第10講直線的交點坐標與距離公式（原卷版）

第10講直線的交點坐標與距離公式【知識點梳理】知識點一：直線的交點求兩直線與的交點坐標，只需求兩直線方程聯立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標.知識點詮釋：求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數.知識點二：過兩條直線交點的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數．由于參數取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點的直線系方程：經過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數．在這個方程中，無論取什么實數，都得不到，因此它不能表示直線．知識點三：兩點間的距離公式兩點間的距離公式為.知識點詮釋：此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉化為兩點之間的距離來解決.另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷等內容中都有廣泛應用，需熟練掌握.知識點四：點到直線的距離公式點到直線的距離為.知識點詮釋：（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關系的判斷等.知識點五：兩平行線間的距離本類問題常見的有兩種解法：①轉化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為.知識點詮釋：(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；(2)利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數分別是相同的以后，才能使用此公式.【題型歸納目錄】題型一：判斷兩直線的位置關系題型二：過兩條直線交點的直線系方程題型三：交點問題題型四：對稱問題題型五：兩點間的距離題型六：點到直線的距離題型七：兩平行直線間的距離題型八：三線能圍成三角形問題【典型例題】題型一：判斷兩直線的位置關系1．（2021·全國·高二專題練習）是直線(為常數)上兩個不同的點，則關于和的方程組的解的情況是（

）A．無論如何，總是無解B．無論如何，總有唯一解C．存在，使是方程組的一組解D．存在，使之有無窮多解2．（2021·江蘇·高二專題練習）兩條直線與的交點坐標就是方程組的實數解，給出以下三種說法：①若方程組無解，則兩直線平行；②若方程組只有一解，則兩直線相交；③若方程組有無數多解，則兩直線重合．其中說法正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．0（多選題）3．（2022·江蘇·高二課時練習）(多選題)與直線2x－y－3＝0相交的直線方程是（

）A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0（多選題）4．（2021·河北·張家口市第一中學高二階段練習）已知集合，集合，且，則（

）A．2 B． C． D．5．（2022·全國·高二課時練習）在下列直線中，與直線相交的直線為()A．

B．

C．

D．6．（2022·全國·高二課時練習）兩直線的位置關系方程組的解一組無數組無解直線與的公共點個數一個_______零個直線與的位置關系_______重合_______7．（2022·上海市控江中學高三階段練習）若關于，的方程組有無窮多組解，則的值為______8．（2022·上海·高三專題練習）若關于、的方程組無解，則實數________9．（2021·全國·高二專題練習）若關于的二元一次方程組有無窮多組解，則______．10．（2021·全國·高二專題練習）關于x?y的二元一次方程組有無窮多組解，則a與b的積是_____.11．（2021·全國·高二課時練習）若方程與所確定的曲線有兩個交點，則a的取值范圍是________．12．（2021·江蘇·高二專題練習）判斷下列各對直線的位置關系.若相交，求出交點坐標：（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.題型二：過兩條直線交點的直線系方程1．（2022·江蘇·高二）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二課時練習）已知與是直線為常數)上兩個不同的點，則關于和的方程組的解的情況是（

）A．無論如何，總是無解 B．無論如何，總有唯一解C．存在，使之恰有兩解 D．存在，使之有無窮多解3．（2021·全國·高二課時練習）設直線經過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.4．（2022·江蘇·高二）已知直線：（）．求證：直線恒過定點，并求點的坐標．5．（2022·江蘇·高二）直線經過直線的交點，且與坐標軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程.6．（2022·全國·高二課時練習）求證：不論為何實數，直線恒過定點．7．（2021·全國·高一課時練習）已知兩直線和.（1）判斷兩直線是否相交，若相交，求出其交點；（2）求過與的交點且斜率為的直線方程.8．（2021·全國·高一課時練習）求經過直線與的交點，且過點的直線方程.9．（2021·全國·高二專題練習）直線l經過原點，且經過直線與直線的交點，求直線l的方程．題型三：交點問題1．（2022·江蘇·高二）直線x+ky=0和2x+3y+8=0的交點為A，且A在直線x-y-1=0上，則k的值是（

）A．- B． C．2 D．-22．（2022·江蘇·高二）經過兩條直線和的交點，并且平行于直線的直線的一般式方程為______．3．（2022·江蘇·高二）經過兩條直線和的交點，且與直線垂直的直線方程為_______．4．（2022·江蘇·高二）如圖所示，在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為______．5．（2022·江蘇·高二）若直線經過直線和的交點，則___________.6．（2022·全國·高二課時練習）已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．7．（2022·江蘇·高二）設三直線；；交于一點，則k的值為______．8．（2022·全國·高二課時練習）若直線與直線的交點在第一象限，則實數b的取值范圍是___________.9．（2022·全國·高二課時練習）求過與的交點且與直線平行的直線方程．10．（2022·江蘇·高二）三條直線??有且只有兩個交點，求實數的值.11．（2022·全國·高三專題練習）過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.12．（2022·江蘇·高二）若直線與直線的交點在第四象限，求實數m的取值范圍．題型四：對稱問題1．（2022·江蘇·高二）直線關于點對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．2．（2022·天津市第九十五中學益中學校高二期末）與直線關于軸對稱的直線的方程為（

）A． B．C． D．3．（2022·北京市十一學校高一階段練習）點關于直線的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東潮州·二模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在位置為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）．A．5 B． C．45 D．5．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．6．（2022·全國·高二課時練習）直線關于點對稱的直線方程是______．7．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學高一期末）直線關于定點對稱的直線方程是_________．8．（2022·江蘇·高二）已知入射光線經過點，被直線反射，反射光線經過點，求反射光線所在直線的方程．9．（2022·江蘇·高二）點關于直線對稱的點的坐標是______．10．（2022·江蘇·高二）已知、，若P是直線上的點，則的最大值為______．11．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線，求：(1)直線l關于點對稱的直線的方程；(2)直線關于直線l對稱的直線的方程．12．（2022·江蘇·高二課時練習）已知直線l:.(1)求點P（3，4)關于直線l對稱的點Q；(2)求直線l關于點（2，3)對稱的直線方程．13．（2022·江蘇·高二）已知點，直線，直線.(1)求點A關于直線的對稱點B的坐標；(2)求直線關于直線的對稱直線方程.14．（2022·江蘇·高二）已知的頂點，AB邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．①角A的平分線所在直線方程為②BC邊上的中線所在的直線方程為______，求直線AC的方程．15．（2022·全國·高二課時練習）（1）已知實數對滿足，求的最小值；（2）求的最小值．（提示：聯想兩點間的距離公式）16．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l：，P（3，-1），Q（-3，3），當時，求直線l上的動點M到P，Q兩點的距離之和的最小值.題型五：兩點間的距離（多選題）1．（2022·重慶·四川外國語大學附屬外國語學校高二階段練習）（多選）等腰直角三角形的直角頂點為，若點A的坐標為，則點B的坐標可能是（

）A． B． C． D．2．（2022·內蒙古赤峰·高二期末）數學家華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決．例如：與相關的代數問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題．結合上述觀點：對于函數，的最小值為______．3．（2022·全國·高二課時練習）已知，且，求a的值．4．（2022·江蘇蘇州·高二期末）在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，已知直線：mx－（2－m）y－4=0與直線h：x+y－2=0的交點M在第一三象限的角平分線上.(1)求實數m的值；(2)若點P在直線l上且，求點P的坐標.5．（2022·全國·高二課時練習）已知與兩點間的距離是17，求a的值．6．（2022·江蘇·高二課時練習）求函數的最小值．7．（2022·江蘇·高二課時練習）求函數的最小值．8．（2022·全國·高二課時練習）如圖，已知的三個頂點分別為，，．(1)試判斷的形狀；(2)設點D為BC的中點，求BC邊上中線的長．9．（2022·全國·高二課時練習）已知，證明是等邊三角形．10．（2022·全國·高二課時練習）求到，，三點距離相等的點的坐標．11．（2022·全國·高二課時練習）已知，是直線上的兩點，若，且，求直線l的方程．題型六：點到直線的距離1．（2022·江蘇·高二）美術繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（

）A． B．C． D．2．（2022·重慶·三模）已知直線上存在一點P，滿足，其中O為坐標原點.則實數k的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·吉林吉林·模擬預測（文））已知兩點到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或（多選題）4．（2022·江蘇·高二）已知直線l過點，點，到l的距離相等，則l的方程可能是(

)A． B．C． D．5．（2022·江蘇·高二）點P為直線上任意一個動點，則P到點的距離的最小值為___________.6．（2022·江蘇·高二）直線，為直線l上動點，則的最小值為___________.7．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學高二階段練習（理））點在函數的圖象上．若滿足到直線的距離為的點有且僅有3個，則實數的值為________．8．（2022·全國·高二課時練習）已知?和直線，若坐標平面內存在一點P，使，且點P到直線l的距離為2，求點P的坐標.9．（2022·江蘇·高二）已知的三個頂點的坐標為、、，試求：(1)邊上的高所在的直線方程；(2)的面積．10．（2022·全國·高二課時練習）直線l過點且到點和點的距離相等，求直線l的方程．11．（2022·江蘇·高二課時練習）求過點M(－2,1)且與A(－1,2),B(3,0)兩點距離相等的直線的方程．12．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)第一中學高二開學考試）已知的頂點坐標為、、．(1)求AB邊上的高線所在的直線方程；(2)求的面積．題型七：兩平行直線間的距離1．（2022·廣東·普寧市華僑中學高二階段練習）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．2．（2022·江蘇·高二）若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（

）A．或11 B．或10C．或12 D．或113．（2022·貴州·遵義市第五中學高二期中（理））直線與直線之間的距離為_________.4．（2022·全國·高二課時練習）已知直線，．若，求與的距離．5．（2022·江蘇·高二）已知直線和，若直線l到直線的距離與到直線的距離之比為，則直線l的方程為______．6．（2022·江蘇·高二）若直線與直線平行，且它們之間的距離等于，則直線的方程為___________.7．（2022·上海市寶山中學高二期中）與直線平行且與它的距離為的直線方程是______；8．（2022·江蘇·高二）兩條平行線與之間的距離是___________.9．（2022·江蘇·高二）兩平行直線，分別過，.(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.10．（2022·全國·高二期中）已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．11．（2022·全國·高二課時練習）直線與直線的距離為，求實數的值．12．（2022·全國·高二期中）已知直線過點，且被平行直線：與：所截取的線段長為，求直線的方程．題型八：三線能圍成三角形問題1．（2022·河南·溫縣第一高級中學高二階段練習（文））已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構成三角形，則a的取值范圍是（

）A．a≠ B．a≠C．a≠且a≠ D．a≠且a≠12．（2022·全國·高二）若三條直線不能圍成三角形，則實數的取值最多有（

）A．個 B．個C．個 D．個3．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數a的取值不可能為（