數(shù)學(xué)文化勾股定理

數(shù)學(xué)文化勾股定理第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第24屆“國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)”（ICM）

被譽(yù)為國(guó)際數(shù)學(xué)界的“奧林匹克”

InternationalCongressofMathematicians

數(shù)學(xué)文化第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第24屆“國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)”會(huì)標(biāo)第二十四屆：2002年8月20日至28日中國(guó)北京。來(lái)自１００多個(gè)國(guó)家和地區(qū)的約４０００名數(shù)學(xué)家出席了大會(huì)。大會(huì)期間，有２０位數(shù)學(xué)家做大會(huì)一小時(shí)報(bào)告，１７４人做４５分鐘報(bào)告。大會(huì)主席吳文俊、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者納什等做了以數(shù)學(xué)史和博弈論為題的公眾報(bào)告。第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日為2002北京“國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)”發(fā)行的

紀(jì)念郵資明信片JP108第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日主講：徐夢(mèng)博復(fù)習(xí)專(zhuān)題：《勾股定理》“勾股定理”是我們最熟悉的平面幾何中的一個(gè)最著名、最精彩、最有用的一條定理，是數(shù)學(xué)大廈的一塊基石，被天文學(xué)家開(kāi)普勒譽(yù)為幾何學(xué)的一大寶藏。溫故而知新第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日專(zhuān)題一：《勾股定理》引言：

“勾股定理”的探索和證明蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想和研究方法，是培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的載體。它對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有重要的作用。

勾股定理是一壇陳年佳釀，品之芬芳，余味無(wú)窮，以簡(jiǎn)潔優(yōu)美的形式，豐富深刻的內(nèi)涵刻畫(huà)了自然界和諧統(tǒng)一的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的優(yōu)美典范。第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日.通過(guò)本章對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，深入了解勾股定理的歷史文化背景。1．從“探索勾股定理”中溫故知新．2．從“驗(yàn)證勾股定理”中提高說(shuō)理能力3.從“應(yīng)用勾股定理”中提高解決問(wèn)題能力。復(fù)習(xí)目標(biāo)第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日探索勾股定理第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日一、《周髀算經(jīng)》與“勾股定理”《周髀算經(jīng)》是中國(guó)現(xiàn)存最早的一部數(shù)學(xué)典籍，成書(shū)時(shí)間大約在兩漢之間。《周髀算經(jīng)》是一部天文著作，為討論天文歷法，而敘述一些有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，其中重要的題材有勾股定理、比例測(cè)量與計(jì)算天體方位所不能避免的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算。

《周髀算經(jīng)》(西漢,約公元前200年)第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日《周髀算經(jīng)》卷上記載西周開(kāi)國(guó)時(shí)期（約公元前1100年）周公與大夫商高討論勾股測(cè)量的對(duì)話，商高答周公問(wèn)時(shí)提到“勾三，股四，經(jīng)五”，這是勾股定理的特例。卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀(jì)）的對(duì)話中，則包含了勾股定理的普遍形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。”第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

中國(guó)數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的是三國(guó)時(shí)期的趙爽（公元3世紀(jì)）。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中，采用證明幾何問(wèn)題的割補(bǔ)原理，利用“弦圖”，證明了勾股定理。第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

方田《九章算術(shù)》

粟米

衰分

少?gòu)V

商功

均輸

盈不足

方程

勾股《九章算術(shù)》是一部問(wèn)題集形式的算書(shū)，共246個(gè)問(wèn)題，采用“問(wèn)、答、術(shù)”的形式進(jìn)行編排，共202術(shù)，按不同算法的類(lèi)型，分為九章。成書(shū)于公元前100年左右，作者不詳。中國(guó)最著名、最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)經(jīng)典中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的代表作中國(guó)古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)的典范第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

二、勾股定理在西方畢達(dá)哥拉斯定理（尼加拉瓜，1971）

第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日在西方，“勾股定理”被稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理”，于公元前500年左右由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（學(xué)派）發(fā)現(xiàn)。相傳因這一發(fā)現(xiàn)，曾宰牛百頭慶賀，此定理也稱(chēng)為“百牛定理”該學(xué)派最大的特點(diǎn)是宣稱(chēng)宇宙萬(wàn)物的主宰者(上帝)用數(shù)來(lái)統(tǒng)御宇宙,認(rèn)為萬(wàn)物包含數(shù),即:“萬(wàn)物皆數(shù)”(這里的數(shù)是指整數(shù)與整數(shù)之比).第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日ABC

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.a2+b2=c2勾股定理A的面積+B的面積=C的面積abc第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日驗(yàn)證勾股定理第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、勾股定理的證明

由于勾股定理的重要性，盡管該定理早已被證明，許多人仍然愿意探索該定理的新證明。據(jù)初略統(tǒng)計(jì)，世界上已有400余種證明勾股定理的方法。僅我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這一定理證明方法之多是任何其他定理無(wú)法比擬的。

第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日重點(diǎn)介紹幾種特殊而優(yōu)美的證法（一）趙爽證法（二）劉徽證法（三）畢達(dá)哥拉斯證法（四）歐幾里得證法（五）總統(tǒng)證法第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日，化簡(jiǎn)得：

（一）趙爽證法公元3世紀(jì)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的“弦圖”：

第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日（二）劉徽證法

我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》注作中，提出以「出入相補(bǔ)」的原理來(lái)證明「勾股定理」中給出的“青朱出入圖”：第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日ba

(a+b)2 = c2+4(?ab)

a2+2ab+b2 = c2+2ab

a2+b2 = c2c（三）畢達(dá)哥拉斯證法（割補(bǔ)法）第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日歐幾里得的《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)成果、思想、方法和精神的結(jié)晶。是整個(gè)科學(xué)史上發(fā)行最廣使用時(shí)間最長(zhǎng)的書(shū)，成為數(shù)學(xué)的“圣經(jīng)”。全書(shū)共分13卷，包括5條公理、5個(gè)公設(shè)、119個(gè)定義和465條命題，構(gòu)成了世界上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。（四）歐幾里得證法第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日證法四：（歐幾里得證法公元前3世紀(jì)）“新娘的轎椅”或“修士的頭巾”

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，連接BK、CD。AK=ACAB=AD∠KAB=∠CAD△KAB≌△CADS

正方形KACH=

S

四邊形ADNM同理：S

正方形BCGF=

S

四邊形BENMS

正方形KACH+

S

正方形BCGF=

S

四邊形ADNM+

S

四邊形BENMS

△KAB=

S

△CAD∴S

正方形KACH+

S

正方形BCGF=

S

四邊形ADEB第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日（五）總統(tǒng)證法：（伽菲爾德證法1876年）ABCDE梯形ABCD的面積＝梯形ABCD的面積＝∴∴1881年成為美國(guó)第20任總統(tǒng)1876年提出有關(guān)證明第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日四、勾股定理的重要性勾股定理的證明是論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，它是歷史上第一個(gè)把形與數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理，即第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理。勾股定理導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，加深了人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步發(fā)展。勾股定理是歷史上第一個(gè)給出不定方程的解答，從而促使費(fèi)馬大定理的提出。（這是一只下金蛋的鵝，數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)350年的歷程才獲得解決，這期間給整個(gè)數(shù)學(xué)界帶來(lái)了巨大的財(cái)富。）第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第一次數(shù)學(xué)危機(jī)起因:無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)(希帕蘇斯悖論)

解決:

歐多克斯,創(chuàng)立了比例論,暫時(shí)消除了由無(wú)理數(shù)引起的第一次數(shù)學(xué)危機(jī);

直至1872年，現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的奠基人之一的狄德金（德國(guó)）提出了狄德金分割，給出了無(wú)理數(shù)與連續(xù)性的純算術(shù)的定義。意義：直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。

第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日應(yīng)用勾股定理第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日一、分類(lèi)討論思想1.直角三角形中，已知兩條邊,不知道是直角邊還是斜邊時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論。規(guī)律2.當(dāng)已知條件中沒(méi)有給出圖形時(shí)，應(yīng)認(rèn)真讀句畫(huà)圖，避免遺漏另一種情況。第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求BC的長(zhǎng)度。∟DABC1.已知:直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是3,4,X,則X2=25或717108ABC1017∟D8BC=BD+CDBC=CD-BC第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日二、方程思想

規(guī)律：直角三角形中，當(dāng)無(wú)法已知兩邊求第三邊時(shí)，應(yīng)采用間接求法：靈活地尋找題中的等量關(guān)系，利用勾股定理列方程。第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例１、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來(lái)嗎？ABC5米(X+1)米x米第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、折疊問(wèn)題第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1.長(zhǎng)方形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長(zhǎng)。ABCDFE810810106xx8-x4?第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日四、展開(kāi)思想第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1.小明家住在18層的高樓，一天，他與媽媽去買(mǎi)竹竿。買(mǎi)最長(zhǎng)的吧！快點(diǎn)回家，好用它涼衣服。糟糕，太長(zhǎng)了，放不進(jìn)去。如果電梯的長(zhǎng)、寬、高分別是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大長(zhǎng)度大約是多少米？你能估計(jì)出小明買(mǎi)的竹竿至少是多少米嗎？第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB≈3米第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例2.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少？2032AB２０２32323ＡＢＣ第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日

例3如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.無(wú)法確定BB8OA2蛋糕ACB８周長(zhǎng)的一半６第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日例1、我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，水深、葭長(zhǎng)各幾何？請(qǐng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問(wèn)題。5X+1XCBA應(yīng)用舉例：第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日作業(yè)思考題：1.最早記載“勾股定理”內(nèi)容的我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作是哪一本？2.我國(guó)最早證明勾股定理的是哪個(gè)朝代的哪位數(shù)學(xué)家？他是怎樣證明的？3.在西方國(guó)家“勾股定理”一般被稱(chēng)為什么定理？4.學(xué)習(xí)勾股定理的文化意義？第四十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日五、勾股定理的文化意義人類(lèi)認(rèn)識(shí)世界、改造世界最初級(jí)的重要工具之一。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載：“禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢(shì)，除滔天之災(zāi)，使注東海，無(wú)漫溺之患，此勾股之所系生也?！边@段話的意思是說(shuō)：大禹為了治理洪水，使江河不決流，根據(jù)地勢(shì)高低，決定水流走向，因勢(shì)利導(dǎo)，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災(zāi)害，是應(yīng)用勾股定理的結(jié)果。

勾股定理產(chǎn)生于生活，并應(yīng)用于實(shí)踐第四十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日Let’ssaytogether在本節(jié)課中,我們……1.本節(jié)主線問(wèn)題情境分析探究得出猜