簡(jiǎn)單彈塑性問(wèn)題

簡(jiǎn)單彈塑性問(wèn)題第一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5.1彈塑性邊值問(wèn)題的提法一、彈塑性全量理論邊值問(wèn)題i)在V內(nèi)的平衡方程:ii)在V內(nèi)幾何關(guān)系（應(yīng)變-位移關(guān)系）:iii)在V內(nèi)全量本構(gòu)關(guān)系:邊界Su上給定位移，要求應(yīng)力，應(yīng)變，位移，它們滿(mǎn)足設(shè)在物體V內(nèi)給定體力，在應(yīng)力邊界ST上給定面力Ti，在位移以下方程和邊條件：第二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一v)在上位移邊界條件：二、彈塑性增量理論的邊值問(wèn)題i)在V內(nèi)的平衡方程其中是外法線(xiàn)的單位向量；由此可見(jiàn)，彈塑性邊值問(wèn)題的全量理論提法同彈性邊值問(wèn)題的提法基本相同，不同僅在于引入了非線(xiàn)性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（6-3）式。iv)在上的應(yīng)力邊界條件:ii)在V內(nèi)的幾何關(guān)系（應(yīng)變位移的增量關(guān)系）：第三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一iii)在V內(nèi)的增量本構(gòu)關(guān)系：彈性區(qū)：塑性區(qū)：(a)對(duì)于理想塑性材料，屈服函數(shù)為，則第四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一彈性區(qū)：塑性區(qū)：（b）對(duì)于等向強(qiáng)化材料，后繼屈服函數(shù)為，則第五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一iv）在ST

上的應(yīng)力邊界條件：v）在Su上的位移邊界條件：vi）彈塑性交界處的連接條件：如果交界面的法向?yàn)閚i，則在上有：(a)法向位移連續(xù)條件(b)應(yīng)力連續(xù)條件上標(biāo)（E）和（P）分別表示彈性區(qū)和塑性區(qū)。第六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5.2

薄壁筒的拉扭聯(lián)合變形考察薄壁圓筒承受拉力P和扭矩T聯(lián)合作用的彈塑性變形問(wèn)題。采用圓柱坐標(biāo)，取z軸與筒軸重合。設(shè)壁厚為h，筒的內(nèi)外平均半徑為R，則筒內(nèi)應(yīng)力為：其余應(yīng)力分量均為0。因此，不但應(yīng)力狀態(tài)是均勻的，而且每一種外載（拉、扭）只與一個(gè)應(yīng)力分量有關(guān)，調(diào)整P和T之間的比值，即可得到應(yīng)力分量間的不同比例。假設(shè)材料是不可壓縮的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下無(wú)量綱量：在彈性階段，無(wú)量綱化的Hooke定律給出第七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一進(jìn)入塑性以后，Mises屈服條件：可化為：下面按增量理論和全量理論求解這個(gè)問(wèn)題，比較兩種結(jié)果的異同。對(duì)理想彈塑性材料，增量本構(gòu)方程是Prandtl-Reuses關(guān)系，于是：無(wú)量綱化后得到：消去得：一、按增量理論求解第八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一由（6-18）式知故從（6-21）式中消去和，就有：同樣地，如果已知某時(shí)刻的初始狀態(tài)（應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)）及從該時(shí)刻起的變形路徑則積分（6-22）或（6-23）式就可得到關(guān)系或關(guān)系。第九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一保持常數(shù)的階段ab上，設(shè)在a點(diǎn)有由于在ab上例如對(duì)于實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常采用的階梯變形路徑（圖6-1），考慮方程（6-22）變?yōu)椋簣D6-1積分并利用a點(diǎn)的已知條件，得出：類(lèi)似地，對(duì)于階段bc

,第十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一二、按全量理論求解由于假設(shè)了材料不可壓，由（5-63）式化后得應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為將(6-26)式按(6-16)式無(wú)量綱在本問(wèn)題中用分量寫(xiě)出來(lái)就是：，故第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一在圖6-2中，有三條不同的加載路徑從原點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)C在彈性范圍內(nèi)，，屈服條件（6-18）在應(yīng)變空間中寫(xiě)出就是。可見(jiàn)圖中的陰影區(qū)域是彈性范圍。路徑①沿OBC。在B點(diǎn)有在BC段上有解出在C點(diǎn)類(lèi)似地，對(duì)路徑②，即階梯變形路徑OAC可求得三、算例和比較（1）用增量理論求解OCABD①②③第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一剛到達(dá)屈服，同時(shí)滿(mǎn)足由此得出在D點(diǎn)時(shí)的應(yīng)力為：不難證明沿

DC段皆有，即應(yīng)力值不變，在C點(diǎn)也就仍為（2）用全量理論求解代入（6-27）式得出亦即C點(diǎn)的應(yīng)變i）由于加載路徑不同，雖然最終變形一樣，但最終應(yīng)力卻不同；ii）只有在比例加載的條件下，增量理論和全量理論的結(jié)果才一致。由以上的結(jié)果可知：路徑③是比例加載路徑ODC，其上。在到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一該問(wèn)題可簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題，采用柱坐標(biāo)(r,θ,z),則：在軸對(duì)稱(chēng)條件下：應(yīng)力邊界條件為:而筒兩端的端面條件：§5.3受內(nèi)壓的厚壁圓筒這里P是端面的軸向拉力。一、研究對(duì)象和基本方程考慮一個(gè)內(nèi)徑為

a，外徑為b的長(zhǎng)圓柱厚壁筒在均勻內(nèi)壓

p作用下的彈塑性變形。上式中u為徑向位移。幾何關(guān)系平衡方程第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一在彈性范圍內(nèi)，本構(gòu)關(guān)系上Hooke定律:二、彈性解（6-119）至（6-123）式構(gòu)成厚壁筒的彈性問(wèn)題，其解為：第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中現(xiàn)在討論在什么條件下是中間主應(yīng)力。由于可知若要是中間主應(yīng)力，以下條件應(yīng)成立：或即如果圓筒兩端是自由的，則；如果圓筒兩端是封閉的，則可見(jiàn)這兩種情況都符合（6-126）條件，能保證是中間主應(yīng)力。采用Tresca屈服條件。當(dāng)r=a

時(shí)屈服：即屈服將首先發(fā)生在內(nèi)壁，此時(shí)(6-126)(6-125)第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一相應(yīng)的內(nèi)壓即為厚壁筒的彈性極限壓力

b）當(dāng)彈性無(wú)限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受到內(nèi)壓作用時(shí)（例如對(duì)于有壓隧洞），其內(nèi)表面開(kāi)始屈服時(shí)的壓力值只與周?chē)牟牧系男再|(zhì)有關(guān)，而與孔洞的半徑無(wú)關(guān)。說(shuō)明：a)若在彈性范圍內(nèi)設(shè)計(jì),對(duì)給定的a值,要提高筒所能承受的內(nèi)壓,就必須增加壁厚,但pe的值不可能超過(guò)。在設(shè)計(jì)高壓圓筒（如炮管）時(shí)應(yīng)采取其他措施（如下面將要介紹的經(jīng)過(guò)局部塑性變形使之產(chǎn)生有利的殘余應(yīng)力，以及裝配有預(yù)應(yīng)力的套筒等）來(lái)加以增強(qiáng)。第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一當(dāng)時(shí)，筒的內(nèi)壁首先屈服。當(dāng)時(shí)，塑性區(qū)便由r=a逐漸向外擴(kuò)張。設(shè)彈性區(qū)和塑性區(qū)的交界處r=c，下面分別對(duì)彈性區(qū)和塑性進(jìn)行計(jì)算。（1）彈性區(qū)三、彈塑性解（理想塑性材料）得出應(yīng)力分布為將內(nèi)層塑性區(qū)對(duì)外層彈性區(qū)的壓應(yīng)力看作作用于內(nèi)徑為c外徑為b的彈性圓筒上的內(nèi)壓力。利用彈性解的結(jié)果：在r=c處，材料剛達(dá)到屈服，對(duì)外層彈性筒來(lái)說(shuō)，(6-127)中的應(yīng)為。(6-124)中的應(yīng)寫(xiě)成第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一進(jìn)而根據(jù)彈性區(qū)的本構(gòu)方程求出（2）塑性區(qū)平衡方程為同時(shí)，仍假定為中間主應(yīng)力，采用Tresca屈服條件：將（6-132）代入（6-131）式得積分一次，并利用邊界條件定常數(shù)，則第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一可見(jiàn)塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力只與厚壁筒內(nèi)表面的邊界條件有關(guān)，而與彈性區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)無(wú)關(guān)。從而確定c

與p

的關(guān)系:（3）彈塑性邊界的確定)應(yīng)滿(mǎn)足的連續(xù)條件，即根據(jù)彈塑性區(qū)交界處(第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一將（6-134）式代回（6-133）式得出當(dāng)c=b時(shí)，塑性區(qū)擴(kuò)展到整個(gè)圓筒，對(duì)應(yīng)的外載

p為厚壁筒的塑性極限壓力:塑性極限壓力卻是無(wú)限的，即時(shí)在塑性極限狀態(tài)下，周向應(yīng)力的最大值發(fā)生在筒外壁，它恰等于可見(jiàn)，彈性極限壓力是有限的，即時(shí)（4）塑性極限狀態(tài)第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一(5)塑性區(qū)內(nèi)的位移和應(yīng)力厚壁筒塑性區(qū)應(yīng)力所在的屈服面是即這說(shuō)明，在全部筒壁內(nèi)即必是彈性的，且為常數(shù)。在塑性區(qū)內(nèi)求和是靜定問(wèn)題，但是要求和，就必須用到本構(gòu)關(guān)系。于是，相關(guān)連的流動(dòng)法則給出范圍內(nèi)于是在下面用與Tresca屈服條件相關(guān)連的流動(dòng)法則來(lái)解和第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一現(xiàn)在端面條件（6-122）可以寫(xiě)成將（6-130）和（6-137）給出的和代入得到開(kāi)口圓筒ii.封閉圓筒，iii.無(wú)窮長(zhǎng)圓筒，即平面應(yīng)變情形，此式與彈性解完全相同。這說(shuō)明在完全卸去外載P

和p時(shí)，軸向殘余應(yīng)變必為零。于是于是于是之一。例如：，根據(jù)圓筒的端面條件，總可確定其中和（6-138）式中有三個(gè)參量：不難驗(yàn)證，當(dāng)確是中間主應(yīng)力。第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一故有積分得出其中常數(shù)C1可由r=c處的位移連續(xù)條件定出為求位移時(shí)利用體積變化的彈性公式計(jì)算比較方便，即第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一可見(jiàn)剛達(dá)到PS時(shí)，筒的變形相對(duì)筒本身的幾何尺寸還是小的其中設(shè)厚壁筒內(nèi)壓力增加到后實(shí)行完全卸載，卸載應(yīng)力可按彈性解計(jì)算，即四、卸載和殘余應(yīng)力例如，取則在筒內(nèi)壁第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一殘余應(yīng)力分布第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一在上式中p*與c間的關(guān)系由（6-134）式確定，即上面計(jì)算殘余應(yīng)力的公式，只有在完全卸去載荷后，筒內(nèi)處處都不在相反方向發(fā)生塑性變形時(shí)才有效。下面來(lái)計(jì)算保證完全卸載后不出現(xiàn)反號(hào)塑料性變形條件下的最大內(nèi)壓為了不發(fā)生反向屈服，要求其最大值在內(nèi)壁處，等于于是，得到第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一可見(jiàn)，對(duì)一個(gè)反復(fù)受內(nèi)壓作用的圓筒來(lái)說(shuō)，當(dāng)則完全卸載后不會(huì)在相反方向引起新的塑性變形。解出但卸載時(shí)會(huì)發(fā)生反向屈服，在反復(fù)加載（如炮筒反復(fù)承受發(fā)射炮彈時(shí)的高壓）的條件下筒就會(huì)發(fā)生塑性循環(huán)（低周疲勞）破壞。因此，采用大于2.22的b/a值實(shí)際意義不大。這時(shí)可以把工作內(nèi)壓p提高到之上而筒仍處于約束塑性狀態(tài)，另一方面，內(nèi)壓值

又不能大于塑料性極限壓力ps。令：——安定狀態(tài)第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一假設(shè)材料不可壓，即變形前后體積不變的條件可寫(xiě)成從而得出這說(shuō)明，當(dāng)計(jì)及幾何尺寸改變時(shí)，由理想塑性材料制成的厚壁筒承受內(nèi)壓的塑性極限狀態(tài)是不穩(wěn)定的。五、幾何變形對(duì)承載能力的影響當(dāng)筒壁很厚時(shí)，徑向位移可能很大，以致不能忽略幾何尺寸的影響。設(shè)變形后的內(nèi)、外半徑分別為，相應(yīng)的塑性極限壓力為可見(jiàn)在內(nèi)壓作用下，單調(diào)增長(zhǎng)時(shí)，是減小的。第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一實(shí)驗(yàn)觀(guān)察證實(shí)，在塑性狀態(tài)下仍可采取材料力學(xué)和彈性力學(xué)中關(guān)于扭轉(zhuǎn)的假定，即柱體在彈塑性自由扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下，截面只在自身平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以發(fā)生軸向自由翹曲?！?.4柱體的彈塑性自由扭轉(zhuǎn)考慮任意截面形狀的長(zhǎng)柱體，在扭轉(zhuǎn)力矩T作用下的自由扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。以表示柱體單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角，則小變形時(shí)的位移分量為從小應(yīng)變下的Cauchy公式得出應(yīng)變?yōu)椋阂?、研究范圍和基本方程其中是截面的翹曲函數(shù)假定截面是單連通的，取柱體的軸線(xiàn)為

z

軸。第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一此式與材料的本構(gòu)關(guān)系無(wú)關(guān)，不論是彈性還是塑性時(shí)都成立。在進(jìn)入塑性之后，恒有按照增量本構(gòu)關(guān)系，從剛進(jìn)入塑性開(kāi)始，可以推知進(jìn)而在變形的一切階段均有在彈性時(shí)按Hooke定律求得：第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一即在塑性階段不為零的應(yīng)力分量仍只有其中為合剪應(yīng)力?？梢?jiàn)，在扭轉(zhuǎn)時(shí)柱體各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)始終是純剪切，這是一個(gè)簡(jiǎn)單加載過(guò)程。且主應(yīng)力為：第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一二、彈性扭轉(zhuǎn)和薄膜比擬或由（6-86）式得到的應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程同時(shí)，只有一個(gè)平衡方程從（6-85）式中消去翹曲函數(shù)，得協(xié)調(diào)方程因此，可以引進(jìn)彈性應(yīng)力函數(shù)，使有則平衡方程自動(dòng)滿(mǎn)足，而協(xié)調(diào)方程（6-90）化為第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一在彈性力學(xué)中，研究了和Poisson方程（6-93）并導(dǎo)致以下結(jié)論)合剪應(yīng)力大?。篿ii）柱體截面的周界也是

=const曲線(xiàn)族之一，對(duì)單連通截面可令周界上iv）扭矩T與的關(guān)系可按St.Venant條件求得：ii）合剪應(yīng)力的方向沿=const曲線(xiàn)的切向，也就是與的梯度方向相垂直。其中A為柱體的一個(gè)截面。v）Prandtl薄膜比擬：將薄膜張于與柱體截面邊界形狀相同的邊框上，加均勻壓力，則與薄膜的高度成正比，的大小與薄膜的斜率成正比，扭矩T與薄膜曲面下的體積成正比。第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一達(dá)到，就算達(dá)到了彈性極限狀態(tài)，相應(yīng)的截面上有一點(diǎn)的扭矩為彈性極限扭矩。以半徑為

a

的圓柱體為例，帶入方程（6-93）得于是在截面邊緣上最大令處導(dǎo)出在塑性階段，平衡方程（6-91）不變，并仍可由引入應(yīng)力函數(shù)來(lái)滿(mǎn)足，此時(shí)三、全塑性扭轉(zhuǎn)和沙堆比擬當(dāng)材料進(jìn)入塑性時(shí)，因此，按彈性考慮，只要第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一這樣，只從平衡方程、屈服條件和應(yīng)力邊條件就能夠求出理想塑性體內(nèi)的應(yīng)力分布。這種情況叫做塑性力學(xué)中的靜定問(wèn)題。則或即對(duì)于理想塑性材料，是常數(shù)，（6-99）式說(shuō)明在截面上保持斜率不變。由此，Nadai提出下述沙堆比擬：將一個(gè)水平的底面做成截面的形狀，在其上堆放干沙，由于沙堆的靜止摩擦角為常數(shù)，則沙將形成一個(gè)斜率為常數(shù)的表面。因此，這表面可用來(lái)代表塑性應(yīng)力函數(shù)，只相差一個(gè)可由屈服應(yīng)力和沙堆摩擦角決定的比例因子。就是截面的塑性極限扭矩。這時(shí)，我們不用（也不再有）應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，而代之以屈服條件

第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一仍以半徑為a的圓柱體為例，它處于全塑性扭轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)，，按（6-100）式求出高度就應(yīng)為表面必然是一個(gè)圓錐，既然斜率是與（6-96）式相比可知對(duì)圓柱體沙堆比擬的思想，不僅可直接應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)，也可用來(lái)指導(dǎo)計(jì)算三角形、矩形、任意正多角形等規(guī)則截面的柱體的塑性極限扭矩，因?yàn)檫@只需計(jì)算某些等斜“屋頂”下的體積。第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一剪應(yīng)力方向平行于邊界，大小為。同時(shí)我們也看到，一般來(lái)說(shuō)，在截面內(nèi)部，沙堆會(huì)出現(xiàn)尖頂和棱線(xiàn)，在這些點(diǎn)和線(xiàn)的兩側(cè)剪應(yīng)力不連續(xù)。從沙堆比擬中看出，沙堆的梯度垂直于邊界，等線(xiàn)平行于邊界，每點(diǎn)的合它們是彈性區(qū)域收縮時(shí)的極限。當(dāng)彈性區(qū)域收縮時(shí)，從不同方向擴(kuò)展過(guò)來(lái)的兩個(gè)塑性區(qū)域相遇，因此會(huì)造成剪應(yīng)力間斷。如果截面邊界上有凸角（如三角形截面和矩形截面的頂點(diǎn)），從彈性力學(xué)知道，在凸角處剪應(yīng)力等于零，因而盡管T增大，這里始終處于彈性階段。所以，作為彈性區(qū)域收縮極限的剪應(yīng)力間斷線(xiàn)必定通過(guò)這樣的凸角。反之，如果截面邊界上有凹角，從彈性力學(xué)知道，這里剪應(yīng)力無(wú)限大，因而一開(kāi)始就進(jìn)入塑性階段，棱線(xiàn)就一定不經(jīng)過(guò)這里。第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一四、彈塑性扭轉(zhuǎn)和薄膜-玻璃蓋比擬當(dāng)時(shí)，柱體的截面上會(huì)存在一部分彈性區(qū)、一部分塑性區(qū)，的模為常數(shù)）。因此，提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題如下：（這是由于應(yīng)力分量在上應(yīng)該連續(xù)）。的性質(zhì)（滿(mǎn)足Poisson方程）和的性質(zhì)（梯度其上應(yīng)力函數(shù)分別具有，在彈性區(qū)內(nèi)滿(mǎn)足方程（6-93），在塑性區(qū)內(nèi)滿(mǎn)足（6-99），尋求應(yīng)力函數(shù)，在彈塑性區(qū)域交界線(xiàn)在截面邊界上都要連續(xù)Nadai指出，彈塑性交界線(xiàn)可以聯(lián)合應(yīng)用薄膜比擬和沙堆比擬來(lái)求解。在一塊水平平板上，挖一個(gè)具有截面形狀的孔，復(fù)蓋以薄膜。在薄膜的上面，放上一個(gè)按沙堆比擬形狀作成的等傾玻璃蓋。a)如若壓力較小時(shí)，薄膜的變形不受“屋蓋”的影響，這是彈性扭轉(zhuǎn)的情況。b)隨著壓力的增加，薄膜逐漸貼到屋蓋上，貼附的區(qū)域就是塑性區(qū)域。此時(shí)，在貼附區(qū)域以外的自由薄膜仍滿(mǎn)足Poisson方程，所以仍是彈性區(qū)。由此可以確定彈塑性交界線(xiàn)的形狀。第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一在圓截面情形，由于對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)的一個(gè)圓。在彈性區(qū)：有右圖顯示了矩形截面柱體在彈塑性扭轉(zhuǎn)是線(xiàn)的變化，其中黃線(xiàn)以外是塑性區(qū)域。從實(shí)驗(yàn)中可以看出，對(duì)一般截面的柱體，線(xiàn)的變化是非常復(fù)雜的。在分析計(jì)算時(shí)通常只能采用數(shù)值計(jì)算方法一步一步地將近似求出。c)最后薄膜將全部貼附在玻璃蓋上，彈性區(qū)域退化為棱線(xiàn)。第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一在塑性區(qū)：由處的剪應(yīng)力連續(xù)，要求由此定出彈塑性交界線(xiàn)的半徑為則對(duì)有第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一彈塑性邊界隨扭矩變化的規(guī)律：或即彈塑性扭轉(zhuǎn)后的卸載也相當(dāng)于在反方向作用一個(gè)等值的彈性扭矩。仍以圓柱體扭轉(zhuǎn)為例，加載時(shí)的扭轉(zhuǎn)角可由（6-107）式求出為而卸載時(shí)的回彈角是因此，單位長(zhǎng)度的殘余扭轉(zhuǎn)角為也可寫(xiě)出回彈比與所加扭矩的關(guān)系為五、卸載、回彈和殘余應(yīng)力第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一其中卸載后的殘余應(yīng)力分布可計(jì)算出為:其分布下圖所示。T加載卸載殘余應(yīng)力第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一§5.5旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)——等厚度的薄圓盤(pán)考慮轉(zhuǎn)盤(pán)從彈性狀態(tài)開(kāi)始由于轉(zhuǎn)速增加而開(kāi)始屈服的過(guò)程。轉(zhuǎn)盤(pán)的單位，其中為轉(zhuǎn)盤(pán)材料的質(zhì)量密度，為角速度，體積力（離心力）為r為微元的徑向坐標(biāo)；則平衡方程為我們?cè)谶@里只討論理想彈塑料性材料的旋轉(zhuǎn)圓的解。一、研究對(duì)象二、彈性解由于圓盤(pán)很薄，在整個(gè)厚度上可取，因此可作為平面應(yīng)力問(wèn)題。或設(shè)其半徑為b，厚度為h，并以均勻角速度繞中心軸旋轉(zhuǎn)。第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一引入應(yīng)力函數(shù)則應(yīng)力分量滿(mǎn)足從柱坐標(biāo)下的幾何關(guān)系中消去得變形協(xié)調(diào)方程在彈性范圍內(nèi)，以Hooke定律和代入得到其解為第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期一代回（6-160）式得出應(yīng)力為其中積分常數(shù)應(yīng)由具體問(wèn)題的邊界條件確定。對(duì)于實(shí)心圓盤(pán)，因處應(yīng)力為有限值，故，