全書(shū)精講之二課程加持續(xù)

線性相 向量組 線性無(wú)

= ? b可由向量組 若向量組 線性無(wú)

線性表出，則t

(2)

不能由

a

2x-x+x= （1)

x1+2x2-x3= x1+7x2-4x3=

2 fi

1fi

-3fi

-3

t

t-

t- t 系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，所以t

線性表出，則t

(2)a(1,0,1)Ta(2,1,2)Ta(1,3,a)

如果向量

不能由 線性表出，則a

x +x=由題設(shè)知方程組

1 2fi

x1+2x2+ax3=2

a- r(A)<r( a=

線性表出，則t

(2)a(1,0,1)Ta(2,1,2)Ta(1,3,a)

如果向量

不能由 線性表出，則a

由于b不能由a1,a2,a3 故b可由 線性表示，與題 故向量

于是

3=a-1=

a= 已知n

已知n

2k1+k3= 3k+k-k= -k2+k3

所以k1k2k3

已知n

1

由于 -1?0，所以

1

1

1

A a13A

,,b=

設(shè)向量組 3線性無(wú)關(guān)

3

23

a13

33

3=

23

33

a13k1

k=

23 2

2

23 2

a33x3 k3

a13k1 kb+kb+kb=(b,b,b)k

k=0

32

3 23 2

k

3

3

-

-

-

（A） a,a++2,a+aa)=

3

11 11

0，-

0=-7? 3 1

3

設(shè)n維列向量a1,a2,L,an-1 證明b1,b2 線性相關(guān)，a1,a2,L,an-1,b1 由題設(shè)aTb0i1,2Ln-1j 1 1

a

11

=

j=

M

M

b 0 n-1 n-1

j 故Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成，從而 設(shè)n維列向量a1,a2,L,an-1 證明b1,b2 線性相關(guān)，a1,a2,L,an-1,b1

故kn=

都是三維列向量，且a1,a2線性無(wú)關(guān) 線性無(wú)關(guān)由于

由于

線性無(wú)關(guān) 線性無(wú)關(guān)，k1=k2=0，l1=l2= T,2,1,3T,1,T1,3,3,5T4,5,6TT 11113453156aaa

1

1A=

fi

fi

秩為

2

2

a021021是

fi

00 0

是 T,2,1,3T,1,T1,3,3,5T4,5,6TT

1

A=

fi 0

0

0

0 - a

秩為

AfiB A

r(I)=r(II)=3,r(III)=4,求r(

r(I)=r(II)=3,r(III)=4,求r( 由于r(I)=r(II)=3,所以向量組

線性無(wú)關(guān)，向量組 線性相若a4 能由向量組 于是a5=(l1-k1)a1+(l2-k2)a2,+(l3-k3)a3，與r(III)=4 故a4+a5 r(I)=r(II)=3,r(III)=4,求r(

由于r(I)=r(II)=3,所以向量組 線性無(wú)關(guān)，向量組

列 矩陣，證明r(A+B)￡r(A)+￡設(shè)Aa1,a2L,a

n,B=b,2

n

1

b,2

n

L,j

,j,b

￡r+ r(A+B)￡r(A)+

,2,0T,02T

2,1,1,aT

1 解 解向量空間的基，維數(shù)，坐標(biāo)——由 1設(shè)ai,a,iL,aia,a112rs的極大無(wú)關(guān)組，則ai,a rV向量空間的維數(shù)為

,2,0T,02T

2,1,1T 2121

2 1 1

a= 3

a

a11x1+ a11x1+a12x2+a1nxn=

a1n

x1

b1 x+

++

=

x

A=

2n，x=

2，b= 2am1x1+am2x2++amnxn=a11 a12 a1na21 a22 a2n

amnAx=

1

M m1 m2 mn Ax= Ax Ax=0有非零 r(A)<只有零 r(A)=

若是Ax=0 若是Ax= 的解k為數(shù)

= ?

則Ax0 通解：x=k1x1+k2x2 ++kn-r(A)xn-r(A)， ki?R

有 r(A)=r(A,n,n,無(wú) r(A)<r(A,

Am·n，AxbAAm·n，AxbrArAbA=0rArAb1+)

ki? 的解 x是Ax=0的解，則是Ax= 的解 32,1

+1+1解 解Ax=0n-r(An-r(A個(gè)無(wú)關(guān)解是方程組Ax=0 1 32,1

+1+1解解

1

0 1 32,1解

+1+1

11111112132123 01011 01011110 正確選項(xiàng)為

解解Ax=0Ax=0r(A)<A=r(A)=A? 只有零解，所

解 解

0=M M C =11+1(-

解解

0 0

1 1

C= M M ,k為任意常Ax=0的n-r(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)解是Ax0已知a1,a2,a3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，證明 Ax=0的n-r(A)個(gè)線性無(wú)關(guān)解是Ax0也是Ax=0的基礎(chǔ)解系證由題設(shè)得n-r(A)=3，且證

kk1+k2+3k3=

80，

-k2+5k3=

已知a1,a2,a3是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，證明 也是Ax=0的基礎(chǔ)解系證證 由

01001113 01001113 已知方程組x1+ax2-x3已知方程組

Axbr(A)=r(A,b)<

a

a+1

a(A,b)=

a+2fi

1-

fi

1- 1 1

4a

00

a(a-

2a由題設(shè)知 故a(a-3)=當(dāng)a3時(shí)，r(A,b)=3，r(A)=2,

03當(dāng)a0時(shí)，r(A,b)=2=r(A)=2,無(wú)窮解，符合題意綜上得a=0

已知方程組 a=

x1+ax2-

=

x=

(A,b)fi

fi

3 3

=-x3

00 0 0 0

x=

1

1

x2=- 1 1 a=

x1+ax2-

已知方程組已知方程組

x1=(A,b)fi 1fi

x=-x

x=1

a 0可經(jīng)初等列變換化為矩陣B= 1)求 2)求滿足AP=B的可逆矩陣 因?yàn)榫仃嘇可經(jīng)初等列變換化為B，所以r(A)= A=

a 0 fi

0 0 a fi a r(A)=

0

2

B= 1

fi

1fi

a=

1

a

2-a

a 0可經(jīng)初等列變換化為矩陣B= 1)求 2)求滿足AP=B的可逆矩陣 a=2.求滿足AP=B的可逆矩陣PA(p1,p2,p3)=(b1,b2,(Ap1,Ap2,Ap3)=(b1,b2,b3)Ap1=b1,Ap2=b2,Ap3=

記P=p1,p2,p3),B (A,B)=

2 1fi

4 2 2

0

a 0可經(jīng)初等列變換化為矩陣B= 求

3030

2

4(A,B)=

1fi

22Ap1=

0 0 0 0x1=-6x3+ 3

= - p1=k12+-

=10 10

a 0可經(jīng)初等列變換化為矩陣B= 求

4040 2 4040(A,B)=22

1fi

Ap1=

Ap2=

Ap3= 3p1=k12+-

4 4p2=k22+-1，p3=k32+-

a 0可經(jīng)初等列變換化為矩陣B= 求 2)求滿足AP=B的可逆矩陣解A(p1,p2,p3)=(Ap1,Ap2,Ap3)=(b1,b2,3-

4- 4-6k3P=(p1,p2,p3)

-1+

-1+ -1+2k3 3

P=-k2+k3 k1,k2,k3為滿足k2? 已知a

b

線性表示？何時(shí)b可由 解解

2

fi

-1a+ -1a+

3 a

1 0 1 0

b-

b- 當(dāng)b4時(shí),r(A當(dāng)b4時(shí),r(