2023年統(tǒng)考版《師說》高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（文科）學(xué)生用書 第8章 立體幾何初步

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

?最新考綱?

1.認(rèn)識柱、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡

單物體的結(jié)構(gòu).

2.能畫出簡單空間圖形（長方形、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能

識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.

3.會用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示

形式.

?考向預(yù)測?

考情分析：空間幾何體的結(jié)構(gòu)、空間幾何體的三視圖與直觀圖仍會是高考的熱點(diǎn)，多結(jié)

合幾何體的體積和表面積的計算進(jìn)行考查.命題形式主要以選擇題、填空題為主.

學(xué)科素養(yǎng)：通過三視圖的識別及應(yīng)用考查直觀想象的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記4個知識點(diǎn)

1.多面9k的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

感D'

a

圖形

ABABAB

底面互相一且一多邊形互相一

相交于一，

側(cè)棱延長線交于____

—但不一定相等

側(cè)面

形狀———

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

您

a

圖形

11

1

互相平行且相

母線相交于一延長線交于—

等，____于底面

軸截面全等的—全等的________全等的________

側(cè)面

展開圖———

［提醒I臺體是由錐體截得的，注意截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).

3.直觀圖

(1)畫法：常用.

(2)規(guī)則：

①原圖形中x軸，y軸，z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸，y軸的夾角為45。(或135。)，/

軸與/軸(或y軸).

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍.平行于x軸和z軸的線段在直

觀圖中保持原長度,平行于y軸的線段的長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼?

4.三視圖

(1)幾何體的三視圖包括視圖、視圖、視圖，分別是從幾何體

的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.

(2)三視圖的畫法

①基本要求：長對正，高平齊，寬相等.

②畫法規(guī)則：一樣高，一樣長，一樣寬，看不到的線畫虛線.

二、必明3個常用結(jié)論

1.常見幾何體的三視圖類型及其幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)三視圖為三個三角形，一般對應(yīng)三棱錐；

(2)三視圖為兩個三角形，一個四邊形，一般對應(yīng)四棱錐；

(3)三視圖為兩個三角形，一個圓，一般對應(yīng)圓錐；

(4)三視圖為一個三角形，兩個四邊形，一般對應(yīng)三棱柱；

(5)三視圖為兩個四邊形，一個圓，一般對應(yīng)圓柱.

2.斜二測畫法中的“三變”與“三不變”

坐標(biāo)軸的夾角改變，

(1)“三變”］與了軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉?/p>

的一半，圖形改變.

平行性不變，

(2)“三不變”［與z軸和z軸平行的線段的長度

不改變，相對位置不變.

3.原圖形與直觀圖面積的關(guān)系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形的面積的關(guān)系：(1)S百觀圖=彳5城

B?;(2)S2a?s.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請在括號中打“或"X”).

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()

(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.()

(4)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱.()

(5)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺.()

（二）教材改編

2.［必修2P8習(xí)題Ti改編］下列說法不正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.棱錐的側(cè)棱長都相等

C.三棱臺的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺的側(cè)棱長都相等

3.［必修2F8習(xí)題Ti改編］在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為（填寫所有正確

的序號）

①②③④⑤

（三）易錯易混

正視圖

俯視圖

4.（三個視圖間的關(guān)東不清）將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到

的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）

ABCD

5.（斜二測畫法的規(guī)則不清）利用斜二測畫法得到的：

①三角形的直觀圖一定是三角形；

②正方形的直觀圖一定是菱形；

③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；

④菱形的直觀圖一定是菱形.

以上結(jié)論正確的個數(shù)是.

（四）走進(jìn)高考

6.［2021?全國乙卷］以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖,

組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要

求的一組答案即可）.

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征I基礎(chǔ)性]

1.下列結(jié)論正確的是（）

A.側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐

B.六條棱長均相等的四面體是正四面體

C.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.用一個平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺

2.下列說法中正確的是（）

①棱錐的各個側(cè)面都是三角形；

②三棱柱的側(cè)面為三角形；

③四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面；

④棱錐的各側(cè)棱長都相等.

A.①②B.①③C.②③D.②④

3.

[2020?全國卷口埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱

錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三

角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）

^-1^-1

A.4B.2

局工

C.*D.3

4.[2019?全國卷II]中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀

多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖

1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對

稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，且

此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個面，其棱長為.

圖1圖2

反思感悟空間幾何體概念的辨析方法

像石定義，由已知而瓦幾房模型，這A件不:

送料尸：變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加，

;線、面等基本元素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

友氤通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一

7------7；個結(jié)論是錯誤的，只要舉出一個反例即可

考點(diǎn)二空間幾何體的直觀圖［綜合性］

［例1］已知正三角形A8C的邊長為2,那么△ABC的直觀圖△AEC的面積為

聽課筆記：

一題多變

若例1中將“正三角形△ABC的邊長為2”改為“正△AbC的邊長為2"，則AABC

的面積為.

反思感悟原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變”

I坐標(biāo)軸的夾角改變

(1)“三變"v與y軸平行的線段的長度改變(減半)

圖形改變

平行性不變

(2)“三不變\與a軸平行的線段長度不變

相對位置不變

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.以下關(guān)于斜二測直觀圖的結(jié)論，

①角的水平放置的直觀圖一定是角；

②相等的角在直觀圖中仍然相等；

③相等的線段在直觀圖中仍然相等；

④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原

來的圖形是（）

有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所

示），ZABC=45°,AB=AD=\,DCLBC,則這塊菜地的面積為.

考點(diǎn)三空間幾何體的三視圖［綜合性］

角度1已知幾何體，識別三視圖

［例2］如圖，四面體ABCQ的四個頂點(diǎn)是長方體的四個頂點(diǎn)（長方體是虛擬圖形，起輔

助作用），則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是（用①②③④⑤⑥代表圖形）（）

3

①

A.①②⑥B.①②③

C.④⑤⑥D(zhuǎn).③④⑤

聽課筆記:

反思感悟已知幾何體，識別三視圖的步驟

(1)弄清幾何體的結(jié)構(gòu)特征及具體形狀、明確幾何體的擺放位置；

(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)定義和規(guī)則先確定正視圖，再確定俯視圖，最后確定側(cè)視圖；

(3)被遮住的輪廓線應(yīng)為虛線，若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界

線，對于簡單的組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線位置.

角度2已知三視圖還原幾何體

［例3］［2020?全國卷］I］如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點(diǎn)在

正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為()

A.EB.FC.GD.H

聽課筆記：

反思感悟由三視圖確定幾何體的步驟

定底面—卜［根據(jù)俯視圖判斷出底面形狀:

_____________、________________________________________________>

,0,...................

云菽癡磯鼠據(jù)正、側(cè)視圖嘉定幾時體前側(cè)反與側(cè)面原誓征:

--_____\____________________________________________?

__定形狀VS注_:三_視_圖_5_遍_「_和_實(shí)_蠢_變_化_,_確_定幾__何_體_形狀>:

角度3已知三視圖中的部分視圖，判斷其他視圖.

［例4］⑴［2021?全國甲卷］

正視圖

在一個正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG

后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()

ABCD

（2）把邊長為1的正方形ABC。沿對角線8。折起，使得平面AB。，平面C8Q,形成的

三棱錐C-AB力的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為（）

A."B.zC.,D.

聽課筆記：

反思感悟由幾何體的部分視圖確定剩余視圖的方法

解決此類問題，可先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找

其剩下的部分視圖的可能形式，當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入檢驗.

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?山西省八校高三聯(lián)考]已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個邊

長為2的正三角形，則該幾何體中最長棱的長度為（）

△

正視圖側(cè)視圖

g

俯視圖

A.2B.3蝕

C.3D.2銀

2.一個幾何體的三視圖如圖所示，在該幾何體的各個面中，面積最大面的面積是（）

第八章立體幾何初步

第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

積累必備知識

平

L行相等平行平行且相等一點(diǎn)一點(diǎn)平行四邊形三角形梯形

垂

直一點(diǎn)一點(diǎn)矩形等腰三角形等腰梯形圓矩形扇形扇環(huán)

2.a

3.:測畫法(2)垂直平行于坐標(biāo)軸不變一半

a)M證

4.三側(cè)俯⑵正側(cè)正俯側(cè)俯

案

L、

答：(1)X(2)X(3)V(4)X(5)X

2.解析：根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征知，棱錐的側(cè)棱長不一定都相等.

答案：B

3.解析：由棱柱的定義可判斷③⑤屬于棱柱.

答案：③⑤

4.解析：由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示.則

該幾何體的側(cè)視圖為B.

答案：B

5.解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知①正確；②錯誤，正方形的直觀圖是一般的平行四

邊形；③錯誤，因為斜二測畫法平行關(guān)系不變，所以等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形;

而菱形的直觀圖也不一定是菱形，故④也錯誤.

答案：1

6.解析：根據(jù)“長對正、高平齊、寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知圖②③只能是側(cè)視圖，

圖④⑤只能是俯視圖，則組成某個三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次是③④

或②⑤.若是③④，則原幾何體如圖1所示；若是②⑤，則原幾何體如圖2所示.

圖1

答案：③④（答案不唯一，②⑤也可）

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

1.解析：底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A

錯；斜四棱柱也有可能兩個側(cè)面是矩形，所以C錯；截面平行于底面時，底面與截面之間

的部分才叫圓臺，D錯.

答案：B

2.解析：由棱錐的定義可知，棱錐的各個側(cè)面都是三角形，①正確；由棱錐的定義可

知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，②錯誤；③正確；棱錐的側(cè)棱長可以相等，也可以不相等，

但各側(cè)棱必須有一個公共頂點(diǎn)，④錯誤.故選B.

答案：B

3.解析：如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長8c=a,側(cè)面等腰三角形底邊上的高

則正四棱錐的高P0=

...以|P0|為邊長的正方形面積為h2-

1

側(cè)面三角形面積為新/?,

/1

h2—■*=iah,

二4層一2a/?一。2=（）,

兩邊同除以標(biāo)可得40-2!-1=0,

b1+^

解得二=-,

bk舟1

又：A0,二=~r.

答案：C

4.解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個面都在正方體

的表面上，且該半正多面體的表面由18個正方形，8個正三角形組成，因此題中的半正多

面體共有26個面.注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個正八邊形，設(shè)題中的半正多

面體的棱長為X,則Tx+x+亍x=l,解得x=力一1,故題中的半正多面體的

棱長為a-1.

答案：26.一1

考點(diǎn)二

例1解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.從圖②可知，A'B'=

答案：T

一題多變

解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.從圖②可知，AB=A'B'^2,

所以AABC的高OC=2O，C=2遙.

所以SAABC=aX2X2遍=2顯

答案：2n

對點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：角的水平放置的直觀圖一定是角，①正確；相等的角在直觀圖中不一定相等,

例如在正方體ABCD-EFGO的直觀圖中ZAOCW/D4B,故②錯誤；相等的線段在直觀圖

1

中不一定相等，例如在正方體ABC￡>-EFG。的直觀圖中AO=5DC,故③錯誤；若兩條

線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行，故④正確.綜上所述，正確的個數(shù)為

2.

答案：C

2.解析：由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對角線長為短，所以原圖

形為平行四邊形，位于y軸上的對角線長為2月.

答案：A

3.

解析：如圖，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AELBC,垂足為E.

在RtZ\ABE中，AB=1,NABE=45：；.BE=T.

而四邊形AECQ為矩形，AD=l,

：.EC=AD^\,：.BC=BE+EC=T+l.

由此可還原原圖形如圖.

在原圖形中，A'D'=1,A'B'=2,

Vi

B'C'=T+l,

且A'D'〃夕C',A'B'LB'C,

.?.這塊菜地的面積S=l(A'D'+B'C')A'B'=去X(1+1+￥)x2=2+T.

答案：2+T

考點(diǎn)三

例2解析：正視圖是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下

是虛線，因此正視圖是①；側(cè)視圖是邊長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實(shí)線，左

下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖是邊長為3和5的矩形，其對角線左上到右下是

實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.故選B.

答案：B

例3

解析：根據(jù)三視圖可得直觀圖如圖所示，圖中的點(diǎn)U在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯

視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N,所以該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為E.

答案：A

例4解析：(1)根據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖，結(jié)合選項

可知該幾何體的側(cè)視圖為D.

解析：(2)由三棱錐C—AB。的正視圖、俯視圖得三棱錐C—AB。的側(cè)視圖為直角邊長

是亍的等腰直角三角形，其形狀如圖所示，所以三棱錐C-ABO的側(cè)視圖的面積為

答案：（1）D（2）D

對點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：由三視圖還原該幾何體的直觀圖，為如圖所示的四棱錐「一ABC。，其中該四

棱錐的底面是一個上底為1、下底為2、高為2的直角梯形，平面「8CL底面ABC。，/XPBC

是邊長為2的正三角形，易知AB=BC=PB=PC=2,CD=l,AD=PD^書,%=

26，所以最長棱的長度為2a

答案：D

2.解析：如圖所示，由三視圖可知該幾何體是四棱錐P-ABC。截去三棱錐P-AB。后得

到的三棱錐P-BCD其中四棱錐中，底面ABC￡＞是正方形，力1.底面ABC。，且%=A8=2,

易知面積最大面為面產(chǎn)8。，面積為六（2叭遮

答案：C

第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積

?最新考綱?

了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

?考向預(yù)測?

考情分析：高考常以三視圖為載體，主要考查柱、錐、球的表面積和體積，以選擇題、

填空題的形式出現(xiàn)，屬于容易題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過空間幾何體的表面積與體積的計算考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

積累必備知識——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記2個知識點(diǎn)

1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

側(cè)面

展開圖意㈣

側(cè)面積

S圓柱惻=_______S圓錐側(cè)=_______SMl臺側(cè)=_______________

公式

2.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱幾何體表面積體積

柱體

S表面積=S惻+2S底v=____

（棱柱和圓柱）

錐體

S表面積=5側(cè)+S底v=________

（棱錐和圓錐）

臺體

S衣面積=S他+S上+S下

（棱臺和圓臺）V=（S上+S下+）/?

球S=________v=________

二、必明3個常用結(jié)論

1.正方體的棱長為“，球的半徑為R，

①若球為正方體的外接球，則2R=A；

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R=a；

③若球與正方體的各棱相切，則2/?=%

2.長方體的共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a,h,c,外接球的半徑為R,則2R=

Va2+tf+C2.

3.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

三、必練4類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請在括號中打“，”或“X”）.

（1）圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是

27ts.（）

（2）錐體的體積等于底面面積與高之積.（）

（3）臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.（）

（4）球的體積之比等于半徑之比的平方.（）

（二）教材改編

2.［必修2中27練習(xí)「改編］己知圓錐的表面積等于12TTcm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓，

則底面圓的半徑為cm.

3.

［必修2P29習(xí)題B組Ti改編］某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于

，表面積等于.

（三）易錯易混

4.（長度單住與體積單核的換算出錯）《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1

丈3尺33寸，容納米2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛為容積單位，1斛比1.62

立方尺，兀七3）,則圓柱底面圓的周長約為（）

A.1丈3尺B.5丈4尺

C.9丈2尺D.48丈6尺

5.（不會分類討論致誤）圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6兀和4兀的矩形，則圓柱的表面積

為?

（四）走進(jìn)高考

6.［2021?全國甲卷］已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀，則該圓錐的側(cè)面積為

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一空間幾何體的側(cè)面積和表面積［基礎(chǔ)性、綜合性］

［例1］（1）［2022?云南省部分學(xué)校統(tǒng)一檢測］《九章算術(shù)》中將底面為矩形、一條側(cè)棱垂

直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.己知某

“陽馬”和某“塹堵”的組合體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（）

■4

A.28+12線

C.26+12線D.12+24◎

⑵

[2022?河南周口模擬]如圖，在三棱柱ABC-4BiG中，A41_L底面ABC,ABA,BC,A4,

=AC=2,直線AC與側(cè)面A41sB所成的角為30。，則該三棱柱的側(cè)面積為（）

A.4+4顯B.4+4用

C.12D.8+4線

聽課筆記：

反思感悟三類幾何體表面積的求法

求多面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖

的表面積形面積的方法求多面體的表面積

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后

求旋轉(zhuǎn)體

求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面

的表面積

展開圖中的邊長關(guān)系

求不規(guī)則通常將不規(guī)則幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先

幾何體的求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和

表面積或作差，求出不規(guī)則幾何體的表面積

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2020?全國卷1H]如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）

A.6+4顯B.4+4

C.6+2有D.4+2

2.[2022.山西高三模擬]現(xiàn)有一個橡皮泥制作的圓柱，其底面半徑、高均為2,將它重

新制作成一個體積與高不變的圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.6AtB.8信

C.8兀D.4

3.［2022?福建廈門市高三模擬］2008年北京奧運(yùn)會游泳中心（水立方）的設(shè)計靈感來于威

爾?弗蘭泡沫，威爾?弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文體是一種多面體，它由正六邊

形和正方形圍成（其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個正六邊形），已知該多面體共有24

個頂點(diǎn)，且棱長為1,則該多面體表面積是（）

A.9百+6B.9百+8

C.124+6D.12在+8

考點(diǎn)二空間幾何體的體積［綜合性］

角度1公式法求體積

［例2］正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則其體積為（）

A.20+12第iB.28短

聽課筆記：

角度2割補(bǔ)法求體積

［例3］

8cm

5cm

...、

"y4cigy-

在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為4cm,母線長最短5cm,最長8cm,

則斜截圓柱的體積V=________cm3.

聽課筆記：

一題多變

(變問題)若例3中條件不變，求斜截圓柱的側(cè)面面積S=cm2.

角度3等體積法求體積

［例4］如圖所示，己知三棱柱ABC-A/Ci的所有棱長均為1,且A41_L底面ABC,則

三棱錐Bi-ABQ的體積為()

A.12B.

反思感悟

(1)處理體積問題的思路

指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來不容易求面積的底面轉(zhuǎn)

換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母咿D(zhuǎn)

換為容易看出并容易求解的高

指的是將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個簡單的幾何體,

便于計算

指的是將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一

個三棱錐復(fù)原成一個三棱柱，將一個三棱柱復(fù)原成一

個四棱柱，還臺為錐，這些都是拼補(bǔ)的方法

(2)求體積的常用方法

①直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算.

②割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計算；或者把不規(guī)則

的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計算.

③等體積法：選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐

的任一個面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換.

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

C,

B：

41c------B

1.如圖，在直四棱柱A8CZXA山iGA中，底面ABC。是平行四邊形.點(diǎn)E是棱

的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CCi上靠近C,的三等分點(diǎn)，且三棱錐Ai-AEF的體積為2,則四棱柱

ABCD-AxB\C\D\的體積為（）

A.12B.8C.20D.18

2.圖1是一種生活中常見的容器，其結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中ABC。是矩形，A8FE和

CDE尸都是等腰梯形，且ADJ_平面CDEF.現(xiàn)測得AB=20cm,AD-15cm,EF=30cm,

AB與EF間的距離為25cm,則幾何體EF-ABCD的體積為（）

A.2500cm3B.3500cm3

C.4500cm3D.3800cm3

考點(diǎn)三空間幾何體的外接球與內(nèi)切球］創(chuàng)新性|

角度1幾何體的外接球

［例5］（1）［2022?天津市武清區(qū)檢測］《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱錐

稱之為鱉嚅.若三棱錐尸-ABC為鱉膈，弘_1_平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC

的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積為（）

A.12兀B.20兀C.24兀D.32兀

（2）［2022?天津高三模擬］長方體ABCD^B\C\D\的8個頂點(diǎn)在同一球面上，且AB=2,

AD=aAAi=l,則球面面積為（）

84

A.，B.3nC.4nD.8兀

聽課筆記：

反思感悟處理球的“接”問題的策略

把一個多面體的幾個頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題.解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外

接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.

［例6］(1)12022?成都市高三模擬］《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱

之為鱉席，若三棱錐P-A8C為鱉襦，以1.平面ABC,B4=BC=4,AB=3,ABX.BC,若三

棱錐P-ABC有一個內(nèi)切球。，則球。的體積為()

A.2B.*C.lfiD.9兀

(2)［2022?江蘇南京高三模擬］已知直三棱柱ABC-ASG的底面ABC為等邊三角形，若該

棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則其外接球與內(nèi)切球表面積之比為()

A.25：1B.2書：1

C.5：1D.5：1

聽課筆記：

一題多變

(變條件，變問題)若例6(1)中“若三棱錐P-A8C有一個內(nèi)切球O,"改為“若三棱錐

P-ABC的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上，”則球。的表面積為.

反思感悟

(1)處理球的“切”問題的策略，解決與球的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，

解答時首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多

面體過球心的對角面來作.

(2)解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題求解，其解題的思維流程是：

|二上如:建而面鼠,麻加心到百工盔距“目掌且0多徑］

二如果是外接球，則球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑：

_!_幅疝/茬石瓦祚山嬴山'(委謔至下漏瓦底哥葡演

作截面「的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素：

一J―■間的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的J

求徑、根據(jù)作出截面中的幾何元根，建立關(guān)于球半徑的；

|I下I結(jié)論廠U;方程,并求解!

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?河北衡水市檢測］已知正三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為

的，則此三棱錐的外接球的表面積為()

A.兀B.3兀C.6兀D.9兀

2.［2022?沙坪壩區(qū)測試］在三棱錐P-A8C中，PA=PB=PC^書,AB=4C=BC=

百，則三棱錐P-A8C外接球的表面積是（）

竺

A.9兀B.，兀

25

C.4KD.,兀

3.已知在三梭錐A3CO中，AB=CD=2,AD=AC=BC=BD=3.則該三棱錐內(nèi)切球

的體積為（）

A.64B.6

C.D.B

微專題28數(shù)學(xué)文化與立體幾何的交匯交匯創(chuàng)新

縱觀近幾年高考，立體幾何以數(shù)學(xué)文化為背景的問題層出不窮，讓人耳目一新.從中國

古代數(shù)學(xué)文化中挖掘素材，考查立體幾何的有關(guān)知識，既符合考生的認(rèn)知水平又可以引導(dǎo)考

生關(guān)注中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，并提升審題能力，增加對數(shù)學(xué)文化的理解，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［例］

［2022.四川眉山市高三模擬］中國古代數(shù)學(xué)家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均

為直角三角形的四面體為“鱉腌”.如圖所示的鱉膈ABC。中，A3,平面BCD,CD1BC,

若8=1,AC=巡，且頂點(diǎn)A,B,C,。均在球O上，則球O的表面積為

解析:

由題意可知：球。為鱉腌4BCD的外接球，

?.?A2_L平面BCD,BD,CDu平面BCD,C.ABVBD,ABLCD,

又CDLBC,AB,BCu平面ABC,ABnBC=B,

.,.CQ_L平面ABC,

又4Cu平面ABC,：.CD1AC；

取AC中點(diǎn)E,連接CE,

VABIBC,:.BE=AE=DE,同理可知：CE^AE^DE,

-“AG+CD2

點(diǎn)E與球。的球心。重合，球0的半徑R=2AD=2

...球O的表面積5=4兀產(chǎn)=6兀

答案：67r

名師點(diǎn)評求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問題，首先要在閱讀理解上下功夫，明確其

中一些^念的意義，如“塹堵”“陽馬”和“鱉腌”等的特征是求解相關(guān)問題的前提，其次

目標(biāo)要明確，根據(jù)目標(biāo)聯(lián)想相關(guān)公式，然后進(jìn)行求解.

[變式訓(xùn)練I[2022?安徽高三測試]《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，在卷五《商功》

中有一問題：今有溝，上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈.問積幾何？答日：四千

三百七十五尺.意思是說現(xiàn)在有一條水溝，截面是梯形，梯形上底長一丈五尺，下底長一丈，

水溝的深為五尺，長七丈.問水溝的容積是多大？答案是4375立方尺.若此溝兩坡面坡度

相同，某人想給此溝表面鋪上水泥進(jìn)行固定，不計水泥厚度，則需要水泥多少平方尺？(一

丈等于十尺)()

A.4375B.1875+350書

C.1750+350書D.700+350書

第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積

積累必備知識

1.2ndnrln(rf+r)l

2.ShiSh4nR2荷中

--、

1.答案：(l)x(2)X(3)V(4)X

2.解析：設(shè)底面半徑為r,由側(cè)面展開圖為半圓可知，圓錐母線長/=2r，所以$*=兀產(chǎn)

+?！?兀產(chǎn)+兀廠2r=3兀/=]2n,所以3=4,所以r=2.

答案：2

3.解析：如困，由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2,高為3的圓柱的一半，故該

11

2

幾何體的體積為弓X7tX22X3=6兀，表面積為2義5X3lX2+4X3+7tX2X3=107t+

12.

答案：6n12+lOn

4.解析：設(shè)圓柱底面圓半徑為r,高為h,依題意，圓柱體積為V=nrh,即2

000X1.62^3X^X13.33,所以戶Q81,即r七9尺，所以圓柱底面圓周長為2〃和54尺，即

圓柱底面圓周長約為5丈4尺.

答案：B

5.解析：圓柱的側(cè)面積S加=6兀X4TI=24兀2.①以邊長為6兀的邊為軸時，4n為圓柱底面

圓周長，所以2口=4兀，即廠=2.所以S底=4兀，所以S*=24兀2+8兀

②以4兀所在邊為軸時，6兀為圓柱底面圓周長，所以2a=6兀，即r=3,所以5底=9兀,

所以SE=24兀?+18Ji.

答案：247r2+8?；?47r2+18兀

15

6.解析：設(shè)該圓錐的高為/?,則由已知條件可得介兀*62><仁30兀，解得仁,,

則圓錐的母線長為Vh2+6?=:T,故該圓錐的側(cè)面積為

13

兀X6X彳=39兀.

答案：397r

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

例1解析:

(1)由該幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，“塹堵”的底面是直角邊

長為2的等腰直角三角形，高為4,“陽馬”的底面是邊長為2的正方形，高為2,所以該

1_

幾何體的表面積分兩部分，“塹堵”部分的表面積S至.=孑X2X2X2+2力X4+

2X4+2X4-aX2X2=18+8力，

1

“陽馬”部分的表面積，5陽馬=2X2+iX2X2+

5X2X2直++2X2力=6+46，

所以該幾何體的表面積為S??+S陽馬=18+86+6+46=24+120.

(2)連接AjB.因為441，底面A2C,則XABLBC,CAB=A,所以

BC_L平面AAiBiB,所以直線AC與側(cè)面AA\B\B所成的角為NCA|B=30。.又AAt=AC=2,

所以AC=2收,BC=0.又ABA.BC,貝()AB=q，則該三棱柱的側(cè)面積為

20X2+2X2=4+4力.

答案：⑴B(2)A

對點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：在正方體中還原幾何體如圖.

幾何體為正方體的一部分：三棱錐P-4BC,

S表兩相=SA?4C+S△出B+SAPBC+SABAC

工U行的】工1片

=5X2較X2V2XV+；X2X2+5X2X2+5X2X2=2g

+6.

答案：C

2.解析：根據(jù)題意，圓柱的體積為V=TCX22X2=8TI,

1U

設(shè)圓錐的底面半徑為r,貝1］入=5X71X^X2=871,解得/*=2g所以圓錐的

母線長為I—+4=4,

所以該圓錐的側(cè)面積為5=口/=85兀.

答案：B

3.解析：棱長為I的正方形的面積為1X1=1,正六邊形的面積為

1