IIR濾波器的設(shè)計課件

Ch3.4

IIR濾波器的設(shè)計2023/6/41Digitalfilter的設(shè)計思路:按照任務(wù)要求,確定濾波器的性能指標,用一個因果穩(wěn)定的離散LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)來逼近這一性能指標,H(z)的實現(xiàn):計算機軟件：利用有限精度算法來實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù);專用數(shù)字濾波器硬件；二者的結(jié)合，NankaiUniversity,CYLI,2023/6/42Biomedicalsignalprocessing數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的數(shù)學表示(1)一個濾波器的表示.系統(tǒng)函數(shù)差分方程ItisanARMAfilter.ak:遞歸項(auto-regression,AR)bk:平均項(movingaveraging,MA)N:濾波器的階數(shù)6/4/2023用LTI系統(tǒng)來逼近filter性能當M<=N,N階IIR系統(tǒng);M>=N,H(z):N階IIR系統(tǒng)+(M-N)階的FIR系統(tǒng),以上兩種表示等價，部分分式形式和零極點增益形式IIR系統(tǒng)的逼近,就是找到濾波器的系數(shù)ak,bk，或者是系統(tǒng)的零極點和增益(z,p,k)。NankaiUniversity,CYLI,2023/6/44BiomedicalsignalprocessingLinearphase信號通過線性系統(tǒng)不失真的條件:幅頻特性為一常數(shù)，具有線性相位，why?Supposearg[H()]=-k,輸入和輸出關(guān)系如何？NankaiUniversity,CYLI,2023/6/45BiomedicalsignalprocessingIIR

filter的設(shè)計方法從模擬濾波器H(s)求出數(shù)字濾波器H(z).把DF的技術(shù)指標轉(zhuǎn)化成AF的技術(shù)指標根據(jù)AF指標設(shè)計模擬濾波器H(s),按一定規(guī)則把H(s)轉(zhuǎn)換成H(z)計算機輔助設(shè)計,最優(yōu)化設(shè)計法:依據(jù)某一最優(yōu)化準則,求得在此最佳準則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù),例如:頻域均方差最小準則,即使得實際頻率響應(yīng)|H(ejw)|與所要求的理想|Hd(ejw)|的均方差最小,NankaiUniversity,CYLI,2023/6/46BiomedicalsignalprocessingH(s)H(z)’stwopreservationsStability:Iftheanalogfilteriscausalandstable,thetransformeddigitalfiltershouldbethesametoo.ThismeansthatH(s)haspolesinthelefthalfofsplane,theH(z)shouldhavepolesinsidetheunitcircleinzplane.Frequencyresponse:Bothfiltersshouldhavethesamefrequencyresponse.Thatis,thej?axisinthesplaneshouldbemappedintounitcircleinthezplane.NankaiUniversity,CYLI,2023/6/47Biomedicalsignalprocessing模擬濾波器的特性h(t)為實的，H(s)的極點必成共軛存在，H(s)H*(s)=H(s)H(-s)平方幅度函數(shù)|H(s)|2的極點、零點關(guān)于虛軸(j)對稱,對因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)的極點落在s的左半平面，H(-s)的則落在右半平面，NankaiUniversity,CYLI,2023/6/48Biomedicalsignalprocessing由幅度平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversity,CYLI,2023/6/49Biomedicalsignalprocessing模擬低通濾波器的技術(shù)指標通帶:0~p,通帶中允許的波動為1過渡帶:p~s,振幅響應(yīng)不作明確規(guī)定阻帶:s~,阻帶的衰減為211-1通帶過渡帶阻帶2ps|H()|NankaiUniversity,CYLI,2023/6/410Biomedicalsignalprocessing濾波器的指標(1)幅度響應(yīng),相位響應(yīng),IIR濾波器,不能實現(xiàn)線性相位,只考慮幅度指標,低通濾波器的絕對指標,p,s,和相對指標1,2:NankaiUniversity,CYLI,2023/6/411Biomedicalsignalprocessing濾波器的指標(2)NankaiUniversity,CYLI,2023/6/412Biomedicalsignalprocessing模擬濾波器的類型(以LPAF為例)巴特沃思(Butterworth)濾波器切比雪夫(Chebyshev)濾波器橢圓濾波器NankaiUniversity,CYLI,2023/6/413BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器（1）單調(diào)、平穩(wěn)的幅度響應(yīng)，過渡區(qū)衰減緩慢，隨著N的增加，其衰減加快，對所有的N，|H()|都通過-3dB點，NankaiUniversity,CYLI,2023/6/414BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器（2）Butterworth低通濾波器的幅頻特性，NankaiUniversity,CYLI,2023/6/415BiomedicalsignalprocessingButterworth低通濾波器的性質(zhì)對于所有的N，當=0，|H(j)|2=1，對于所有的N，當=c，|H(j)|2=1/2,即在c處有3dB的衰減，|H(j)|2是的單調(diào)減函數(shù)，N--〉inf，|H(j)|2趨于理想低通濾波器，NankaiUniversity,CYLI,2023/6/416BiomedicalsignalprocessingButterworth逼近(1)零點：s=,全極點型，2N個極點，虛軸對稱，分布于c的圓上，極點的角度間隔：pi/N,NankaiUniversity,CYLI,2023/6/417Biomedicalsignalprocessing不同N的極點分布N=3,k=1,2/3pi;k=2,pi;k=3,5/3pi;k=4,2pi,…N=4,k=1,5/8pi;k=2,7/8pi;k=3,9/8pi,…NankaiUniversity,CYLI,2023/6/418BiomedicalsignalprocessingButterworth逼近(2)(-1)(1/2N)N=3423156(-1)(1/2N)j423156S平面NankaiUniversity,CYLI,2023/6/419Biomedicalsignalprocessing求Butterworth系統(tǒng)函數(shù)NankaiUniversity,CYLI,2023/6/420BiomedicalsignalprocessingButterworth設(shè)計方程由濾波器的四個指標(p,1,s,2)得到Butterworth濾波器的階數(shù)N和截止頻率c,NankaiUniversity,CYLI,2023/6/421BiomedicalsignalprocessingButterworth設(shè)計例(1)設(shè)計一個低通Butterworth濾波器,以滿足,通帶截止頻率p=0.2,通帶波動1=7dB,阻帶截止頻率s=0.3,通帶波動2=16dB,

NankaiUniversity,CYLI,2023/6/422Biomedicalsignalprocessings和z的關(guān)系r與的關(guān)系,r=eT=0(s平面虛軸)對應(yīng)于r=1(z平面單位圓上)<0(s的左半平面)對應(yīng)于r<1(z平面單位圓內(nèi))>0(s的右半平面)對應(yīng)于r>1(z平面單位圓外)與的關(guān)系,=T=0(s平面的實軸)對應(yīng)于=0(z平面的正實軸)=0對應(yīng)于=0T(z平面的輻射線),:-/Tto/T,:-to從s平面到z平面的映射是多值映射NankaiUniversity,CYLI,2023/6/423BiomedicalsignalprocessingX(z)和X(s)的關(guān)系NankaiUniversity,CYLI,2023/6/424Biomedicalsignalprocessing由模擬濾波器來設(shè)計IIR濾波器把s平面映射到z平面,H(s)-->H(z),實現(xiàn)這種映射的兩個基本條件,頻率軸對應(yīng),s平面的虛軸j映射到z平面的單位圓上,因果穩(wěn)定的H(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z),s平面的左半平面(Re(s)<0)必須映射到z平面單位圓內(nèi)(|z|<1)NankaiUniversity,CYLI,2023/6/425Biomedicalsignalprocessing模擬filter-->數(shù)字filter的方法直接用H(s)和H(z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，因為無窮級數(shù)求和，不能實現(xiàn)，采用以下三種方法：沖激響應(yīng)不變法：在AF到DF的變換中，使h(t)h(n)不變階躍響應(yīng)不變法：在AF到DF的變換中，使其階躍響應(yīng)不變雙線性變換法：在AF到DF的變換中，使其系統(tǒng)函數(shù)(頻響)不變NankaiUniversity,CYLI,2023/6/426Biomedicalsignalprocessing沖激響應(yīng)不變法(Impulseinvariance)設(shè)計思想：使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)將模擬濾波器的ha(t)

加以等間隔抽樣,使h(n)=ha(nT)相應(yīng)h(n)的z變換H(z)近似等于ha(nT)的Laplace變換Ha(s)。NankaiUniversity,CYLI,2023/6/427Biomedicalsignalprocessing沖激響應(yīng)不變法(2)Ha(s)-->h(t)-->h(n)-->H(z)NankaiUniversity,CYLI,2023/6/428Biomedicalsignalprocessing沖激響應(yīng)不變法(3)x(t)y(t)R1/sCx(n)y(n)z-1e-TNankaiUniversity,CYLI,2023/6/429BiomedicalsignalprocessingMatlab命令由低通濾波器的四個參數(shù)，求出Butter濾波器的兩個參數(shù)：[n,Wn]=Buttord(wp,ws,Rp,Rs)求出H(s)的B和A,[b,a]=butter(n,Wn)通過沖激相應(yīng)不變法，實現(xiàn)H(s)到H(z)的轉(zhuǎn)換：impinvar,[BZ,AZ]=IMPINVAR(B,A,Fs)歸一化Butter濾波器的設(shè)計，[z,p,k]=buttap(N)H(z)的零極點形式轉(zhuǎn)換成部分分式的形，[NUM,DEN]=ZP2TF(Z,P,K)NankaiUniversity,CYLI,2023/6/430Biomedicalsignalprocessing設(shè)計步驟把數(shù)字濾波器的性能轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的模擬濾波器的性能要求設(shè)計模擬濾波器,查表,或用解析的方法通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性法,把H(s)轉(zhuǎn)化為H(z)NankaiUniversity,CYLI,2023/6/431Biomedicalsignalprocessing沖激響應(yīng)不變法設(shè)計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,s,1,2,的設(shè)計一個等價的模擬濾波器,然后把它映射成數(shù)字濾波器.NankaiUniversity,CYLI,2023/6/432Biomedicalsignalprocessing沖激響應(yīng)不變法的缺點缺點:多值映射,產(chǎn)生頻率混疊失真，條件:限帶系統(tǒng),why?因為高通和帶阻濾波器不是限帶的,不能用此法實現(xiàn)H(s)-->H(z)的轉(zhuǎn)換,在實際中較少采用，多用Bilinear變換NankaiUniversity,CYLI,2023/6/433Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(Bilineartransformation)從H(s)變換為H(z)的另一種變換方法，克服多值映射,實現(xiàn)s平面到z平面的一一對應(yīng)關(guān)系,雙線性變換具有此功能,AF和DF在輸入、輸出上相似，使H(s)和H(z)的頻響近似。其思路：差分方程的解應(yīng)是模擬方程的近似解。其實現(xiàn)：直接用差分代替微分，結(jié)果的誤差大；將微分方程做積分，再進行數(shù)值近似，得到差分方程。從微分方程－>H(s);差分方程-->H(z),二者比較后，得到s和z的對應(yīng)關(guān)系。進一步要求s平面整個j軸映射到z平面單位圓一周,得到兩個頻率的關(guān)系，即雙線性。NankaiUniversity,CYLI,2023/6/434Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法原理為了克服沖激響應(yīng)不變法多值映射產(chǎn)生的頻率混疊的現(xiàn)象，雙線性變換法的映射原理是：1）首先通過下面的變換公式把整個S平面壓縮到中介S1平面的一條橫帶里（寬度從-π/T到π/T），其中C為常數(shù)可根據(jù)設(shè)計要求選??；2）然后再通過將此橫帶變換到整個Z平面，這樣就使S平面和Z平面是一一對應(yīng)的單值映射關(guān)系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。由于從S→Z和從Z→S的映射規(guī)則都是分式線性變換，因此稱其為雙線性變換。NankaiUniversity,CYLI,2023/6/435Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(2)-0采用二次映射，先將s平面壓縮到s1平面的一條橫帶中，再進一步映射到z平面上，建立s-z的一一對應(yīng)關(guān)系。NankaiUniversity,CYLI,2023/6/436Biomedicalsignalprocessing雙線性變換法(2)js平面z平面Im(z)Re(z)/T-/T3/T-3/T-11s平面j

和z平面的單位圓上的點一一對應(yīng)，和ω一一對應(yīng)NankaiUniversity,CYLI,2023/6/437Biomedicalsignalprocessing雙線性變換設(shè)計過程給定數(shù)字濾波器的性能指標,p,s,1,2,的設(shè)計一個等價的模擬濾波器,然后把它映射成數(shù)字濾波器,實際中系數(shù)2/T均被約掉,故可省去,或者設(shè)T=1,NankaiUniversity,CYLI,2023/6/438BiomedicalsignalprocessingButterworth設(shè)計例(2)設(shè)計一個低通Butterworth濾波器,以滿足,通帶:0~100Hz,通帶波動1=3dB,阻帶:300~Hz,通帶衰減2=20dB,

Ts=1000HzNankaiUniversity,CYLI,2023/6/439BiomedicalsignalprocessingBilinearinMatLab

H(s)H(z),零極點增益形式：[Zd,Pd,Kd]=BILINEAR(Z,P,K,Fs)部分分式：[NUMd,DENd]=BILINEAR(NUM,DEN,Fs)NUMandDEN分別表示濾波器傳遞函數(shù)的分子與分母多項式系數(shù)向量。d:digitalNankaiUniversity,CYLI,2023/6/440Biomedicalsignalprocessing頻帶變換低通濾波器作為基本逼近函數(shù),可以通過頻帶變換來實現(xiàn)帶通、帶阻、高通濾波器的設(shè)計變換的方式：stos，模擬頻帶變換ztoz，數(shù)字頻帶變換濾波器變換s-->z頻帶變換z-->z模擬低通濾波器的設(shè)計頻帶變換s-->sIIR濾波器模擬低通濾波器的設(shè)計濾波器變換s-->zIIR濾波器NankaiUniversity,CYLI,2023/6/441BiomedicalsignalprocessingChebyshev低通濾波器ChebyshevI型，通帶中等波紋，阻帶中單調(diào)，ChebyshevII型，通帶中單調(diào)，阻帶中等波紋，NankaiUniversity,CYLI,2023/6/442BiomedicalsignalprocessingChebyshevI