第11講乘法公式（4大考點）（原卷版）

第11講乘法公式（4大考點）考點考點考向一、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：三、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.四、補充公式；；；.考點考點精講考點一：平方差公式1.下列兩個多項式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式計算的，寫出計算結(jié)果．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．2.計算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．3.計算(2＋1)()()()()()＋1．4.解方程：．5.運用乘法公式計算：（1）；（2）．6.已知△ABC的三邊長、、滿足，試判斷△ABC的形狀．7.計算：（1）；（2）；（3）．8.用簡便方法計算：(1)899×901＋1；(2)99×101×10001；(3)－2006×2004；考點二：平方差公式的幾何背景1.（2020秋?叢臺區(qū)期末）如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，則陰影部分的面積是．2.（2020秋?鄧州市期中）如圖，將圖①中大小相同的四個小正方形按圖②所示的方式放置變?yōu)橐粋€大正方形，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積關(guān)系，可以驗證（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2考點三：完全平方公式1.計算：(1)；(2)；(3)；(4)．2.計算：(1)；(2)．(3)．3.已知，＝12．求下列各式的值：(1)；(2)．考點四：完全平方公式的幾何背景1.（2021春?浦江縣期末）如圖是將正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的圖形，點B，C，E在同一條直線上，連結(jié)BD，BF．若陰影部分△BDF的面積為8，則正方形ABCD的邊長為（）A．2 B．3 C．4 D．62.（2021春?南潯區(qū)期末）建黨100周年主題活動中，702班潯潯設(shè)計了如圖1的“紅色徽章”其設(shè)計原理是：如圖2，在邊長為a的正方形EFGH四周分別放置四個邊長為b的小正方形，構(gòu)造了一個大正方形ABCD，并畫出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo)．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作S1，每一個邊長為b的小正方形面積記作S2，若S1＝6S2，則的值是．3.（2021春?廬陽區(qū)期末）如圖，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么陰影部分的面積是（）A．30 B．34 C．40 D．44鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·福建·福州三牧中學(xué)八年級期中）已知x2-2mx+9是完全平方式，則m的值為（）A．±3 B．3 C．±6 D．62．（2021·北京四中八年級期中）如圖1，將長為寬為的長方形沿虛線剪去一個寬為1的小長方形（陰影部分），得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示圖形．這兩個圖能解釋下列哪個等式（）A． B．C． D．3．（2021·福建·福州三牧中學(xué)八年級期中）下列運算中，錯誤的是（）A．·= B．（）3= C．（ab）2=a2b2 D．（a＋b）3=a3+b34．（2021·福建南安·八年級期中）若x2＋kx＋25是一個完全平方式，則k的取值是（）A．5 B．±5 C．10 D．±105．（2021·山東臨淄·八年級期中）已知，，那么（）A．9 B．10 C．11 D．126．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校八年級期中）下列計算正確的是（）A． B． C． D．7．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校八年級期中）如圖分割的正方形，拼接成長方形的方案中，可以驗證（）A． B．C． D．8．（2021·山東·濟寧學(xué)院附屬中學(xué)八年級期中）計算：的值是（）A． B．C． D．二、填空題9．（2021·福建·福州三牧中學(xué)八年級期中）已知實數(shù)a，b滿足a-b=5，ab=4，則a+b=_______．10．（2021·福建·廈門市第五中學(xué)八年級期中）楊輝三角形在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中就出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)的帕斯卡三角形（楊輝三角形）要早393年．如圖為楊輝三角系數(shù)表的一部分，我們可以按照其中規(guī)律寫出形如（a＋b）n（n為正整數(shù)）展開式的系數(shù)，請你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，再寫出（a＋b）4的展開式．（a＋b）＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3則（a＋b）4＝___．11．（2021·四川興文·八年級期中）一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，且，則的值是___________．12．（2021·天津南開·八年級期中）已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，則a2+b2＝______．13．（2021·江蘇·蘇州中學(xué)八年級期中）已知則＝____．14．（2021·北京四中八年級期中）麗麗在做一道計算題目的時候是這樣分析的：這個算式里面每個括號內(nèi)都是兩數(shù)和的形式，跟最近學(xué)的乘法公式作比較，發(fā)現(xiàn)如果添加兩數(shù)的差作為新的因式，就可以運用平方差公式進行運算，她嘗試添了因式，很快得到計算結(jié)果．①______________；請參考麗麗的方法進行運算：②的值為____________．15．（2021·河南·漯河市實驗中學(xué)八年級期中）若x2－2（m－3）x＋16是完全平方式，則m的值為________．三、解答題16．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校八年級期中）計算：（1）（2）17．（2021·河南·漯河市實驗中學(xué)八年級期中）計算（1）（－xyz）·x2y2·（－yz3）（2）8m（m2－3m＋4）－m2（m－3）（3）（m＋1）（m－1）（m2－1）（4）（2x－3y－1）（2x＋3y＋1）18．（2021·山東陽信·八年級期中）（1）化簡：；（2）先化簡，再求值：，其中．19．（2021·河南西峽·八年級期中）一塊邊長為的正方形紙板，在其中一個角剪去了一個邊長為（）的小正方形，如圖．請根據(jù)圖形的面積關(guān)系，利用剪拼的方法驗證乘法公式．20．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校八年級期中）如圖，一塊空地是由邊長為（2a＋3b）米，（2a－3b）米的兩個正方形組成，計劃在左側(cè)留出一個長方形區(qū)域作水池，剩余陰影部分作花壇．（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，用含有a、b的數(shù)據(jù)表示出花壇的總面積；（結(jié)果化為最簡）（2）若a＝2，b＝，求出此時花壇的總面積．21．（2021·福建連江·八年級期中）用4個長為a，寬為b的長方形拼成如圖所示的大正方形，根據(jù)此圖：（1）寫出大正方形、中間小正方形與長方形的面積之間的等量關(guān)系式（用含a、b的等式表示），并運用乘法公式驗證你寫出的等量關(guān)系式；（2）若a﹣b＝，a2+b2＝13，求（a+b）2的值．22．（2021·四川恩陽·八年級期中）上數(shù)學(xué)課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學(xué)們運用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請你根據(jù)上述方法，解答下列各題（1）當(dāng)x＝時，代數(shù)式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，請判斷y有最大還是最小值；這個值是多少？此時x等于哪個數(shù)？（3）若﹣x2+3x+y+5＝0