秦漢時期的土地面積單位換算問題

第頁共頁秦漢時期的土地面積單位換算問題秦漢時期的土地面積單位換算問題1中國早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)簡介2023年12月湖南大學(xué)岳麓書院從____搶救性收買了一批秦代竹簡，這批竹簡是繼1975年云夢睡虎地秦簡和2023年湘西里耶秦簡之后的又一次重要發(fā)現(xiàn)。其中涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的竹簡二百四十余枚，總字?jǐn)?shù)6300字左右，完好算題80余例，另有解決某一類問題的單獨術(shù)文。按照原簡反面的標(biāo)題，這局部被稱為《數(shù)》，經(jīng)研究確定其成書時間早于1983年出土于湖北張家山漢墓的《算數(shù)書》，成為迄今為止所發(fā)現(xiàn)的最早的系統(tǒng)性中國數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。秦漢時期的數(shù)學(xué)史料極其稀缺，每一次考古發(fā)現(xiàn)涉及數(shù)學(xué)的局部，都值得深化研究。但其他一些涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的竹簡，僅記載零星的數(shù)學(xué)資料，如清華大學(xué)所藏戰(zhàn)國竹簡中有記載乘法運算的《算表》，2023年發(fā)現(xiàn)的里耶秦簡中也有九九乘法口訣，其能提供的數(shù)學(xué)史信息均不夠豐富。少有像《算數(shù)書》和《數(shù)》這樣較為完好具、編排較成體系的著作?！端銛?shù)書》自2023年簡文公布以來，在數(shù)學(xué)史界產(chǎn)生了重大影響，關(guān)于其作者以及與《九章算術(shù)》的關(guān)系等問題，學(xué)界均作了深化研究和討論，中國數(shù)學(xué)史的開篇將因此改寫，《算數(shù)書》成為不可不書的重要一章。2023年12月《數(shù)》的原簡照片出版公布，經(jīng)考古學(xué)界和數(shù)學(xué)史界的初步研究發(fā)現(xiàn)，與《算數(shù)書》一樣，《數(shù)》的題目類型、內(nèi)容、表述方式和解題思路跟漢代成書的經(jīng)典傳世文獻(xiàn)《九章算術(shù)》有親密聯(lián)絡(luò)，與《算數(shù)書》也有局部照應(yīng)，另外還出現(xiàn)了其他早期數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中罕見的駐扎營軍問題。而一直作為數(shù)學(xué)史界研究重點的《九章算術(shù)》，在有了《算數(shù)書》和《數(shù)》這兩部出土文獻(xiàn)作為文本上的他者(theother)的對照，也隱隱凸顯出以往被忽略的一些特性，如更宏大的問題背景、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)據(jù)處理和更復(fù)雜的制度設(shè)計思想等。這或許意味著，在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)實用取向的根底上，還分化出不同的層次。有必要將傳世文獻(xiàn)《九章算術(shù)》與出土文獻(xiàn)《算數(shù)書》《數(shù)》就其中的典型問題進(jìn)展深化比擬，進(jìn)一步解釋這三者之間的聯(lián)絡(luò)與區(qū)別，這將有助于我們加深對中國早期數(shù)學(xué)的理解和認(rèn)識。2秦漢時期的土地面積單位轉(zhuǎn)換問題上述三種文獻(xiàn)中，關(guān)于面積單位換算有平方步與畝的換算和平方里與畝的換算兩種。前一種在三文本中均比擬常用，而換算的方式往往沒有明確給出，有時暗含在術(shù)文之中，根本上可以認(rèn)為這種換算是極為普通的.背景知識，且畝在實際運用中是記錄面積的最普遍單位標(biāo)準(zhǔn)。我們看到三種文本中但凡結(jié)果超過二百四十平方步的答案，全部轉(zhuǎn)換為一畝(又)多少步的形式。而對于第二種轉(zhuǎn)換，三文本中都專門提及，稱為里田術(shù)，但顯然應(yīng)用率不高，《數(shù)》中只有里田術(shù)文，無算例;《算數(shù)書》中有兩種術(shù)文，一道算例;《九章算術(shù)》中有術(shù)文，配合兩道極為簡單的算例。除此之外，未有以里作為單位記錄的長度，以及把平方里轉(zhuǎn)換為畝的情況。這與單位里的長度過大有關(guān)，依秦制，一里等于300步，在日常的土地測量中用到這么大的計量單位較少。《算數(shù)書》中里田術(shù)僅有的一道例題后，直(置)提封以此為之一句也為我們提示了這一點。提封，亦稱提封田?！稘h書﹒地理志下》提封田一萬萬四千四百一十三萬六千四百五傾，師古曰：提封者，大舉其封疆也?？磥砥椒嚼锏拿娣e單位，在涉及邊疆土地的丈量和劃界中會使用到。但是，即便在經(jīng)常處理宏大問題的《九章算術(shù)》中，這種計量和換算也很少見。2.1平方步與畝之間的轉(zhuǎn)換《九章算術(shù)》中首次提到平方步與畝之間的換算是在方田術(shù)文里，以畝法二百四十步除之，即畝數(shù)。百畝為一傾?！端銛?shù)書》中第64題啟廣題題中使用了一畝等于240平方步的關(guān)系。啟廣回從(縱)卅步，為啟廣幾何而為田一畝?曰：啟【廣】八步。術(shù)曰：以卅步為法，以二百卌步為實。啟從(縱)亦如此。求為田一畝時的廣長，直接以240(平方)步作為被除數(shù)，顯然是默認(rèn)了這一轉(zhuǎn)換關(guān)系。而在《數(shù)》中的第1714號簡記錄的除田之術(shù)為《算數(shù)書》和《九章算術(shù)》所沒有，肖燦博士認(rèn)為此處模糊的首字可訓(xùn)解為開、啟，給出或張開、伸展之意，并轉(zhuǎn)引鄒大海先生的觀點，認(rèn)為這與《算數(shù)書》中的啟廣、啟從問題同意，但從內(nèi)容來看，這卻為啟廣、啟從的逆運算。除田之述(術(shù))曰：以從(縱)二百卌步者，除廣一步，得田一畝，除廣十步，得田十畝，除廣百步，得田一頃，除廣千步得田【十傾】1714而筆者認(rèn)為此處的意義更在于告訴了當(dāng)從為240步、廣為1步時的面積，240(平方)步即為一畝。并且間接提到了單位傾與畝之間的關(guān)系，除廣百步，(得百畝)，得田一傾。在簡0829、0954、0976、0761中都運用到了平方步與畝的換算。而可以推測簡1714所在原簡編連中的位置有可能在這些簡之前，否那么給出這樣簡單、化整的數(shù)據(jù)來說明一條術(shù)文，意義并不大。然而這個換算關(guān)系并非一直是統(tǒng)一的，周代的田畝制度，一畝是一百平方步，到秦孝公時，商鞅廢井田，開阡陌，制定的畝制是二百四十平方步。在漢武帝之前，周制與秦孝公之制并存，在秦地用的一直是二百四十平方步一畝，到了漢武帝時統(tǒng)一規(guī)定，均以二百四十平方步為一畝。在三種文獻(xiàn)的少廣問題中，都暗含著一畝等于二百四十平方步的條件，這種換算是直接拿來使用的。2.2平方里與畝之間的轉(zhuǎn)換我們再看介紹平方里與畝換算關(guān)系的里田術(shù)?！稊?shù)》中的里田問題比擬簡單：里田述(術(shù))曰：里乘里=，〔里〕也，因此參之，有(又)參五之，為田三頃七十五畝。0947叁之，有(又)叁五之表示用3稱，再用5連續(xù)稱三次，這樣一平方里就轉(zhuǎn)化成了375畝，即三傾七十五畝。算術(shù)表示為：1(平方里)=13555=375畝=3傾75畝。這與《算數(shù)書》中的一種表述非常類似：..【】里田術(shù)曰：里乘里，里也，廣、從(縱)各一里，即直(置)一因此三之，有(又)三五之，即為回三頃七十五敵。其廣從(縱)不等者，先以里相乘，已乃因此三之，有(又)三五之，乃成。我們先對這個1平方里=375畝的結(jié)果作個解釋。因為1里等于300步，那以平方步來算，其面積為300300平方步，再結(jié)合一畝等于240平方步的默認(rèn)條件，得到(300300)/240=375畝。這個結(jié)果與上面3555的結(jié)果是完全一致的。但這個連乘式有何數(shù)學(xué)意義，分別為《算數(shù)書》和《數(shù)》作注釋的彭浩先生和肖燦博士都沒有給出。彭先生認(rèn)為此算法把一平方里為田三百七十五畝以3(555)表示，省去把里化作平方步相乘，再以畝法相除的復(fù)雜數(shù)字計算，并以一位數(shù)代替多位數(shù)相乘，大大簡化了運算。其實這里只是找到了一種等價的算式，而非簡化了運算，(300300)/240不能直接化簡為3(555)。其他數(shù)學(xué)換算思路也都無法得解。這里的算式有拼湊結(jié)果之疑，這種做法在《數(shù)》中一道盈缺乏算題里也可以表達(dá)。那《九章算術(shù)》在里田術(shù)方面是怎樣記述的呢?里田術(shù)曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。亦是直接給出了換算結(jié)果，沒有數(shù)據(jù)得來過程。即便連向來全面、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膭⒒赵谶@里的注釋也只寫了按：此術(shù)廣從里數(shù)相乘得積里。故方里之中有三頃七十五畝，故以乘之，即得商數(shù)也，沒有提到任何3(555)的步驟。另查沈康身、李繼閔兩位先生對《九章算術(shù)》的經(jīng)典注釋，也都是用(300300)/240來解釋此結(jié)果。我們可以疑心是張蒼、耿壽昌在編纂《九章算術(shù)》或劉徽在注釋《九章算術(shù)》時，將當(dāng)時流傳的這個不合理的運算給刪去了。假設(shè)是這樣，對數(shù)學(xué)結(jié)果的承受，但不取其不合理的運算過程，這是數(shù)學(xué)知識的進(jìn)步，或是更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)體系(如《九章算術(shù)》)對非理性的運算的挑選和過濾。此外，《算數(shù)書》中的里田術(shù)還記載了另外一種轉(zhuǎn)換方式，有(又)曰：里乘里，里也，【因此三之】，以里之下即予廿五因此三之，亦其頃畝數(shù)也。忽略其三或五相乘的局部，最終其表示的是將三百七十五畝先化為三傾七十五畝，把三傾七十五畝按單位拆分為三傾+七十五畝。這樣在轉(zhuǎn)換平方里為傾-畝的單位時，分別拿平方里數(shù)乘以三傾和七十五畝，前者得到的結(jié)果單位是傾，后者得到的結(jié)果單位是畝。彭浩先生認(rèn)為這使得龐大的數(shù)字計算簡化，并為《夏侯陽算經(jīng)》中身外加(減)法之先聲。固然對于以算籌計算大數(shù)據(jù)相乘是有很大不便，但是后一種方法也需要在乘以七十五畝之后，將得到的結(jié)果再轉(zhuǎn)化為傾-畝制，并與前一項以傾為單位者相加方可得到結(jié)果。【【參考文獻(xiàn)】：^p】[1]陳松長.岳麓書院所藏秦簡綜述[J].文物，2023(3)：75.[2]李均明，馮立昇.清華簡《算表》概述[J].文物，2023(8)：73-75.[3]轉(zhuǎn)引自彭浩.張家山漢簡《算數(shù)書》注釋[M].北京：科學(xué)出版社，2023：126.[4]郭書春.《九章算術(shù)》譯注[M].上海：上海古籍出版社，2023：13.[5]張家山漢墓竹簡整理小組.張家山漢墓竹簡(二四七號墓)[M].北京：文物出版社，2023：153.[6]肖燦.岳麓書院藏秦簡《數(shù)》研究[D].2023：41.[7]劉艷.張家山漢簡《算數(shù)書》所見社會經(jīng)