開普勒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用

開普勒定律的推導(dǎo)及應(yīng)用江蘇南京師范大學(xué)物科院王勇江蘇海安曲塘中學(xué)周延懷隨著人類航天技術(shù)的飛速發(fā)展和我國(guó)嫦娥繞月衛(wèi)星的發(fā)射成功，以天體運(yùn)動(dòng)為載體的問題將成為今后考查熱點(diǎn)。在現(xiàn)行的高中物理教材中主要引用了開普勒三大定律來描述了天體的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，這三條定律的主要內(nèi)容如下：

（1）所有行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上。

（2）對(duì)任意一個(gè)行星來說，它與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。

（3）所有行星的軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值。

至于行星繞太陽的軌道為何是橢圓以及中的常量C與那些量相關(guān)并無說明。為了更深入的理解天體和人造衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律，本文將以橢圓的性質(zhì)為基礎(chǔ)從理論上推導(dǎo)開普勒定律。

一、開普勒第一定律

1．地球運(yùn)行的特點(diǎn)

（1）由于地球始終繞太陽運(yùn)動(dòng)，則太陽對(duì)地球的萬有引力的力矩始終為零，所以地球在運(yùn)動(dòng)過程中角動(dòng)量守恒。

（2）若把太陽與地球當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，由于萬有引力為保守力且無外力作用在這個(gè)系統(tǒng)上，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

2．地球運(yùn)行軌跡分析

地球在有心力場(chǎng)中作平面運(yùn)動(dòng)且萬有引力的作用線始終通過太陽，所以建立如圖所示的極坐標(biāo)系，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(r，θ)。

若太陽質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為m，極徑為r時(shí)地球運(yùn)行的運(yùn)行速度為v。

當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)行速度與極徑r垂直時(shí)，則地球運(yùn)行過程中的角動(dòng)量

（1）

若取無窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零參考點(diǎn)，則引力勢(shì)能，地球在運(yùn)行過程中的機(jī)械能

（2）

（1）式代入（2）式得：

（3）

由式（3）得：

（4）

由式（4）可知，當(dāng)?shù)厍虻倪\(yùn)行速度與極徑r垂直時(shí)，地球運(yùn)行的極徑r有兩解，由于初始假設(shè)地球的運(yùn)行速度與極徑垂直，所以r為地球處在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)距太陽的距離?？紤]到地球的這兩個(gè)位置在極坐標(biāo)系中分別相當(dāng)于和，可把式（4）中的號(hào)改寫為更普遍的形式極坐標(biāo)方程。

則地球的運(yùn)行軌跡方程為

（5）

（5）式與圓錐曲線的極坐標(biāo)方程吻合，其中

（p為決定圓錐曲線的開口），（e為偏心率，決定運(yùn)行軌跡的形狀），所以地球的運(yùn)行軌跡為圓錐曲線。由于地球繞太陽運(yùn)動(dòng)時(shí)E<0，則圓錐曲線的偏心率，所以地球繞太陽運(yùn)行的軌跡為橢圓。

3．人造星體的變軌

式（4）代入（3）式得C，由此式可知繞同一中心天體運(yùn)行的人造星體軌道半長(zhǎng)軸的三次方跟它們的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值由中心天體的質(zhì)量所決定。

例

飛船沿半徑為R

的圓周繞地球運(yùn)動(dòng)，其周期為T，如圖所示如果飛船要返回地面，可在軌道上的某點(diǎn)A將速度降低到適當(dāng)?shù)臄?shù)值，從而使飛船沿著地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，橢圓與地球表面在B點(diǎn)相切，求飛船由A

點(diǎn)到B

點(diǎn)所需的時(shí)間。(已知地球半徑為R0)

分析：無論飛船是沿圓軌道運(yùn)行還是沿橢圓軌道運(yùn)行，飛船都是繞地球運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)行時(shí)間與軌道之間的關(guān)系滿足C，故有

解得

則飛船由A點(diǎn)到B

點(diǎn)所需的時(shí)間為