試驗(yàn)的方差分析

試驗(yàn)的方差分析1第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一本章主要授課內(nèi)容單因素試驗(yàn)的方差分析單因素試驗(yàn)方差分析基本問題單因素試驗(yàn)方差分析基本步驟

Excel在單因素試驗(yàn)方差分析中的應(yīng)用

雙因素試驗(yàn)的方差分析雙因素試驗(yàn)方差分析基本問題雙因素試驗(yàn)方差分析基本步驟

Excel在雙因素試驗(yàn)方差分析中的應(yīng)用2023/6/7第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一

方差分析（AnalysisofVariance，簡稱ANOVA）：實(shí)質(zhì)是研究自變量（因素）與因變量（試驗(yàn)結(jié)果）的相互關(guān)系，因此可以檢驗(yàn)試驗(yàn)中有關(guān)因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性。2023/6/7第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3.1單因素試驗(yàn)的方差分析3.1.1單因素試驗(yàn)方差分析基本問題（1）目的：檢驗(yàn)一個(gè)因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著（2）基本命題：設(shè)某單因素A有r種水平：A1，A2，…，Ar，在每種水平下的試驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布在各水平下分別做了ni（i＝1，2，…，r）次試驗(yàn)判斷因素A對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響

2023/6/7第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一（3）單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表試驗(yàn)次數(shù)A1A2…Ai…Ar1x11x21…xi1…xr12x12x22…xi2…xr2…………………jx1jx2j…xij…xrj…………………nix1n1x2n2…xini…xrnrT1.T2.Ti.Tr.T..2023/6/7第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3.1.2單因素試驗(yàn)方差分析基本步驟（1）平方和（sumofsquares)分解2023/6/7第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一①總平方和SST（sumofsquaresfortotal）表示了各試驗(yàn)值與總平均值的偏差的平方和；反映了試驗(yàn)結(jié)果之間存在的總差異。②組間平方和SSA（sumofsquaresforfactorA）反映了各組間和之間的差異程度；由于因素A不同水平的不同作用造成，又稱因素平方和。2023/6/7第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一③組內(nèi)平方和SSe（sumofsquaresforerror）反映了在各水平內(nèi)（組內(nèi)），各試驗(yàn)值之間的差異程度；由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)生，又稱誤差平方和。2023/6/7第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一（2）自由度（degreeoffreedom）分解總自由度：dfT＝n－1組間自由度：dfA

＝r－1組內(nèi)自由度：dfe

＝n－r

三個(gè)自由度的關(guān)系關(guān)系：dfT＝dfA＋dfe（3）F檢驗(yàn)均方＝偏差平方和除以對應(yīng)的自由度MSA:組間均方（因素均方）MSe:組內(nèi)均方（誤差均方）2023/6/7第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一（5）F檢驗(yàn)服從自由度為（dfA,dfe）的F分布（Fdistribution）對于給定的顯著性水平，從F分布表查得臨界值F(dfA，dfe)

如果FA

＞F(dfA，dfe)

，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果沒有顯著影響。2023/6/7第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一（6）方差分析表若FA

＞F0.01(dfA，dfe)

，稱因素A對試驗(yàn)結(jié)果有非常顯著的影響，用“**”號表示；若F0.05(dfA，dfe)

＜

FA

＜F0.01(dfA，dfe)

，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，用“*”號表示；若FA＜F0.05(dfA，dfe)

，因素A對試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著。單因素試驗(yàn)的方差分析表差異源SSdfMSF顯著性組間（因素A）SSAr－1MSA＝SSA／（r－1）MSA／MSe組內(nèi)（誤差）SSen－rMSe＝SSe／（n－r）總和SSTn－12023/6/7第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例3-1

：為考察溫度對某種化工產(chǎn)品得率的影響，選取了五種不同的溫度，在同一溫度下各做3次試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。試問溫度對得率有無顯著影響。溫度（℃）產(chǎn)品得率（%）60657075809097968484929396838688929388822023/6/7第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一解：（1）計(jì)算平均值依題意，本例為單因素試驗(yàn)的方差分析，單因素為溫度，有5種水平，即r=5,在每種水平下做了3次試驗(yàn)，故ni=3(i=1,2,…5)，總試驗(yàn)次數(shù)n=15。有關(guān)平均值的計(jì)算如下表所示。溫度（℃）產(chǎn)品得率（%）試驗(yàn)次數(shù)組內(nèi)和Ti組內(nèi)平均總平均606570758090979684849293968386889293888233333270282285255252909495858489.62023/6/7第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一（2）計(jì)算離差平方和（3）計(jì)算自由度2023/6/7第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一（4）計(jì)算均方（5）F檢驗(yàn)從分布表中查得F0.05(dfA,dfe)=F0.05(4,10)=3.48,F0.01(4,10)=5.99,所以FA>F0.05(4,10),FA>F0.01(4,10),因素A即溫度對產(chǎn)品得率有非常顯著的影響。2023/6/7第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一差異源SS

dfMSF顯著性溫度（組間）303.6

475.915.2**誤差（組內(nèi)）50

105.0總和353.6

14例3-1方差分析表2023/6/7第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例3-2：用火焰原子吸收光譜測定礦石中的鉍，研究酸度對吸光度的影響，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。試由表中的數(shù)據(jù)評價(jià)酸度對吸光度的影響。含酸量/%吸光度和00.1400.1410.1440.42510.1520.1500.1560.1540.61220.1600.1580.1630.1610.64230.1750.1730.34840.1800.1840.1820.1860.732T2.Ti.T..2023/6/7第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一差異源SS

dfMSF顯著性組間0.00369

40.000922173.64**組內(nèi)6.4×10-5

125.31×10-6總和353.6

142023/6/7第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3.2雙因素試驗(yàn)的方差分析討論兩個(gè)因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性，又稱“二元方差分析”。3.2.1雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）基本命題

設(shè)在某試驗(yàn)中，有兩個(gè)因素A和B在變化，A有r種水平A1,A2,…,Ar,B有s種水平B1,B2,…,Bs,在每一種組合水平(Ai,Bj)上做一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果為xij

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)，所有xij

相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布。2023/6/7第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一因素B1B2…BsA1x11x12…x1sT1.A2x21x22…x2sT2.……………Arxr1xr2…xrsTr.T.1T.2T.sT..雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表表中，xij

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)，其中，i表示A因素對應(yīng)的水平，j表示B因素對應(yīng)的水平，總試驗(yàn)次數(shù)n=rs。2023/6/7第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一（2）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟①平方和分解2023/6/7第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一②自由度分解SSA的自由度：dfA

＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSe的自由度：dfe＝(r－1)(s－1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfe

2023/6/7第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一③F檢驗(yàn)

若FA＞F

（dfA,dfe)，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則因素B對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響。2023/6/7第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一差異源SSdfMSF顯著性因素ASSAr－1因素BSSBs－1誤差SSe總和SSTrs－1④無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表2023/6/7第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例3-3：為了考察PH值和硫酸銅溶液濃度對化驗(yàn)血清中白蛋白與球蛋白的影響，對蒸餾水中的PH值（A）取了4個(gè)不同的水平，對硫酸銅溶液濃度（B）取了3個(gè)不同的水平，在不同水平組合下各測來了一次白蛋白與球蛋白之比，結(jié)果如下表所示，試檢驗(yàn)兩個(gè)因素對試驗(yàn)結(jié)果有無顯著影響。2023/6/7第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一PH值硫酸銅溶液濃度B1B2B3A13.52.32.0A22.62.01.9A32.01.51.2A41.40.80.32023/6/7第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一差異源SSdfMSF臨界值顯著性因素A5.28931.76340.954.757**因素B2.22221.11125.805.143**誤差0.25860.043總和7.76911

方差分析表根據(jù)上表，F(xiàn)A＞F0.01

(3,6)，F(xiàn)B＞F0.01(2,6)，P-value<0.01,因素A和B對試驗(yàn)結(jié)果都有非常顯著的影響2023/6/7第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3.2.2雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）基本命題雙因素試驗(yàn)中，有時(shí)存在兩因素對試驗(yàn)結(jié)果的聯(lián)合影響，即交互作用（A×B）。如果要檢驗(yàn)交互作用對試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著，則要求在兩個(gè)因素的每一個(gè)組合(Ai,Bj)上至少做2次試驗(yàn)。設(shè)在某試驗(yàn)中，有A，B兩個(gè)因素在變化，A有r種水平A1,A2,…,Ar,B有s種水平B1,B2,…,Bs,為研究交互作用A×B的影響，在每一種組合水平(Ai,Bj)上重復(fù)做c(c≥2)次試驗(yàn)(等重復(fù)性試驗(yàn))，每個(gè)試驗(yàn)值記為xijk

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,c)。2023/6/7第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表ABB1B2…BsTi..A1x111x121…x1s1x112x122…x1s2………x11cx12c…x1srT1..T11.T12.…T1s.A2x211x221…x2s1x212x222…x2s2………x21cx22c…x2scT2..T21.T22.…T2s.……………Arxr11xr21…xrs1xr12xr22…xrs2………xr1cxr2c…xrscTr..Tr1.Tr2.…Trs.2023/6/7第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一符號約定：2023/6/7第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一（2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟①平方和分解兩因素等重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果的變異（總平方和）可以看成是AB組合這一個(gè)（共有rs個(gè)水平，每個(gè)水平重復(fù)c次）因素的效應(yīng)和誤差作用的結(jié)果，因此而2023/6/7第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一同時(shí)，SSAB包括因素A、B的主效應(yīng)SSA、SSB以及A和B的交互作用SSA×B，而2023/6/7第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一②自由度分解SSA的自由度：dfA

＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSA×B的自由度：dfA×B

＝(r－1)(s－1)SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfA×B＋

dfe2023/6/7第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一③F檢驗(yàn)2023/6/7第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一若FA＞F

（dfA,dfe)，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則認(rèn)為因素B對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FA×B＞F

（dfA×B,dfe)，則認(rèn)為交互作用A×B對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響。2023/6/7第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一④有交互作用的雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析表2023/6/7第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例3-4：下表所示為某種化工產(chǎn)品在3種濃度、4種溫度水平下得率的數(shù)據(jù)，試檢驗(yàn)各因素及交互作用對產(chǎn)品得率的影響是否顯著。10℃24℃38℃52℃2%1411131010119124%910767811106%5131214111413102023/6/7第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一方差分析表差異源SSdfMSF顯著性因素A44.33222.174.09*因素B11.533.830.71A×B2764.50.83誤差65125.42總計(jì)147.8323

2023/6/7第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3.3單因素試驗(yàn)的多重比較最小顯著差數(shù)法（LSD法）

(LeastSignificantDifference)最小顯著極差法(LSR法）（LeastSignificantRanges)2023/6/7第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例3-5

為比較5種治療蕁麻疹藥物的療效，將30個(gè)病人隨機(jī)分成5組，每組6人，同組的病人使用同一種藥，記錄病人從使用藥物到痊愈的天數(shù)x，試檢驗(yàn)5種藥物的療效有無顯著差異。藥物痊愈天數(shù)xij和Ti.平均平方和A1A2A3A4A5646798644476463735671053378625646302431387.675.004.005.176.33362158106171256總和T..=169總平均2023/6/7第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一方差分析表變異來源自由度平方和均方F值臨界值藥物間隨機(jī)誤差42547.4753.5011.872.145.55**F0.05(4,25)=2.76F0.01(4,25)=4.18總變異29100.97方差分析結(jié)果表明，藥物間療效的差異極顯著（P<0.01)。那么具體到每兩種藥物間，療效差異是否顯著呢？這就需要進(jìn)一步進(jìn)行多重比較才能確定。2023/6/7第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3.3.1最小顯著差數(shù)法（LSD法）對a個(gè)處理來說，要比較每兩個(gè)處理之間的差異是否顯著，需要對所有a(a-1)/2個(gè)均值差數(shù)對子進(jìn)行均值檢驗(yàn)。LSD法的做法是：在某個(gè)顯著性水平下，確定一個(gè)共同的均值差數(shù)臨界值，這個(gè)臨界值就是最小顯著差數(shù)LSD計(jì)算每兩個(gè)處理間的均值差將每個(gè)均值差與臨界值進(jìn)行比較，得出對應(yīng)兩個(gè)處理差異是否顯著的結(jié)論2023/6/7第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一LSD的確定：對于例3-5，有t0.05(fe)=t0.05(25)=2.060,t0.01(25)=2.7872023/6/7第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一因而LSD0.05=2.060×0.845=1.74LSD0.01=2.787×0.845=2.36

將5個(gè)處理的均數(shù)從大到小排列，并計(jì)算差數(shù)，作多重比較表：例3-5的多重比較表(LSD法）處理Ai均數(shù)差數(shù)A1A5A4A2A37.676.335.175.004.00

1.34

2.50**1.16

2.67**1.330.17

3.67**2.33*1.171.002023/6/7第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一例3-5的多重比較（LSD法）結(jié)果的字母和多重直線表示處理Ai均數(shù)差數(shù)5％1％A1A5A4A2A37.676.335.175.004.00

aabbc或

bcc

AABB或

BB2023/6/7第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一對于多個(gè)處理平均數(shù)所有可能的兩兩比較,LSD法的優(yōu)點(diǎn)在于方法比較簡便，克服一般檢驗(yàn)法所具有的某些缺點(diǎn)，但是仍有推斷可靠性低、犯I型錯(cuò)誤(棄真)概率增大的問題。為克服這個(gè)弊病，統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了最小顯著極差法。

2023/6/7第四十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一3.3.2最小顯著極差法（LSR法）

LSR法首先將各個(gè)處理的均值按從大到小的順序排列，把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)互相比較的兩個(gè)均數(shù)在順序上的相對位置（稱為“秩次距”，即在排位上這兩個(gè)處理均值之間間隔多少個(gè)均值）不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度進(jìn)行檢驗(yàn)。以克服LSD法的不足，降低犯第一類錯(cuò)誤的概率。這些在顯著水平α上依秩次距的不同而采用的不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差LSR。

2023/6/7第四十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一LSR法檢驗(yàn)采用的統(tǒng)計(jì)量有兩個(gè)，分別是Duncan于1955年提出的SSR（新復(fù)極差法）和Tukey于1949年提出的q。2023/6/7第四十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一p按下列原則取值：

如果比較的兩個(gè)均值在排位上相鄰，則p＝2；如果比較的兩個(gè)均值中間還排了一個(gè)均值；則p＝3；如果還排了二個(gè)處理，則p＝4……依此類推。根據(jù)給定的顯著性水平α，由p和fe可以查出相應(yīng)的SSRα和qα。然后根據(jù)下式求最小顯著極差：2023/6/7第四十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期一對于例3-5，，給定顯著性水平為0.05和0.01查出SSRα和qα后,利用SSR法和q法可分別計(jì)算出兩種顯著性水平下的LSRα。例3-5的SSRα、

qα和相應(yīng)的LSRαSSR法q法p2345p2345SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.012.923.96