第六章彈性波波動方程及其解演示文稿

第六章彈性波波動方程及其解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)§6.1線性彈性動力學(xué)的基本方程基本方程運(yùn)動微分方程幾何方程當(dāng)前第2頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)本構(gòu)方程分析已知方程數(shù)——15個；未知數(shù)——15個；當(dāng)前第3頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)邊界條件和初始條件邊界條件

給定了彈性體在其邊界面上所滿足的條件。邊界條件分類位移邊界條件：當(dāng)S=SU時(shí)應(yīng)力邊界條件：當(dāng)S=St時(shí)混合邊界條件：當(dāng)S=SU+St時(shí)在St上在SU上當(dāng)前第4頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)初始條件初始條件

給定了彈性體在時(shí)刻t=0時(shí)的位移和速度，稱為初始條件。在V+S的彈性體上有：定解條件邊界條件+初始條件當(dāng)前第5頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)彈性波動力學(xué)的求解路線彈性波動力學(xué)問題的表述：彈性體的形狀、大小以及其物理性質(zhì)(即密度和彈性系數(shù))；彈性體所受外來作用的體力及表面力；彈性體所受的約束性；彈性體各點(diǎn)的初始位移及初始速度，求:彈性體內(nèi)的位移場、應(yīng)變場及應(yīng)力場。當(dāng)前第6頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)按應(yīng)力求解當(dāng)前第7頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)按位移求解當(dāng)前第8頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)2三維三分量波動方程各向同性介質(zhì)三維三分量波動方程當(dāng)前第9頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)納維方程是線性彈性假設(shè)條件下得到的各向同性彈性體中的彈性波最基本方程。指標(biāo)表示的納維方程向量表示的納維方程線性彈性體的整個理論就是在定解條件下解納維方程。當(dāng)前第10頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)三維三分量的含義位移場ui是空間坐標(biāo)x1、x2、x3的函數(shù)，因此，是三維立體空間的；位移場ui有u1

、u2

、u3三個分量，因此，是三分量的；體力為零時(shí)的納維方程

通常在研究地震波的傳播時(shí)，認(rèn)為地殼所受的體力為零，即：f=0。此時(shí)，納維方程可表示為：當(dāng)前第11頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)3.彈性流體介質(zhì)中的波動方程彈性流體介質(zhì)中的基本方程幾何方程運(yùn)動微分方程(不計(jì)體力)本構(gòu)方程？彈性流體中的本構(gòu)方程黏滯力：在實(shí)際流體中兩層流體間的相互滑動時(shí)，流體間有相互作用的阻力，稱其為黏滯力或內(nèi)摩擦力。理想流體介質(zhì)：可以將黏滯力忽略的流體稱為理想流體。在理想流體中只存在脹縮力，而不存在剪切力。當(dāng)前第12頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

右圖為理想彈性體內(nèi)的某個體元，其只受外法線方向相反的正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力。即：上式中P為壓力，當(dāng)體元為單位體元時(shí)，P可視為壓強(qiáng)。PP當(dāng)前第13頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)彈性流體中的波動方程將上式代入運(yùn)動微分方程，得上式兩邊取散度將壓力與應(yīng)變關(guān)系代入上式當(dāng)前第14頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)§6.2無旋波和無散波斯托克斯-亥姆霍茲矢量定理

任何一個足夠平滑的矢量場都可以分解成無旋的部分和無散的部分，這稱為斯托克斯-亥姆霍茲矢量定理。結(jié)論無旋位移場的散度對應(yīng)彈性休的脹縮應(yīng)變場；當(dāng)前第15頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)無散位移場的旋度對應(yīng)彈性體的切應(yīng)變情形；在非穩(wěn)定條件下，這兩種場分別以波的形式運(yùn)動著，故分別叫做無旋波和無散波，也稱之為脹縮波與等體積波。無旋位移場波動方程試證對于任意一階張量都成立！當(dāng)前第16頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

結(jié)論：在均勻各向同性彈性體內(nèi)，膨脹擾動以速度VP向外傳播。這種膨脹波稱為縱波或P波。其傳播速度為VP

。如果只研究縱波的傳播問題，可以不考慮振源的影響，此時(shí)設(shè)外力為”0”，則方程可簡化為：當(dāng)前第17頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)無散位移場的波動方程

結(jié)論：在均勻各向同性彈性體內(nèi)，切變擾動以速度VS向外傳播。這種切變波稱為橫波或S波。其傳播速度為VS

。如果只研究橫波的傳播問題，可以不考慮振源的影響，此時(shí)設(shè)外力為”0”，則方程可簡化為：當(dāng)前第18頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)體應(yīng)變表示的縱波方程此時(shí)只有脹縮波，波有旋轉(zhuǎn)波！為什么？當(dāng)前第19頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)如果只研究縱波的傳播問題，可以不考慮振源的影響，此時(shí)設(shè)外力為”0”，則方程可簡化為：上式表示波場是以速度VP向外傳播的無旋場。

轉(zhuǎn)動矢量表示的橫波方程當(dāng)前第20頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

彈性體發(fā)生剪切形變時(shí)，由于轉(zhuǎn)動很小，由矢量分析可知，定義轉(zhuǎn)動矢量：如果只研究橫波的傳播問題，可以不考慮振源的影響，此時(shí)設(shè)外力為”0”，則方程可簡化為：當(dāng)前第21頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)§6.3標(biāo)量勢與矢量勢

拉梅勢(Lame＇)根據(jù)斯托克斯—亥姆霍茲矢量分解定理，位移矢量場可以分解成無旋場與無散場兩個部分。如果位移矢量表示的納維方程二次可微，則存在一個標(biāo)量勢函數(shù)f和一個矢量勢函數(shù)y，此時(shí)位移場可表示為：同理，對于體力也存在一個標(biāo)量勢函數(shù)F和一個矢量勢函數(shù)A，此時(shí)體力可表示為：表示無旋場？表示無散場？當(dāng)前第22頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)以勢函數(shù)表示的波動方程將勢函數(shù)代入上式，則：因?yàn)樵诳臻g區(qū)域V及任意時(shí)間區(qū)域中有上式成立，則有：當(dāng)前第23頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)如果對標(biāo)量勢表示的波動方程兩邊取梯度如果對矢量勢表示的波動方程兩邊取旋度如果F=A=0，則因此，用標(biāo)量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)表示縱波和橫波的傳播是合理的！當(dāng)前第24頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)彈性波波動方程的一般表達(dá)式

由以上的討論可知，位移矢量u、位移勢函數(shù)f和y、體積應(yīng)變q及轉(zhuǎn)動角矢量W都具有相同的方程形式，為了方便起見，可以用統(tǒng)一的方程表示。

當(dāng)有體力時(shí)，可表示為達(dá)朗貝爾方程當(dāng)只考慮波的傳播，不考慮體力時(shí)此時(shí)的縱波波動方程為當(dāng)前第25頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)橫波波動方程當(dāng)前第26頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)§6.4三維三分量波動方程的退化處理

以上講到的波動方程都是三維三分量的，與當(dāng)前地震勘探的實(shí)際情況有此差別。由于條件的限制，目前在進(jìn)行地震勘探時(shí)所有的檢波器都放在地面上，而且也主要是接收垂直地面的垂向分量的地震波。因此，在處理很多問題時(shí)我們將三維三分量波動方程進(jìn)行退化處理。所謂退化處理就是人為地降低波動方程的維數(shù)或分量。二維單垂向分量波動方程(2D1VC)

二維單垂向分量是目前常規(guī)二維地震勘探數(shù)據(jù)采集的觀測方式，即在地表直測線上采集地震數(shù)據(jù)的觀測方式。OX3X1當(dāng)前第27頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)上式就是所要求的二維單垂向分量波動方程。i必須等于3當(dāng)前第28頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)結(jié)論接收點(diǎn)記錄的地震波場中，即有縱波成分又含有橫波成分。所得到的記錄是縱波與SV型橫波的復(fù)合型地震波場。但由于地震波的激發(fā)方式和接收方式等因素的選擇設(shè)計(jì)，會使此復(fù)合型波場中的縱波成份占主導(dǎo)地位。因此，通常用如下式所示的聲波方程代替當(dāng)前第29頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)當(dāng)接收的是ox1軸分量時(shí)的情況又怎樣？i必須等于1當(dāng)前第30頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)當(dāng)接收的是ox2軸分量時(shí)的情況又怎樣？此時(shí)接收的波場中只有橫波分量，沒有縱波分量！i必須等于2當(dāng)前第31頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)三維單垂向分量波動方程(3D1VC)三維單垂向分量是目前常規(guī)三維地震勘探數(shù)據(jù)采集的觀測方式；即在地表平面上采集地震數(shù)據(jù)的觀測方式；取地表平面為ox1x2x3平面，所接收的分量為u3，平行ox3軸垂直向下。此時(shí)，有：X1X2X3O當(dāng)前第32頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

上式即為三維單垂向波動方程。分析上式可知，接收點(diǎn)的響應(yīng)的地震波場中即有縱波成份，同時(shí)也包含橫波成份。一維三分量波動方程一維三分量是目前VSP測井中常規(guī)數(shù)據(jù)采集方式；即在一維線上激發(fā)與接收，所接收的分量u=(u1,u2,u3)X1X2X3O當(dāng)前第33頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)平面波僅沿ox3軸傳播當(dāng)前第34頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)平面波沿ox2軸傳播平面波沿ox1軸傳播當(dāng)前第35頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)沿過原點(diǎn)任意射線傳播時(shí)當(dāng)平面波的傳播方向與ox1x2x3坐標(biāo)系的任意一個坐標(biāo)軸都不重合時(shí)，此時(shí)的平面波方程比較復(fù)雜。首先，以波的傳播方向?yàn)閛x3軸建立一個新坐標(biāo)系；其次，就新坐標(biāo)系內(nèi)將平面波方程表達(dá)出來；最后，通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)關(guān)系求出在舊坐標(biāo)系內(nèi)的表達(dá)式。當(dāng)前第36頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)§6.5波動方程的一般解平面波假設(shè)

平面波只是一種理想化模型。波前面離開波源足夠遠(yuǎn)時(shí)，可以把波前面近似地看作平面，叫做平面波。平面波分類根據(jù)波函數(shù)對時(shí)間的依賴關(guān)系：脈沖型、簡諧型；根據(jù)振幅隨場點(diǎn)坐標(biāo)的變化：均勻平面波、非均均平面波；一維波動方程的解由于平面被的波前面是一系列互相平行的平面，因此，同一波前面上各點(diǎn)振動情況完全相同，所以對于沿某一方向傳播的平面波，我們可以選擇一個坐標(biāo)系，使得波就象在其中某一個坐標(biāo)軸方向上傳播一樣。

當(dāng)前第37頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)行波法解令波傳播方向沿ox1軸，則ui=ui(x1,t)；則此時(shí)的波動方程為：由達(dá)朗貝爾方程，得一維波動方法為：當(dāng)前第38頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)上式即為一維波動方程的通解，f1,f2為任意函數(shù)。當(dāng)前第39頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)上式意義f1(x-vt)表示由波源出發(fā)，以速度v，沿ox軸方向傳播的行波；?f2(x+vt)表示由無窮遠(yuǎn)處出發(fā)，以速度v，沿ox軸負(fù)方向傳播的行波；?坐標(biāo)軸上某點(diǎn)處的波是由上述兩種行波干涉波疊加的結(jié)果；上述行波法只考慮了波的傳播，沒有考慮波的初始擾動和邊界情況等因素；因此，所得解沒有太多實(shí)用價(jià)值。當(dāng)前第40頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)地震波傳播的邊界條件和初始條件邊界條件給定了彈性體在其邊界面上所滿足的條件，即稱之為邊界條件。位移邊界條件：在彈性體的所有邊界面上都給定了位移Su。此類問題稱為第一類邊值問題。應(yīng)力邊界條件：在彈性體的所有邊界面上都給定了表面力St。此類問題稱為第二類邊值問題?；旌线吔鐥l件：彈性體的邊界面可以分成兩部分，一部分給定了位移Su，另一部分給定了表面力St。此類問題稱為第三類邊值問題。當(dāng)前第41頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)初始條件

給定了彈性體在時(shí)刻t時(shí)的位移和速度，稱為初始條件。如：定解條件

將所給的彈性體的邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件。由波動方程的通解和定解條件，就可以確定特定地震波的傳播。當(dāng)前第42頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)例題設(shè)理想彈性體構(gòu)成的彈性半空間，如圖所示，如果彈性體材料的拉梅系數(shù)和密度已知，所受體力f=ge3(g為常數(shù))，其邊界面上x3=0為自由界面，x3=h時(shí)u3=0。試求彈性體在均勻體力作用下的位移和應(yīng)力分布。解因?yàn)閺椥泽w處于靜力平衡狀態(tài)，而且，其在ox1、ox2方向上不受力，僅在ox3方向受力。因此，有：x1x3當(dāng)前第43頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)由于彈性體處于靜力平衡狀態(tài)，所以其速度和加速度為0。由于x3=0處的界面為自由界面，所以其法向受力為0。當(dāng)前第44頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)從而由幾何方程和本構(gòu)方程即可求出對應(yīng)的應(yīng)變張量和應(yīng)力張量！當(dāng)前第45頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)例2.設(shè)理想彈性體構(gòu)成的彈性半空間，如圖所示，如果彈性體材料的拉梅系數(shù)和密度已知。在t=0時(shí)，處于靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)t>0時(shí)，受均勻壓力P(t)，不計(jì)體力。試求：t>0時(shí)該彈性體的位移場和應(yīng)力場。x1x3P(t)當(dāng)前第46頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)定解條件下一維平面波的解當(dāng)前第47頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)沿任意方向傳播的平面波

一般情況下平面波不一定沿坐標(biāo)軸方向傳播，這時(shí)波函是坐標(biāo)變量xi的函數(shù)。在直角坐標(biāo)系下其方程為：當(dāng)前第48頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

設(shè)平面波在ox'1方向上傳播，n是波前面的法向量，顯然n與ox'1軸的正方向一致。

則平面波的通解為：X1’波陣面上任意一點(diǎn)P都滿足上式，則P點(diǎn)在x'1軸上的坐標(biāo)為:當(dāng)前第49頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

平面波的等相位面為：平面波的傳播條件

在均勻無限彈性空間中，平面波的位移為ui，波傳播的方向?yàn)閚，由于只有從振源出發(fā)的平面波才有實(shí)際意義，則位移可寫為：當(dāng)前第50頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

將以上四式代入納維方程，并令體力為零，于是得：選波沿ox3軸傳播，則n1=n2=0,n3=1

上式是關(guān)于振幅a1,a2,a3的三個齊方程，它有不為零解的條件是它們的行列式為“0”。當(dāng)前第51頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)這一結(jié)果表明，平面波在均勻無限彈性體內(nèi)，只能以速度vP或速度vS傳播。波的質(zhì)點(diǎn)位移與波的傳播方向間的關(guān)系縱波情況位移標(biāo)量場的標(biāo)量勢f滿足波動方程當(dāng)時(shí)研究沿n之正方向傳播的波時(shí)，有：當(dāng)前第52頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

物理意義：在無旋波場中，質(zhì)點(diǎn)位移方向與波的傳播方向一致，通常稱之為縱波。橫波情況位移矢量場的矢量勢y滿足方程當(dāng)研究沿n之正方向傳播的波時(shí)，有：當(dāng)前第53頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

物理意義：無散波場中質(zhì)點(diǎn)位移方向與波的傳播方向垂直，通常稱為橫波。波前面的應(yīng)力分布

當(dāng)彈性體在介質(zhì)中傳播時(shí)，介質(zhì)由于變形產(chǎn)生應(yīng)力，由廣義虎克定律可知：

當(dāng)前第54頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)

當(dāng)前第55頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)平面波的分離變量法解要使上式對于任意的xi和t，都成立，則每一個求和項(xiàng)必為一常數(shù)，令其為-ki2。當(dāng)前第56頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)解上述4個方程，得：當(dāng)前第57頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)∴平面波的解可改寫為視速度定理當(dāng)前第58頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)非均勻平面波

如果波的等位相面各點(diǎn)振動幅值不等，即等位相面和等振幅面并不平行，則稱之為非均勻平面波。

對于一般平面波來說，其波函數(shù)可取為：如果平面波是非均勻平面波時(shí)，則波數(shù)為復(fù)數(shù)此時(shí)，kj為實(shí)數(shù)由上式非均勻平面簡諧波的波函數(shù)可知，其振幅不是常數(shù)，與空間點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)。當(dāng)前第59頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)由以上3個等式可知，此時(shí)等相位面與等振幅面相互垂直。波的傳播方向?yàn)榈认辔幻娴姆ň€方向；波的衰減方向?yàn)榈日穹娴姆ň€方向。當(dāng)前第60頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)非均勻平面波的特點(diǎn)結(jié)論非均勻波不能在全空間中傳播，它只能存在于介質(zhì)的表面附近。這類波通常稱為表面波。任一非均勻平面波都可看作由許多均勻簡諧平面波迭加而成。當(dāng)前第61頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)球面波

如果彈性介質(zhì)的位移矢量場具有球?qū)ΨQ性，且僅是空間變量r與時(shí)間變量t的函數(shù)，而與方位角q、j

無關(guān)，這樣的波稱為球面波。直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系可表示為：當(dāng)前第62頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)當(dāng)前第63頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)§6.6有源地震波的傳播構(gòu)成半空間的理想彈性體的密度、拉梅系數(shù)已知。當(dāng)t=0時(shí)，彈性體處理靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)t>0時(shí)，彈性體受到均勻壓力P(t)的作用，不計(jì)體力。求t>0時(shí)，彈性體內(nèi)的位移場及應(yīng)力場。分析：此問題同樣是個一維問題

u1=u2=0u3=u3(x3,t)x1x3當(dāng)前第64頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)當(dāng)t>0時(shí)，彈性體在x3=0的表面上受力為t1=t2=0,t3=P(t)。當(dāng)t=0時(shí)，彈性體處于平衡、靜止?fàn)顟B(tài)當(dāng)前第65頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)當(dāng)前第66頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)由已知的位移場，即可求出應(yīng)變張量場和應(yīng)力張量場。由上式可知，對應(yīng)特定的時(shí)刻t來說，對于x3>vt的區(qū)域，彈性體還沒有開始振動；對于x3≤vt的區(qū)域，彈性體質(zhì)點(diǎn)位移由上式給出。當(dāng)前第67頁\共有84頁\編于星期三\10點(diǎn)無界彈性體中球腔振源產(chǎn)生的波無界的理想彈性體內(nèi)有如圖所示的空球腔，半徑為a，受力前處于靜止?fàn)顟B(tài)。今突然在球腔壁上突然施加均勻壓力p0H(t)，其中p0為常數(shù)，H(t)為階躍