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第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程一、線性微分方程解的性質(zhì)二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解一、二階線性微分方程解的性質(zhì)(一)定義：(二)性質(zhì)：（一）二階線性齊次方程解的性質(zhì)解的疊加性此時(shí)，中只含一個(gè)任意常數(shù)，因此，疊加起來(lái)的解不是方程（2）的通解。（二）二階線性非齊次微分方程解的性質(zhì)注：性質(zhì)4說(shuō)明，若非齊次方程的非齊次項(xiàng)由若干

項(xiàng)和組成，那么求解時(shí)，可將每個(gè)函數(shù)作為非齊次項(xiàng)求解，然后將解相加即可。二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解由性質(zhì)2知，求方程的(3)的通解，關(guān)鍵在于找到它的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解。由于方程(3)關(guān)于具有線性和常系數(shù)的特點(diǎn)，因此，所找的函數(shù)也應(yīng)具備這一特點(diǎn)。稱一元二次方程（4）為微分方程（3）的特征方程，其根為特征根因特征根有三種情況，因此，方程(3)的通解也有三種情況：得方程(3)的通解為由性質(zhì)1可知，函數(shù)也是方程(3)的解，且線性無(wú)關(guān)小結(jié)綜上得：求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，不必積分，只要求出特征方程的根，便可寫(xiě)出。（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

具體步驟如下：(見(jiàn)下表)特征方程根的判別式特征方程的根微分方程的通解解特征方程為解得故所求通解為例2例1解特征方程為解得故所求通解為解特征方程為解得故所求通解為例3三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解

一、型設(shè)非齊方程特解為代入原方程得綜上討論解（1）對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為：因此，齊次方程的通解為：（2）求所給方程的一個(gè)特解代入所給方程得：所以，可設(shè)解（1）對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為：因此，齊次方程的通解為：（2）求所給方程的一個(gè)特解代入所給方程得：所以，可設(shè)二、上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.利用歐

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