平行線的證明

PAGEPAGE1平行線的證明第一篇：平行線的證明優(yōu)毅教育20XX年3月22日春季數(shù)學(xué)同步提高課導(dǎo)學(xué)案設(shè)計(jì)人：杜老師學(xué)生：第八章平行線的有關(guān)證明一、知識(shí)點(diǎn)歸納（一）關(guān)于命題、定理及公理1.對(duì)名稱和術(shù)語(yǔ)的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出它們的。2.判斷一件事情的句子，叫做。3.每個(gè)命題都由和兩部分組成。4.正確的命題稱為，不正確的命題稱為。想要判定一個(gè)命題是假命題只需要,而要說(shuō)明一個(gè)命題是真命題則需.（二）平行線的性質(zhì)及判定判定：（1）（公理）（2）（3）性質(zhì)：（1）（公理）（2）（3）1.如圖1，已知直線a，b與直線c相交，下列條件中不能判定直線a與直線b平行的是（）A.∠2＋∠3＝180°B.∠1＋∠5＝180°C.∠4＝∠7D.∠1＝∠85.公認(rèn)的真命題稱為公理（所有公理）6.推理的過(guò)程稱為。7.經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為。8．由一個(gè)公理或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)公理或定理的同步練習(xí)：1.把命題“對(duì)頂角相等”改寫(xiě)成“如果??那么??”形式為。2.請(qǐng)給出命題：“如果兩個(gè)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)一定都是正數(shù)”是（真命題或假命題），理由：______________________________________。3.下列語(yǔ)句不是命題的是（）A.20XX年奧運(yùn)會(huì)的舉辦城是北京B.如果一個(gè)三角形三邊a，b，c滿足a＝b＋c，則這個(gè)三角形是直角三角形C.同角的補(bǔ)角相等D.過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線4.下列命題是真命題的是（）ca325b7圖1圖23.如圖2，用兩個(gè)相同的三角板按照如圖方式作平行線，能解釋其中道理的定理是（）A同位角相等兩直線平行B.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行C內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行D平行于同一條直線的兩直線平行4.已知，如右圖AB∥CD，若∠ABE=130°,∠CDE=152,則∠BED=__________.AFBE5、如下圖，平行直線AB和CD與相交直線EF、GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有（）對(duì).6、如下圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=50°，BD∥AC，則∠CBD的度是.A.a一定是負(fù)數(shù)B.a0C.平行于同一條直線的兩條直線平行D.有一角為80°的等腰三角形的另兩個(gè)角都為50°5．舉例說(shuō)明“兩個(gè)銳角的和是銳角”是假命題.第5題圖中考（平行線）1．（山東濟(jì)寧）在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小霞同學(xué)從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，要到距離A點(diǎn)1000m的C地去，先沿北偏東70方向到達(dá)B地，然后再沿北偏西20XX向走了500m到達(dá)目的地C,此時(shí)小霞在營(yíng)地A的A.北偏東20XX向上B.北偏東30方向上C.北偏東40方向上D.北偏西30方向上5．（湖南郴州）下列圖形中，由ABCD，能得到12的是（）6．（20XX湖北襄樊）如圖1，已知直線AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數(shù)為（）A．150°B．130°C．120XXD．100°圖1．2．（山東威海）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，7.（甘肅）如圖，AB∥CD，EFAB于E，EF交CD于F，已知160°，則2（）∠DBC＝20XX則∠CAE的度數(shù)是A．30°B．20XX．25°D．35°A．40°B．60°DC．70°D．80°EABAE3．（山東聊城）如圖，l∥m，∠1＝115o，∠2＝95o，則∠3＝（）8．如圖1，直線a∥b，C與a、b均相交，則＝（）A．120XX．130oC．140oD．150o4．（山東省德州）如圖，直線AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，則∠E等于第2題圖C9．（荷澤）如圖，直線PQ∥MN，C是MN上一點(diǎn)，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，如果∠FBQ＝50°，則∠ECM的度數(shù)為A．60°B．50°C．40°D．30°MQN（Ａ）30°（Ｂ）40°（C）60°（Ｄ）70°C5題圖10．（新疆維吾爾）如圖，小明課間把老師的三角板的直角頂點(diǎn)放在黑板的兩條平行線a、b上，已知∠1=55°，則∠2的度數(shù)為（）A.45°B.35°C.55°D.125°11．（20XX貴州遵義）如圖，梯子的各條橫檔互相平行，若∠1=80°，則∠2的度數(shù)是A．80°B．100°C．110°D．120XX15．（福建三明）如圖，已知∠C=100°，若增加一個(gè)條件，使得AB//CD，試寫(xiě)出符合要求的一個(gè)條件：。（三）三角形的內(nèi)角和外角的定理1.三角形內(nèi)角和定理：。2.三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。12．（20XX廣東肇慶）如圖1，AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E，則∠C等于（）B．25°D．40°3.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。1、（20XX?昭通）將一副直角三角板如圖所示放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊重合，則∠1的度數(shù)為（）13．（20XX山東日照）如圖，C島在A島的北偏東50o方向，C島在B島的北偏西40方向，則從C島看A，B兩島的視角∠ACB等于．oA、45°B、60°C、75°D、85°2、（20XX?臺(tái)灣）如圖中有四條互相不平行的直線L1、L2、L3、L4所截出的七個(gè)角．關(guān)于這七個(gè)角的度數(shù)關(guān)系，下列何者正確（）14．（20XX山東煙臺(tái)）將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在另一張矩形紙片的一條邊上，則∠1+∠2=_____________。A、∠2=∠4+∠7B、∠3=∠1+∠6C、∠1+∠4+∠6=180°D、∠2+∠3+∠5=360°3、（20XX?臺(tái)灣）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，則∠B的外角度數(shù)為何（）4、（20XX?臺(tái)灣）若鈍角三角形ABC中，∠A=27°，則下列何者不可能是∠B的度數(shù)？（）A、37B、57C、77D、975、直角三角形中兩銳角平分線所交成的角的度數(shù)是（）6、（20XX?荊門(mén)）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB=（）2.如圖所示，XOY=90°，點(diǎn)A、B分別在射線OX，OY上移動(dòng)，BE是ABY的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與OAB的平分線相交于點(diǎn)C，試問(wèn)ACB的大小是否變化，如果保持不變，請(qǐng)給出證明，如果隨點(diǎn)A、B的移動(dòng)變化，請(qǐng)給出變化范圍。7、關(guān)于三角形的內(nèi)角，下列判斷不正確的是（）A、至少有兩個(gè)銳角B、最多有一個(gè)直角C、必有一個(gè)角大于60°D、至少有一個(gè)角不小于60°8、如圖，BE、CF都是△ABC的角平分線，且∠BDC=110°，則∠A=（）3.一件商品如果按定價(jià)打九折出售可以盈利20XX如果打八9如圖，將等邊三角形ABC剪去一個(gè)角后，則∠1+∠2的大小為（）折出售可以盈利10元，問(wèn)此商品的定價(jià)是多少？4.一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個(gè)兩位數(shù)．10、若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角的平分線所成的鈍角為145°，則這個(gè)三角形的形狀為（）解答題1.已知：如圖15，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3。求證：AD平分∠BAC。第二篇：平行線證明基礎(chǔ)訓(xùn)練例1、已知，如圖，EF//BC,AD,AOB70，1C150,求B的度數(shù)．解：EFBC,AD(已知)ABCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）COE1180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）AOBCOE70（對(duì)頂角相等）118070110（等式的性質(zhì)）1C150（已知）C150-11040（等式的性質(zhì)）CB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）B40（等量代換）例2、已知：如圖，AC//BD,AD，求證：EF.證明：ACBD(已知)ABDBAC180，BOCACD180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）2AO（已知）ABDACD（等式的性質(zhì)）1AE1802DF180（三角形內(nèi)角和定理）EF（等式的性質(zhì)）練習(xí)：1、如右圖,AB//CD,AD//BE,試說(shuō)明∠ABE=∠D.∵AB∥CD(已知)∴∠ABE=___________(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵AD∥BE(已知)∴∠D=_________()∴∠ABE=∠D(等量代換)2、已知：如圖，AB∥CD，EF為直線，∠1=67°，∠2=23°，求證：EF⊥CD．證明：因?yàn)锳B∥CD（），所以∠1=∠3=67°（）．又因?yàn)椤?=23°（），所以∠2+∠3=90°故EF⊥CD（垂直的定義）．3、已知：如圖，AB∥CD，∠1=∠2，求證：EF∥CD．證明：因?yàn)锳B∥CD（），所以∠A=∠）．又因?yàn)椤?=∠A（），所以∠1=∠FCD（）．故EF∥CD（）．EAB2C3DF.cnEOFD.cnA例1、如圖，（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行，若要EF∥AC，只要∠=∠，或者∠=∠；（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，由∠4=∠，可得EF∥；由∠4=∠，可得ED∥；（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，由∠4+∠=1800，可得EF∥；由∠4+∠=1800，可得ED∥；例2、如圖所示，由下列條件，，，可以判定那兩條直線平行，BEDB180AAODACBF并說(shuō)明判定的依據(jù)。解：（）AAOD//（）（）ACBF//（）（）ACBF//（）（）BEDB180AD//（）例3、如圖,已知:∠1=∠2,∠A=760,求∠ABC的度數(shù).解:∵∠1=∠2()AD∥BC()∠ABC=1800－∠A()∵∠A=76()∠ABC=_______－______=_______度.例3、如圖,已知:AB∥CD.說(shuō)明∠2=∠B－∠D的理由.解:過(guò)點(diǎn)E畫(huà)EF∥CD.∵AB∥CD()AB∥EF()∠BEF=∠B,∠1=∠D.()∠BEF－∠1=∠B－∠D.()即∠___=∠B－∠D.例4、一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角的一半互為余角，求這個(gè)角。0A)，外角為(180A)A，則它的余角為(9解：設(shè)這個(gè)角為DCAABCDEF1由題意得：(解得90A)(180A)90A60例5、已知如下圖，若∠BED=∠B+∠D，則直線AB與CD平行嗎？為什么？解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB．所以∠BEF=∠B（），又因?yàn)椤螧ED=∠B+∠D（），∠BED=∠BEF+∠DEF，所以∠B+∠D=∠BEF+∠DEF（），所以∠D=∠DEF（）所以EF∥CD（）所以AB∥CD（）例6、如圖所示，已知AB//CD，BAE40，ECD62，EF平分，求AECAEF的度數(shù)。解：過(guò)E作EG//ABDAB//CD（已知）EG//CD（）（）AEGBAE40CEGECD60AECAEGCEG4062102（已知）AECEF平分AEFAEC51（角平分線定義）2練習(xí)1、如圖所示，已知AB//CD，12AB//CD（），1______（）（），122_____（）BD是的________.ABC2、如圖所示，已知，AFCD（）AFAC//DF（）DCABDEFABCD______（）CD（）1C（）BD//CE（）作業(yè)：1.如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4＋∠7=180°；④∠5＋∠8=180°.其中能判斷a∥b的是（）.（A）①③（B）②④（C）①③④（D）①②③④2.如圖，AB∥CD，P為AB、CD之間的一點(diǎn)，已知∠1=∠2=250，求∠BPC的度數(shù)？析解：由于此圖不是“三線八角”的基本圖形，需要添加輔助線構(gòu)造基本圖形。過(guò)點(diǎn)P作射線PN∥CD，因?yàn)锳B∥CD（），所以PN∥AB（），所以∠1=∠3=250（）。由PN∥CD（已作），所以∠2=∠4=250（）。所以∠BPC=∠3+∠4=500。說(shuō)明：通過(guò)作輔助線構(gòu)造圖形，使圖形滿足某些性質(zhì)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。3.如圖，CD⊥AB于D，E是BC上一點(diǎn)，EF⊥AB于F，∠l=∠2．試說(shuō)明：∠AGD=∠ACB．析解：要說(shuō)明兩個(gè)角相等，其方法很多，但由于∠AGD=∠ACB是同位角，這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為說(shuō)明GD∥CB。因?yàn)镃D⊥AB，EF⊥AB，所以CD∥。所以∠3=∠2（），而∠l=∠2（已知），所以∠3=∠l（），所以GD∥CB（），所以∠AGD=∠ACB（）。4.如圖,已知:DE∥AC,EF∥CD.說(shuō)明∠1=∠2的理由.解:ADFBCA5.如圖,已知:AC∥DE,DC∥EF,∠1=∠2.說(shuō)明∠3=∠4的理由.解:FBEAB6.如圖,已知∠1=∠2,BE∥CF,說(shuō)明BA∥CD的理由.EFCD第三篇：平行線的證明平行線的證明：命題：判斷一個(gè)事情的句子。命題一般由條件和結(jié)論組成。通常可以寫(xiě)成如果…那么…的形式。如果引出的是條件那么引出的是結(jié)論。正確的為真命題不正確的為假命題要證明一個(gè)命題是假命題通常要舉一個(gè)例子，使它具備問(wèn)題得條件不具備問(wèn)題得結(jié)論，我們稱這樣的例子為反例。經(jīng)過(guò)證明的真命題為定理平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么兩條直線平行。（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩條直線平行。（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）平行線的性質(zhì)：兩直線平行同位角相等兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)平行線及其判定練習(xí)題一、選擇題:1.如圖1所示,下列條件中,能判斷AB∥CD的是()A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACDADAEDAEC(1)(2)(3)2.如圖2所示,如果∠D=∠EFC,那么()A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF3.如圖3所示,能判斷AB∥CE的條件是()A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.同位角不一定相等B.內(nèi)錯(cuò)角都相等C.同旁內(nèi)角可能相等D.同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行5.不相鄰的兩個(gè)直角,如果它們有一邊在同一直線上,那么另一邊相互()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.平行或垂直或相交二、填空題:1.在同一平面內(nèi),直線a,b相交于P,若a∥c,則b與c的位置關(guān)系是______.2.在同一平面內(nèi),若直線a,b,c滿足a⊥b,a⊥c,則b與c的位置關(guān)系是______.CD3.如圖所示,BE是AB的延長(zhǎng)線,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A可以判斷______∥______,根據(jù)是(2)由∠CBE=∠C可以判斷______∥______,根據(jù)是三、訓(xùn)練平臺(tái):(每小題15分,共30分)1.如圖所示,已知∠1=∠2,AB平分∠DAB,試說(shuō)明DC∥AB.A2.如圖所示,已知直線EF和AB,CD分別相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=?30°,試說(shuō)明AB∥CD.EAC四、提高訓(xùn)練:KHBD如圖所示,已知直線a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,則a與c平行嗎??為什么?deabc五、探索發(fā)現(xiàn):如圖所示,請(qǐng)寫(xiě)出能夠得到直線AB∥CD的所有直接條件.24ACB657D六、中考題與競(jìng)賽題:(20XX.江蘇)如圖所示,直線a,b被直線c所截,現(xiàn)給出下列四個(gè)條件:?①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能說(shuō)明a∥b的條件序號(hào)為()A.①②B.①③C.①④D.③④c41a57b第四篇：平行線證明難題第二章平行線的性質(zhì)和判定拔高訓(xùn)練1．(1)如圖1所示，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D，C的位置．若∠EFB=65°，則AED等于__________．(2)如圖2所示，AD∥EF，EF∥BC，且EG∥AC．那么圖中與∠1相等的角(不包括∠1)的個(gè)數(shù)是__________．(3)如圖3所示，AB∥CD，直線AB，CD與直線l相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠EFD，則GE與FH的位置關(guān)系為_(kāi)_________．'''2．如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，且其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少30°，那么這兩個(gè)角分別是（）A．30°和150°B．42°和138°C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°3．如圖所示，點(diǎn)E在CA延長(zhǎng)線上，DE、AB交于點(diǎn)F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，Q為PC上一點(diǎn)，且滿足∠FQP=∠QFP，F(xiàn)M為∠EFP的平分線．則下列結(jié)論：①AB∥CD，②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度為定值．其中正確的結(jié)論有（）個(gè)數(shù)A．1B．2C．3D．44．如圖所示，AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°，則∠GEF=__________．5．已知：如圖所示，AD⊥BC于點(diǎn)D，EG⊥BC于點(diǎn)G，∠E＝∠3．求證：AD平分∠BAC．6．如圖所示，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，試說(shuō)明：AD∥BE．7．如圖所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足為E，∠BDA＋∠ECA=180°，求證：DA⊥EF8．已知，如圖所示，∠1＋∠2=180°，∠1＋∠EFD=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．9．已知，如圖所示，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求證：EF平分∠BED．10．如圖所示，在△ABC中，CE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分線．求證：∠EDF=∠BDF．11．如圖，AB∥CD，∠ABF=∠DCE，求證∠BFE=∠FEC第五篇：平行線證明復(fù)習(xí)題平行線證明1.平行線的性質(zhì)：⑴兩直線平行，同位角相等.⑵兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.⑶兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).2.平行線判定定理：平行線判定定理1：同位角相等，兩直線平行平行線判定定理2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行平行線判定定理3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行平行線判定定理4：兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，兩條直線平行平行線判定定理5：兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，兩條直線平行3.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等為180°推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角三角形的內(nèi)角和是外角和的一半。三角形內(nèi)角和等于三內(nèi)角之和.基礎(chǔ)練習(xí)：1．如圖１，若A=3，則∥；若2=E，則∥；若+=180°，則∥．cdEa223bCAB圖１圖22．若a⊥c，b⊥c，則ab．3．在四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，則∥（）．4．如圖2，若∠1+∠2=180°，則∥。5．如圖3，填空并在括號(hào)中填理由：（1）由∠ABD=∠CDB得∥（）；（2）由∠CAD=∠ACB得∥（）；（3）由∠CBA+∠BAD=180°得∥（）ADDl1143l2CBC圖5圖3圖46．如圖4，盡可能多地寫(xiě)出直線l1∥l2的條件：．7．如圖5，盡可能地寫(xiě)出能判定AB∥CD的條件來(lái)：．8．如圖6，推理填空：（1）∵∠A=∠（已知），∴AC∥ED（）；（2）∵∠2=∠（已知），∴AC∥ED（）；（3）∵∠A+∠=180°（已知），∴AB∥FD（）；（4）∵∠2+∠=180°（已知），BDC∴AC∥ED（）；圖69．如圖7，直線AB、CD被EF所截，∠1=∠2，∠CNF=∠BME。求證：AB∥CD，MP∥NQ．EBF圖7QPD強(qiáng)化鞏固:1．如圖1，已知∠1=100°，AB∥CD，則∠2=，∠3=，∠4=．2．如圖2，直線AB、CD被EF所截，若∠1=∠2，則∠AEF+∠CFE=．CF1BBEDDFBABD圖1圖2圖4圖33．如圖3所示（1）若EF∥AC，則∠A+∠=180°，∠F+∠=180°（）．（2）若∠2=∠，則AE∥BF．（3）若∠A+∠=180°，則AE∥BF．4．如圖4，AB∥CD，∠2=2∠1，則∠2=．5．