集中量數(shù)和差異量數(shù)

集中量數(shù)和差異量數(shù)第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二一、集中量的一般意義：定義：集中量就是表示一組數(shù)據(jù)典型水平或集中趨勢的量。它反映頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一個量集中的情況。常用的集中量有算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。第一節(jié)集中量數(shù)第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二二、集中量的優(yōu)良代表量之一--算術(shù)平均數(shù)（ArithmeticMean）（一）、算術(shù)平均數(shù)的概念概念： 是一組同質(zhì)數(shù)據(jù)值的總和除以數(shù)據(jù)總個數(shù)所得的商。亦稱均數(shù)，均值，用（讀X杠）表示。n為數(shù)據(jù)個數(shù)。（3.1）第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（二）計算方法：

1、原始數(shù)據(jù)計算法：

定義公式一般適用于原始數(shù)據(jù)較少的情況下，其計算方法可用于原始數(shù)據(jù)計算公式中。第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二例如，某班選八名同學(xué)參加年級數(shù)學(xué)競賽，成績分別為82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成績。 解：把N=8，X1=82,…,X8=93代入公式（3.1），得第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

2、頻數(shù)分布表計算法：對于已列成次數(shù)分布表的分組數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)的計算公式為式中Xc為組中值；f為各組次數(shù)，即權(quán)數(shù)；N為總次數(shù)=∑f。

例某班50人外語期末考試成績的次數(shù)分布如下，求全班學(xué)生的平均成績。第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二組別組中值Xc次數(shù)ffXc90-9492327685-89871087080-848215123075-7977861670-7472536065-6967320160-6462424855-59572114∑503915表某班50人外語成績次數(shù)分布表第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二解：將表中數(shù)據(jù)代入公式，得

說明：利用次數(shù)分布求得的算術(shù)平均數(shù)是一個近似值。因?yàn)槲覀兿燃僭O(shè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的，利用各組中值分別代表各組數(shù)據(jù)，這顯然與實(shí)際不符，把這一誤差叫分組誤差。第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

（四）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計算方法

它是指一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與其權(quán)數(shù)乘積的總和除以權(quán)數(shù)總和所得之商，用符號表示。（3.2）第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

例某年級四個班的學(xué)生人數(shù)分別為50人，52人，48人，51人，期末數(shù)學(xué)考試各班的平均成績分別為90分，85分，88分，92分，求年級的平均成績。解：由公式（3.2）得=88.74第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二三、中位數(shù)（一）、中位數(shù)的概念及適用條件

概念： 中位數(shù)是位于一組有序數(shù)據(jù)中間位置的量數(shù)。也稱中數(shù)，用Mdn表示。它是將一組有序數(shù)據(jù)的個數(shù)分為相等兩部分的那個數(shù)據(jù)。第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

適用條件：

1、當(dāng)一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時。

2、當(dāng)一組有序數(shù)據(jù)兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有不確定組限時。

3、當(dāng)需要快速估計一組數(shù)據(jù)的代表值時。第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（二）、中位數(shù)的計算方法

1、未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法一組數(shù)據(jù)未分組，先排序，中位數(shù)取決于數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)時，則以第（N+1）/2個位置上的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)。 當(dāng)數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)時，則取居中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)。即取第（N+1）/2處作為中位數(shù)的位置，其位置左右兩數(shù)據(jù)的平均值即為中位數(shù)。 例如求80，93，90，81，85，88，92，84的中位數(shù)時，先排序：80，81，84，85，88，90，92，93，再求（N+1）/2=4.5，這說明中位數(shù)的位置在第四個和第五個數(shù)的中間，即（85+88）/2=86.5。第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 （二）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法 對分組數(shù)據(jù)常將N/2位置對應(yīng)的數(shù)據(jù)看成中位數(shù)。計算公式為：第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 計算步驟： （1）求N/2； （2）確定中位數(shù)所在組，由下向上累積次數(shù)，直到大于或等于N/2一組為止，該組就是中位數(shù)所在組； （3）求出中位數(shù)所在組的精確下限； （4）求出中位數(shù)所在組以下的累積次數(shù)Fb;

（5）確定組距及中位數(shù)所在組的次數(shù)f;

（6）將以上各值代入公式中。第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二組別組中值Xc次數(shù)ffXc90-9492327685-89871087080-848215123075-7977861670-7472536065-6967320160-6462424855-59572114∑503915表某班50人外語成績次數(shù)分布表解：（1）N/2=50/2=25；（2）由下向上累積次數(shù)，75-79組對應(yīng)的累積次數(shù)為22，80-84組對應(yīng)的累積次數(shù)為37，故中位數(shù)在80-84組；（3）Lb=79.5；（4）Fb=2+4+3+5+8=22;（5）i=5,f=15；

6）將上述值代入（3.4），得Mdn=79.5+(25-22)/15*5=80.5求表的中位數(shù)。

第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二四、幾何平均數(shù)（一）、幾何平均數(shù)的概念及應(yīng)用時機(jī)

概念： 它是N個數(shù)值連乘積的N次方根，用符號MG表示(3.5)第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 應(yīng)用時機(jī)：

1、求一組等比或近似等比數(shù)據(jù)的平均數(shù)時。

2、一組數(shù)據(jù)中，有少數(shù)偏大或偏小的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)分布呈現(xiàn)偏態(tài)，求平均數(shù)時。

3、在教育上，主要應(yīng)用幾何平均數(shù)求平均發(fā)展速度或?qū)δ稠?xiàng)目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測估計。第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（二）、幾何平均數(shù)的計算方法

1、直接公式法 例求2，8，32，125，502的幾何平均數(shù)。 解：由于這組數(shù)屬于近似等比數(shù)列，故應(yīng)用公式（3.5），得=31.72第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

例已知某校四年中各年度的學(xué)生人數(shù)分別為上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增長率。解：先求出平均發(fā)展速度

然后用公式：平均增長率=平均發(fā)展速度-1，求出年平均增長率。平均增長率=1.09-1=0.09故所求的年平均增長率為9%。第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

2、只用首末項(xiàng)求幾何平均數(shù) 設(shè)a0,a1,…,aN是N個年度中各年度某種數(shù)量值，其中a0是初期量，

aN是末期量。X1,X2,…,XN為各年度發(fā)展速度，即

（3.6）第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 例某重點(diǎn)高中1994-1999年招收新生人數(shù)如下表，求年平均增長率。年份199419951996199719981999人數(shù)594600612630650700表3-2某高中招生人數(shù)統(tǒng)計表解：由于a0=594,aN=700,N=5,所以年平均發(fā)展速度為

故年平均增長率為（10.3-1)*100%=3%第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 例某校辦工廠在1984年創(chuàng)產(chǎn)值10萬元，該廠計劃以年平均增長率為5%的速度遞增，試估計到2004年該廠可創(chuàng)產(chǎn)值多少萬元。解：由得：aN=a0(1+平均增長率）N=10×（1+0.05）20=26.53（萬元）平均增長率=平均發(fā)展速度-1第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二第二節(jié)差異量數(shù)一、標(biāo)準(zhǔn)差二、四分差三差異系數(shù)目錄第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二一、標(biāo)準(zhǔn)差（一）、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及適用條件 概念： 標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)之差的平方的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平方根。用符號σ表示。其中Xi為原始數(shù)據(jù)；N為數(shù)據(jù)個數(shù)；為一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。（3.1)第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 適用條件：

1、一組數(shù)據(jù)的一般水平適合用算術(shù)平均數(shù)描述時，其離散程度宜用標(biāo)準(zhǔn)差描述。

2、計算其它統(tǒng)計量時，如相關(guān)系數(shù)等，要用到標(biāo)準(zhǔn)差。

3、在推斷統(tǒng)計中，尤其是進(jìn)行方差分析時，常用方差（標(biāo)準(zhǔn)差的平方）表示數(shù)據(jù)的離散程度。第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（二）、標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法

1、基本公式法 例1某校四年級舉行數(shù)學(xué)競賽，一班、二班分別派九名選手參加，如下表。試比較兩個班的成績。X929083807570625550X-19171072-3-11-18-23(X-)^23612891004949121324529表1一班成績統(tǒng)計表X1009795858075624020X-2724221272-8-33-53(X-)^27295764841444946410892089表2二班成績統(tǒng)計表第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二解：先求四年一班的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。算得再求四年一班的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。得第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

從以上計算可知，兩班平均數(shù)都是73分，說明兩班的平均水平相同。但它們的標(biāo)準(zhǔn)差不同，說明兩班成績的差異程度很不相同。一班的差異程度較小，平均分?jǐn)?shù)73的代表性就較大；二班的差異程度較大，平均分?jǐn)?shù)73的代表性就小些。

2、原始數(shù)據(jù)法 為了減少計算量，可將公式3.1進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使公式中參與運(yùn)算的變量皆為原始數(shù)據(jù)。公式為第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二例2用原始數(shù)據(jù)法計算表1的標(biāo)準(zhǔn)差解：∑X=657，∑X2=49747N=9，代入公式（4.2）得（3.2）第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

（二）分組資料標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法

這里的分組資料指編制成次數(shù)分布的資料，此時以組中值作為各組的代表值。計算公式為其中：Xc為各級組中值；為算術(shù)平均數(shù)；N為總次數(shù)；f為各組次數(shù)。（3.3）或第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 例3某年級144名學(xué)生語文成績?nèi)缦卤?，求其?biāo)準(zhǔn)差。組別XcfXc-(Xc-)^2f(Xc-)^265-6967314.20201.68605.0460-646269.2084.67507.9955-5957424.2017.65741.3750-545258-0.800.6436.9945-494730-5.8033.621008.7240-44425-10.80116.61583.05∑

144

3483.16表3-3144名學(xué)生語文成績表第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 解：將算得的∑f(Xc-)^2=3483.16、及N=144代入公式（3.3），得第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二二|、四分差（一）、四分差的概念及適用條件 概念： 四分差又稱四分位距，用符號Q來表示。四分差是指在一個次數(shù)分布中，中間50%的次數(shù)的全距之半，也就是第3四分位數(shù)Q3與第1四分位數(shù)Q1之差的一半。所謂第3四分位數(shù)是指在這一點(diǎn)的下端有占總次數(shù)75%的數(shù)據(jù)，在其上端有占總次數(shù)25%的數(shù)據(jù)；所謂第1四分位數(shù)中指在這一點(diǎn)的下端有占總次數(shù)25%的數(shù)據(jù)，在其上端有占總次數(shù)75%的數(shù)據(jù)。如圖4-1。第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二圖3-1四分差與四分位數(shù)Q1、Q2、Q3之間的關(guān)系第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 適用條件：

通常與中位數(shù)配合使用。即一組數(shù)據(jù)的集中趨勢宜用中位數(shù)描述時，差異情況要用四分差描述。

1、一組數(shù)據(jù)有極端值出現(xiàn)時。

2、一組數(shù)據(jù)的兩端有個別數(shù)據(jù)模糊不清或分組資料有一確定組限時。第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（二）、四分差的計算方法 公式為式中：Q為四分差；Q1為第1四分位數(shù)；Q3為第3四分位數(shù)。（3.6）第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

1、未分組資料Q1和Q3的求法 首先將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，然后用數(shù)據(jù)個數(shù)N除以4，則第（N/4+1/2）位置對應(yīng)的數(shù)據(jù)為第1四分位數(shù)Q1，第（3N/4+1/2）位置對應(yīng)的數(shù)據(jù)為第3四分位數(shù)Q3。例6求下列18個數(shù)據(jù)的四分差：51，60，58，63，74，88，66，70，71，75，81，86，52，57，61，65，90，77。 解：按從小到大排序：第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

51，52，57，58，60，61，63，65，66，70，71，74，75，77，81，86，88，90。

由于N=18，所以Q1=18/4+1/2=5，即第5個位置所對應(yīng)的數(shù)據(jù)為60；Q3=18*3/4+1/2=14,即第14個位置所對應(yīng)的數(shù)據(jù)為77。 將Q1與Q3代入公式3.6,得

Q=（77-60）/2=8.5第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

2、分組資料Q1和Ｑ3的求法 對于已編制成次數(shù)分布的資料,計算Q1和Q3的公式分別為(3.7)(3.8)第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 例7某校144名學(xué)生的外語成績次數(shù)如下，求其四分差。X次數(shù)f由下向上累加次數(shù)90-94114485-89314380-84514075-791613570-741811965-692210160-64307955-59254950-54162445-493844以下55表3-5某校144名學(xué)生外語成績次數(shù)分布表第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

解：首先確定Q1和Q3所在組，方法同確定中位數(shù)。由于N=144，N/4=36，3N/4=108，所以Q1在55-59組，Q3在70-74組。第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

最后將求得的Q1和Q3代入公式（3.6），得即144名學(xué)生外語成績的四分差為7.27分。第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二三、差異系數(shù)（一）、差異系數(shù)的概念及應(yīng)用時機(jī) 概念： 差異系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比率，又稱相對標(biāo)準(zhǔn)差，用符號CV表示。公式為（3.9）第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

CV屬于相對差異量數(shù)，不具有測量單位。差異系數(shù)越大，表時離散程度越大；差異系數(shù)越小，表明離散程度越小。 應(yīng)用時機(jī)：

1、比較單位不同的各組數(shù)據(jù)的離散程度時。

2、比較單位相同但平均數(shù)相差較大的各組數(shù)據(jù)的離散程度時。（二）、差異系數(shù)的計算方法第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 例8某校初三學(xué)生身高的平均數(shù)為160cm，標(biāo)準(zhǔn)差為16cm；體重的平均數(shù)為50kg；標(biāo)準(zhǔn)差為7.7kg，試比較身高和體重兩組數(shù)據(jù)的離散程度。

解：由于身高和體重的測量單位不同，故不能以身高的標(biāo)準(zhǔn)差與體重的標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，而應(yīng)比較它們的差異系數(shù)，把數(shù)據(jù)代和公式(3.9)得第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二 由于CV體重>CV身高，所以體重的差異程度大于身高的差異程度。

例9某班數(shù)學(xué)期末考試結(jié)果，男生平均數(shù)為95分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分；女生平均數(shù)為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為11分。試比較男女生數(shù)學(xué)成績的離散程度。

解：雖然男女生數(shù)學(xué)成績的單位相同，但由于其平均數(shù)相差較大，故用差異系數(shù)比較其離散程度，代入公式得第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二因CV女>CV男，所以女生成績的離散程度大于男生成績的離散程度。

通常，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)較大，其標(biāo)準(zhǔn)差也較大；平均數(shù)較小，其標(biāo)準(zhǔn)差也較小。因此，比較單位相同但平均數(shù)相差較大的兩組數(shù)據(jù)的離散程度時，若直接用標(biāo)準(zhǔn)差比較可能是不準(zhǔn)確的。第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二第三節(jié)相對地位量數(shù)一、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) （一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的概念 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是原始數(shù)據(jù)與算術(shù)平均數(shù)之差除以標(biāo)準(zhǔn)差所得之商，用符號Z表示，計算公式為（4.10）第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

從公式可以看出，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可以為正、負(fù)或零值。它的含義是以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個數(shù)據(jù)在團(tuán)體中的相對位置。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為1，表明原始數(shù)據(jù)在平均數(shù)以上一個標(biāo)準(zhǔn)差的位置；標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)為-2，表明原始數(shù)據(jù)在平均數(shù)以下2個標(biāo)準(zhǔn)差的位置。（二）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)當(dāng)一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)值都轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，則標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為零，標(biāo)準(zhǔn)差為1，即第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二（三）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用由于標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，而且不帶有測量單位，當(dāng)一組數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布時，其標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因此標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)具有可比性和可加性。在教育上，常用它確定各分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中的相對位置，比較單位不同數(shù)據(jù)相對位置的高低或進(jìn)行分?jǐn)?shù)合成。

例10某班外語期末考試的平均成績?yōu)?5分，標(biāo)準(zhǔn)差為10。學(xué)生張華的成績?yōu)?0，問他的成績在班級處于什么位置？第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

解:張華的80分不能確定人成績的確切位置?；蓸?biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)才可確定。

說明張華的外語成績在班級平均數(shù)以上0.5個標(biāo)準(zhǔn)差位置。第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二

例11某市中考，數(shù)學(xué)的平均成績?yōu)?02分，標(biāo)準(zhǔn)差為20，；語文的平均成績?yōu)?8分，標(biāo)準(zhǔn)差為18分。一考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40分，語文成績?yōu)?35分。問該生中考哪科考得好？解：由于考試科目和難度等不同，語文的1分與數(shù)學(xué)的1分并不相同，若比較兩科成績的高低，須轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。分別為第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二例12某班期末考試各科成績服從正態(tài)分布，各科成績的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差以及甲乙兩生的各科成績?nèi)缦卤?。試比較甲乙兩考生總成績的高底。解：比較兩考生總成績高低的傳統(tǒng)方法是直接將原始分?jǐn)?shù)相加，按每個考生的原始總分進(jìn)行比較。事實(shí)上，這種方法并不科學(xué)，因?yàn)楦骺瞥煽兊碾x散程度不同，不具有可加性。正確做法是將原始成績轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，再求和比較。乙生標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)總和大于甲生，故乙生總成績高于甲生。第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二科目平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差甲原始分?jǐn)?shù)乙原始分?jǐn)?shù)甲標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)乙標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)語文781090861.20.8數(shù)學(xué)82885950.381.63外語851192850.640理化75880800.630.63∑

3473462.853.06第五十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期二二、百分等級（一）百分等級的概念百分等級是指一組有序數(shù)據(jù)中某一數(shù)據(jù)以下所含次數(shù)占總次數(shù)的百分比，通常用符號PR表示。在教育上，常用百分等級表示一個分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中的相對位置