高等數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué)教案（同濟(jì)六版）5-1 定積分地概念與性質(zhì)

第一講

定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)一、定積分的概念（一）引例（二）定義（三）可積條件（四）幾何意義一、定積分的概念（一）引例（二）定義（三）可積條件（四）幾何意義（一）引例1.曲邊梯形的面積（一）引例1.曲邊梯形的面積（一）引例1)分割.在[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)2)取近似.3)求和.4)取極限.1.曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程將它分成1)分割.2)取近似.在[T1

,T2]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)（一）引例1)分割.在[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)2)取近似.3)求和.4)取極限.1.曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程將它分成1)分割.2)取近似.在[T1

,T2]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)（一）引例1)分割.在[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)2)取近似.3)求和.4)取極限.1.曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程將它分成1)分割.2)取近似.在[T1

,T2]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)3)求和.4)取極限.幾何問(wèn)題物理問(wèn)題不同點(diǎn)：背景不同（一）引例1)分割.在[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)2)取近似.3)求和.4)取極限.1．曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程將它分成1)分割.2)取近似.在[T1

,T2]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)3)求和.4)取極限.不同點(diǎn)：背景不同相同點(diǎn)：方法相同分割取近似求和取極限（一）引例1)分割.在[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)2)取近似.3)求和.4)取極限.1．曲邊梯形的面積2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程將它分成1)分割.2)取近似.在[T1

,T2]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)3)求和.4)取極限.不同點(diǎn)：背景不同相同點(diǎn)：方法相同數(shù)學(xué)形式相同一、定積分的概念（一）引例（二）定義（三）可積條件（四）幾何意義一、定積分的概念（一）引例（二）定義（三）可積條件（四）幾何意義設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為并作和上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間作函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積記如果不論對(duì)在小區(qū)間怎樣劃分,也不論在上點(diǎn)怎樣選取,只要當(dāng)時(shí),和總趨于確定的極限那么稱這個(gè)極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分(簡(jiǎn)稱積分).記作積分上限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和積分下限積分區(qū)間注定積分是一個(gè)數(shù)!(1)(2)定積分僅與(3)被積函數(shù)積分區(qū)間有關(guān)，與區(qū)間分法ξi的取法積分變量記法無(wú)關(guān)一、定積分的概念（一）引例（二）定義（三）可積條件（四）幾何意義一、定積分的概念（一）引例（二）定義（三）可積條件（四）幾何意義定理1

設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積定理2

設(shè)f(x)在[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積利用定義計(jì)算定積分例1一、定積分的概念（一）引例（二）定義（三）可積條件（四）幾何意義一、定積分的概念（一）引例（二）定義（三）可積條件（四）幾何意義abxyoabxyo曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值x軸上方圖形面積減去x軸下方圖形面積所得之差在上既取得正值又取得負(fù)值利用定積分的幾何意義計(jì)算下列定積分例2定積分的概念與性質(zhì)一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)一、定積分的概念二、定積分的性質(zhì)約定

性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4線性可加性當(dāng)

時(shí),

當(dāng)

時(shí),

(k是常數(shù))

設(shè)

則

注不論a,b,c的相對(duì)位置如何,上述等式均成立如果在區(qū)間

上

則

性質(zhì)5推論2注例3不等式推論1下列積分哪一個(gè)較大？和如果在區(qū)間上

則

如果在區(qū)間上

則

如果在區(qū)間上

則

且

性質(zhì)6例4估計(jì)積分的值性質(zhì)7（定積分中值定理）

注

(1)幾何解釋

(2)實(shí)際意義

f(x)在[a,b]上的平均值設(shè)M和m分別是函數(shù)

在區(qū)間上的最大值

及最小值,則

如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間[a,b]上連續(xù),