合潑，S=嫂{S華1,嘉S2吵,…考,Sm}，其中（1）Si縣A，Si潔≠φ寶(i=1瘦,2遇,…棕,m汪)（2）S1歡∪S擁2∪驅(qū)…∪Sm=A（3）當(dāng)i≠償j時(shí)，Si們∩S輩j=φS是A的覆德蓋S是A的劃蓬分定義洋的另野一種領(lǐng)描述限：若把隱集合A分成盜若干執(zhí)個(gè)叫柳做分?jǐn)[塊的非空子集次，使穗得A中每怖一個(gè)營(yíng)元素至少書屬于一個(gè)柿分塊炊，則烈這些汁分塊跪的全擁體叫A的一豬個(gè)覆蓋；若A中每扎一個(gè)盞元素屬于差且只源屬于一足個(gè)分灑塊，撕則這暴些分冶塊的勤全體各叫A的一投個(gè)劃分（或?qū)懛謩澥溃?0習(xí)題章解答P1羅30習(xí)題(5啞)(1英)夢(mèng)∪孔(Ai∩B蠢)=刮(A1∪A2∪傾‥古∪Ak)∩B=脫A∩Bi=英1k(2那)眾(辭Ai∩B蛛)住∩(Aj∩B涂)=帽Ai∩Aj∩B=委φ61定義任等價(jià)漸關(guān)系R是集頃合A上的關(guān)殃系，碗滿足娘自反惹、對(duì)缺稱、把傳遞在，則R是A上的障等價(jià)近關(guān)系喂。見課崖本P1臟31例題1、例撒題2注意丑：許多樂這類烤題目典：給模出某紅些性咱質(zhì)，班判別轉(zhuǎn)是否坐等價(jià)梢關(guān)系62定義狐等價(jià)黃類R是A上的些等價(jià)悠關(guān)系錦，則等價(jià)蜜類兄aR層x顧x輛A且aR罵x等價(jià)擇類的倒性質(zhì)懶：將a,坦b賴A1）杯aRφ且aR品A2）氧a,曾b于汁R拉殿a險(xiǎn)R更b明R3）億a,款b漁姓R秩股a譯R∩壺bR=φ4）費(fèi)aRa邪A欣是Ａ甚的一酬個(gè)劃律分，侍記為饞Ａ／悠Ｒ（害商集跡）63劃分伍和等撐價(jià)關(guān)犁系1）芳等價(jià)夫關(guān)系借--炸--漏--寒--色-劃分（P1襲33定理3-徑10栽.2，3-眨10概.3）2）R1=R2鼠A/鎮(zhèn)R1=防A/搶R2（P1研34定理3-修10戚.4）決定64定義砌偏序滋關(guān)系非空奮集合A上的脊關(guān)系R，滿足自反、反對(duì)待稱、傳遞的性丟質(zhì)，飽稱R是A上的瞧一個(gè)偏序捏關(guān)系，記鎖為搬糾：序偶管＜A,獵＞稱作偏序壓集。見課儲(chǔ)本P1撕40例題1、例叼題265定義昨“蓋度住”在偏鑒序集瞇中的飛兩個(gè)淺元素x和y滿足吃以下爪條件耍：①x國(guó)爪y②x垮≠y③x摟,削y之間臥沒有z，使x教需z且z甜支y則稱y蓋住x見課檢本P1際40例題3對(duì)于螺給定絮的偏祖序集波＜A,壟＞，笛其蓋住錦關(guān)系鄭是確姥定的襖、唯婦一的影。66哈斯園圖Ha擁ss拿edi尾ag聞ra賣m回顧家：偏塘序關(guān)疾系的柄關(guān)系鉆圖的銜特點(diǎn)縣？哈斯扯圖：關(guān)系悶圖的引簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)（省慨略了域自反睬性、輩傳遞境性）使用線了“吸蓋住駕”的鋤性質(zhì)車，作沾圖規(guī)多則如收下：1）每左個(gè)元返素用乓一個(gè)怪小圓崗點(diǎn)表悉示；2）若朽元素y蓋住元素x，則y畫在x上方盼，并鄙用直線潤(rùn)連接；3）若x駕嬸y且x≠顆y，則y畫在x之上起；若趁無關(guān)賴系，哪則兩哪個(gè)點(diǎn)贊可畫賴在同財(cái)一水終平，價(jià)也可動(dòng)一上核一下話。67作業(yè)慌講評(píng)P1拾46食3輝-1知2歌(7逆)(7旱)下圖宴給出孫了集誘合{1海,2歌,3賞,4敘}上的概四個(gè)診偏序自關(guān)系纖圖,畫出驅(qū)它們今的哈額斯圖掙，并六說明蠟?zāi)膫€(gè)康是全剝序關(guān)芽系，底哪個(gè)澡是良涂序關(guān)挨系。1234(c仁)先去絕環(huán)再去尸掉傳姐遞最后耽調(diào)整法位置421368定義謝鏈、做反鏈Ａ的子集稱為渴：鏈：偏賣序集慚的每?jī)?chǔ)兩個(gè)鳴元素卻都有廊關(guān)系品；(哈斯謙圖中貧某條攜鏈上叨的點(diǎn)閣集)反鏈：偏仙序集遷的每帖兩個(gè)諸元素顫都沒僵有關(guān)粉系(哈斯棗圖中般若干臘個(gè)沒析關(guān)系榮的點(diǎn)企的集習(xí)合)單個(gè)忙元素誤的子胖集，頌既是非鏈，誕又是住反鏈（注促意：學(xué)這是樸約定涼，不橫能證死明）問：臥是否漂存在彎非鏈慢、非緩反鏈疤的關(guān)工系？答：言是。無如集刪合{2優(yōu),3趴,4積}上的賢整除公關(guān)系69線序業(yè)關(guān)系在偏曲序集諒＜A,列＞中，晝?nèi)绻鸄是一飼個(gè)鏈用，則聽稱＜A,錦＞為全序避集合或線序這集合，二趙元關(guān)煙系稱為全序騾關(guān)系或線序粗關(guān)系。全序扔關(guān)系朝妥線龍序關(guān)滴系彼趕哈斯膀圖是扒一條調(diào)“鏈多”全序晉關(guān)系宰＜A,澤＞中，蹲x,拘y棄A，x父y和y氧x至少笨有一珠個(gè)成電立。A上的數(shù)線序拳關(guān)系雕A上的富偏序盒關(guān)系A(chǔ)上的為偏序考關(guān)系株A上的蒙關(guān)系A(chǔ)上的娃關(guān)系州A或A70A丈AA上的枝關(guān)系A(chǔ)上的練偏序暢關(guān)系A(chǔ)上的叢等價(jià)安關(guān)系線序凳關(guān)系恒等揭關(guān)系極的子謊集單個(gè)遞元素各概陪念的月相互亮關(guān)系71極大案元者最大辟元＜A,木＞是偏序施集合謠，且B是A的子艇集，偽對(duì)于B中的誼某個(gè)莖元素b，若B中沒有膝其他良元素x，滿足b跑x，則釀稱b是B的極大德元。＜A,挑＞是偏填序集誼合，父且B是A的子窗集，莫對(duì)于B中的襖某個(gè)兔元素b，若對(duì)飲于B中每個(gè)很元素x，滿足x臨b，則稱b是B的最大鏟元。72上界鞏、上北確界＜A,卷＞是偏序幫集合殺，且B是A的子糟集，晨對(duì)于A中的蹲某個(gè)筆元素a，若對(duì)于B中每個(gè)價(jià)元素x，滿足x催a，則封稱a是B的上界。注意裝：上運(yùn)界不一脖定是集傭合內(nèi)礙的點(diǎn)波；＜A,移＞是偏喘序集虧合，駝且B是A的子造集，a是B的某賊一上封界，怨對(duì)于B中所有姨上界y，滿足a砌y，則稱a是B的最小起上界匠，或上確喬界。注意膛：上序確界不一涌定是集忌合內(nèi)戴的點(diǎn)塔；73良序偏序卵集合浙的每旱個(gè)非替空子乓集存支在最榴小元某素，揉則稱最為良序悲集。良序夸集合做一定紛是全失序集杏合（P1棟45定理12穗.1襯)良序撤圾線扶序衰微偏序疾爺關(guān)諸系田砌笛卡勝爾乘累積有限獎(jiǎng)的全群序集震合一伯定是態(tài)良序慨集合(P易14禮5定理12秒.2階)無限夫的全句序集銀合不積一定新是良書序集束合（例銹如正伯實(shí)數(shù)配集合購(gòu)上的龜小于孩關(guān)系惜，開球區(qū)間母子集奔沒最沉小元呈素）74定義扮函數(shù)函數(shù)（也掃叫映射ma弄pp狹in刊g）的定域義：f是集呈合X到集浸合Y的一菠個(gè)關(guān)貌系，腹對(duì)于每一矛個(gè)x霉X，有惟一的y親Y，使得<x愚,y緩>掌f，稱關(guān)系f為函刷數(shù)，愈記為腿：f歸:付X們→Y或X→麥Y研y記為f(煮x)f函數(shù)劉與關(guān)暖系的遲區(qū)別:①定義肢域是斷整個(gè)獻(xiàn)集合X；②一個(gè)a蜜X只能拴對(duì)應(yīng)且于惟爛一的耳一個(gè)y花Y，使f(炭x)升=域y；可見:函數(shù)億粥關(guān)劈燕系佩遵笛卡就爾乘激積75解(1午)直R1不是講函數(shù),因?yàn)殚g元素a有兩個(gè)勻不同竿的像(2掠)寬R2不是條函數(shù),因?yàn)锳中元身素c沒有滔像。(3演)申R3是函株數(shù),函數(shù)祥的定張義允驚許多個(gè)跌元素紫共有便一個(gè)娘像例平題設(shè)A腎=釣{a菌,醉b,紅c活},巧B盯=餐{脖0,采1您},判別娛下列利二元貝關(guān)系稼中哪撥個(gè)是斥函數(shù)瞎？(1脾)服R1高=牢{叢?a,炭0?慎,蹦?a,蘿1?蛙,楚?b判,包0?排,盲?c產(chǎn),濟(jì)1?姑}。(2譽(yù))宗R2會(huì)=慮{趕?a蛛,食0?稅,大?b疊,吊1?穴}。(3列)表R怪3=桂{瓜?a公,冒0?詢,贈(zèng)?b塊,1?,晃?冶c,1?}。76例和題證明因?yàn)閯t任一刺函數(shù)f是由A中n個(gè)元耗素的芬取值閥所唯一宮確定的,河A中的標(biāo)任一且元素a,紐奉f在a處的穿取值母都有m種可分能,所以A到B可以于定義m·粒m…m煎=mn=|B職||A常|個(gè)不飄同的秀函數(shù)。設(shè)|鹿A茅|婆=滔n,店|鎮(zhèn)B睡|貸=世m(xù)，X到Y(jié)有多浴少個(gè)膊不同的函預(yù)數(shù)？77習(xí)題宋解答P1語(yǔ)51日4卸-1裹(死2)令f東:筆A→逆B，已知C碎A，證明找：f(泰A)勞-f聰(C寬)見喇f(北A-婆C)證明舍：任意y敏f(屆A)遞-f甜(C),企成x參A走,f(迷x)=襪y對(duì)于槐z巧C，y≠糠f間(z牛)，即x情≠懲z因此x訊款A(yù)-劇C故y攜=聽f(煩x)色f(嗽A-C犯)于是編有：f(硬A)寬-f監(jiān)(C皇)昨禾f(汪A-煮C)78習(xí)題窗解答P1沸51剝4晴-1躁(鐮3)假設(shè)f和g是函陪數(shù)，種且有fg和do紀(jì)mgdo騙mf，證明f僅=化g。證明：<a托,g故(a打)>再g，有a誼do例mg診do譜mf故a阻do翁mf，有<a塌,f櫻(a抱)>慎現(xiàn)f箱援g，即<a悼,f肉(a艙)>親芹g由于g是函削數(shù)，誼因此a有惟舍一像漂點(diǎn)，于是造有：<a靜,g寫(a晃)>蝕=荷<隔a,餡f(畫a)邪><a迎,g喪(a寸)>=爸<a豎,f啟(a飼)>些f因此g魂粥f已知fg，得到f往=階g79習(xí)題鋸解答P1蜂51右4提-1胖(抵3)假設(shè)f和g是函干數(shù)，割且有fg和do家mgdo泛mf，證明f繪=趟g。證明：用擺反證伴法：設(shè)f幣≠氣g，由已忌知f眠g得<a疫,g塵(a奪)>驅(qū)趟g，但<a挪,g扭(a均)>僵顫f由<a辣,g倉(cāng)(a摘)>貧矩g，得a極do病mg冬do拾mf故a坦do柔mf，有<a架,f豆(a柜)>團(tuán)銜f助蠟g，即<a記,f姓(a掩)>條勉g，由于g是函勢(shì)數(shù)，只因此a有惟印一像天點(diǎn)，于是碼有：<a不,g撇(a虧)>誦=礦<兵a,叔f(收a)點(diǎn)><a禿,g揚(yáng)(a拔)>=誕<a棵,f與(a否)>唇f與題誘設(shè)矛班盾。因此f過=壤g80滿射、入射(單射)、雙射函數(shù)f休:娛X紋→Y滿射：y阻Y，x邁X，使得f(移x)便=y；入射：x1坡,x山2油X，x1滾≠x股2督吐f(刷x1懸)≠書f(肥x2妖)；雙射：既寫是入如射又俯是滿縮慧射，馬也叫一一百對(duì)應(yīng)81入射入射入射入射82逆函肚數(shù)in第ve召rs拼e藏fu棵nc嶼ti虛on問：奪函數(shù)集的逆夸關(guān)系賓一定狼是函脾數(shù)嗎蘆？答：只有血雙射竭才有綢逆函克數(shù)雙射侍函數(shù)f井:鍛X遵→Y逆函岸數(shù)f–1:燈Y雞→X(f–1)–1=咱f反函鼓數(shù)即逆省函數(shù)83復(fù)合辮函數(shù)co唱mp換os特it秩e弊fu嘗nc衡ti粥on函數(shù)f走:椅X趙→Y，g蔬:也W楊→Z若f氣(賴X持