建筑結(jié)構(gòu)抗震原理多自由度體系地震反應(yīng)

工程抗震原理

PrinciplesofSeismicEngineering土木工程專業(yè)本科專業(yè)課

主要內(nèi)容工程結(jié)構(gòu)抗震原理2/322第一章工程抗震基礎(chǔ)知識第二章場地與地基基礎(chǔ)抗震原理第三章建筑結(jié)構(gòu)抗震原理第六章橋梁結(jié)構(gòu)抗震原理第七章工程結(jié)構(gòu)減震控制原理第三章建筑結(jié)構(gòu)抗震原理§1概述§2單自由度體系地震反應(yīng)分析§3單自由度體系水平地震作用§4多自由度體系地震反應(yīng)分析§5地震分析振型分解反應(yīng)譜法§6水平地震作用的底部剪力法§7考慮扭轉(zhuǎn)的水平地震作用§8結(jié)構(gòu)豎向地震作用§9建筑結(jié)構(gòu)抗震驗(yàn)算§10結(jié)構(gòu)自振周期和頻率的實(shí)用計(jì)算方法§11工程結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的時(shí)程分析方法§12地基與結(jié)構(gòu)動力相互作用效應(yīng)§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析4.1動力方程的建立實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是沿結(jié)構(gòu)幾何形狀連續(xù)分布的，因此，嚴(yán)格地說，其動力自由度應(yīng)該是無限的。但是，采用無限自由度模型，一方面計(jì)算過于復(fù)雜；另一方面也沒這種必要，因?yàn)?，選用有限多自由度模型的計(jì)算結(jié)果已能充分滿足一般工程設(shè)計(jì)的精度要求。因此，在研究和應(yīng)用中，一般通過結(jié)構(gòu)的離散化方法，將無限自由度體系轉(zhuǎn)化為有限自由度體系?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析由結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論可知，結(jié)構(gòu)離散化的基本方法有廣義坐標(biāo)法、有限元法和集中質(zhì)量法。集中質(zhì)量法是最早提出、也是最簡單的方法。這一方法人為地將質(zhì)量集中于一些點(diǎn)處，與之相對應(yīng)，結(jié)構(gòu)的剛度特性、阻尼特性、荷載特征則被集中于質(zhì)量的平移自由度方向。集中質(zhì)量法所帶來的計(jì)算便利是顯而易見的，但是，對于動力問題，不適當(dāng)?shù)丶匈|(zhì)量也可能導(dǎo)致較大的計(jì)算誤差。因此，對集中質(zhì)量法應(yīng)附加動能等效原則，即集中前后體系的動能不發(fā)生顯著變化?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析定義影響系數(shù)αij是由j坐標(biāo)單位物理量在i坐標(biāo)方向上引起的力，其具體含義可以是剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、質(zhì)量等。對于一般多自由度體系，假定任意時(shí)刻t，j坐標(biāo)方向的位移（相對于平衡位置）為uj，相應(yīng)的速度、加速度分別為

、

。則在此時(shí)刻，所有j坐標(biāo)處的物理量（包括i坐標(biāo)處）與相應(yīng)于坐標(biāo)i處的影響系數(shù)乘積之和即為i坐標(biāo)方向所受到的力，即：§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析慣性力：其中mij—質(zhì)量，對于集

中質(zhì)量法，i≠j時(shí)mij=0；恢復(fù)力：kij—剛度系數(shù)；

n—動力自由度數(shù);阻尼力:cij—阻尼系數(shù)。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，上述各力之和

即等于i坐標(biāo)處作用的外力pi(t)，即：8/180§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析全部n個坐標(biāo)的運(yùn)動方程可用矩陣形式表示為式中，[M]、[C]和[K]—分別為結(jié)構(gòu)離散體系的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，對于集中質(zhì)量法，[M]為對角矩陣；{uj}、{}和{}—分別為結(jié)構(gòu)離散體系的位移向量、速度向量和加速度向量；{P}—動外力向量?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析圖示多自由度彈性體系在水平地震運(yùn)動作用下的變形情況。這時(shí)，體系上并無動外力p(t)作用，僅有地震引起的地面運(yùn)動

。此時(shí)，i質(zhì)點(diǎn)的慣性力為：§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析注意到彈性力和阻尼力僅與相對位移和相對速度有關(guān)，因此，由達(dá)朗貝爾原理可得水平地震運(yùn)動作用下的運(yùn)動方程為：寫成矩陣形式為：式中，{I}—慣性力指示向量，§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析4.2地震反應(yīng)分析的振型疊加法1.振型與自振頻率求解彈性體系的自振頻率和振型稱為自振特性分析。由于體系的固有頻率和相應(yīng)的振型都僅取決于體系自身的性質(zhì)，而與時(shí)間無關(guān)，所以從廣義的觀點(diǎn)，自振特性分析的基本手段是變量分離法，即把時(shí)間因素與結(jié)構(gòu)位置因素分離后，利用特征方程具有非零解的充分必要條件求取自振頻率及相應(yīng)的振型。§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析無阻尼多自由度彈性體系的自由振動方程為：設(shè)結(jié)構(gòu)作簡諧振動，其位移反應(yīng)為：式中，ω—自振頻率；θ—初始相位角;{?}—僅與位置坐標(biāo)有關(guān)的向量?？梢缘玫教卣鞣匠蹋焊鶕?jù)線性代數(shù)的知識，特征方程存在非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即得到頻率方程：§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析對于穩(wěn)定結(jié)構(gòu)體系，其質(zhì)量矩陣和剛度矩陣具有實(shí)對稱性和正定性，所以，相應(yīng)的頻率方程的根都是正實(shí)根。對于處于隨遇平衡狀態(tài)或不穩(wěn)定狀態(tài)的結(jié)構(gòu)體系，頻率方程會出現(xiàn)等于零的重根或虛根。一般地，地震工程中遇到的結(jié)構(gòu)體系多為穩(wěn)定體系?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析根據(jù)特征方程：對應(yīng)于頻率方程中的每一個根，都存在特征方程的一個非零解{?j}，稱為振型向量，或叫特征向量，或叫模態(tài)向量。由于特征方程的齊次性，該非零解是不定的，即振型向量幅值是任意的，但形狀是唯一的。因此，振型定義為結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式。根據(jù)可知，若結(jié)構(gòu)體系按某一振型振動，則體系的所有質(zhì)點(diǎn)將按同一頻率作簡諧振動?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析為了對不同頻率的振型進(jìn)行形狀上的比較，需要將其化為無量綱形式，這種轉(zhuǎn)化過程稱為振型的規(guī)格化。振型規(guī)格化的方法可采用下述三種方法之一：(1)特定坐標(biāo)的規(guī)格化方法：指定振型向量中某一坐標(biāo)值為1，其它元素按比例確定；(2)最大位移值的規(guī)格化方法：將振型向量各元素分別除以其中的最大值；§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析(3)正交規(guī)格化方法：令

其中

對于[M]為對角質(zhì)量矩陣時(shí)，可簡寫為：

式中，?ji—j振型向量第i坐標(biāo)處的值；Mj—j振型的廣義質(zhì)量?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析2.振型的正交性根據(jù)特征方程：分別對振型i、j列出運(yùn)動方程：左式(a)兩邊乘以向量{?j}的轉(zhuǎn)置{?j}T，右式兩邊乘以向量{?i}的轉(zhuǎn)置{?i}T，則有：左式不變，而對右式進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算可得18/180§4

多自由度體系地震反應(yīng)分析將右式減去左式，可得：若ωj≠ωi，則有：同時(shí)有：分別稱為振型對質(zhì)量矩陣的正交性和振型對剛度矩陣的正交性?！?

多自由度體系地震反應(yīng)分析振型對質(zhì)量矩陣的正交性的物理意義是：某一振型在振動過程中所引起的慣性力在其它振型上所作的功為零。這說明某一個振型的動能不會轉(zhuǎn)移到其它振型上去，或者說體系按某一振型作自由振動時(shí)不會激起該體系其它振型的振動。振型對剛度矩陣正交性的物理意義是，體系按某一振型振動時(shí)，它的位能不會轉(zhuǎn)移到其它振型上去?！?多自鄭由度輝體系械地震職反應(yīng)勾分析振型的戴兩兩正攝交特性蒙說明它黃們具備作為蠶一類妄線性惱空間農(nóng)基底源的基村本條愿件。事實(shí)上折，由振盞型向量碑所張成幻玉的線性膚空間正胸是一般船動力反混應(yīng)空間秤，在這漿空間的荒任一點(diǎn)志表示一帥個特定賊的動力父反應(yīng)，沫并且這枯一點(diǎn)的貢坐標(biāo)值獸可由關(guān)壁于基底木（振型御）的廣萍義坐標(biāo)位給出?！?多自由轎度體系懷地震反租應(yīng)分析3.正交阻待尼若無喝外部膜能量備輸入宣，則龜任何閘原來呢振動奴的物顛理系綠統(tǒng)都滋會隨子著時(shí)杏間的螺增長漲趨于攜靜止，這是嫩因?yàn)槎鞠到y(tǒng)襪的能翼量會甚因?yàn)槌四承└Z原因考而耗撞散。產(chǎn)生振委動系統(tǒng)促能量耗川散的原晃因稱為菌阻尼。目前乳，關(guān)信于結(jié)虛構(gòu)振桐動的蹦耗能煌機(jī)理贏并不疊十分煉清楚衣，已戚經(jīng)提嫌出的幫許多強(qiáng)材料勞阻尼眨的數(shù)射學(xué)模滴型，柜每一年種模掠型都斤有其腎適應(yīng)通范圍艇和局昂限性盾。由于贏結(jié)構(gòu)能的阻方尼機(jī)脹制十融分復(fù)翁雜，轟工程賭上常距采用蠟簡單皺的正巷交阻境尼模牧型?！?多自由封度體系弄地震反導(dǎo)應(yīng)分析目前工寇程上廣泛逃應(yīng)用避的是嫩瑞雷仁阻尼惠模型塔，其喉數(shù)學(xué)駱表達(dá)譽(yù)式為?。菏街?，α0、α1—瑞閘雷阻宏尼系盈數(shù)。由于振擱型向量漸對質(zhì)量尸矩陣和漫剛度矩挪陣具有基正交性權(quán)，因此挺，對于丑瑞雷阻拔尼模型裁，也有弦：即振型宋對阻尼鉤矩陣也礙具有正藍(lán)交性。利用上屋述正交肥性條件傘，并注商意到：§4多自由是度體系頌地震反編應(yīng)分析其中：倍為第j振型決的廣繞義質(zhì)茄量；為第j振型的存廣義剛亮度；為第j振型的悶廣義阻乖尼；為第j振型阻從尼比。因此鴿有：若已知冒任意兩憐階振型裳的阻尼比，晴則可定隊(duì)出阻尼柔系數(shù)：§4多自每由度抬體系膨地震蹤蝶反應(yīng)絮分析4.求解譯地震全反應(yīng)施的振扣型分紛解法§4多自由批度體系企地震反朗應(yīng)分析§4多自由務(wù)度體系忍地震反門應(yīng)分析§4多自寫由度語體系腫地震義反應(yīng)遭分析§4多自由鹿度體系蠶地震反傘應(yīng)分析§4多自由杰度體系轎地震反種應(yīng)分析§4多自俗由度裙體系預(yù)地震攀反應(yīng)饑分析§4多自害由度跑體系努地震汪反應(yīng)迷分析4.求解要地震費(fèi)反應(yīng)豬的振詠型分跑解法一組析正交搖向量羽可以淺作為精線性漫空間窄的一幅組基長底，平這些腥基的橡適當(dāng)羞線性倚組合敬構(gòu)成腔空間鏡的點(diǎn)贊。根據(jù)抵這一魯觀點(diǎn)典，線模性結(jié)魂構(gòu)的清動力吼反應(yīng)聾必然保是其繼振型羊向量逼所張淡成的蠶線性沒空間移中的贊點(diǎn)，丸點(diǎn)的共規(guī)跡授則反艦映動西力反楊應(yīng)的插時(shí)程民變化頑過程羨。為簡個單明昂了地環(huán)說明為問題杰，先考慮材兩個自這由度的箱體系?！?多自杠由度賓體系昏地震懶反應(yīng)掩分析將質(zhì)逮點(diǎn)m1和m2在水平痰向地震熟作用下銜任一時(shí)齊刻的位叔移u1(t)和u2(t)用兩個黃振型的浸線性組需合表示墊：其中帖，第載一振葬型向準(zhǔn)量，第醒二振肺型向劍量。這實(shí)際抵上是丸一個留坐標(biāo)就變換離式，恰原來旺的變鬼量u1(t)和u2(t)為幾嚇何坐兆標(biāo)，航而新抬的坐榆標(biāo)q1(t)和q2(t)可稱為惕廣義坐進(jìn)標(biāo)。由于體系系的振際型是唯曬一確定憲的，因室此，當(dāng)q1(t)和q2(t)確定后陳，質(zhì)點(diǎn)膝的位移u1(t)和u2(t)也將隨軟之確定斷?！?多自照由度許體系割地震夫反應(yīng)申分析對此也可濤以這紹樣理朵解：體系的竹位移可肺看作是拖由各振義型向量尿乘以相恨應(yīng)的組數(shù)合系數(shù)q1(t)和q2(t)后疊加債而成的鏟。換句話低講，這殲種方法霸是將實(shí)象際位移至按振型停加以分雖解，故驢稱為振霉型分解四法。另外，峰由于q1(t)和q2(t)是隨時(shí)睛間變化證的，因右此，同刊一振型故在不同垂時(shí)刻對驢總位移過“貢獻(xiàn)執(zhí)”的大餓小是不題一樣的晶。§4多自由駕度體系易地震反響應(yīng)分析對于武一般她的多勢自由酒度線參彈性播體系遲，有：式中，歪為桐位移澤向量脹；為廣義敏坐標(biāo)向捧量；為振筒型矩顫陣，其中{?j}為體系搶的第j個振型丸向量。將上式兩邊分別染前乘{(lán)?j}T[M]，利豈用振寸型關(guān)親于質(zhì)恩量矩笨陣的迫正交拋性及上式，均可導(dǎo)字出廣偽義坐歐標(biāo)與服一般怪位移委反應(yīng)郊的關(guān)拒系。一顯般用于決浸定各振訪型的初灑始條件地?！?多自由滲度體系黃地震反貿(mào)應(yīng)分析在水平選地震作智用下，貴多自由祖度彈性斗體系的堵運(yùn)動方戲程為：為應(yīng)贏用振崇型分壺解法義，一斜般采兄用瑞兵雷阻毫尼模瘦型。將：代入泄，并前谷乘振岔型向限量的桿轉(zhuǎn)置{?j}T，利用揮振型向泰量對質(zhì)祖量矩陣抬、阻尼露矩陣和摧剛度矩?cái)z陣的正卸交性，盤可得：注意到§4多自獵由度晚體系暫地震拆反應(yīng)妥分析則上式帆可轉(zhuǎn)化為蘆：其中稱為咽第j振型拜的振養(yǎng)型參抽與系叨數(shù)。利用弓有阻編尼體耗系的Duh繭ame混l積分公放式：廣義坐錘標(biāo)qj(t)可表示軟為(假定炭初始筑條件筐為，)：§4多自由煙度體系嘩地震反諸應(yīng)分析可簡哄記為其中式中，δj(t)—抄阻尼姜比和糠自振飽頻率瞎分別懲為ξj和ωj的單自盼由度彈薄性體系仙的位移