2023年高二數學上冊期末試卷及答案

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第2頁/共2頁精品文檔推薦高二數學上冊期末試卷及答案高二（上）期末考試

數學

一、挑選題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．拋物線x2＝8y的焦點坐標是（）

A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（4，0）D．（﹣4，0）

2．復數的共軛復數是（）

A．1+iB．1﹣iC．2+2iD．2﹣2i

3．已知雙曲線＝1的離心率為，則m＝（）

A．4B．2C．D．1

4．如圖，在空間四邊形ABCD中，設E，F分離是BC，CD的中點，則+（﹣）等于（）

A．B．C．D．

5．若＝（4，2，3）是直線l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關系是（）

A．垂直B．平行

C．直線l在平面α內D．相交但不垂直

6．“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲線為雙曲線”的（）

A．充分而不須要條件B．須要而不充分條件

C．充分須要條件D．既不充分也不須要條件

7．如圖，棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動點，則下列結論錯誤的是（）

A．平面D1A1P⊥平面A1AP

B．∠APD1的取值范圍是（0，）

C．三棱錐B1﹣D1PC的體積為定值

D．DC1⊥D1P

8．設F是橢圓＝1的右焦點，橢圓上至少有21個不同的點Pi（i＝1，2，3，…），|P1F|，|P2F|，|P3F|，…組成公差為d（d＞0）的等差數列，則d的最大值為（）

A．B．C．D．

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分）

9．已知a，b∈R，i是虛數單位，（a+bi）i＝2+3i，則a＝，b＝．

10．在空間直角坐標系中，已知點M（1，0，1），M（﹣1，1，2），則線段MN的長度為．

11．若雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則滿足條件的一個雙曲線的方程為．

12．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設AD＝AA1＝1，AB＝2，則等于．

13．已知橢圓＝1（a＞b＞0）的離心率為e，F1，F2分離為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得∠F1PF2是鈍角，則滿足條件的一個e的值為．

14．已知曲線W的方程為|y|+x2﹣5x＝0．

①請寫出曲線W的一條對稱軸方程；

②曲線W上的點的橫坐標的取值范圍是．

三、解答題共6題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證實過程。

15．（15分）已知復數z1＝a+2i，z2＝3﹣4i（a∈R，i為虛數單位）．

（Ⅰ）若z1?z2是純虛數，求實數a的值；

（Ⅱ）若復數在復平面上對應的點在其次象限，求實數a的取值范圍．

16．（15分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥AB，AB＝AC＝2，CC1＝4，D為BC的中點．（Ⅰ）求證：AC⊥平面ABB1A1；

（Ⅱ）求證：A1C∥平面ADB1；

（Ⅲ）求平面ADB1與平面ACC1A1所成銳二面角的余弦值．

17．（13分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準線方程為x＝﹣，F為拋物線的焦點．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）若P是拋物線C上一點，點A的坐標為（，2），求|PA|+|PF|的最小值；

（Ⅲ）若過點F且斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點，求線段MN的中點坐標．

18．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD＝AD，E為棱PC的中點．

（Ⅰ）證實：平面PBC⊥平面PCD；

（Ⅱ）求直線DE與平面PC所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F為AD的中點，在棱PB上是否存在點M，使得FM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

19．（13分）已知橢圓M：＝1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為（0，1），焦距為2．若直線y＝x+m與橢圓M有兩個不同的交點A，B．

（Ⅰ）求橢圓M的方程；

（Ⅱ）將|AB|表示為m的函數，并求△OAB面積的最大值（O為坐標原點）．

20．（10分）在平面直角坐標系xOy中，動點P與兩定點A（﹣2，0），B（2，0）連線的斜率之積為﹣，記點P的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）若過點（﹣，0）的直線l與曲線C交于M，N兩點，曲線C上是否存在點E使得四邊形OMEN為平行四邊形？若存在，求直線l的方程，若不存在，說明理由．

數學試題答案

一、挑選題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1．

【分析】通過拋物線的標準方程，直接求出拋物線的焦點坐標即可．

【解答】解：由于拋物線x2＝8y，P＝4，，所以拋物線x2＝8y的焦點坐標是（0，2）．

故選：A．

【點評】本題主要考查了拋物線的容易性質．解本題的關鍵是推斷出拋物線的焦點坐標所在坐標軸以及方向．

2．

【分析】首先利用復數的除法運算化簡，然后取徐不得相反數的其共軛復數．

【解答】解：由＝．

所以的共軛復數為1﹣i．

故選：B．

【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題．

3．

【分析】先按照雙曲線方程可知a和b，進而求得c，則雙曲線離心率的表達式可得，最后按照離心率為2求得m的值．

【解答】解：按照雙曲線＝1可知a＝，b＝，

∴c＝，

∴e＝＝，

求得m＝2，

故選：B．

【點評】本題主要考查了雙曲線的容易性質．應嫻熟把握雙曲線標準方程中，a，b和c，及離心率e的關系．

4．

【分析】按照向量三角形法則、向量共線定理即可得出．

【解答】解：銜接AF，E，F分離是BC，CD的中點，

則+（﹣）＝+＝+＝．

故選：C．

【點評】本題考查了向量三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．

5．

【分析】＝（4，2，3）是直線l的方向向量，＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，由≠0，得到直線l與平面α的位置關系是相交但不垂直．

【解答】解：∵＝（4，2，3）是直線l的方向向量，

＝（﹣1，3，0）是平面α的法向量，

＝﹣4+6+0＝2≠0，

∴直線l與平面α的位置關系是相交但不垂直．

故選：D．

【點評】本題考查直線與平面的位置關系的推斷，考查向量法等基礎學問，考查運算求解能力，是基礎題．

6．

【分析】由雙曲線的定義可知：“方程x2﹣y2＝m表示的曲線為雙曲線”的充要條件為：m≠0，得解．

【解答】解：由雙曲線的定義有：“方程x2﹣y2＝m表示的曲線為雙曲線”的充要條件為：m≠0，

故“m≠0”是“方程x2﹣y2＝m表示的曲線為雙曲線”的充要條件，

故選：C．

【點評】本題考查了雙曲線的定義及充分須要條件，屬容易題．

7．

【分析】在A中，由A1D1⊥平面A1AP，得平面D1A1P⊥平面A1AP；在B中，當P與A1重合時，∠APD1＝；在C中，△B1D1C的面積是定值，P到平面B1D1C的距離是定值，從而三棱錐B1﹣D1PC的體積為定值，故C正確；在D中，由DC1⊥D1C，DC1⊥BC，得DC1⊥平面BCD1A1，從而DC1⊥D1P．

【解答】解：在A中，∵A1D1⊥平面A1AP，A1D1?平面D1A1P，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正確；

在B中，當P與A1重合時，∠APD1＝，∴∠APD1的取值范圍不是（0，），故B錯誤；

在C中，∵△B1D1C的面積是定值，P到平面B1D1C的距離是定值，

∴三棱錐B1﹣D1PC的體積為定值，故C正確；

在D中，∵DC1⊥D1C，DC1⊥BC，

D1C∩BC＝C，∴DC1⊥平面BCD1A1，∴DC1⊥D1P，故D正確．

故選：B．

【點評】本題考查命題真假的推斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎學問，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題．

8．

【分析】由已知知這個等差數列是增數列，則a1≥|FP1|＝5﹣3＝2，a21≤|FP21|＝5+3＝8，又a21＝a1+20d，可得0＜a21﹣a1＝20d≤6，解得d的范圍，則答案可求．

【解答】解：由橢圓＝1，得a＝5，b＝4，則c＝．

由已知可得等差數列是增數列，則a1≥|FP1|＝5﹣3＝2，a21≤|FP21|＝5+3＝8，

∴a21＝a1+20d，∴0＜a21﹣a1＝20d≤6，

解得0＜d≤．

∴d的最大值為．

故選：B．

【點評】本題考查了橢圓的定義及其性質、等差數列的通項公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分）

9．

【分析】利用復數代數形式的乘除運算變形，再由復數相等的條件求解．

【解答】解：由（a+bi）i＝﹣b+ai＝2+3i，

得﹣b＝2，a＝3，即a＝3，b＝﹣2．

故答案為：3，﹣2．

【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，是基礎題．

10．

【分析】按照兩點間的距離公式，舉行計算即可．

【解答】解：空間直角坐標系中，點M（1，0，1），N（﹣1，1，2），

所以線段AB的長度為|MN|＝＝．

故答案為：．

【點評】本題考查了空間直角坐標系中兩點間的距離公式的應用問題，是基礎題目．

11．

【分析】已知雙曲線的漸近線方程的雙曲線系方程，可設雙曲線方程為：＝λ（λ≠0），即＝λ（λ≠0）．

【解答】解：由雙曲線系方程可得：雙曲線的漸近線方程為y＝±x，

則雙曲線方程為＝λ（λ≠0），即＝λ（λ≠0），

故答案為：＝1．

【點評】本題考查了已知雙曲線的漸近線方程的雙曲線系方程，屬容易題．

12．

【分析】由＝++，得?＝（++）？＝＝1

【解答】解：∵＝++，

∴?＝（++）？＝＝1

故答案為：1．

【點評】本題考查向量的數量積的應用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力．

13．

【分析】當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F1PF2慢慢增大，當且僅當P點位于短軸端點P0處時，張角∠F1PF2達到最大值，由此可得結論．

【解答】解：如圖，當動點P在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，P對兩個焦點的張角∠F1PF2慢慢增大，

當且僅當P點位于短軸端點P0處時，張角∠F1PF2達到最大值．

∵橢圓上存在點P使得∠F1PF2是鈍角，

∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，

∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，

∴P0O＜OF2，即b＜c，

∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，

∴e＞，

∵0＜e＜1，

∴＜e＜1，

∴滿足條件的一個e的值為（可取大于小于1的隨意一個實數值）．

故答案為：（可取大于小于1的隨意一個實數值）．

【點評】本題考查了橢圓的容易幾何性質，考查數形結合的數學思想，屬于中檔題．

14．

【分析】①利用曲線方程，通過（x，﹣y）代入方程，推出過程中即可．

②利用肯定值的范圍，求解橫坐標的范圍．

【解答】解：①曲線W的方程為|y|+x2﹣5x＝0．（x，﹣y）代入方程，可得|﹣y|+x2﹣5x＝0，即|y|+x2﹣5x＝0，對稱軸為：y＝0．

②|y|+x2﹣5x＝0，可得|y|＝﹣x2+5x≥0，可得：x∈[0，5]．

故答案為：①：y＝0；②[0，5]．

【點評】本題考查函數與方程的應用，對稱軸以及轉化思想的應用，考查計算能力．

三、解答題共6題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證實過程。

15．

【分析】（Ⅰ）利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0列式求解；

（Ⅱ）利用復數代數形式的乘除運算化簡，由實部小于0且虛部等于0聯(lián)立不等式組求解．

【解答】解：（Ⅰ）由復數z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，

得z1?z2＝（a+2i）（3﹣4i）＝3a+8+（6﹣4a）i，

由題意，3a+8＝0，6﹣4a≠0，即a＝﹣；

（Ⅱ）＝，

若復數在復平面上對應的點在其次象限，則，

解得﹣＜a＜．

【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．

16．

【分析】（Ⅰ）推導出AA1⊥平面ABC，從而AA1⊥AC，再由AC⊥AB，能證實AC⊥平面ABB1A1．

（Ⅱ）連結A1B，與AB1相交于點O，連結DO，由DO∥A1C，能證實A1C∥平面ADB1．

（Ⅲ）由AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出平面ADB1與平面ACC1A1所成銳二面角的余弦值．

【解答】證實：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，AA1∥CC1，∴AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥AC，又AC⊥AB，AB∩AA1＝A，

∴AC⊥平面ABB1A1．

（Ⅱ）連結A1B，與AB1相交于點O，連結DO，

∵D是BC中點，O是A1B中點，

則DO∥A1C，A1C?平面ADB1，DO?平面ADB1，

∴A1C∥平面ADB1．

解：（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥平面ABB1A1，AA1⊥AB，

如圖建立空間直角坐標系A﹣xyz，

則A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，4，0），D（1，0，1），

＝（1，0，1），＝（2，4，0），

設平面ADB1的法向量＝（x，y，z），

則，取y＝1，得＝（﹣2，1，2），

平面ACC1A1的法向量＝（2，0，0），

cos＜＞＝＝﹣，

∴平面ADB1與平面ACC1A1所成銳二面角的余弦值為．

【點評】本題考查線面垂直、線面平行的證實，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎學問，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題．

17．

【分析】（Ⅰ）運用拋物線的準線方程，可得p＝1，進而得到拋物線方程；

（Ⅱ）過A作AB⊥準線l，垂足為B，運用拋物線的定義和三點共線取得最值，即可得到所求最小值；

（Ⅲ）由題意可得直線MN的方程為y＝x﹣，代入拋物線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，即可得到所求中點坐標．

【解答】解：（Ⅰ）拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準線方程為x＝﹣，

F為拋物線的焦點，可得F（，0），

即＝，p＝1，

拋物線的方程為y2＝2x；

（Ⅱ）若P是拋物線C上一點，點A的坐標為（，2），

如圖，過A作AB⊥準線l，垂足為B，

由拋物線的定義可得|PB|＝|PF|，

則|PA|+|PF|＝|PA|+|PB|≥|AB|＝+＝4，

當且僅當A，P，B三點共線，取得最小值4；

（Ⅲ）由題意可得直線MN的方程為y＝x﹣，

代入拋物線方程y2＝2x，可得x2﹣3x+﹣＝0，

設M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2＝3，

即有MN的中點的橫坐標為，縱坐標為﹣＝1，

即有MN的中點坐標為（，1）．

【點評】本題考查拋物線的定義、方程和性質，考查三點共線取得最小值，以及直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理和中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．

18．

【分析】（Ⅰ）推導出PD⊥底面ABCD，從而PD⊥BC，由底面ABCD為正方形，得BC⊥CD，從而BC⊥平面PCD，由此能證實平面PBC⊥平面PCD．

（Ⅱ）以D為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線DE與平面PAC所成角的正弦值．

（Ⅲ）向量＝（﹣2，﹣2，2），＝（2，2，0），＝（1，2，0），由點M在棱PB上，設＝，（0≤λ≤1），從而＝＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），由FM⊥DB，能求出結果．

【解答】證實：（Ⅰ）∵平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，

∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，

又∵底面ABCD為正方形，BC⊥CD，

∴BC⊥平面PCD，

∴平面PBC⊥平面PCD．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知PD⊥底面ABCD，AD⊥CD，

如圖，以D為原點，建立空間直角坐標系，

設PD＝AD＝2，則D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），

P（0，0，2），E（0，1，1），

＝（0，1，1），＝（﹣2，2，0），＝（2，0，﹣2），

設＝（x，y，z）為平面PAC的一個法向量，

設DE與平面PAC所成角為θ，

則sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，

∴直線DE與平面PAC所成角的正弦值為．

（Ⅲ）向量＝（﹣2，﹣2，2），＝（2，2，0），＝（1，2，0），

由點M在棱PB上，設＝，（0≤λ≤1），

∴＝＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），

由FM⊥DB，得＝0，

∴（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2＝0，

解得，∴＝．

【點評】本題考查面面垂直的證實，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎學問，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題．

19．

【分析】（Ⅰ）按照已知條件求出b、c的值，再按照a、b、c的關系求出a的值，即可得出橢圓的方程；

（Ⅱ）將直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式并結合韋達定理求出|AB|，并計算出原點O到直線AB的距離作為△OAB的高，然后利用三角形的面積公式得出△OAB面積的表達式，利用函數思想求出△OAB面積的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，b＝1，由a2＝b2+c2，得，