第04講空間向量及其運算（原卷版）

第04講空間向量及其運算【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)λ>0時，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。知識點五：空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當(dāng)a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1.定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2.利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應(yīng)注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。知識點八：空間向量的長度定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2.利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！绢}型歸納目錄】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算題型二：共線向量定理的應(yīng)用題型三：共面向量及應(yīng)用題型四：空間向量的數(shù)量積題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度【典型例題】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動C．如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）化簡所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）正六棱柱中，設(shè)，，，那么等于（

）A． B． C． D．5．（2022·福建省福安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．（多選題）6．（2022·福建寧德·高二期中）如圖正四棱柱，則下列向量相等的是（

）A．與 B．與C．與 D．與7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在長方體中，若，，，則與有相等模的向量共有______個．8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若、、、為空間不同的四點，則下列各式為零向量的序號是_______．①；②；③；④．9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）化簡算式：______．10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知為正方體且，，，則______．11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）平行六面體中，若，，，那么______．12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在長方體中，E為棱上任意一點.只考慮以長方體的八個頂點及點E的兩點為始點和終點的向量，分別寫出：(1)的相等向量，的負向量；(2)用另外兩個向量的和或差表示；(3)用三個或三個以上向量的和表示（舉兩個例子）.13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在以長方體的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中．(1)試寫出與相等的所有向量；(2)試寫出的相反向量．14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC?BD?EF，點E?F?G分別是BC?CD?DB的中點，請化簡下列算式，并標(biāo)出化簡得到的向量.(1)；(2).題型二：共線向量定理的應(yīng)用1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知空間四邊形ABCD，點E?F分別是AB與AD邊上的點，M?N分別是BC與CD邊上的點，若，，，，則向量與滿足的關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若，，，則??（

）A．可組成銳角三角形 B．可組成直角三角形C．可組成鈍角三角形 D．不構(gòu)成三角形3．（2022·全國·高二）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對4．（2022·全國·高二）下列命題中正確的是（

）.A．若與共線，與共線，則與共線.B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．若兩個非零空間向量與滿足，則D．若，則存在唯一的實數(shù)，使5．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）（多選題）下列命題中不正確的是（

）A．若與共線，與共線，則與共線B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．若兩個非零空間向量，，滿足，則∥D．若∥，則存在唯一的實數(shù)λ，使=λ6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在正方體中，點E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心，若，則______．7．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）設(shè)是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)______．．8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為________.9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知非零向量，不共線，則使與共線的的值是________．10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點，判斷與是否共線？11．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點共線．12．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．題型三：共面向量及應(yīng)用1．（2022·上海市控江中學(xué)高二期中）下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇常州·高二期中）對于空間任意一點，若，則A，B，C，P四點（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點位置有關(guān)3．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）A，B，C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點O，若，則P，A，B，C四點（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷是否共面4．（2022·江蘇· 高二期中）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)為空間中任意一點，若，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)為空間中任意一點，若，則（

）A．2 B． C．1 D．6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實數(shù)等于_________．7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝______．8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知是空間任一點，四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且，則________.9．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）如圖四棱錐中，四邊形為菱形，，則______．10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段，，于點，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，，，.(1)求證：四點共面；(2)平面平面.12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在長方體中，E是棱的中點，O是面對角線與的交點．試判斷向量與、是否共面．13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量不共面，并且，判斷向量是否共面，并說明理由．14．（2022·湖南·高二課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，并且使．求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面．題型四：空間向量的數(shù)量積1．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．（多選題）2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在棱長為2的正四面體中，點滿足，點滿足，則點與平面的位置關(guān)系是______；當(dāng)最小且最小時，______．4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）化簡：________.5．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學(xué)高二階段練習(xí)）在三棱錐中，已知，，，則___________6．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二期中）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于1，點，分別是，的中點，則的值為_________.7．（2022·全國·高二單元測試）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當(dāng)最短時，_______．8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知空間四邊形中，，則______．9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）三棱錐中，，，，則______．10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，若E?F分別是AB?AD的中點，則___________，___________，___________，___________.11．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．12．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判斷與是否垂直．題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角1．（2022·全國·高二）在正四面體中，、分別為棱、中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)高二期中）在平行六面體中，，，，，則（

）A． B． C．0 D．3．（2022·湖南·高二期末）如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（

）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知空間向量滿足，，則與的夾角為（

）A．30° B．45°C．60° D．以上都不對5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（

）A．B．C．向量與的夾角是D．與所成角的余弦值為6．（2022·全國·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.7．（2022·河南濮陽·高二開學(xué)考試（理））空間四邊形，，，則的值為__________．8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．(1)求；(2)求與的夾角的大??；(3)判斷與是否垂直．9．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長度為4，且.用向量法求:(1)的長;(2)直線與所成角的余弦值.10．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學(xué)校高二期末）平行六面體，(1)若，，，，，，求長；(2)若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知是空間向量，根據(jù)下列各條件分別求：(1)；(2)；(3)；(4).12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知都是空間向量，且，求.13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知在平行六面體中，，，，且.（1）求的長；（2）求與夾角的余弦值.14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，平行六面體中，，，與AB、AD的夾角都為求：（1）的長；

（2）與AC所成的角的余弦值．題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度1．（2022·遼寧·遼河油田第一高級中學(xué)高二期末）在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·高二期末）若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（

）A．5 B． C． D．（多選題）3．（2022·全國·高二）在四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，，則下列選項正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若