規(guī)模經(jīng)濟(jì)和壟斷競(jìng)爭(zhēng)下的模型

規(guī)模經(jīng)濟(jì)和壟斷競(jìng)爭(zhēng)下的模型第一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

一、模型的微觀基礎(chǔ)第二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一1.已知效用函數(shù),預(yù)算約束,證明：在約束效用最大點(diǎn)，價(jià)格比率/一定等于邊際效用比率。證(1.1)(1.2)(1.1)中的,及（1.2）中的由（1.1）

第三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

由（1.2），于是，第四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一2.給定一個(gè)柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù).預(yù)算約束證明成本最小時(shí)的輸入比率為證：利用拉格朗日函數(shù)法，

由(2.1)及(2.2)整理，（2.2）（2.1）第五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一由于及,所以，(2.3)第六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一3.對(duì)于一個(gè)線性的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù),證明：(資本產(chǎn)出彈性)，(勞動(dòng)產(chǎn)出彈性)。證由產(chǎn)出彈性定義，

及因?yàn)榍筮呺H函數(shù)，第七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

求平均函數(shù),然后，用平均函數(shù)分別去除邊際函數(shù)，得到彈性?，第八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一4.

方程2.3（及）給出了廣義柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)最小成本輸出比率。證明：任何廣義柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)有單一替代彈性，即σ=1。證替代彈性被定義為：由于價(jià)格比微小的變化率所引起的最低成本比的變化率。(4.1)

因?yàn)椋?.3）中的α和β為常數(shù)，而PK和PL為自變量，K/L可以視為PK/PL的函數(shù)注意到（4.1）的第二個(gè)比率中，σ=邊際函數(shù)、平均函數(shù)，首先（2.3）的邊際函數(shù)為第九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一然后，兩邊同時(shí)除以，求（2.3）的平均函數(shù)，代入（4.1），第十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一5.利用（2.3）給出的柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的最低成本比率（）檢驗(yàn)答案，其中證因?yàn)?，由?.3）資本和勞動(dòng)必須以16K：15L的比率使用。第十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

二、

CES生產(chǎn)函數(shù)第十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一CES生產(chǎn)函數(shù)

不變替代彈性生產(chǎn)函數(shù)(ConstantElasticityofSubstitution，縮寫為CES)，是指在生產(chǎn)要素投入之間具有不變的替代彈性這樣一類生產(chǎn)函數(shù)。其一般形式為

式中，Q代表產(chǎn)出,K為資本投入,L為勞動(dòng)投入。A、α、β為參數(shù)，它們滿足A≥0、0≤α≤1、β≥-1的條件。第十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一CES生產(chǎn)函數(shù)有兩個(gè)重要特性：（1）它是一次齊次的；（2）它有不變的替代彈性。第十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一1.已知CES函數(shù)…………………………①回憶問題1的結(jié)論：如果函數(shù)達(dá)到最優(yōu)，則價(jià)格比等于邊際產(chǎn)品之比。（a）證明CES生產(chǎn)函數(shù)的替代彈性σ為常數(shù)，（b）確定σ的取值范圍。證明：（a）根據(jù)提示，函數(shù)達(dá)到最優(yōu)投入的條件是價(jià)格比等于邊際產(chǎn)量之比

…………………………②利用廣義冪函數(shù)法則求①式的一階導(dǎo)數(shù)，第十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一為了計(jì)算方便，令則

…………………………③根據(jù)②式，函數(shù)達(dá)到最優(yōu)投入的條件是價(jià)格比等于邊際產(chǎn)量之比第十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一由于α和β為常數(shù)，正如問題4一樣，將K/L視為PL/PK的函數(shù)。我們知道函數(shù)的邊際函數(shù)與平均函數(shù)之比為替代彈性，則邊際函數(shù)為平均函數(shù)為由式③，

…………………………⑤

…………………………④第十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一（b）由（a）得，而β的取值范圍是β≥-1，

若-1<β<0，則σ>1;

若β=0，則σ=1；若0<β<,則σ<1。將④⑤兩式相比，得到替代彈性因?yàn)棣聻橐阎獏?shù)，所以為常數(shù)。第十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一2.證明CES生產(chǎn)函數(shù)是次數(shù)為1的齊次函數(shù)，從而是規(guī)模報(bào)酬不變的。

用t乘以K、L,從而證明CES生產(chǎn)函數(shù)是次數(shù)為1的齊次函數(shù)，即是規(guī)模報(bào)酬不變的。

證明:由第十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一三、規(guī)模經(jīng)濟(jì)和壟斷競(jìng)爭(zhēng)下的D—S模型第二十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

模型背景

自第二次世界大戰(zhàn)之后,隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的不斷發(fā)展以及國(guó)際政治經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的相對(duì)穩(wěn)定,國(guó)際貿(mào)易的規(guī)模越來越大,國(guó)際貿(mào)易的商品結(jié)構(gòu)和地區(qū)分布與戰(zhàn)前相比發(fā)生了很大變化:經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相似的發(fā)達(dá)國(guó)家之間的貿(mào)易比重大大提高,占世界貿(mào)易總額的比重高達(dá)70%以上;具有相似特征的同類產(chǎn)品之間的貿(mào)易額大幅增加,出現(xiàn)了很多同一行業(yè)既出口又進(jìn)口的雙向貿(mào)易即產(chǎn)業(yè)內(nèi)貿(mào)易。

傳統(tǒng)貿(mào)易理論模型(主要是李嘉圖理論與HOS模型)l基于國(guó)家之間在生產(chǎn)技術(shù)(生產(chǎn)率)或要素察賦方面的差異討論的國(guó)際貿(mào)易已經(jīng)無法解釋要素稟賦十分接近的產(chǎn)業(yè)內(nèi)貿(mào)易。因此，經(jīng)濟(jì)學(xué)家開始引入非完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)、規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)技術(shù)和產(chǎn)品差異等因素,提出了新貿(mào)易理論來設(shè)法揭示產(chǎn)業(yè)內(nèi)貿(mào)易的產(chǎn)生，而D—S模型正為該理論提供了簡(jiǎn)潔的基本方法。第二十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一模型假設(shè)1.企業(yè)規(guī)模經(jīng)濟(jì)2.行業(yè)壟斷競(jìng)爭(zhēng)3.行業(yè)內(nèi)產(chǎn)品具有不變替代彈性第二十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一消費(fèi)者市場(chǎng)均衡1.引入CES效用函數(shù)

假設(shè)存在大量的潛在產(chǎn)品種類,并且消費(fèi)者對(duì)這些產(chǎn)品的需求是對(duì)稱的,所有經(jīng)濟(jì)體中的個(gè)體消費(fèi)者都具有相同的效用函數(shù)。

由于效用函數(shù)是對(duì)稱的，因此在市場(chǎng)均衡時(shí)，消費(fèi)者具有相同的價(jià)格和消費(fèi)量，且假設(shè)預(yù)算約束E。

σ>1(1)第二十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

將預(yù)算約束代入（1）式

結(jié)論：產(chǎn)品種類越豐富，也就是說消費(fèi)者偏好盡可能多的產(chǎn)品，效用也越大。(2)第二十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一2.消費(fèi)者效用最大化根據(jù)上式，構(gòu)建拉格朗日函數(shù)：分別對(duì)產(chǎn)品變量i和j求偏導(dǎo)：第二十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一對(duì)于產(chǎn)品i對(duì)于產(chǎn)品j兩式相除可得：(3)第二十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一對(duì)兩邊分別取對(duì)數(shù)：結(jié)論：∣σ∣不僅是產(chǎn)品之間的替代彈性也是需求的價(jià)格彈性。(4)(5)第二十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

對(duì)（3）式兩邊同乘Pi為了求出j產(chǎn)品的需求函數(shù)，對(duì)產(chǎn)品i在0到n的區(qū)間上進(jìn)行積分：(6)第二十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

結(jié)論：pj自身價(jià)格越高，這Yj的消費(fèi)越少，P為綜合價(jià)格，綜合價(jià)格越高，對(duì)Yj的需求越大。將（7）式代入（6）式，定義綜合價(jià)格指數(shù)：(7)(8)第二十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

對(duì)（6）式改寫為：兩邊同時(shí)對(duì)j產(chǎn)品在0到n上進(jìn)行積分：3.間接效用第三十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一(9)結(jié)論：間接效用隨著綜合價(jià)格的上升而下降。第三十一頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一因?yàn)閷?duì)稱性假設(shè)pi=p,我們可以將（7）式改寫為：結(jié)論：綜合價(jià)格指數(shù)隨著產(chǎn)品種類的增加而上升，進(jìn)而引起間接效用的增大。第三十二頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

生產(chǎn)者市場(chǎng)均衡假定有n個(gè)廠商生產(chǎn)不同的產(chǎn)品，每個(gè)廠商對(duì)其所生產(chǎn)的產(chǎn)品具有壟斷性。對(duì)于廠商j有如下成本函數(shù)：其中(10)第三十三頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一該成本函數(shù)具有以下特征：a.勞動(dòng)投入是影響產(chǎn)量的唯一因素，勞動(dòng)報(bào)酬等于工資率w。b.廠商具有不變的固定成本F和邊際成本c。c.成本函數(shù)是次加性的，即存在規(guī)模經(jīng)濟(jì)。也就是說對(duì)于每一種產(chǎn)品只有唯一一個(gè)生產(chǎn)商。第三十四頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一1.利潤(rùn)最大化問題（PMP）考慮到消費(fèi)者的需求，每一壟斷廠商將設(shè)定一個(gè)價(jià)格。對(duì)于壟斷廠商j其利潤(rùn)函數(shù)為：(11)第三十五頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一因此，廠商j的利潤(rùn)最大化問題可表示為：Maxs.t.

第三十六頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一對(duì)上式求的導(dǎo)數(shù)（FOC）：（12）第三十七頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一結(jié)論：a.每個(gè)壟斷廠商面臨著同樣的均衡價(jià)格

b.當(dāng)價(jià)格高于邊際成本時(shí)，廠商即可獲利。利潤(rùn)隨著替代彈性的增大而減少，當(dāng)替代彈性趨于無窮大時(shí)，廠商的均衡價(jià)格就等于邊際成本，也即為壟斷競(jìng)爭(zhēng)的最優(yōu)均衡。

第三十八頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

而這正與我們之前所熟知的壟斷廠商的定價(jià)規(guī)則一致：

是替代彈性的絕對(duì)值。第三十九頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一2.均衡產(chǎn)出

首先，我們用公式（12）來重新改寫公式（11）的利潤(rùn)函數(shù)：

假設(shè)廠商自由進(jìn)入（邊際廠商的凈收益為零），每個(gè)壟斷廠商都是零利潤(rùn)經(jīng)營(yíng)，即第四十頁，共四十二頁，編輯于2023年，星期一

整理上式