（2020、2021年）江蘇省中考數(shù)學(xué)真題匯編09四邊形

2020和2021年江蘇省中考數(shù)學(xué)試題分類一一專題9四邊形

一.選擇題（共11小題）

1.（2021?泰州）如圖，P為AB上任意一點(diǎn)，分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD.

正方形PBEF,設(shè)/CBE=a,則/AO為（）

A.2aB.900-aC.45°+aD.90°一1a

2.（2021?無(wú)錫）如圖，D、E、尸分別是△ABC各邊中點(diǎn)，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.△BDE和△OC尸的面積相等

B.四邊形AEQF是平行四邊形

C.若AB=BC,則四邊形AEZ）尸是菱形

D.若/A=90°,則四邊形AEZ）尸是矩形

3.（2021?蘇州）如圖，在平行四邊形ABC7）中，將△ABC沿著AC所在的直線折疊得到△

AB'C,B'C交AD于點(diǎn)、E,連接8'D,若NB=60°,NACB=45°,AC=瓜則夕

。的長(zhǎng)是（）

A.1B.V2C.V3D.—

2

4.（2021?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)連接48、BC、CD、DE、EA,若

ZBCD=100°,則N4+NB+NO+NE=()

C.260°D.280°

5.（2021?連云港）正五邊形的內(nèi)角和是（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

6.（2021?南通）菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是6和8,則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是（）

A.24B.20C.10D.5

7.（2020?南通）下列條件中，能判定回A8CZ）是菱形的是（）

A.AC^BDB.ABLBCC.AD=BDD.ACA.BD

8.（2020?鹽城）如圖，在菱形ABC。中,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,，為8C中點(diǎn)，AC

=6,BD=8.則線段。，的長(zhǎng)為（)

C.3D.5

9.（2020?揚(yáng)州）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)B,向左轉(zhuǎn)45°后又沿直

線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)C,再向左轉(zhuǎn)45°后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點(diǎn)力…照這樣走下去，小

明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)所走的路程為（）

B

A.100米B.80米C.60米D.40米

10.（2020?連云港）如圖，將矩形紙片ABC。沿BE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的A'

處.若NDBC=24°,則NA'EB等于（）

A.66°B.60°C.57°D.48°

11.（2020?無(wú)錫）正十邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)為（）

A.36°B.30°C.144°D.150°

填空題（共15小題）

12.（2021?徐州）如圖，四邊形A8CQ與AEGF均為矩形，點(diǎn)E、尸分別在線段43、上.若

BE=FD=2cm,矩形AEGF的周長(zhǎng)為20cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

13.（2021?常州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，四邊形0ABe是平行四邊形，其中點(diǎn)A

在x軸正半軸上.若BC=3,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是.

14.（2021?鹽城）若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角均為40°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

15.（2021?蘇州）如圖，四邊形ABCD為菱形，/ABC=70°,延長(zhǎng)8c到E,在NDCE內(nèi)

作射線CM,使得NECM=15°,過(guò)點(diǎn)力作。心CM,垂足為F,若。F=花，則對(duì)角

線8。的長(zhǎng)為.（結(jié)果保留根號(hào)）

16.（2021?揚(yáng)州）如圖，在團(tuán)4BCO中，點(diǎn)E在A。上，且EC平分N8ED,若NEBC=30°,

BE=\0,貝旭ABCQ的面積為.

17.（2021?揚(yáng)州）如圖，在△ABC中，AC=BC,矩形。EFG的頂點(diǎn)。、E在AB上，點(diǎn)F、

G分別在BC、4c上，若CF=4,BF=3,且DE=2EF,則E尸的長(zhǎng)為

18.（2021?連云港）如圖，菱形A8CZ）的對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)。，OE1AD,垂足為E,

AC=8,BD=6,則OE的長(zhǎng)為

19.（2021?南通）正五邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.

20.（2020?鎮(zhèn)江）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，Nl=/2,則

/BPC的度數(shù)為°.

21.（2020?宿遷）如圖，在矩形ABCD中，AB=\,AD=V3,P為A。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

BP,線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱，連接PQ,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。

時(shí)，線段PQ在平面內(nèi)掃過(guò)的面積為.

22.（2020?常州）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2BC,分別以AC、BC為邊在線段4B

的同側(cè)作正方形ACDE、BCFG,連接EC、EG,則tanNCEG=.

23.（2020?常州）數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾

何中最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短.在菱形ABCZ）中，AB=2,ND4B=120°.如圖，建

立平面直角坐標(biāo)系xO?使得邊AB在x軸正半軸上，點(diǎn)。在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的

24.（2020?揚(yáng)州）如圖，在團(tuán)ABCD中,25=60°,25=10,BC=8,點(diǎn)E為邊A8上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EZ）并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使得力F=/￡以EC、M為鄰邊構(gòu)造團(tuán)EFGC,連接

EG,則EG的最小值為.

D

G

25.（2020?連云港）如圖，將5個(gè)大小相同的正方形置于平面直角坐標(biāo)系中，若頂點(diǎn)例、N

的坐標(biāo)分別為（3,9）、（12,9）,則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為

A

26.（2020?無(wú)錫）如圖，在菱形A8CD中,ZB=50°,點(diǎn)E在C￡>上，若AE=AC,則/

27.（2021?南通）如圖，正方形4BCO中,點(diǎn)E在邊A。上（不與端點(diǎn)A,。重合），點(diǎn)A

關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接CF,設(shè)NABE=a.

（1）求/BCF的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CGL4凡垂足為G,連接。G.判斷。G與C尸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理

由；

（3）將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H,連接BF,HF.當(dāng)

△BF”為等腰三角形時(shí)，求sina的值.

28.（2021?徐州）如圖1,正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P在邊AO上（P不與A、￡＞重合），

連接P8、PC.將線段PB繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PE,將線段PC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90°得到P凡連接ER￡4、FD.

（1）求證：

①△2/葉的面積S=如以

29.（2021?無(wú)錫）己知四邊形A8CQ是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，以

（1）如圖，若點(diǎn)￡在線段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于前P,A尸交C￡＞于點(diǎn)0,連接CF,

①當(dāng)m—號(hào)時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)；

②在△PQE中，設(shè)邊QE上的高為兒請(qǐng)用含機(jī)的代數(shù)式表示〃，并求6的最大值；

（2）設(shè)過(guò)8C的中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形AEF截得的線段長(zhǎng)為y,請(qǐng)

直接寫出y與，"的關(guān)系式.

30.（2021?鹽城）如圖，D、E、P分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接OE、EF、AE.

（1）求證：四邊形ADE尸為平行四邊形；

（2）加上條件后，能使得四邊形ADEF為菱形，請(qǐng)從①/BAC=90°；②AE平

分NBAC；③AB=AC這三個(gè)條件中選擇1個(gè)條件填空（寫序號(hào)），并加以證明.

31.（2021?宿遷）已知正方形ABC。與正方形4EFG,正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周.

rp

（1）如圖①，連接BG、CF,求力的值；

（2）當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE,分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N,

連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）連接BE、BF,分別取8E、BF的中點(diǎn)N、Q,連接QMAE=6,請(qǐng)直接寫出線段

QN掃過(guò)的面積.

32.（2021?宿遷）在①AE=CF；②OE=OF；③BE〃。廠這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面

橫線上，并完成證明過(guò)程.

己知，如圖，四邊形4BCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、尸在4c

上，（填寫序號(hào)）.

求證：BE=DF.

33.（2021?揚(yáng)州）如圖，在△4BC中，/54C的角平分線交8C于點(diǎn)￡）,DE//AB,DF//AC.

(1)試判斷四邊形AFOE的形狀，并說(shuō)明理由：

(2)若NB4C=90°,且A￡>=2位,求四邊形AFCE的面積.

34.(2021?連云港)如圖，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，四邊形ABCO是平行四邊形.

(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；

(2)如果A8=AE,求證：四邊形ACEZ)是矩形.

35.(2021?連云港)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

(1)△4BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1,小亮以BE為

邊作等邊三角形BEF,如圖1.求CF的長(zhǎng)；

(2)ZXABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以8E為邊作等

邊三角形BEF,如圖2.在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng);

(3)ZXABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高CZ)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以2M為邊作等

邊三角形BMN,如圖3.在點(diǎn)時(shí)從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

圖3圖4

（4）正方形ABC。的邊長(zhǎng)為3,E是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，小亮以8為頂點(diǎn)作正方形BFG”，其中點(diǎn)F、G都在直線AE上，如圖4.當(dāng)點(diǎn)

E到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)RG、H與點(diǎn)B重合.則點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為,

點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.

2020和2021年江蘇省中考數(shù)學(xué)試題分類一一專題9四邊形

參考答案與試題解析

一.選擇題(共11小題)

1?【解答】解：??,四邊形P3砂為正方形，

???NPBE=9U°,

/CBE=a,

：.ZPBC=90°-a,

???四邊形APC。、P5M是正方形，

：.AP=CP,NAPF=NCPB=90°,PF=PB,

在△APF和△CPB中，

AP=CP

Z.APF=乙CPB,

PF=PB

：.^APF^/\CPB(SAS),

AZAFP=ZPBC=90°-a.

故選：B.

2.【解答】解：A.連接ER

?；D、E、b分別是△ABC各邊中點(diǎn)，

：.EF//BC,BD=CD,

設(shè)EF和3C間的距離為兒

1I

S4BDE=?h,S^DCE=2co?h,

:$BDE=S4DCE,

故本選項(xiàng)不符合題意；

B.*：D、E、產(chǎn)分別是△ABC各邊中點(diǎn)，

J.DE//AC,DF//AB,

：.DE//AF,DF//AE,

???四邊形AEQ尸是平行四邊形，

故本選項(xiàng)不符合題意；

C???Q、E、F分別是△A5C各邊中點(diǎn)，

:.EF=*BC,DF=

若AB=BC,則尸E=￡＞凡

四邊形AEDF不一定是菱形，

故本選項(xiàng)符合題意；

D；四邊形是平行四邊形，

...若NA=90°,則四邊形AED尸是矩形,

故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

3.【解答】解：..?四邊形A3。是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,NADC=60°,

：.ZCAE=ZACB=45°,

:將△ABC沿4c翻折至△AB'C,

：.AACB'=N4C8=45°,NAB'C=/8=60°,

AZA￡C=180°-ZCAE-ZACB'=90°,

：.AE=CE=苧4C=V3,

VZA￡C=90°,ZAB'C=60°,ZADC=60°,

：.ZB'AO=30°,ZDCE=30°,

:.B'E=DE=1,

：.B'D=>JB'E2+DE2=V2.

故選：B.

VZBC￡>=100°，

AZCBZ)+ZCDB=180°-100°=80°,

ZA+ZABC+ZE+ZCDE=3600-ZCBD-ZC￡)B=360°-80°=280°,

故選：D.

5.【解答]解：正五邊形的內(nèi)角和是：(5-2)X1800=3X180°=540°,

故選:B.

6.【解答】解：如圖所示，

11

根據(jù)題意得40=2X6=3,BO=]X8=4,

?：四邊形4BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ACLBD,

...△AOB是直角三角形，

yjAO2+BO2=5,

,此菱形的周長(zhǎng)為：5X4=20.

7.【解答】解：?.?四邊形A8CO是平行四邊形，

...當(dāng)ACLBZ）時(shí)，四邊形ABCD是菱形；

故選：D.

8.【解答】解：；四邊形ABCD為菱形，

11

J.ACVBD,OB=OD=*BD=4,OC=OA=/AC=3,

在RtABOC中，BC=\/OB2+OC2=V32+42=5,

為BC中點(diǎn)，

15

二OH=±BC=去

故選：B.

9.【解答】解：；小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)45度,

,他走過(guò)的圖形是正多邊形，

二邊數(shù)〃=360°+45°=8,

.??他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了8X10=80(m).

故選：B.

10.【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

.,.NA=ZA8C=90°,

由折疊的性質(zhì)得：ZBA'E=ZA=90°,ZA'BE=ZABE,

：.ZA,BE^ZABE=(90°-ZDBC)=.(90°-24°)=33°,

：.ZA'EB=900-ZA'BE=90°-33°=57°.

故選：C.

11?【解答】解：正十邊形的每一個(gè)外角都相等，

因此每一個(gè)外角為：360°+10=36°,

故選：A.

二.填空題(共15小題)

12.【解答】解：；矩形4EG尸的周長(zhǎng)為20M,

.".AF+AE=\0cm,

"：AB=AE+BE,AD=AF+DF,BE=FD=2cm,

...陰影部分的面積=48XAO-AEXAF=(AE+2)(AF+2)-4EXAF=24Can2),

故答案為：24.

13?【解答】解：???四邊形OABC是平行四邊形，8c=3,

：.OA=BC=3,

;點(diǎn)A在x軸上，

.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),

故答案為：(3,0).

14.【解答】解：360°+40°=9,

故答案為：9.

15.【解答］解：如圖，連接AC交8。于點(diǎn)H,

由菱形的性質(zhì)得/BOC=35°,NDCE=70°,

又15°,

；.NDCF=55°,

VDF±CM,

：.ACDF=35°,

又?.?四邊形ABC。是菱形，

平分NAOC,

：.ZHDC^35°,

在△C。4和△CD尸中，

(/CHD=ZCFD

]^HDC=Z.FDC，

VDC=DC

.,.△CDHWACDF(A4S),

：.DF=DH=V5,

：.DB=2y/5,

故答案為2V1

16.【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EFLBC,垂足為F,

'：ZEBC=30°,BE=\O,

1

：.EF=看BE=5,

???四邊形A5C。是平行四邊形,

：.AD//BC,

：.ZDEC=ABCE,

又EC平分/BED,即ZBEC=ZDEC,

：./BCE=NBEC,

：.BE=BC=\O,

，四邊形ABC。的面積=BCXEF=10X5=50,

故答案為：50.

17.【解答】解：；DE=2EF,設(shè)EF=x,則。E=2G

???四邊形DEFG是矩形，

J.GF//AB,

：./\CGF^^CAB,

?.———,L、|J—,

ABCB4+37AB7

7x

：.AB=-y,

7r3

：.AD^BE=AB-DE=苗-2%=》，

?.?AC=8C,

ZA=ZB,

在△4QG和△5EF中，

(ZA=NB

\z-ADG=乙BEF，

\DG=EF

：.AADG^ABEF(AAS),

3

：.AD=BE=^X9

在RtZSBE/中，B/+EF2=BF2,

即號(hào)%）2+%2=32,

解得：戶學(xué)或-荒（舍），

.口口12

??Er=

故答案為：卷.

18?【解答】解：???四邊形ABC。是菱形,

：.AC1,BD9AO=CO,DO=BO,

VAC=8,30=6,

???4O=4,￡)0=3,

?\AD=y/AO2+DO2=V42+32=5,

又〈OELAD,

.AODOADOE

??—,

22

.4X350E

??―,

22

解得0E=導(dǎo),

山》,12

故答案為：—?

19?【解答】解：方法一：(5-2)780°=540°,

5400+5=108°；

方法二：360°4-5=72°,

180°-72°=108°,

所以，正五邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°.

故答案為：108°.

20.【解答】解：???四邊形A8CO是正方形，

AZACB=ZBAC=45°,

：.Z2+ZBCP=45°,

VZ1=Z2,

AZ1+ZBCP=45°,

VZBPC=180°-Z1-ZBCP,

AZBPC=135°,

故答案為：135.

21.【解答】解：??,當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，PQ=B4,

???點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，如圖，陰影部分的面積即為線段PQ在平面內(nèi)掃過(guò)的面積,

XP)

-------------------'C

Q

;矩形ABC。中，AB=1,AD=V3,

...NABC=/8AC=/C=/Q=90°.

：.NADB=NDBC=NODB=NOBQ=30°,

：.ZABQ=\20°,

由矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱性可知，△BOgXDOC,SMBD=SABQD,

''?S用影部分=S四邊形AB。。-S扇彩ABQ=2SAABO-S扇形ABQ，

120x]2

=S矩形A8CD_S扇形A8Q=1XV3--------------=V3—半

故答案為：V3—

22.【解答】解：連接CG,

在正方形ACI陀、3CFG中，

ZECA=ZGCB=45°,

：.ZECG=90°,

VAC=2BC,

?,?設(shè)AC=2〃，BC=a,

：.CE=2y[2afCG=&a,

?/CG1

..tanNCECJ=,

故答案為：

23.【解答】解：???四邊形ABC。是菱形，且AB=2,

：.CD=AD=AB=2,

9：ZDAB=\20°，

AZ0AD=6Qa,

為△A。。中，ZADO=30°,

/.OA=%￡>=1x2=1,0D=V22-I2=A/3,

：.C(2,V3),

故答案為：(2,V3).

24.【解答】解：作CH_LAB于點(diǎn)”，

;在回ABC。中，NB=60°,BC=8,

；.CH=4百，

???四邊形ECGF是平行四邊形，

.".EF//CG,

:.△EODS^GOC,

.EODOED

""GO~OC~GC'

1

?：DF=3DE,

q

,DE4

??—―,

EF5

.ED4

??=一,

GC5

.EO4

??=二,

GO5

當(dāng)EO取得最小值時(shí)，EG即可取得最小值，

當(dāng)EOJ_CD時(shí)，E。取得最小值，

：.CH=EO,

，E0=4回

.\GO=5V3,

；.EG的最小值是9遍，

故答案為：9V3.

AD

BC

25.【解答】解:如圖,

%

"0x

??,頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(3,9)、(12,9),

軸，MN=9,BN〃y軸，

.?.正方形的邊長(zhǎng)為3,

:.BN=6,

工點(diǎn)B(12,3),

VAB//MN,

軸，

.,.點(diǎn)A(15,3)

故答案為(15,3).

26.【解答】解：?..四邊形ABCQ是菱形，

；.CA平分N8CQ,AB//CD,

：.ZBAE+ZAEC=\SO°,NB+NBC￡>=180°,

：.ZBCD=180°-ZB=180°-50°=130°,

AZACE=|ZBCD=65°,

：AE=AC,

/.ZAEC=ZACE=65°,

.?.NBAE=180°-ZAEC=115°；

故答案為：115.

三.解答題（共9小題）

27.【解答】解：（1）如圖1,連接3F,

D

B

???點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,

：.AB=BF,BELAF,

：.NABE=NEBF=a,

：.ZCBF=90°-2a,

四邊形ABCD是正方形，

：.AB=BC,

：?BF=BC,

.”《=嗎等型=45。+a；

（2）DG//CF,

理由如下：如圖2,連接AC,

圖2

???四邊形A5C。是正方形，

.??NACZ)=45°,ZADC=90a,

■:CG.LAF,

：.ZCGA=ZADC=90°,

?,?點(diǎn)A,點(diǎn)D,點(diǎn)G,點(diǎn)。四點(diǎn)共圓,

AZAGD=ZACD=45°,

*：AB=BFfNABF=2a,

：.NAFB=儂丁%=90°-a,

AZAFC=135°,

：.ZCFG=45°=ZDGA,

：.DG//CF；

(3)"：BE>AB,

：.BH>BF,

:*BH￥BF；

如圖3,當(dāng)BH=FH時(shí),過(guò)點(diǎn)”作HN_LBF于M

:將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH,

,△ABE絲ABCH,NEBH=90°=NA8C,

：.AE=CH,BE=BH,NABE=NCBH=a=NFBE,AB=BC,

:.NHBF=90°-a,

,:BH=FH,HNA.BF,

：.BN=NF=3BF=%B,NBNH=9G°=ZBAE,

：.ZBHN=a,

：.NABE=ZBHN,

:.AABEmANHB(ASA),

：.BN=AE=^AB,

：.BE=y/AE2+AB2=痘AE,

..AEV5

?22通=虧,

當(dāng)BF=尸〃時(shí),

/FBH=ZFHB=90°-a,

：.NBFH=2a=/ABF,

：.AB//FH,

即點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，則點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，

??,點(diǎn)E在邊上(不與端點(diǎn)A,。重合)，

:?BF=FH不成立,

綜上所述：sina的值為

28.【解答】(1)證明：如圖1,作FGL4O,交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,作EHLA。，交D4

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

①由旋轉(zhuǎn)得，PF=CP,NCPF=90°,

???四邊形A3CO是正方形，

：.ZPDC=90°,

VZFPG+ZDPC=90°,ZPCD+ZDPC=90°,

：.ZFPG=ZPCDf

???NG=NPQC=90°,

:?4FPGq4PCD(A4S),

:?FG=PD,

???4PDF的面積S=*PD?FG=1PD2.

②由①得，XFPG/XPCD,

:?PD=FG,PG=CD=4,

同理，g△PB4,

:.EH=AP,P”=BA=4,

9

：AH=4-AP=PDf

：.AH=FG；

a：AP=4-PD=DG,

：.EH=DG；

?；NH=NG=90°,

：./\EAH^ADFG(SAS),

：.EA=FD.

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，作尸于點(diǎn)L,則/FLE=NFLH=90：

??.四邊形HLFG是矩形，

:.LH=FG=AH,FL=G/7=4+4=8；

■:EH=PA,AH=PD,

：.EH+AH=PA+PD=AD=4；

設(shè)EL=n,(w>0,〃20),則

?"=4-2tn；

EF2=ELr+Fl}=n2+82=n2+64,

:.EF=W2+64,

.??EF隨〃的增大而增大；

由〃=4-2m可知，〃隨機(jī)的增大而減小，

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，"埼小=0,此時(shí)，EF^-V64=8；

若"2=0,則〃城大=4,止匕時(shí)，EF城大=.42+82=46,

???點(diǎn)P不與點(diǎn)A、。重合，

：.n<4,EF<4底

的取值范圍是8WEFV4追，

住初<2后

,：4ADM=4GDF=NHEA,NDAM=/HAE,

：.ZADM+ZDAM=ZHEA+ZHAE=90°,

.?./EMF=90°；

是E尸的中點(diǎn),

1

：.MN=汐,

:,MN的取值范圍是4WMN<2瓜

圖1

29.【解答】解：（1）①過(guò)尸作尸G_LBC于G,連接CF,如圖:

?4（^--------------------\D

:四邊形ABC。是正方形，ZAEF=90°,

；.NBAE=90°-NAEB=NFEG,NB=NG=90°,

...等腰直角三角形AEF,

：.AE=EF,

在△ABE和△EGF中，

(ZB=ZG

\^AEB=4EFG，

UE=EF

：./\ABE^/\EGFCAAS),

1

：?FG=BE=芯,EG=AB=BC,

：.EG-EC=BC-EC,即CG=BE=1,

在RtACGF中，CF=y/CG2+FG2=孝；

②△ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△A￡>E,過(guò)戶作P”_LEQ于"，如圖:

?.,△ABE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△4OE,

/XABE^^ADE,N8=NAOE=90°,NBAE=/DAE,NAEB=NE,AE=AE',

BE=DE,

：.ZADC+ZADF=180°,

：.C.D、￡共線，

'：ZBAE+ZEAD=90°,

：.ZDAE+ZEAD=90Q,

,：ZEAF=45°,

.?.NE4F=NE4F=45,

在△E4Q和△EA。中，

(AE=AE'

1/.EAQ=/.E'AQ>

UQ=AQ

.?.△E4Q名Z\EAQ(SAS),

：.ZE=ZAEQ,EQ=EQ,

：.ZAEB=ZAEQ,EQ=DQ+DE=DQ+BE,

：./QEP=90°-ZAEQ=90°-NAEB=NCEP,即EF是NQEC的平分線，

又NC=90°,PHLEQ,

：.PH=PC,

；NBAE=NCEP,ZB=ZC=90°,

:.叢ABES^ECP,

CPCErCP1-m

/.—=—，即—=----，

BEABm1

：.CP=m(1-m),

:?PH=h=-n^+m=-(w-1)2+1,

之時(shí)，h最大值是1；

z4

(2)①當(dāng)OW次時(shí)，如圖：

VZBAE=90°-NAEB=NHEG,NB=NHGE=90°

：.XABEsXEGH,

i

HGEGHG弓一m

，一=—,即一="-

BEABm1

:.HG=-m2+方加,

?:MG〃CD,G為BC中點(diǎn)、,

：.MV為△ADQ的中位線，

：.MN=^DQ,

由(1)知：EQ=DQ+BE,

設(shè)OQ=x,則EQ=x+m,CQ=l-x,

□△EQC中，EC2+CQ2=EQ2,

(1-/n)2+(1-x)2=(.x+m)2,

1—m

解得x=1+m'

1—m

:?MN=2(l+m)'

：.y=NH=MG-HG-MN

1/2.1\l—m

i(-"+產(chǎn))-2(i+m)

_111—Tn.2

=1-2/M_2(l+m)+m'

'JMG//AB,

HGGE,HG

：.—=—,即一=—

ABBE1m

?iic-2m-1

2m

同①可得忐帶，

:?HN=MG-HG-MN

=l_2m-l_If

2m2(l+m)

_1+-2

2m2+2m，

._1+m2

.?尸2w7+2m

綜上所述,廠1一排一忐品+汴或產(chǎn)煮捻?

30.【解答】解：(1)證明：己知。、E、尸為AB、BC、AC的中點(diǎn),

...OE為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理，

J.DE//AC,KDE=^AC=AF.

即DE//AF,DE=AF,

，四邊形AOEF為平行四邊形.

(2)證明：選②AE平分N8AC,

平分NBAC,

：.ZDAE=ZFAE,

又為平行四邊形，

J.EF//DA,

:./DAE=NAEF,

：.ZFAE=NAEF,

:.AF=EF,

，平行四邊形AQEF為菱形.

選③AB=AC,

ii

'：EF//AB5.EF=^AB,DE//ACH.DE=^AC,

又：AB=AC,

：.EF=DE,

平行四邊形AOEF為菱形.

31.【解答】解：（1）如圖①，連接AF,AC,

圖①

四邊形ABCD和四邊形4EFG都是正方形,

：.AC=>/2AB,AF=V2AG,NC4B=NGAF=45°,NR4￡>=90°,

4cAF

：.ZCAF=ZBAG,—=—,

ABAG

：.^CAF^/\BAG,

(2)BE=2MN,MNLBE,

理由如下：如圖②，連接ME,過(guò)點(diǎn)C作CH〃EH交直線ME于H,連接BH,設(shè)CF

與AO交點(diǎn)為P,CF與AG交點(diǎn)、為R,

圖②

YCH//EF,

：.ZFCH=ZCFEf

???點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn),

：.CM=MF,

又,：/CMH=/FME,

(ASA),

：.CH=EF,ME=HM,

：.AE=CHf

，：CH〃EF,AG//EF,

：.CH//AG,

：.ZHCF=ZCRA,

*：AD〃BC,

：?NBCF=NAPR,

：.ZBCH=NBCF+NHCF=NAPR+NARC,

VZDAG+ZAPR+ZARC=]80°,ZBAE+ZDAG=\SO0,

；?/BAE=/BCH,

又???BC=AB,CH=AE,

:.△BCHWXBAE(SAS),

：?BH=BE,NCBH=/ABE,

：.ZHBE=ZCBA=90°,

???M”=ME,點(diǎn)N是BE中點(diǎn)，

:,BH=2MN,MN〃BH,

:.BE=2MN,MNA.BE；

(3)如圖③，取A3中點(diǎn)O,連接ON,OQ,AF,

圖③

VAE=6,

二.A/=6近,

?.,點(diǎn)N是8E的中點(diǎn)，點(diǎn)。是8尸的中點(diǎn)，點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，

：.0Q=|AF=3V2,0N='E=3,

.?.點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，3a為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在以點(diǎn)0為圓心，3為半徑的圓

上運(yùn)動(dòng)，

二線段QN掃過(guò)的面積=TTX(3V2)2-nX32-=9n.

32.【解答】解：選②，如圖，連接8凡DE,

,/四邊形A