2017年全國碩士研究生考試《數(shù)學三》試題（網(wǎng)友回憶版）

2017年全國碩士研究生考試《數(shù)學三》試題（網(wǎng)友回憶版）[單選題]1.若函數(shù)在x＝0處連續(xù)，則（）。A.ab＝1/2B.ab＝－1/2C.ab＝0D.ab＝2參考答案：A參考解析：由連續(xù)的定義知即又當x→0時，代入得1/（2a）＝b，即ab＝1/2。[單選題]2.二元函數(shù)z＝xy（3－x－y）的極值點是（）。A.（0，0）B.（0，3）C.（3，0）D.（1，1）參考答案：D參考解析：對方程組求解，得駐點（0，0），（0，3），（3，0），（1，1）。進一步求二階導：對于點（0，0），（0，3），（3，0），計算得AC－B2＝3＜0，這三點都不是極值點。對于點（1，1），計算得AC－B2＝3＞0，又A＝－2，所以函數(shù)z＝xy（3－x－y）在點（1，1）處有極大值1。[單選題]3.設函數(shù)f（x）可導，且f（x）f′（x）＞0，則（）。A.f（1）＞f（－1）B.f（1）＜f（－1）C.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜D.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜參考答案：C參考解析：構造函數(shù)F（x）＝f2（x），求導得F′（x）＝2f（x）f′（x），由已知條件知函數(shù)F（x）單調(diào)遞增，即F（1）＞F（－1），代入得f2（1）＞f2（－1），即f（1）＞f（－1）。[單選題]4.若級數(shù)收斂，則k＝（）。A.1B.2C.－1D.－2參考答案：C參考解析：利用泰勒公式知sin（1/n）＝1/n－1/（6n3）＋ο（1/n3），ln（1－1/n）＝－1/n＋1/（2n2）－1/（3n3）＋ο（1/n3）得sin（1/n）－kln[1－1/n]＝（k＋1）/n－k/（2n2）＋（2k－1）/（6n3）＋ο（1/n3）又因為收斂，所以k＋1＝0，即k＝－1。[單選題]5.設α為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則（）。A.E－ααT不可逆B.E＋ααT不可逆C.E＋2ααT不可逆D.E－2ααT不可逆參考答案：A參考解析：設α＝（1，0，…，0）T，則ααT的特征值為1，0，…，0，易得E－ααT的特征值為0，1，…，1，所以E－ααT＝0×1×1×…×1＝0，又A為可逆矩陣的充要條件是A≠0，所以E－ααT不可逆。[單選題]6.已知矩陣則（）。A.A與C相似，B與C相似B.A與C相似，B與C不相似C.A與C不相似，B與C相似D.A與C不相似，B與C不相似參考答案：B參考解析：計算知A、B的特征值均為2、2、1，A有3個線性無關的特征向量，B只有2個，觀察知C為對角矩陣，因此A與C相似，B與C不相似。[單選題]7.設A，B，C為三個隨機事件，且A與C相互獨立，B與C相互獨立，則A∪B與C相互獨立的充分必要條件是（）。A.A與B相互獨立B.A與B互不相容C.AB與C相互獨立D.AB與C互不相容參考答案：C參考解析：由P（（A∪B）∩C）＝P（A∪B）P（C），P（（A∪B）∩C）＝P（AC∪BC）＝P（AC）＋P（BC）－P（AC∩BC）＝P（AC）＋P（BC）－P（ABC），而P（A∪B）P（C）＝[P（A）＋P（B）－P（AB）]P（C）＝P（A）P（C）＋P（B）P（C）－P（AB）P（C），可得P（ABC）＝P（AB）P（C）。[單選題]8.設X1，X2，…，Xn（n≥2）為來自總體N（μ，1）的簡單隨機樣本，記則下列結論正確的是（）。A.服從χ2分布B.2（Xn－X1）2服從χ2分布C.服從χ2分布D.n（－μ）2服從χ2分布參考答案：B參考解析：A項，Xi－μ～N（0，1），故B項，即（Xn－X1）2/2～χ2（1）。C項，由D項，（－μ）～N（0，1/n），則所以n（－μ）2～χ2（1）。[問答題]1.（本題滿分10分）求極限參考答案：令u＝x－t，則經(jīng)過變量代換后的積分為則由洛必達法則可知[問答題]2.（本題滿分10分）計算積分，其中D是第一象限中以曲線與x軸為邊界的無界區(qū)域。參考答案：積分區(qū)域如圖1所示，選用直角坐標計算該積分，先對y積分，后對x積分得圖1[問答題]3.（本題滿分10分）求參考答案：由定積分的定義知再利用分部積分法知[問答題]4.（本題滿分10分）已知方程1/ln（1＋x）－1/x＝k在區(qū)間（0，1）內(nèi)有實根，確定常數(shù)k的取值范圍。參考答案：令f（x）＝1/ln（1＋x）－1/x，則令g（x）＝（1＋x）ln2（1＋x）－x2，可得g′（x）＝ln2（1＋x）＋2ln（1＋x）－2xg″（x）＝2[ln（1＋x）－x]/（1＋x）＜0，x∈（0，1）故g′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，從而x∈（0，1）時，g′（x）＜g′（0）＝0。故g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，從而x∈（0，1）時，g（x）＜g（0）＝0。因此有f′（x）＜0，可知f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，從而f（1）＝1/ln2－1。利用等價無窮小和泰勒展開式知則要使得f（x）＝k在（0，1）內(nèi)必有實根，1/ln2－1＜k＜1/2。[問答題]5.（本題滿分10分）設a0＝1，a1＝0，an＋1＝（nan＋an－1）/（n＋1）（n＝1，2，3，…），S（x）為冪級數(shù)的和函數(shù)。（Ⅰ）證明的收斂半徑不小于1。（Ⅱ）證明（1－x）S′（x）－xS（x）＝0（x∈（－1，1）），并求S（x）表達式。參考答案：（Ⅰ）由an＋1＝（nan＋an－1）/（n＋1），兩邊同時減去an，得an＋1－an＝－（an－an－1）/（n＋1）。依次向后展開有可推出因為得故的收斂半徑R＝1/ρ＝1，收斂半徑不小于1。（Ⅱ）得所以由題意知（n＋1）an＋1＝nan＋an－1，因此即（1－x）S′（x）－xS（x）＝0，（x∈（－1，1）），化簡得S′（x）/S（x）＝x/（1－x）＝－1＋1/（1－x），即lnS（x）＝－x－ln（1－x）＋C0，解得S（x）＝C1e－x/（1－x）。又S（0）＝1，代入解得C1＝1，所以S（x）＝e－x/（1－x）。[問答題]6.（本題滿分11分）設3階矩陣A＝（α1，α2，α3）有3個不同的特征值，且α3＝α1＋2α2。（Ⅰ）證明r（A）＝2；（Ⅱ）若β＝α1＋α2＋α3，求方程組Ax＝β的通解。參考答案：（Ⅰ）設A的特征值為λ1，λ2，λ3，因為A有3個不同的特征值，所以r（A）≥2，且A可以相似對角化，即存在可逆矩陣P，使得又因為α3＝α1＋2α2，所以α1，α2，α3線性相關，從而r（A）＜3，得r（A）＝2。（Ⅱ）因為r（A）＝2，所以Ax＝0的基礎解系只有一個解向量。又因為α3＝α1＋2α2，即α1＋2α2－α3＝0，得Ax＝0的基礎解系的解向量為（1，2，－1）T。同理由β＝α1＋α2＋α3，得得Ax＝β的特解為（1，1，1）T。所以Ax＝β的通解為[問答題]7.（本題滿分11分）設二次型f（x1，x2，x3）＝2x12－x22＋ax32＋2x1x2－8x1x3＋2x2x3在正交變換x＝Qy下的標準型為λ_{1ub>y12＋λ2y2}2，求a的值及一個正交矩陣Q。參考答案：二次型對應的矩陣為因為二次型在正交變換下的標準型為λ1y12＋λ2y2</sub>2，故A有特征值0，所以A＝0，計算得a＝2。解得λ＝0，－3，6。當λ＝－3時，得特征向量當λ＝6時，得特征向量當λ＝0時，得特征向量η1，η2，η3屬于不同特征值的特征向量，施密特正交化、單位化得所以正交矩陣對應的標準型為f＝－3y12＋6y2</sub>2。[問答題]8.（本題滿分11分）設隨機變量X，Y相互獨立，且X的概率分布為P（X＝0）＝P（X＝2）＝1/2，Y的概率密度為（Ⅰ）求P（Y≤EY）；（Ⅱ）求Z＝X＋Y的概率密度。參考答案：（Ⅰ）計算得則（Ⅱ）Z的分布函數(shù)為FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z，X＝0}＋P{X＋Y≤z，X＝2}＝P{X＝0，Y≤z}＋P{X＝2，Y＋2≤z}＝[P{Y≤z}＋P{Y≤z－2}]/2＝[FY（z）＋FY（z－2）]/2。故Z的概率密度函數(shù)為[問答題]9.（本題滿分11分）某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做n次測量，該物體的質(zhì)量μ是已知的，設n次測量結果X1，X2，…，Xn相互獨立，且均服從正態(tài)分布N（μ，σ2）。該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差Zi＝Xi－μ（i＝1，2，…，n），利用Z1，Z2，…，Zn估計σ。（Ⅰ）求Zi的概率密度；（Ⅱ）利用一階矩求σ的矩估計量；（Ⅲ）求σ的最大似然估計量。參考答案：（Ⅰ）因為Xi～N（μ，σ2），所以Yi＝X_{i－μ～N（0，σ2），對應的概率密度為設Zi的分布函數(shù)為F（z），對應的概率密度為f（z）。當z＜0時，F(xiàn)（z）＝0；當z≥0時，有則Zi的概率密度為（Ⅱ）因為所以得σ的矩估計量為其中（Ⅲ）由題知對應的似然函數(shù)為對上式兩邊取對數(shù)得所以得所以σ的最大似然估計量為[填空題]1.（）。參考答案：π3/2參考解析：由對稱區(qū)間上定積分的性質(zhì)及定積分的幾何意義可知[填空題]2.差分方程yt＋1－2yt＝2t通解為（）。參考答案：yt＝c2t＋t·2t/2（c∈R）參考解析：方程yt＋1－2yt＝2t的齊次方程為yt＋1－2yt＝0，該齊次方程的特征方程為λ－2＝0，則λ＝2，得齊次方程的通解為y＝c·2t（c∈R）。設yt＋1－2yt}＝2t的特解為y*＝at2t，代入計算得a＝1/2，所以差分方程的通解為yt＝c2t＋t·2t/2（c∈R）。[填空題]3.設生產(chǎn)某產(chǎn)品的平均成本（Q）＝1＋e－Q，其中Q為產(chǎn)量，則邊際成本為（）。參考答案：1＋（1－Q）e－Q參考解析：由題意知，總成本為C（Q）＝（Q）Q＝（1＋e－Q）Q，則邊際成本為C′（Q）＝[（1＋e－Q）Q]′＝1＋（1－Q）e－Q。[填空題]4.設函數(shù)f（x，y）具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且df（x，y）＝y(tǒng)eydx＋x（1＋y）eydy，f（0，0）＝0，則f（x，y）＝（）。參考答案：xyey參考解析：由題意可知fx′（x，y）＝y(tǒng)ey，fy′（x，y）＝x（1＋y）ey，因此f（x，y）＝∫yeydx＝xyey＋c（y），對該等式關于y求導得f<sub>y′（x，y）＝xey＋xyey＋c′（y）＝x（1＋y）ey＋c′（y）。又f<sub>y′（x，y）＝x（1＋y）ey，知c′（y）＝0，即c（y）＝c。又f（0，0）＝0，計算得c＝0，所以f（x，y）＝xyey。[填空題]5.設矩陣α1、α2、α3為線性無關的3維列向量組，則向量組Aα1、Aα2、Aα3的秩為（）