高等數(shù)學(xué)課件D8-4多元函數(shù)的復(fù)合

第四節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第八章6/7/2023多元函數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有增量△u,△v,6/7/2023多元函數(shù)(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時(shí),根式前加“–”號(hào))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)若定理中說(shuō)明:例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則定理結(jié)論不一定成立.6/7/2023多元函數(shù)推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示固定y

對(duì)x

求導(dǎo),表示固定v

對(duì)x

求導(dǎo)口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)與不同,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)例1.設(shè)解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)例2.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到,下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).6/7/2023多元函數(shù)為簡(jiǎn)便起見(jiàn),引入記號(hào)例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)(當(dāng)在二、三象限時(shí),)例5.設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達(dá)式在解:

已知極坐標(biāo)系下的形式(1),則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)題目目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)已知注意利用已有公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)同理可得題目目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見(jiàn)無(wú)論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)例1.例6.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)思考與練習(xí)解答提示:P31題7P31題7;8(2);P73題11機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束……6/7/2023多元函數(shù)P31題8(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)作業(yè)

P312;4;6;9;

10;12(4);13

P73題11第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6/7/2023多元函數(shù)備用題1.已知求解:由兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回