自動控制演示文稿

自動控制原理

主講：吳仲陽第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1基本概念

2結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

3信號流圖與梅森（Mason）公式

退出

自動控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運(yùn)動規(guī)律，控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是通過物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等定律來描述的，如機(jī)械系統(tǒng)的牛頓定律，電氣系統(tǒng)的克希霍夫定律等都是用來描述系統(tǒng)模型的基本定律。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的微分方程，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，若方程中的系數(shù)是常數(shù)，則稱其為線性定常系統(tǒng)。數(shù)學(xué)模型可以是標(biāo)量方程和向量的狀態(tài)方程。本章主要討論的是線性定常系統(tǒng)。我們可以對描述的線性定常微分方程進(jìn)行積分變換，得出傳遞函數(shù)，方框圖，信號流圖，頻率特性等數(shù)學(xué)描述。線性系統(tǒng)實(shí)際上是忽略了系統(tǒng)中某些次要因素，對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行近似而得到的。以后各章所討論的系統(tǒng)，除第七章外，均指線性化的系統(tǒng)。退出控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型綜述1基本概念

數(shù)學(xué)模型：退出數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式；數(shù)學(xué)模型可以有多種形式。在經(jīng)典理論中，常用的數(shù)學(xué)模型是微（差）分方程，結(jié)構(gòu)圖，信號流圖等；在現(xiàn)代控制理論中，采用的是狀態(tài)空間表達(dá)式。結(jié)構(gòu)圖，信號流圖，狀態(tài)圖是數(shù)學(xué)模型的圖形表達(dá)形式。建立合理的數(shù)學(xué)模型，對于系統(tǒng)的分析研究是十分重要的。合理包括兩條：

（1）反映元件及系統(tǒng)的特性要正確；（2）寫出的數(shù)學(xué)式子要簡明；控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的要求可采用解析法和實(shí)驗(yàn)法。解析法是根據(jù)系統(tǒng)和元件所遵循的有關(guān)定律來建立數(shù)學(xué)模型的。用解析法建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，對其內(nèi)部所體現(xiàn)的運(yùn)動機(jī)理和科學(xué)規(guī)律要十分清楚，要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，力求所建立的數(shù)學(xué)模型要合理。實(shí)驗(yàn)法是根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來建立數(shù)學(xué)模型的，即人為地在系統(tǒng)上加上某種測試信號，用實(shí)驗(yàn)所得的輸入和輸出數(shù)據(jù)來辨識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，階次和參數(shù)，這種方法也成為系統(tǒng)辨識。線性系統(tǒng)最重要的特性是可用疊加原理。對非線性系統(tǒng)當(dāng)非線性不嚴(yán)重或變量變化范圍不大時(shí)，可利用小偏差線性化的方法使數(shù)學(xué)模型線性化。微分方程

微分方程是描述自動控制系統(tǒng)時(shí)域動態(tài)特性的最基本模型，微分方程又稱之為控制系統(tǒng)時(shí)域內(nèi)的運(yùn)動方程。退出用解析法建立運(yùn)動方程的步驟是：

1）分析系統(tǒng)的工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定出待研究元件或系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2）從輸入端入手（閉環(huán)系統(tǒng)一般從比較環(huán)節(jié)入手），依據(jù)各元件所遵循的物理，化學(xué)，生物等規(guī)律，列寫各自方程式，但要注意負(fù)載效應(yīng)。所謂負(fù)載效應(yīng)，就是考慮后一級對前一級的影響。3）將所有方程聯(lián)解，消去中間變量，得出系統(tǒng)輸入輸出的標(biāo)準(zhǔn)方程。所謂標(biāo)準(zhǔn)方程包含三方面的內(nèi)容：①將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)放在方程的左邊；②各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列；③將方程的系數(shù)通過元件或系統(tǒng)的參數(shù)化成具有一定物理意義的系數(shù)。說明：1）傳遞函數(shù)是線性定常系統(tǒng)在復(fù)頻域里的數(shù)學(xué)模型，其與微分方程一樣，包含了系統(tǒng)有關(guān)動態(tài)方面的信息。2）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，當(dāng)初始條件不為零時(shí)，傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)的全部特點(diǎn)。3）傳遞函數(shù)反映的是系統(tǒng)本身的一種屬性，其各項(xiàng)系數(shù)完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。4）傳遞函數(shù)包含聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，但是它不提供有關(guān)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息（許多物理上完全不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)）。5）如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，則可以針對各種不同形式的輸入量研究系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)，以便掌握系統(tǒng)的性質(zhì)。自動控制系統(tǒng)是由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的，典型環(huán)節(jié)包括比例環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)，積分環(huán)節(jié)，微分環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)，一階比例微分環(huán)節(jié)，二階比例微分環(huán)節(jié)，不穩(wěn)定環(huán)節(jié)，延遲環(huán)節(jié)等。傳遞函數(shù)

線性定常系統(tǒng)可由下列微分方程描述：傳遞函數(shù)可定義為：在零初始條件下，在線性定常系統(tǒng)中，系統(tǒng)的輸出量c(t)的拉氏變換C(s)與輸入量r(t)的拉氏變換R(s)之比既退出幾個(gè)基本公式：退出--c(t)對控制信號r(t)的閉環(huán)傳函記為,即

c(t)對擾動信號f(t)的閉環(huán)傳函記為

ε(t)對控制信號r(t)的閉環(huán)傳函記為

ε(t)對干擾信號f(t)閉環(huán)傳函記為

若H(s)=1,

共同規(guī)律如下：

其分子等于對應(yīng)所求的閉環(huán)傳遞函數(shù)的輸入信號到輸出信號所經(jīng)過的傳遞函數(shù)的乘積，并賦以符號，其分母等于1加上開環(huán)傳函。

若H(s)=1,

2

結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

控制系統(tǒng)都是由一些元部件組成的，根據(jù)不同的功能，可將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)（也叫做子系統(tǒng)），每個(gè)環(huán)節(jié)的性能可以用一個(gè)單向相的函數(shù)方框來表示，方框中的內(nèi)容為這個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。根據(jù)系統(tǒng)中信息的傳遞方向，將各個(gè)環(huán)節(jié)的函數(shù)方框圖用信號線依次連接起來，就構(gòu)成了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖實(shí)際上是每個(gè)元件的功能和信號流向的圖解表示。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖又稱之系統(tǒng)的方框圖。退出寫出組成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程

求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，畫出個(gè)體方框圖

從相加點(diǎn)入手，按信號流向依次連接成整體方框圖，既系統(tǒng)方框圖

繪制方框圖的步驟

方框圖的簡化是通過方框圖的等效變換和方框圖的運(yùn)算法則來實(shí)現(xiàn)的。1）等效變換主要是通過變換相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的位置來實(shí)現(xiàn)的，變換中主要掌握好如下兩點(diǎn)：①前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變；②回路中傳遞函數(shù)的乘積不變；

通過等效變換將方框圖變換成具有串聯(lián)，并聯(lián)和局部反饋連接的結(jié)構(gòu)圖。2）方框圖的運(yùn)算法則

根據(jù)下表所列運(yùn)算法則，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。退出G1G2G1G2G1G2GHG1G23信號流圖與梅森（Mason）公式信號流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)的一個(gè)變量，而每兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的連接支路為該兩個(gè)變量之間信號的傳輸關(guān)系。信號流向由支路上的箭頭表示，而傳輸關(guān)系（增益，傳遞函數(shù)）則標(biāo)注在支路上。箭頭方向相同的支路順序連接，沿箭頭方向而穿過各相連支路的途徑，統(tǒng)稱為通路。若通路與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，稱開通路；若通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，且與其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，就稱為閉通路（回路）。若要確定信號流圖中輸入節(jié)點(diǎn)與輸出節(jié)點(diǎn)間的總增益G（或稱二節(jié)點(diǎn)間的傳遞函數(shù)），可以應(yīng)用梅森公式，即退出式中，Pk為第k條前向通路的傳遞函數(shù)；n為前向通路總數(shù)；△為流圖的特征式

為所有不同回路的增益之和；

為每兩個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；為每三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和；

為在Δ中除去與第k條前向通路相接觸的回路后的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余因子。

例題1（教材P23）：設(shè)有一RC兩級濾波網(wǎng)絡(luò)如圖。其輸入信號為，輸出信號為，試求兩級串聯(lián)后傳遞函數(shù)。退出退出解：（1）不計(jì)負(fù)載效應(yīng)第一級濾波器的輸入信號是，輸出信號是，其傳遞函數(shù)為第二級濾波器的輸入信號是輸出信號為，其傳遞函數(shù)為根據(jù)傳遞函數(shù)的相乘性，有退出（2）考慮負(fù)載效應(yīng)第一級的傳遞函數(shù)為第二級的傳遞函數(shù)沒有變，因此總的傳遞函數(shù)為退出比較（1）、（2）兩式可知，考慮負(fù)載效應(yīng)時(shí)，傳遞函數(shù)的分母中多了一項(xiàng)。它表示了兩個(gè)簡單RC電路的相互影響。因此，在求串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)時(shí)應(yīng)考慮環(huán)節(jié)間的負(fù)載效應(yīng)，否則容易得出錯(cuò)誤的結(jié)果。所以提出兩點(diǎn)注意：1）多個(gè)環(huán)節(jié)相串聯(lián)在求其總傳遞函數(shù)時(shí)要考慮負(fù)載效應(yīng)；2）后一級的輸入阻抗為無限大（或很大）時(shí)，可以不考慮它對前級的影響。

例題2（教材P44）：運(yùn)算放大器電路如下圖所，求其傳遞函數(shù)。

退出u-R1+-R1R0R0e1e2u+

e3退出整理，得解設(shè)運(yùn)算放大器阻抗很大，加標(biāo)號U-、U+如圖所示，（1）（2）退出由模條電知耗，嘩得退出例3（教材P2斬9）：繪制韻如圖2-雷21所示RC電路眨的方框圖芽。退出寫出綢組成圖系統(tǒng)哪的各個(gè)環(huán)避節(jié)的掩微分村方程求取囑各環(huán)蓬節(jié)的辟傳遞忙函數(shù)巖，畫出桶個(gè)體溪方框滅圖從相雹加點(diǎn)控入手以，按殘信號昂流向譽(yù)依次連接梅成整驗(yàn)體方臥框圖私，既喬系統(tǒng)群方框貫圖繪制失方框麗圖的仿步驟退出解：兆（1）寫呢出組庸成系量統(tǒng)的汗各環(huán)麥節(jié)的漢微分知方程榴，求取各米環(huán)節(jié)歲的傳曾遞函滋數(shù)退出（2）畫派出個(gè)申體方稱框圖退出（3）從膛相加難點(diǎn)入即手，凱按信吊號流筆向依尤次連旋接成拉完整方框稠圖。退出方框圈圖的究特點(diǎn)襖是：①方框燭圖是脂從實(shí)襯際系次統(tǒng)抽愈象出來男的數(shù)脈學(xué)模權(quán)型，屋不代峽表實(shí)蹲際的帥物理釣結(jié)構(gòu)欠，不明顯匆表示鋸系統(tǒng)晝的主浮能源裝。方匆框圖燭是從年傳遞躺函數(shù)的基趴礎(chǔ)上惑得出菌來的懂，所客以仍排是數(shù)橡學(xué)模糕型，咱不代表物慈理結(jié)啄構(gòu)。熄系統(tǒng)倘本身義有的解反映肆能源名有的圖不反映能象源，宮如有簡源網(wǎng)續(xù)絡(luò)和拍無源秀網(wǎng)絡(luò)依等，憶但從島方框圖上設(shè)一般筐不明沉顯表洗示出龜來。②能更文直觀障更形狐象地表時(shí)示系鞠統(tǒng)中凡各環(huán)特節(jié)的蠟功能紐奉和相植互關(guān)逝系，折以及信號旦的流豈向和織每個(gè)訴環(huán)節(jié)闖對系果統(tǒng)性蘿能的端影響捐。更直觀塑、更焦形象誕是針愈對系涼統(tǒng)的攜微分倦方程睜而言孤的。③方框返圖的睜流向輝是單幼向不遷可逆練的。退出④方框晚圖不根唯一盾。由廢于研邀究角仿度不恭一樣處，傳拾遞函介數(shù)列塘寫出肢來就忽不一純樣，礎(chǔ)方框題圖也暫就不丹一樣慚。⑤研究繁方便應(yīng)。對害于一旅個(gè)復(fù)望雜的影系統(tǒng)臟可以薯畫出拴它的掀方框信圖，孤通過似方框巡壽圖簡腥化，愛不難愈求得協(xié)系統(tǒng)鄭的輸懲入、域輸出債關(guān)系株，在軌此基賴礎(chǔ)上趣，無焰論是斑研究醒整個(gè)牌系統(tǒng)腸的性凳能，徹還是滔評價(jià)案每一貢個(gè)環(huán)頭節(jié)的擱作用假都是緊很方臥便的廢。退出1．分帶支點(diǎn)茫的移亡動規(guī)擠則（教材P2蜜9）根據(jù)助分支蜂點(diǎn)移破動前屢后所賠得的闖分支綱信號斬保持能不變佛的等效原垮則，糟可將渠分支塞點(diǎn)順蔬著信健號流聰向或功逆著爐信號腎流向移動位。（1）前慰移退出（2）后鴨移退出2．相副加點(diǎn)兇移動振規(guī)則澇（1）前盞移退出（2）后凳移退出相加棟點(diǎn)移與動前寸后，兩分出窩支路備信號圖保持喝不變蕉。結(jié)論王：相趟加點(diǎn)恐前移丘時(shí)，瞎必須脹在移張動的繡相加滴支路中羅，串聞入具競有相漁同傳示遞函葛數(shù)倒態(tài)數(shù)的歐函數(shù)塌方框；敲相加薄點(diǎn)后原移時(shí)欄，必插須在扇移動惑的相漫加支乒路中，腹串入鄙具有傷相同支傳遞傭函數(shù)滑的函爸?jǐn)?shù)方澤框。分支坐點(diǎn)移捆動前習(xí)后，傳分支針路信瞎號是鎮(zhèn)保持陵不變?yōu)榈摹＝Y(jié)論：分耀支點(diǎn)豬前移警時(shí)，伴必須嶺在分私出支吉路串勁入具有相糟同傳絨遞函珠數(shù)的絹函數(shù)涂方框發(fā)；分放支點(diǎn)菜后移掉時(shí)，必須億在分伐出支艙路串母入具匯有相孔同傳寒遞函側(cè)數(shù)倒梯數(shù)的函數(shù)跟方框呆。退出3．等后效單俯位反箭饋?zhàn)兾鲹Q規(guī)晝則退出4．交駛換或鎖合并六比較禽點(diǎn)原捷則退出退出5．內(nèi)科反饋蠢線消瓣除規(guī)口則內(nèi)反霧饋線磚消除翠的規(guī)彈則是腔，消腐除內(nèi)妹反饋漢前后保證葛輸入籠，輸悶出信鋼號關(guān)厚系不誓變。吹其方幫法是舊，利用墾，正，墊，摩的繼計(jì)算公式柿及相霧加點(diǎn)珠，分姐支點(diǎn)灶移動頃規(guī)則更。呀在閉沙環(huán)系被統(tǒng)中追，（1）前廚向通壟道中材傳遞鹽函數(shù)悠的乘沙積保吵持不悠變；（2）反射饋回蚊路中肌傳遞讓函數(shù)鳴的乘剪積保近持不準(zhǔn)變。退出5．內(nèi)刊反饋留線消貧除規(guī)勸則內(nèi)反循饋線課消除扎的規(guī)郊則是怎，消做除內(nèi)少反饋寫前后保證站輸入礦，輸譜出信重號關(guān)咸系不面變。染其方累法是話，利用餐，驢，芝，溜的非計(jì)算公式詠及相價(jià)加點(diǎn)滑，分糕支點(diǎn)艇移動熄規(guī)則扯。壟在閉碼環(huán)系溪統(tǒng)中五，（1）前昂向通煎道中腸傳遞棟函數(shù)捧的乘骨積保型持不譯變；（2）反舅饋回?cái)嗦分械珎鬟f坑函數(shù)鬼的乘從積保割持不乘變。退出例4（教材P3儀1）試簡渴化系滲統(tǒng)結(jié)誰構(gòu)圖帝，并齡求系蒙統(tǒng)傳煩遞函牛數(shù)。退出退出例5（教咳材P4附5）：通過標(biāo)方框阻圖變離換求祝取如到下圖所疊示系合統(tǒng)的咬傳遞賺函數(shù)噴。退出-退出解.方框鏡圖變貿(mào)換,原方荷框圖榮可變鋸換為退出退出退出3信號金流圖輔與梅預(yù)森（Ma縮慧so蕉n）公萍式信號僻流圖快是一林種表蘇示線邊性化忙代數(shù)靜方程假組變壯量間嗚關(guān)系肅的圖憤示方沸法。滑信號帽流圖耐由節(jié)敲點(diǎn)和柴支路屑組成蛛。每趕一個(gè)挖節(jié)點(diǎn)巾表示澡系統(tǒng)氣的一穴個(gè)變窩量，往而每竊兩個(gè)啄節(jié)點(diǎn)終間的惰連接少支路超為該捏兩個(gè)浪變量借之間慢信號闖的傳反輸關(guān)滴系。弟信號砍流向疑由支刪路上須的箭江頭表蠢示，勿而傳臘輸關(guān)凱系（紐奉增益抽，傳燈遞函河數(shù)）庭則標(biāo)間注在虜支路農(nóng)上。億箭頭態(tài)方向澆相同衣的支背路順堡序連惡接，賠沿箭涼頭方佛向而嗎穿過粥各相鞭連支學(xué)路的脆途徑蓄，統(tǒng)沙稱為壁通路卡。若蛇通路活與任遭一節(jié)裕點(diǎn)相若交不袋多于奮一次寺，稱姿開通嫂路；嶺若通為路的側(cè)終點(diǎn)返就是惜通路各的起戚點(diǎn)，泡且與討其它爆節(jié)點(diǎn)邊相交蘿不多聾于一語次，廊就稱濫為閉籃通路使（回慈路）黃。若要鋒確定盼信號例流圖驅(qū)中輸誓入節(jié)仰點(diǎn)與揉輸出麻節(jié)點(diǎn)售間的據(jù)總增墨益G（或洗稱二續(xù)節(jié)點(diǎn)壤間的黎傳遞姥函數(shù)怪），扎可以辰應(yīng)用恰梅森倆公式奶，即退出式中核，Pk為第k條前望向通隊(duì)路的待傳遞香函數(shù)；n為前向栗通路朱總數(shù)；△為流圖基的特慶征式為所有脫不同晨回路旬的增跑益之和等；為每兩街個(gè)互堅(jiān)不接速觸回披路增益撲乘積礙之和關(guān)；為每三蓄個(gè)互兇不接五觸回雪路增益撞乘積捆之和裁；為在Δ中除瘋?cè)ヅc桑第k條前名向通稿路相渣接觸納的回釘路后漲的特罰征式春，稱斥為第k條前驗(yàn)向通棵路特鏡征式的斬余因雜子。退出節(jié)點(diǎn)典：用以泉表示紙變量富或信冷號的悠點(diǎn)稱端為節(jié)芳點(diǎn)，污用符號況“。雹”表筐示。傳輸戒：兩個(gè)焦節(jié)點(diǎn)肝之間播的增續(xù)益或厭傳遞川函數(shù)沈稱為倡傳輸。支路鳳：聯(lián)系判兩個(gè)偉節(jié)點(diǎn)徐并標(biāo)唯有信護(hù)號流略向的能定向紫線段稱晃為支概路。源點(diǎn)競：只有新輸出剛支路恭，沒平有輸裕入支辣路的堂節(jié)點(diǎn)拴稱為源敢點(diǎn)，臺它對禿應(yīng)于奇系統(tǒng)綢的輸判入信廟號，喜或稱勻?yàn)檩斎牍?jié)唱點(diǎn)。阱點(diǎn)因：只有壘輸入售支路意，沒燈有輸鳳出支輝路的藍(lán)節(jié)點(diǎn)璃稱為阱究點(diǎn)，清它對烏應(yīng)于探系統(tǒng)瞧的輸歐出信插號，萄或稱緣瑞為輸出節(jié)溉點(diǎn)。退出輸入液節(jié)點(diǎn)（源渠點(diǎn)）輸出炭節(jié)點(diǎn)（阱陷點(diǎn)）輸入身節(jié)點(diǎn)（源鄉(xiāng)豐點(diǎn)）退出