新教材人教B版必修第三冊(cè)72722單位圓與三角函數(shù)線學(xué)案

單位圓與三角函數(shù)線學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切．(重點(diǎn))2．能利用三角函數(shù)線解決一些簡(jiǎn)潔的三角函數(shù)問(wèn)題．(難點(diǎn))1．通過(guò)三角函數(shù)線概念的學(xué)習(xí)，培育同學(xué)的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng)．2．借助三角函數(shù)線的應(yīng)用，培育同學(xué)的規(guī)律推理及直觀想象核心素養(yǎng).江南水鄉(xiāng)，水車在清清的河流里悠悠轉(zhuǎn)動(dòng)，緩緩地把河流里的水倒進(jìn)水渠，流向綠油油的大地，流向漂亮的大自然，在水車轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬間，同學(xué)們能想到些什么呢？問(wèn)題將圖中的水車抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，建立平面直角坐標(biāo)系(如下圖)，設(shè)水車的輪廓為單位圓．在平面直角坐標(biāo)系中，任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸．過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，交α的終邊或其反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到sinα，cosα，tanα與eq\o(MP,\s\up7(→))，eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(AT,\s\up7(→))的關(guān)系嗎？提示sinα＝eq\o(MP,\s\up7(→))，cosα＝eq\o(OM,\s\up7(→))，tanα＝eq\o(AT,\s\up7(→)).1．單位圓與三角函數(shù)(1)單位圓：在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿意x2＋y2＝1的點(diǎn)組成的集合．(2)三角函數(shù)與單位圓：角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，如圖：那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，那么角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(cos_α，sin_α)．思索：?jiǎn)挝粓A的圓心和半徑分別是什么？[提示]單位圓的圓心在原點(diǎn)，半徑為單位長(zhǎng)度即半徑等于1.2．三角函數(shù)線(1)作圖：①角α的終邊與單位圓交于P，過(guò)P作PM垂直于x軸，垂足為M.②過(guò)A(1,0)作x軸的垂線，交角α的終邊或其反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)T.(2)圖示：(3)結(jié)論：向量eq\o(MP,\s\up7(→))，eq\o(OM,\s\up7(→))，eq\o(AT,\s\up7(→))分別稱為角α的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線．思索：(1)三角函數(shù)線的長(zhǎng)度與三角函數(shù)的值有何關(guān)系？(2)三角函數(shù)線的方向能表示三角函數(shù)的正負(fù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[提示](1)三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值的肯定值．(2)能，當(dāng)三角函數(shù)線與x軸(或y軸)正向同向時(shí)，所表示三角函數(shù)值為正的，與x軸(或y軸)正向反向時(shí)，所表示三角函數(shù)值為負(fù)的．1．思索辨析(對(duì)的打“√〞，錯(cuò)的打“×〞)(1)角α的正弦線的長(zhǎng)度等于sinα. ()(2)對(duì)任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線． ()(3)余弦線和正切線的始點(diǎn)都是原點(diǎn)． ()[提示](1)×.角α的正弦線的長(zhǎng)度等于|sinα|.(2)×.90°角不能作正切線．(3)×.正切線的始點(diǎn)是(1,0)．[答案](1)×(2)×(3)×2．如圖，在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的選項(xiàng)是()A．正弦線eq\o(PM,\s\up7(→))，正切線eq\o(A′T′,\s\up7(→))B．正弦線eq\o(MP,\s\up7(→))，正切線eq\o(A′T′,\s\up7(→))C．正弦線eq\o(MP,\s\up7(→))，正切線eq\o(AT,\s\up7(→))D．正弦線eq\o(PM,\s\up7(→))，正切線eq\o(AT,\s\up7(→))C[由三角函數(shù)線的定義知C正確．]3．角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)有相同的()A．正弦線 B．余弦線C．正切線 D．不能確定C[eq\f(π,5)與eq\f(6π,5)的終邊互為反向延長(zhǎng)線，故它們有相同的正切線．]4．角eq\f(5π,6)的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))[由于角eq\f(5π,6)的終邊與單位圓的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，縱坐標(biāo)是sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，所以角eq\f(5π,6)的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).]三角函數(shù)線的作法及應(yīng)用【例1】(1)角α(0<α<2π)的正、余弦線的長(zhǎng)度相等，且正、余弦符號(hào)相異，那么α的值為()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(7π,4) D．eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4)(2)作出eq\f(3,4)π的正弦線、余弦線和正切線．(1)D[依據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)可知，當(dāng)角α在二、四象限時(shí)，角α的正弦、余弦符號(hào)相反．又角α的正、余弦線的長(zhǎng)度相等，0<α<2π，所以α＝eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4).](2)[解]在直角坐標(biāo)系中作單位圓，如下圖，以O(shè)x軸為始邊作角eq\f(3,4)π，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，作PM⊥Ox軸，垂足為M，由單位圓與Ox軸正方向的交點(diǎn)A作Ox軸的垂線，與OP的反向延長(zhǎng)線交于T點(diǎn)，那么sineq\f(3,4)π＝eq\o(MP,\s\up7(→))，coseq\f(3,4)π＝eq\o(OM,\s\up7(→))，taneq\f(3,4)π＝eq\o(AT,\s\up7(→))，即eq\f(3,4)π的正弦線為eq\o(MP,\s\up7(→))，余弦線為eq\o(OM,\s\up7(→))，正切線為eq\o(AT,\s\up7(→)).三角函數(shù)線的作法步驟1作直角坐標(biāo)系和角的終邊.2作單位圓，圓與角的終邊的交點(diǎn)為P，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A.3過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M.4過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)T.5即向量eq\o(MP,\s\up7(→))，\o(OM,\s\up7(→))，\o(AT,\s\up7(→))分別為角的正弦線，余弦線和正切線.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)角α的正弦線的長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，那么角α的終邊()A．在x軸上 B．在y軸上C．在直線y＝x上 D．在直線y＝－x上(2)作出－eq\f(5π,8)的正弦線、余弦線和正切線．(1)B[依據(jù)正弦線的定義知，|sinα|＝1，所以sinα＝±1，所以角α的終邊在y軸上．](2)[解]如下圖，所以角－eq\f(5π,8)的正弦線為eq\o(MP,\s\up7(→))，余弦線為eq\o(OM,\s\up7(→))，正切線為eq\o(AT,\s\up7(→)).利用單位圓解三角不等式【例2】在單位圓中畫(huà)出適合以下條件的角α終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).[思路探究]作出滿意sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)的角的終邊，然后依據(jù)條件確定角α終邊的范圍．[解](1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)，交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，那么OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影局部)即為角α的終邊的范圍．故滿意條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z))).(2)作直線x＝－eq\f(1,2)，交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC與OD，那么OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影局部)即為角α的終邊的范圍．故滿意條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z))).1．用三角函數(shù)線來(lái)解根本的三角不等式的步驟(1)作出取等號(hào)的角的終邊；(2)利用三角函數(shù)線的直觀性，在單位圓中確定滿意不等式的角的范圍；(3)將圖中的范圍用不等式表示出來(lái)．2．求與三角函數(shù)有關(guān)的定義域時(shí)，先轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)，然后借助三角函數(shù)線解此不等式(組)即可得函數(shù)的定義域．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．求y＝lg(1－eq\r(2)cosx)的定義域．[解]如下圖，由于1－eq\r(2)cosx＞0，所以cosx＜eq\f(\r(2),2)，所以2kπ＋eq\f(π,4)＜x＜2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)，所以函數(shù)定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(7π,4)))(k∈Z)．三角函數(shù)線的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．為什么在三角函數(shù)線上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1，tanα)呢？[提示]由三角函數(shù)的定義可知sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，而在單位圓中，r＝1，所以單位圓上的點(diǎn)都是(cosα，sinα)；另外角的終邊與直線x＝1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是1，所以依據(jù)tanα＝eq\f(y,x)，知縱坐標(biāo)y＝tanα，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1，tanα)．2．如何利用三角函數(shù)線比擬大?。縖提示]利用三角函數(shù)線比擬三角函數(shù)值的大小時(shí)，一般分三步：(1)角的位置要“對(duì)號(hào)入座〞；(2)比擬三角函數(shù)線的長(zhǎng)度；(3)確定有向線段的正負(fù)．【例3】α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，試比擬sinα，α，tanα的大小．[思路探究]此題可以利用正弦線，所對(duì)的弧長(zhǎng)及正切線來(lái)表示sinα，α，tanα，并借助它們所在的扇形及三角形的面積大小來(lái)解決．[解]如下圖，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，單位圓交x軸正半軸于點(diǎn)A，作PM⊥x軸，作AT⊥x軸，交α的終邊于點(diǎn)T，由三角函數(shù)線定義，得sinα＝MP，tanα＝AT，又α＝eq\o(AP,\s\up10(︵))的長(zhǎng)，所以S△AOP＝eq\f(1,2)·OA·MP＝eq\f(1,2)sinα，S扇形AOP＝eq\f(1,2)·eq\o(AP,\s\up10(︵))·OA＝eq\f(1,2)·eq\o(AP,\s\up10(︵))＝eq\f(1,2)α，S△AOT＝eq\f(1,2)·OA·AT＝eq\f(1,2)tanα.又由于S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，所以sinα＜α＜tanα.利用三角函數(shù)線比擬函數(shù)值大小的關(guān)鍵及留意點(diǎn)(1)關(guān)鍵：在單位圓中作出所要比擬的角的三角函數(shù)線．(2)留意點(diǎn)：比擬大小，既要留意三角函數(shù)線的長(zhǎng)短，又要留意方向．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．比擬以下各組數(shù)的大?。?1)coseq\f(4π,7)和coseq\f(5π,7)；(2)sineq\f(π,7)和taneq\f(π,7).[解](1)如圖，在單位圓中作出eq\f(4π,7)和eq\f(5π,7)的余弦線eq\o(OM2,\s\up7(→))和eq\o(OM1,\s\up7(→)).由于|eq\o(OM1,\s\up7(→))|>|eq\o(OM2,\s\up7(→))|且eq\f(4π,7)和eq\f(5π,7)的余弦均為負(fù)數(shù)，所以coseq\f(4π,7)>coseq\f(5π,7).(2)如圖，分別作出eq\f(π,7)的正弦線和正切線，由圖知，角eq\f(π,7)的正弦線和正切線分別為eq\o(MP,\s\up7(→))，eq\o(AT,\s\up7(→))，由于|eq\o(MP,\s\up7(→))|<|eq\o(AT,\s\up7(→))|且eq\f(π,7)的正弦和正切均為正數(shù)，所以taneq\f(π,7)>sineq\f(π,7).1．應(yīng)用三角函數(shù)線比擬大小的策略(1)三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的表達(dá)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長(zhǎng)度是三角函數(shù)值的肯定值．(2)比擬兩個(gè)三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長(zhǎng)度，還要看其方向．2．利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法①正弦、余弦型不等式的解法對(duì)于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解關(guān)鍵是找恰當(dāng)?shù)貙で簏c(diǎn)，只需作直線y＝b或x＝a與單位圓相交，連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置，此時(shí)再依據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍．②正切型不等式的解法對(duì)于tanx≥c，取點(diǎn)(1，c)連接該點(diǎn)和原點(diǎn)并反向延長(zhǎng)，即得角的終邊所在的位置，結(jié)合圖像可確定相應(yīng)的范圍．3．把握4個(gè)要點(diǎn)理解三角函數(shù)線應(yīng)留意以下四點(diǎn)(1)位置：三條有向線段中有兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外；(2)方向：正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向切線與α的終邊(或其延長(zhǎng)線)的交點(diǎn)；(3)正負(fù)：三條有向線段中與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值；(4)書(shū)寫(xiě)：有向線段的始點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后．1．α(0＜α＜2π)的正弦線和余弦線長(zhǎng)度相等，且符號(hào)相同，那么α的值為()A．eq\f(3π,4)或eq\f(π,4) B．eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)C．eq\f(π,4)或eq\f(5π,4) D．eq\f(π,4)或eq\f(7π,4)C[由題意α的終邊為一、三象限的平分線，且0＜α＜2π，故得α＝eq\f(π,4)或eq\f(5π,4).]2．在[0,2π]上滿意sinx≥eq\f(1,2)的x的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))) D．eq\b\lc\[\rc\](