第12講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（原卷版）

第12講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝；②logaeq\f(M,N)＝；③logaMn＝(n∈R).(3)換底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：值域：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.它們的定義域和值域正好互換.考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)求值[名師點(diǎn)睛]1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.2.先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.3.ab＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.[典例]1．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）己知，則_______；_________．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)求值（1）；（2）；.（3）；．（4）.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）計(jì)算；（2）已知，求實(shí)數(shù)x的值；（3）若，，用a，b，表示．[舉一反三]1．（多選）（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么（

）A． B． C． D．2．（2022·山東濱州·二模）__________．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）2log32－log3＋log38－；（2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）化簡(jiǎn)求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求的值.（2）已知，，試用，表示考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]1.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).2.一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.[典例]1．（2022·山東濰坊·二模）已知函數(shù)（且）的圖像如圖所示，則以下說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東廣州·二模）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)_________．[舉一反三]1．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，，且的圖象可能是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇·二模）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用[名師點(diǎn)睛]1．比較對(duì)數(shù)值的大小與解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需要分a>1與0＜a＜1兩種情況討論．2．與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的．[典例]1．（2022·浙江金華·三模）若函數(shù)，設(shè)，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·福建莆田·三模）已知，則（

）A． B．C． D．3．（2022·湖北·二模）已知函數(shù)，則使不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)是奇函數(shù) D．函數(shù)是偶函數(shù)5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）知函數(shù)（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上恒有意義，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且最大值為2？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由[舉一反三]1．（2022·湖南·岳陽(yáng)一中一模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．2．（2022·北京房山·二模）已知函數(shù)，則不等式的解集為(

)A． B．C． D．3．（2022·北京昌平·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．（2022·北京豐臺(tái)·二模）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．若，則x的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．6．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)?，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（多選）（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，下列四個(gè)命題正確的是（

）.A．函數(shù)為偶函數(shù)B．若，其中，，，則C．函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)D．若，則9．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，且當(dāng)時(shí)，.給出下列命題，其中正確的命題的為（

）A．B．函數(shù)在定義域上是周期為2的周期函數(shù)C．直線與函數(shù)的圖像有1個(gè)交點(diǎn)D．函數(shù)的值域?yàn)?0．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對(duì)任意的，，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.11．（2022·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，函數(shù)的定義域?yàn)閇m，n](m<n)，值域?yàn)閇0，1]，定義“區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度等于n－m”，若區(qū)間[m，n]長(zhǎng)度的最小值為求實(shí)數(shù)a的值；12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)(，且).（1）求的定義域.（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且最大值為2？若存在，求出