3-2矩陣的秩匯總課件

第三章向量§2矩陣的秩一矩陣的行向量組與列向量組例如向量組,,…，稱為矩陣A的行向量組．線性方程組的向量表示方程組有解的b能由系數(shù)矩陣的列向量組線性表示．定理1

方程組AX=b有解系數(shù)矩陣的列向量組與增廣矩陣的列向量組等價．1、極大線性無關組i)

線性無關；

簡稱極大無關組.

一個部分組若滿足

定義1為中的一個向量組，它的設ii)

對任意的

,

可經線性表出；二、向量組的秩則稱

為向量組

的一個極大線性無關組，例a1=(12-12),a2=(2411),a3=(122-1)顯然，(-1)a1+a2+(-1)a3=0即a1,a2,a3線性相關而a1，a2線性無關，所以a1,a2是向量組的一個極大線性無關組；類似的還可以知道a1，a3或a2,a3也是向量組的極大線性無關組。由上例：（1）一個向量組的極大線性無關組是不唯一的。（2）不同極大線性無關組含有相同的向量個數(shù)。i)

線性無關；

簡稱極大無關組.

一個部分組若滿足

定義1為中的一個向量組，它的設ii)

對任意的

,

可經線性表出；則稱

為向量組

的一個極大線性無關組，1）一個向量組的極大無關組不是唯一的.注3）一個線性無關的向量組的極大無關組是其自身.4）一個向量組的任意兩個極大無關組都等價.

5）一個向量組的任意兩個極大無關組都含有相同個數(shù)的向量.2）向量組和它的任一極大無關組等價.定理291頁定義2

向量組的極大無關組所含向量個數(shù)稱為這個向量組的秩.

2、向量組的秩性質：一個向量組線性相關它的秩與它所含向量個數(shù)相同；它的秩＜它所含向量個數(shù).1）一個向量組線性無關2）等價向量組必有相同的秩.定理391頁3）若向量組可經向量組

線性表出，則秩

秩

例1設

1）證明：線性無關.2）把擴充成一個極大無關組.4）只含有零向量的向量組沒有極大線性無關組，規(guī)定其秩為0.一個向量組線性相關它的秩與它所含向量個數(shù)相同；它的秩＜它所含向量個數(shù).1）一個向量組線性無關2）等價向量組必有相同的秩.定理391頁

1）證：由于不成比例，2）解：線性無關.由即為自由未知量.解得線性相關.即可經線性表出.例1設由

解得

線性無關.即不能由線性表出.即

知，

再由行列式

存在不全為零的數(shù)使線性相關.故即為由擴充的一個極大無關組.三、矩陣的行秩、列秩、秩定義3矩陣A

的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩；矩陣

A

的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩.定理4

矩陣的行秩＝矩陣的列秩．

矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩，記作秩A

或r(A)或rank(A)。

注：②設，則若則稱A為行滿秩的；

若則稱A為列滿秩的.

①若，則定理5

初等變換不改變矩陣的秩．

注：

定理5告訴我們求

矩陣的秩的方法：

用初等變換將矩陣化成階梯形，非零行的個數(shù)就是矩陣的秩。

定理5

初等變換不改變矩陣的秩．

進一步，初等行變換不改變列向量組的線性關系。同理，初等列變換不改變行向量組的線性關系。

當我們用初等行變換將矩陣化成階梯形，非零行的個數(shù)就是矩陣的秩，且列向量組有相同的線性關系。四、矩陣的行列式秩在一個

s×n矩陣

A中任意選定

k行

k列行列式，稱為矩陣A的一個k級子式．位于這些行和列的交點上的注：矩陣

A的

k級子式共有個.定義4設矩陣A=(aij)m×n有一個r階子式不為0，而所有r+1階子式全為0，則說矩陣A的行列式秩為r。個元素按原來次序所組成的

k級有一個級子式不為0.

定理6

矩陣的秩為的充要條件是的行列式秩為。注：①

的所有級子式等于0；②

若則的不為0的級子式所在行(列)就是A行(列)向量組的一個極大無關組.定理7

設，

則(降秩矩陣)(滿秩矩陣)定理6

矩陣的秩為的充要條件是的行列式秩為。推論1齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的行列式=0只有零解線性相關行列式線性無關行列式n

個

n

維向量推論2五、矩陣秩的計算方法一

初等變換法方法二

利用定理6，等于的行列式秩。原理：

初等變換不改變矩陣的秩；階梯陣的秩等于其中非零行的行數(shù)．

例3

求下列矩陣的秩例4求矩陣A的秩例5

求向量組的極大無關組.解：作矩陣對矩陣A作初等行變換化階梯形由矩陣

B

知線性無關且為極大無關組.提示

行列式秩附

求向量組