2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，其中為實數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得答案.【詳解】，解得.故選：D.2．平面向量與相互垂直，已知，，且與向量(1，0)的夾角是鈍角，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出向量的坐標，利用平面向量垂直的坐標表示及模的運算，向量夾角的定義求解即可．【詳解】設(shè)①，，②，與向量(1，0)夾角為鈍角，，③，由①②③解得，，故選：D．3．在△ABC中，，則此三角形中的最大角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理可得出，設(shè)，則，，然后根據(jù)余弦定理求出即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，，設(shè)，則，，所以最大.由余弦定理可得，.因為，所以.故選：C.4．下列不能化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減法以及運算性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于A，，故A不符合題意；對于B，，故B不符合題意；對于C，，故C不符合題意；對于D，，故D符合題意.故選：D.5．已知向量，，且，則向量的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可求得，根據(jù)向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】，，，又，.故選：D.6．如圖所示，在三棱柱中，底面，，，直線與側(cè)面所成的角為，則該三棱柱的側(cè)面積為A． B． C．12 D．【答案】A【分析】由線面垂直的判定定理可得BC面，得到直線與側(cè)面所成的角為，然后由題目條件可得AB,BC的長度，從而可得側(cè)面積.【詳解】底面，則，，,可得BC面，所以直線與側(cè)面所成的角為，又，則該三棱柱的側(cè)面積為2，故選A【點睛】本題考查線面垂直判定定理的應(yīng)用和線面角的求法，屬于基礎(chǔ)題.7．在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體，則截去8個三棱錐后，剩下的幾何體的體積是A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意幾何體的體積，就是正方體的體積減去8個正三棱錐的體積，V正方體?8V三棱錐＝.【解析】組合幾何體的面積、體積問題8．如圖（1）在正方形中，分別是邊的中點，沿及把這個正方形折成一個幾何體如圖(2),使三點重合于,下面結(jié)論成立的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【分析】根據(jù)折疊前后垂直關(guān)系不變可推出A正確，B錯誤，再由與不垂直判斷C，反證法可判斷D.【詳解】在折疊過程中，始終有，，即，又，平面，平面，所以A正確，B錯誤；，是的中點，，故與不垂直，故C錯誤；若平面，則，又平面，則，顯然矛盾，故D錯誤.故選：A.二、多選題9．已知向量，，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．存在，使得C． D．當時，在上的投影向量的坐標為【答案】CD【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標公式即可判斷A；根據(jù)平面線路垂直的坐標表示即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標計算即可判斷C；根據(jù)投影向量的計算公式即可判斷D.【詳解】對于A，若，則，解得，故A錯誤；對于B，若，則，即，方程無解，所以不存在，使得，故B錯誤；對于C，，所以，故C正確；對于D，當時，，，則在上的投影向量的坐標為，故D正確.故選：CD.10．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（

）A．的實部為1 B．C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．的虛部為【答案】BD【分析】由復(fù)數(shù)除法法則化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，然后判斷各選項．【詳解】因為，所以的實部為，故A是假命題；，故B是真命題；的共軛復(fù)數(shù)為，故C是假命題；的虛部為，故D是真命題．故選：BD．11．下列命題正確的是（）A．平行于同一個平面的兩直線平行B．兩條平行直線被兩個平行平面所截得的線段相等C．一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行，這兩平面平行D．一條直線與兩平行平面中的一平面平行，則與另一平面也平行【答案】BC【分析】以長方體為例，舉例即可判斷A、C、D；根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可證得線線平行，進而通過證明平行四邊形，即可得出B項.【詳解】對于A項，如圖1，長方體中，平面，平面，但是，故A項錯誤；對于B項，如圖2，已知兩個平面，，兩條直線，且直線，，，.因為，所以可構(gòu)成平面，設(shè)為，則由圖可知，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，.又因為，所以，四邊形為平行四邊形，所以，故B項正確；對于C項，根據(jù)面面平行的判定定理可知，C項正確；對于D項，如圖1，長方體中，平面，平面平面，但是平面，故D項錯誤.故選：BC.12．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則B．若，則為等腰三角形C．若，，，則符合條件的有兩個D．若，則是銳角三角形【答案】AC【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性和對稱性可判斷B選項，利用正弦定理可判斷C選項，利用正弦定理及余弦定理可判斷D選項.【詳解】對于A：由，則當時，，當時，由可知，所以，故A選項正確；對于B：由，，，得：或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B選項錯誤；對于C：由，，，根據(jù)正弦定理得：，，且，所以滿足條件的三角形有兩個，C選項正確；對于D：由正弦定理可將轉(zhuǎn)化為，則，所以，但無法判斷的范圍，D選項錯誤.故選：AC.三、填空題13．如圖所示，正方形的邊長為，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是________．【答案】【分析】將直觀圖還原可得，原圖形為平行四邊形，根據(jù)斜二測畫法的法則，結(jié)合勾股定理，可得出平行四邊形各邊長，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，則將直觀圖還原為原圖形如下圖原圖形為平行四邊形，其中，，，所以，，所以，的周長為.故答案為：.14．若圓錐的側(cè)面展開圖的面積為且圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為__________．【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意，結(jié)合扇形的弧長公式和面積公式可得，且，解得，再利用圓錐的體積計算公式即可．【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意知，且，解得，∴圓錐的高∴此圓錐的體積．故答案為：．15．一艘船在處看到一個燈塔在北偏東方向，向東行駛后，船到達處，看到燈塔在北偏東方向，這時船與燈塔的距離為________．【答案】【分析】結(jié)合圖形，利用正弦定理求解即可.【詳解】如圖，根據(jù)題意可知，，，在中，由正弦定理得，即，解得.故答案為：.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，點E是SA上一點，當________時，平面.【答案】【分析】連接AC交BD于O，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，進而即得.【詳解】如圖，連接AC，設(shè)AC與BD的交點為O，連接EO，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以點O是AC的中點．

因為平面，且平面平面，又平面，所以，所以點E是SA的中點，即SE∶SA＝1∶2.故答案為：.四、解答題17．向量，若三點共線，則求實數(shù).【答案】或【分析】先根據(jù)向量減法的運算法則求出，，再利用向量共線的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】因為，所以因為三點共線，所以與共線，∴∴或【點睛】本題主要考查平面向量的運算法則，以及向量共線的性質(zhì)，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標運算．18．已知，.(1)若，求；(2)若與垂直，求當為何值時，?【答案】(1)(2)3【分析】(1)根據(jù)向量模長公式即可求出結(jié)果；(2)根據(jù)與垂直可以求出，根據(jù)即可求出的值.【詳解】（1），，所以；（2）因為與垂直，所以，即，解得，當時，，即，解得，所以當時，.19．如圖，已知在長方體中，，，點是的中點．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）計算出，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為四邊形為矩形，且，則為的中點，又因為為的中點，則，平面，平面，因此，平面；（2）因為，，且為的中點，所以，，在長方體中，平面，因此，.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經(jīng)常用到中位線定理或平行四邊形的性質(zhì).20．已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且(1)求角C(2)若，，D為BC的中點，，求△ABC的面積【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)余弦定理邊角互化即可求解；（2）根據(jù)余弦定理可求CD值，進而可求a，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）由題可得，由余弦定理得，因為，所以；（2）在三角形ADC中，，即，解得或，即或，因為，所以由正弦定理可得，故，因為，所以，故，所以，所以．21．在中，，再從下面兩個條件中，選出一個作為已知，解答下面問題.(1)若，求的面積；(2)求的取值范圍.條件①；條件②.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件求出角B，再運用正弦定理和余弦定理求出c，用面積公式計算即可；（2）運用正弦定理，再做恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）選條件①，，，又，，而，故；選條件②，，，即，，又，故，在中，當，，時，由余弦定理得：，即，（負值舍去），所以；（2）由題設(shè)及（1）可知：，，故由正弦定理得：，，，故（當且僅當時等號成立），即；綜上，的面積為，的取值范圍是.22．如圖所示，三棱柱，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面，點分別是棱上的點，點是線段上的動點，．(1)當點M在何位置時，平面?(2)若平面，求與所成的角的余弦值．【答案】(1)點為的中點(2)【分析】（1）分別取的中點為，連接．可推得四邊形為平行四邊形，．進而根據(jù)線面平行的判定定理，得出線面平行；（2）由（1）知，與所成的角（或其補角），即等于與所成的角.然后構(gòu)造直角三角形，可推得，，，進而得出，在中，即可得出